第1章 第6节 一元二次不等式恒成立问题(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（强基版）

第六节　一元二次不等式恒成立问题 题点一　在R上的恒成立问题 例1　若命题p：“∃x∈R，(k2－1)x2＋4(1－k)x＋3≤0”是假命题，则k的取值范围是(　 ) A．(1,7) B．[1,7) C．(－7,1) D．(－7,1] 解析：选B　因为命题“∃x∈R，(k2－1)x2＋4(1－k)x＋3≤0”是假命题，所以命题“∀x∈R，(k2－1)x2＋4(1－k)x＋3>0”是真命题， 若k2－1＝0，即k＝1或k＝－1， 当k＝1时，不等式为3>0，恒成立，满足题意； 当k＝－1时，不等式为8x＋3>0，不恒成立，不满足题意； 当k2－1≠0时， 则需要满足 即解得1<k<7， 综上所述，k的取值范围是[1,7)，故选B. [思维建模] 不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定． (1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 (2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 [针对训练] 1．已知关于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0对任意实数x都成立，则实数k的取值范围是(　 ) A．(－∞，－3]∪[1，＋∞) B．[－1,3] C．(－∞，1]∪[3，＋∞) D．[－3,1] 解析：选D　关于x的不等式x2－(k－1)x－k＋1≥0对任意实数x都成立，则Δ＝(k－1)2＋4(k－1)≤0，解得－3≤k≤1.故选D. 2．不等式 (a－2)x2＋4(a－2)x－12<0的解集为R，则实数a的取值范围是(　 ) A．{a|－1≤a<2} B．{a|－1<a≤2} C．{a|－1<a<2} D．{a|－1≤a≤2} 解析：选B　当a＝2时，原不等式为－12<0，满足解集为R；当a≠2时，根据题意得a－2<0，且Δ＝16(a－2)2－4(a－2)×(－12)<0，解得－1<a<2.综上，a的取值范围为{a|－1<a≤2}． 易错防范：二次项系数含参时，千万不要忽略参数为零的情况． 题点二　在给定区间上的恒成立问题 例2　设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围． 快审准解：解决此题可从两方面入手，一是函数法，对m＞0，m＜0分别讨论，从而确定g(x)在[1,3]上的单调性，求出最大值．二是分离参数，再求出对应函数在x∈[1,3]上的最大值． 解：法一　要使f(x)＜－m＋5在区间[1,3]上恒成立，则mx2－mx＋m－6＜0，即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立． 令g(x)＝m2＋m－6，x∈[1,3]， 当m＞0时，g(x)在区间[1,3]上单调递增，所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，所以m＜，则0＜m＜； 当m＜0时，g(x)在区间[1,3]上单调递减，所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，所以m＜6，所以m＜0. 综上所述，m的取值范围是. 法二　要使f(x)＜－m＋5在区间[1,3]上恒成立，则mx2－mx＋m－6＜0，即m(x2－x＋1)－6＜0. 又x2－x＋1＝2＋＞0，所以m＜. 因为函数y＝＝在区间[1,3]上的最小值为，所以只需m＜即可． 因为m≠0，所以m的取值范围是. [思维建模] 在给定区间上恒成立问题的求解策略 策略一 若f(x)＞0在给定集合上恒成立，可利用一元二次函数的图象转化为等价不等式(组)求范围 策略二 转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a,即n≤a [针对训练] 3．对任意的x∈[－1,1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a<0恒成立，则实数a的取值范围为(　 ) A．[3，＋∞) B．(3，＋∞) C．(－∞，3] D．(－∞，3) 解析：选B　令f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a，f(x)的图象开口向上，由f(x)<0在x∈[－1,1]上恒成立，所以可得a>3. 4．设f(x)＝x2＋(a－1)x＋5，若函数f(x)在区间[1,4]上的图象位于直线y＝x＋1上方，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－2，＋∞) B．