第2章 第3节 函数的奇偶性、对称性与周期性(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（强基版）

第三节　函数的奇偶性、对称性与周期性 1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数了解周期性与对称性及其几何意义． 2．能求简单函数的周期，灵活应用函数奇偶性的性质解题． 回首教材 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期 最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期 3．函数的对称性 (1)①若函数y＝f(x)关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)； ②若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数关于点(a,0)对称． (2)两个函数图象的对称 ①函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称； ②函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称； ③函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称． 拓展教材(常见结论及应用) 1．函数奇偶性的3个性质 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0； (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)； (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． 2．函数周期性的3个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)； (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)； (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)． 3．对称性的3个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称． 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) 考题品悟 (2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln为偶函数，则a＝( B ) A．－1　　　　　 B．0 C. D．1 追根溯源 (人B必修②P53T9)已知函数f(x)＝ln(ex＋1)－ax是偶函数，求a的值. 发现启迪 函数的奇偶性是高考的重点内容，几乎每年都考一道利用函数奇偶性求参数的小题．解决此类题的关键是利用f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)列式. 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1．(人A必修①P84例6改编)[多选]给出下列函数，其中是奇函数的为(　 ) A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x5 C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ 解析：选BC　对于f(x)＝x4，f(x)的定义域为R，由f(－x)＝(－x)4＝x4＝f(x)，可知f(x)＝x4是偶函数，同理可知f(x)＝x5，f(x)＝x＋是奇函数，f(x)＝是偶函数． 2．(人B必修①P115练习BT4改编)[多选]已知奇函数f(x)与偶函数g(x)的定义域、值域均为R，则(　 ) A．f(x)＋g(x)是奇函数 B．f(x)|g(x)|是奇函数 C．f(x)g(x)是偶函数 D．f(g(x))是偶函数 解析：选BD　因为f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠f(x)＋g(x)且f(－x)＋g(－x)＝－f(x)＋g(x)≠－[f(x)＋g(x)]，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A错误；因为f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故B正确；因为f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)≠f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，不是偶函数，故C错误；因为f(g(－x))＝f(g(x))，所以f(g(x))是偶函数，故D正确． 3．(人A必修①P87T13结论应用：函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称图形⇔y＝f(x＋a)－b为奇函数)已知函数y＝f(x＋1)为奇函数，则函数y＝f(x)＋1的图象(　 ) A．关于点(1,1)对称 B．关于点(1，－1)对称 C．关于点(－1,1)对称 D．关于点(－1，－1)对称 解析：选A　函数y＝f(x＋1)为奇函数，图象关于(0,0)对称，则函数y＝f(x)关于(1,0)对称，所以函数y＝f(x)＋1的图象关于(1,1)对称． 4．(北师大必修②P4T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2 023)＝________. 解析：由题意知f(2 023)＝f(3×674＋1)＝f(1)，而f(－1)＝2f(10)＋3，所以f(－1)＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，解得f(－1)＝1，故f(2 023)＝f(1)＝－1. 答案：－1 B组——迷点盲点的澄清训练 1．(忽视定义域)函数f(x)＝|x＋1|是____________函数．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”) 解析：因为f(x)有意义，则满足≥0，所以－1<x≤1，所以f(x)的定义域不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数． 答案：非奇非偶 2．(忽视自变量0的函数值)已知定义在R上的奇函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋x－1，则函数f(x)的解析式为____________． 