[－2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－∞，－2] 解析：选A　由题意得，f(x)＝x2＋(a－1)x＋5>x＋1在区间[1,4]上恒成立，即a－2>－x－在区间[1,4]上恒成立，令y＝x＋，其图象如图所示，由图象知y≥4，所以a－2>－4，解得a>－2，故选A. 题点三　变换主元解决恒成立问题 例3　已知a∈[－1,1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为(　 ) A．(－∞，2)∪(3，＋∞) B．(－∞，1)∪(2，＋∞) C．(－∞，1)∪(3，＋∞) D．(1,3) 解析：选C　把不等式的左端看成关于a的函数， 记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4， 则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1,1]恒成立， 得f(－1)＝x2－5x＋6＞0，且f(1)＝x2－3x＋2＞0，解不等式组得x＜1或x＞3. [思维建模] 给定参数范围的恒成立问题，常采用变更主元的方法，即交换主元与参数的位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]上恒成立问题，若f(x)>0恒成立⇔即直线上两点的函数值均大于零，则由直线的特点可知，两点之间的所有点的函数值均大于零．同理，若f(x)<0恒成立⇔ [针对训练] 5．若mx2－mx－1<0对于m∈[1,2]恒成立，则实数x的取值范围为________． 解析：设g(m)＝mx2－mx－1＝(x2－x)m－1，其图象是直线，当m∈[1,2]时，图象为一条线段，则即 解得<x<，故x的取值范围为. 答案： [课时跟踪检测] 1．若二次函数f(x)＝ax2＋ax－1的图象都在x轴下方，则实数a的取值范围是(　 ) A．(－∞，0) B．(－4,0) C．(－∞，－4) D．(－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析：选B　因为二次函数f(x)＝ax2＋ax－1的图象都在x轴下方，所以f(x)<0，所以故－4<a<0，故选B. 2．若函数y＝的定义域为R，则实数k的取值范围是(　 ) A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．[1，＋∞) D．R 解析：选C　函数y＝的定义域为R，等价于kx2－2x＋1≥0恒成立，当k＝0时，显然不恒成立；当k≠0时，由k>0，Δ＝4－4k≤0，得k≥1.综上，实数k的取值范围为[1，＋∞)． 3．对任意的x∈(1,4)，不等式ax2－2x＋2>0都成立，则实数a的取值范围是(　 ) A．[1，＋∞) B. C. D. 解析：选D　∵对任意的x∈(1,4)，都有ax2－2x＋2>0恒成立，∴a>对任意的x∈(1,4)恒成立．设f(x)＝＝－＋＝－22＋，∵x∈(1,4)，∴<<1，∴当＝，即x＝2时，f(x)max＝.∴实数a的取值范围是. 4．若存在实数x，使得mx2－(m－2)x＋m<0成立，则实数m的取值范围为(　 ) A．(－∞，2) B．(－∞，0]∪ C. D．(－∞，1) 解析：选C　①当m＝0时，不等式化为2x<0，解得x<0，符合题意；②当m>0时，y＝mx2－(m－2)x＋m为图象开口向上的二次函数，只需Δ＝(m－2)2－4m2＝－3m2－4m＋4>0，即0<m<；③当m<0时，y＝mx2－(m－2)x＋m为图象开口向下的二次函数，则必存在实数x，使得mx2－(m－2)x＋m<0成立．综上所述，实数m的取值范围为. 5．若关于x的不等式x2－6x＋11－a≤0在区间(2,5)内有解，则实数a的取值范围是(　 ) A．[6，＋∞) B．(6，＋∞) C．[2，＋∞) D．(2，＋∞) 解析：选C　由关于x的不等式x2－6x＋11－a≤0在区间(2,5)内有解，得a≥x2－6x＋11在区间(2,5)内有解，从而a大于等于x2－6x＋11在区间(2,5)上的最小值．令f(x)＝x2－6x＋11，x∈(2,5)，函数图象开口向上，对称轴方程为x＝3，则f(x)在(2,3)上单调递减，在(3,5)上单调递增，则f(x)min＝f(3)＝9－18＋11＝2，得a≥2，所以实数a的取值范围是[2，＋∞)． 6．设函数f(x)＝2ax2－ax，命题“∃x∈[0,1]，f(x)≤－a＋3”是假命题，则实数a的取值范围为(　 ) A．(－∞，3) B．(3，＋∞) C. D. 解析：选C　因为命题“∃x∈[0,1]，f(x)≤－a＋3”是假命题，所以∀x∈[0,1]，f(x)>－a＋3是真命题，又f(x)>－a＋3可化为2ax2－ax>－a＋3，即a(2x2－x＋1)>3.当x∈[0,1]时，2x2－x＋1∈，所以a>在x∈[0,1]上恒成立，所以a>max.其中x∈[0,1]，当x＝时，2x2－x＋1有最小值为，此时有最大值为，所以a>.故实数a的取值范围为. 7．若不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值为________． 