解析：设x<0，则－x>0，由题意可知f(－x)＝(－x)2－x－1＝x2－x－1，因为f(x)是R上的奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2＋x＋1，且f(0)＝0.综上所述，f(x)＝ 答案：f(x)＝ 题点一　函数的奇偶性 考法(一)　判断函数的奇偶性　 例1　判断下列函数的奇偶性． (1)f(x)＝x3－； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝＋； (4)f(x)＝ 解：(1)原函数的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，并且对于定义域内的任意一个x都有f(－x)＝(－x)3－＝－＝－f(x)， 从而函数f(x)为奇函数． (2)由得－2<x<2， 即函数f(x)的定义域是{x|－2<x<2}，关于原点对称． 因此f(x)＝＝lg(4－x2)，所以f(－x)＝f(x)，因此函数f(x)是偶函数． (3)f(x)的定义域为{－1,1}，关于原点对称． 又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (4)如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数． |思维建模|　判定函数奇偶性的2种常用方法 (1)定义法 (2)图象法 [提醒]　(1)对函数奇偶性的判断，不能用特殊值法．(2)分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0和x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性． 考法(二)　函数奇偶性的应用　 例2　设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x<0时，f(x)＝(　 ) A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1 解析：选D　设x<0，则－x>0，∵当x≥0时，f(x)＝ex－1，∴f(－x)＝e－x－1.又∵f(x)为奇函数，∴当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－e－x＋1. 例3　(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　 ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选D　法一　f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(x)是偶函数，所以f(x)－f(－x)＝－＝＝0.因为x不为0，所以ex－e(a－1)x＝0.所以a－1＝1，a＝2. 法二　因为f(x)＝＝，f(x)是偶函数，且y＝x是奇函数，所以y＝e(a－1)x－e－x是奇函数，故a－1＝1，即a＝2，故选D. 例4　已知f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，且g(x)＝f(x－1)，则f(2 023)＋f(2 025)的值为________． 解析：由题意得，g(－x)＝f(－x－1)，∵f(x)是定义在R上的偶函数，g(x)是定义在R上的奇函数，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)，∴f(x－1)＝－f(x＋1)，即f(x－1)＋f(x＋1)＝0.∴f(2 023)＋f(2 025)＝f(2 024－1)＋f(2 024＋1)＝0. 答案：0 |思维建模|　函数奇偶性可解决的问题及解题方法 求函数值 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解 求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出 求参数 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而求出参数的值 [针对训练] 1．[多选]设函数f(x)＝，则下列结论正确的有(　 ) A．|f(x)|是偶函数 　 B．－f(x)是奇函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数 　 D．f(|x|)f(x)是偶函数 解析：选ABC　∵f(x)＝，定义域为R， 则f(－x)＝＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，∴|f(x)|为偶函数，－f(x)为奇函数，f(x)|f(x)|为奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数． 2．(2024·广州模拟)已知函数f(x)＝a＋(ab≠0)是奇函数，则(　 ) A．2a＋b＝0 B．2a－b＝0 C．a＋b＝0 D．a－b＝0 解析：选B　由题意知f(x)的定义域为{x|x≠0}，由于f(x)是奇函数，所以f(－x)＋f(x)＝0，所以a＋＋a＋＝2a－＋＝2a＋＝2a－b＝0. 3．已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为________． 解析：法一　当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.又因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－2＋，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为. 法二　当x>0时，f(x)＝x2－x＝2－，最小值为－，因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为. 答案： 题点二　函数的对称性 例5　(2023·福州三模)定义在R上的函数f(x)满足f(2－x)＝2－f(x)．若f(x)的图象关于直线x＝3对称，则下列选项一定成立的是(　 ) A．f(－3)＝1 B．f(0)＝0 C．f(3)＝2 D．f(5)＝－1 解析：选A　函数f(x)的图象关于直线x＝3对称，则必有f(3－x)＝f(x＋3)，所以f(0)＝f(6)，f(1)＝f(5)，f(2)＝f(4)．又因为f(x)满足f(2－x)＝2－f(x)，取x＝1，所以f(1)＝2－f(1)，f(1)＝1，则f(1)＝f(5)＝1，取x＝5，则f(－3)＝2－f(5)＝1，A正确． 例6　(2023·全国乙卷，节选)已知函数f(x)＝ln(1＋x)，是否存在a，b，使得曲线y＝f关于直线x＝b对称？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由． 解：存在．令g(x)＝f，由函数f(x)的解析式可得g(x)＝f＝(x＋a)ln，函数g(x)的定义域满足＋1＝>0，即函数g(x)的定义域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，定义域关于直线x＝－对称，由题意可得b＝－，由对称性可知g＝g，取m＝可得g(1)＝g(－2)，即(a＋1)ln 2＝(a－2)ln，则a＋1＝2－a，解得a＝，经检验a＝，b＝－满足题意，故a＝，b＝－. [思维建模] 求解与函数对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心，大多是结合图象利用对称性解决求值或参数问题． [针对训练] 4．(2024·郑州联考)[多选]已知f(x)为定义在R上的偶函数且f(x)不是常函数，F(x)＝f(1－x)－1，g(x)＝f(x＋1)－1，若g(x)是奇函数，则(　 ) A．y＝f(x)的图象关于(1,1)对称 B．f(x)＝f(x＋4) C．F(x)是奇函数 D．F(x)与g(x)关于原点对称 解析：选ABC　因为g(x)是奇函数，所以g(x)＋g(－x)＝0，即f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，整理得f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以y＝f(x)的图象关于(1,1)对称，故A正确；因为f(x)为偶函数，所以f(x)＋f(x－2)＝f(x)＋f(2－x)＝2，所以f(x－2)＋f(x－4)＝2，f(x)＝f(x－4)，所以f(x)＝f(x＋4)，故B正确；F(x)＋F(－x)＝f(1－x)－1＋f(1＋x)－1＝0，故C正确；因为F(－x)＝g(x)，所以F(x)与g(x)关于y轴对称，不关于原点对称，故D错误． 5．已知函数f(x)＝，求证：函数y＝f(x)关于点(－1，－1)中心对称． 证明：在函数y＝f(x)的图象上任意取一点P(a，b)， 关于点(－1，－1)的对称点Q(－2－a，－2－b)， 由f(a)＝b得b＝，即a＝(b≠－1)， 把x＝－2－a代入得f(－2－a)＝＝＝＝·＝－b－2， 所以对称点Q(－2－a，－2－b)在函数y＝f(x)的图象上． 即函数y＝f(x)的图象关于(－1，－1)中心对称． 题点三　函数的周期性及其应用 例7　已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝－f(x＋2)，当x∈(0,2]时，f(x)＝2x＋log2x，则f(2 023)＝(　 ) A．5 B. C．2 D．－2 解析：选D　由f(x)＝－f(x＋2)，得f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是周期为4的周期函数，所以f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝f(1＋2)＝－f(1)＝－(2＋0)＝－2. 例8　函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f(x)＝则f(f(15))的值为________． 解析：由f(x＋4)＝f(x)得函数是周期为4的周期函数，则f(15)＝f(16－1)＝f(－1)＝＝，f＝cos＝cos＝，即f(f(15))＝. 答案： [思维建模] (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题． [针对训练] 6．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－，若f(1)＝，则f(2 023)＝(　 ) A．－ B. C．－2 D．2 解析：选C　因为f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－＝f(x)，即函数的周期是4，所以f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)，又因为f(1)＝，所以f(3)＝－＝－2，故选C. 7．(2024·金华调研)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝________. 解析：因为f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2 024＝6×337＋2，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 024)＝337×1＋1＋2＝340. 答案：340 利用奇函数的性质速解两类题型 1．常见的奇函数 ①y＝xn(n为奇数)；②y＝sin x；③y＝tan x；④y＝ax－a－x；⑤y＝loga(±x)(a>0且a≠1，b>0)；⑥y＝；⑦y＝loga. 2．利用奇函数的性质求值的两种方式 第一种求f(x)＋f(－x)，即自变量互为相反数时求和； 第二种求f(x)max＋f(x)min. 速解这类题型的原理： f(x)＝g(x)＋c，其中g(x)为奇函数，由奇函数性质可知：g(x)＋g(－x)＝0，f(x)＋f(－x)＝g(x)＋g(－x)＋2c＝2c. 若函数f(x)的定义域包含0，那么f(0)＝g(0)＋c， ∵g(0)＝0，∴f(0)＝c， 故f(x)＋f(－x)＝g(x)＋g(－x)＋2c＝2c＝2f(0)． ∵奇函数取得最大值与最小值时对应的自变量必然互为相反数， ∴g(x)max＋g(x)min＝0， ∴f(x)max＋f(x)min＝g(x)max＋g(x)min＋2c＝2c. [应用体验] 1．已知函数f(x)＝atan x＋bx3＋c，c∈Z，求f(x)与f(－x)的值，则下列答案不可能的是(　 ) A．8和6 B．3和1 C．7和1 D．5和2 解析：选D　令g(x)＝atan x＋bx3，显然g(x)为奇函数，所以g(x)＋g(－x)＝0，所以f(x)＋f(－x)＝2c,2c为偶数，因此不可能为D. 2．已知函数f(x)＝log2(－x)＋2，则f(lg 5)＋f＝(　 ) A．－4 B．0 C．2 D．4 解析：选D　令g(x)＝log2(－x)，显然g(x)为奇函数，又∵lg 5＋lg ＝0，∴f(lg 5)＋f＝4. 3．已知函数f(x)＝ax3＋b(ex－e－x)＋4(a，b∈R)，f(3)＝5，则f(－3)＝(　 ) A．－5 B．－1 C．3 D．4 解析：选C　令g(x)＝ax3＋b(ex－e－x)，易知g(x)为奇函数，∴g(3)＋g(－3)＝0，∴f(3)＋f(－3)＝2×4＝8，又∵f(3)＝5，∴f(－3)＝8－5＝3，故选C. 4．f(x)＝的最大值与最小值的和为______． 解析：∵f(x)＝＝1＋，∴f(x)max＋f(x)min＝1＋max＋1＋min.设F(x)＝，∵F(－x)＝－F(x)，∴函数F(x)为奇函数，∴F(x)max＋F(x)min＝0，∴f(x)max＋f(x)min＝1＋max＋1＋min＝2. 答案：2 [课时跟踪检测] 1．下列函数为偶函数的是(　 ) A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x 解析：选B　A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数，故选B. 2．(2023·开封三模)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时f(x)＝log3x，则f(－3)＝(　 ) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选A　因为f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log3x.所以f(－3)＝－f(3)＝－log33＝－1. 3．设f(x)是定义在R上周期为2的函数，当x∈(－1,1)时，f(x)＝则f等于(　 ) A．－7 B．1 C. D．7 解析：选B　∵f(x)在R上的周期为2，∴f＝f＝－4×2＋2＝1. 4．已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)＝2－f(2－x)＋f(2)，f(1)＝－1，则f(3)＝(　 ) A．0 B．2 C．4 D．5 解析：选D　令x＝0，得f(2)＝2－f(2)＋f(2)，即f(2)＝2，所以f(x＋2)＋f(2－x)＝4，所以函数f(x)的图象关于(2,2)对称，因为f(1)＝－1，所以f(3)＝5. 5．(2024·长沙模拟)已知函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝ex，则＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　因为函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝ex，则f(－1)－g(－1)＝，即－f(1)－g(1)＝，而f(1)－g(1)＝e，联立解得f(1)＝＝，g(1)＝－·＝－，所以＝. 6．定义在R上的奇函数f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，若当0<x≤1时，f(x)＝x2－2x＋9，则f(2 023)＝(　 ) A．－6 B．6 C．－8 D．8 解析：选C　因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(2＋x)＝f(－x)，又f(－x)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)是周期为4的函数，因此f(2 023)＝f(506×4－1)＝f(－1)＝－f(1)＝－8.故选C. 7．已知奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，则不等式≥0的解集为(　 ) A．[－2,0]∪[2，＋∞) 　　 B．(－∞，－2]∪(0,2] C．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 　　 D．[－2,0)∪(0,2] 快审准解：由题意结合f(x)的奇偶性和单调性画出示意图，化简不等式为≤0，数形结合求解． 解析：选D　由题意可得，奇函数f(x)在(0，＋∞)和(－∞，0)上分别单调递增，且f(－2)＝f(2)＝0，函数图象示意图如图所示，故不等式≥0，即≥0，即≤0，结合f(x)的示意图可得它的解集为{x|－2≤x<0或0<x≤2}，故选D. 8．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b＝________. 解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝. 又f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝. 答案： 9．若f(x)＝ln＋b是奇函数，则a＝________，b＝________. 解析：法一：奇函数定义域的对称性 若a＝0，则f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，∴a≠0，若奇函数的f(x)＝ln＋b有意义，则x≠1且a＋≠0， ∴x≠1且x≠1＋.∵函数f(x)为奇函数，定义域关于原点对称，∴1＋＝－1，解得a＝－，由f(0)＝0，得ln＋b＝0，∴b＝ln 2. 法二：函数的奇偶性求参 ∵f(x)＝ln＋b＝ln＋b＝ln＋b，f(－x)＝ln＋b， 又函数f(x)为奇函数，∴f(x)＋f(－x)＝ln＋ln＋2b＝0， ∴ln＋2b＝0， 即ln＝－2b恒成立， 则2a＋1＝0，解得a＝－. ∴ln＝－2b，解得b＝ln 2. ∴a＝－，b＝ln 2. 法三　因为函数f(x)＝ln＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由a＋≠0可得，(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以x＝＝－1，解得a＝－，即函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得b＝ln 2.即f(x)＝ln＋ln 2＝ln，在定义域内满足f(－x)＝－f(x)，符合题意． 答案：－　ln 2 10．已知函数y＝f(x)－2为奇函数，g(x)＝，且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，则y1＋y2＋…＋y6＝________. 解析：∵函数y＝f(x)－2为奇函数，∴函数y＝f(x)的图象关于点(0,2)对称，又g(x)＝＝＋2，其图象也关于(0,2)对称，∴两函数图象交点关于(0,2)对称，则y1＋y2＋…＋y6＝3×4＝12. 答案：12 11．已知函数f(x)＝是奇函数． (1)求实数m的值； (2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围． 解：(1)设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1<a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]． 12．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式； (3)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)． 解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]， 由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2. ∴f(x)＝x2＋2x. 又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]， ∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)． 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8. (3)f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1. 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0. ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝0. 13．[多选]已知定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)＝f(x＋2)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x，则下列说法正确的是(　 ) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是周期函数 C．f＝－1 D．x∈[－1,0)时，f(x)＝x 解析：选AB　因为定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，故A正确；又f(x)＝f(x＋2)，所以f(x)是以2为周期的周期函数，故B正确；设x∈[－1,0)，则－x∈(0,1]，所以f(－x)＝－x，又f(x)是偶函数，则f(x)＝－x，即当x∈[－1,0)时f(x)＝－x，f＝f＝f＝－＝，故C、D错误；故选AB. 14．[多选]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1＋x)＝f(1－x)．当0<x<1时，f(x)＝3x－1，则(　 ) A．f(x)是周期为2的周期函数 B．f(x)的值域为[－2,2] C．x＝3是f(x)图象的一条对称轴 D．f(x)的图象关于点(－2,0)对称 解析：选BCD　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．又f(1＋x)＝f(1－x)，所以f(1＋x)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x)＝－f(x＋2)，故f(x)＝f(x＋4)，所以f(x)是周期为4的周期函数，故选项A错误；由题意可知，f(x)的图象如图所示， 由f(x)的图象可得f(x)的值域为[－2,2]，其中x＝3是函数f(x)图象的一条对称轴，f(x)的图象关于点(－2,0)对称．故选BCD. 15．(2024·郑州模拟)已知函数f(x)满足：对于任意x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1≠x2，不等式<2恒成立．若f(x)是奇函数，且f(a)>2a，则实数a的取值范围是________． 解析：因为对于任意的x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1≠x2，都有<2，可转化为<0，所以g(x)＝f(x)－2x在R上单调递减(此处是解题的关键步骤，也可通过不妨设x1>x2，则f(x1)－f(x2)<2x1－2x2，即f(x1)－2x1<f(x2)－2x2，得到g(x)＝f(x)－2x在R上单调递减)． 又y＝f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，则g(0)＝f(0)－0＝0， 因为f(a)>2a，所以f(a)－2a>0，即g(a)>g(0)， 因为g(x)＝f(x)－2x在R上单调递减， 所以a<0，即不等式f(a)>2a的解集为{a|a<0}，故实数a的取值范围为(－∞，0)． 答案：(－∞，0) 16．已知f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝3f(x)f(y)，且f(1)＝. (1)证明f(x)是偶函数； (2)求(k)． 解：(1)证明：令x＝1，y＝0，得f(1＋0)＋f(1－0)＝3f(1)f(0)，所以f(0)＝. 令x＝0，得f(0＋y)＋f(0－y)＝3f(0)f(y)，所以f(－y)＝f(y)，所以f(x)是偶函数． (2)令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝3f(x)f(1)＝f(x)　①， 所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)　②， 由①，②知，f(x＋2)＋f(x－1)＝0， 所以f(x＋3)＋f(x)＝0，即f(x＋3)＝－f(x)， 所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以f(x)的周期是6. 由②式得，f(2)＋f(0)＝f(1)，所以f(2)＝－， 同理f(3)＋f(1)＝f(2)，所以f(3)＝－， 又由周期性和偶函数可得f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝，f(6)＝f(0)＝， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)＝0， 所以(k)＝337(k)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝－. 借题发挥：解答抽象函数问题的方法较多，其中用赋值法进行解答是一种行之有效的方法．赋值主要从以下方面考虑： (1)令x＝…，－2，－1,0,1,2…等特殊值求抽象函数的函数值； (2)令x＝x2，y＝x1或y＝，且x1<x2，判定抽象函数的单调性； (3)令y＝－x，判定抽象函数的奇偶性； (4)换x为x＋T，确定抽象函数的周期； (5)用x＝＋或换x为等来解答有关抽象函数的一些其他问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$