解析：∵当x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，∴a≥－恒成立．又当x∈[1,3]时，x＋≥2＝4，当且仅当x＝2时取等号．∴－≤－4，∴a≥－4，故a的最小值为－4. 答案：－4 8．若不等式(a－3)x2<(4a－2)x对a∈(0,1)恒成立，则x的取值范围是________________． 解析：由题意知(a－3)x2<(4a－2)x对a∈(0,1)恒成立，等价于(x2－4x)a－3x2＋2x<0对a∈(0,1)恒成立．令g(a)＝(x2－4x)a－3x2＋2x，当x＝0时，g(a)＝0，不满足题意；当x≠0时，则解得x≤－1或x≥. 答案：(－∞，－1]∪ 9．已知关于x的不等式2x2＋bx＋c<0的解集是{x|1<x<5}． (1)求b，c的值； (2)若对于任意x∈{x|1≤x≤3}，不等式2x2＋bx＋c≤2＋t恒成立，求实数t的取值范围． 解：(1)由题意，方程2x2＋bx＋c＝0的两根为1和5，由根与系数的关系可得，解得所以b＝－12，c＝10. (2)由(1)知，对任意x∈{x|1≤x≤3},2x2－12x＋10≤2＋t恒成立， 即任意x∈{x|1≤x≤3},2x2－12x＋8≤t恒成立， 令y＝2x2－12x＋8，x∈［1,3］，则ymax≤t恒成立， 因为函数y＝2x2－12x＋8在[1,3]上单调递减， 所以当x＝1时，ymax＝2－12＋8＝－2，即t≥－2， 所以实数t的取值范围为[－2，＋∞)． 10．已知函数f(x)＝ax2－bx＋c(a≠0)． (1)若不等式f(x)>0解集为{x|－2<x<3}，求不等式cx2＋ax＋2b<0的解集； (2)已知a＝1，c＝3，若命题“∀x∈，总有f(x)≥0”是假命题，求实数b的取值范围． 解：(1)关于x的不等式f(x)>0的解集为{x|－2<x<3}，所以方程ax2－bx＋c＝0的两根为－2,3，且a<0， 所以解得b＝a，c＝－6a. 所以不等式cx2＋ax＋2b<0可转化为－6ax2＋ax＋2a<0，即6x2－x－2<0，解得－<x<. 所以不等式cx2＋ax＋2b<0的解集为. (2)命题“∀x∈，总有f(x)≥0”是假命题， 所以它的否定命题“∃x∈，使得f(x)<0”是真命题．又a＝1，c＝3，所以不等式f(x)<0为x2－bx＋3<0， 即∃x∈，使得b>x＋成立． 因为y＝x＋在x∈单调递减，所以min＝4，所以b>4， 所以实数b的取值范围是(4，＋∞)． 11．已知不等式(4x2＋4ax＋1)(2x2＋x＋a)>0对于一切实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　因为4x2＋4ax＋1＝42＋1－a2,2x2＋x＋a＝22＋a－，令1－a2>0，即－1<a<1，此时4x2＋4ax＋1>0对于一切实数x恒成立，因此2x2＋x＋a>0对于一切实数x恒成立，所以a－>0，即a>，故<a<1；当1－a2≤0时，关于x的方程4x2＋4ax＋1＝0有实数解，即存在实数x使得(4x2＋4ax＋1)(2x2＋x＋a)＝0，不满足题意． 12．若“∀x∈(1,4]，x2－2ax＋9>0”是假命题，则实数a的取值范围为________． 解析：因为“∀x∈(1,4]，x2－2ax＋9>0”是假命题，所以“∃x∈(1,4]，x2－2ax＋9≤0”是真命题，即存在x∈(1,4]，使2a≥x＋成立．又x＋≥2＝6，当且仅当x＝，即x＝3时等号成立，所以2a≥6，解得a≥3. 答案：[3，＋∞) 13．设命题p：已知a>0，b>0，且a＋b＝ab，不等式a＋b≥m2－5m－2恒成立，命题q：存在x∈[－1,1]，使得不等式x2－2x＋m－1≤0成立，若命题p，q中有一个为真命题，一个为假命题，则实数m的取值范围是________． 解析：对于p：因为a＋b＝ab≤2，所以a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，因为m2－5m－2≤a＋b恒成立，则m2－5m－2≤4，即－1≤m≤6.对于q：存在x∈[－1,1]，使得不等式x2－2x＋m－1≤0成立，只需(x2－2x＋m－1)min≤0，而(x2－2x＋m－1)min＝－2＋m，所以－2＋m≤0，所以m≤2.因为p，q有一真一假，所以若q为假命题，p为真命题，则得2<m≤6；若p为假命题，q为真命题，则得m<－1.综上，m<－1或2<m≤6. 答案：(－∞，－1)∪(2,6] 14．已知关于x的不等式2x－1＞m(x2－1)． (1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于m∈[－2,2]恒成立，求实数x的取值范围． 解：(1)不存在．理由如下： 原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)＜0，当m＝0时，－2x＋1＜0不恒成立；当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，则需m＜0且Δ＝4－4m(1－m)＜0，无解，所以不存在实数m，使不等式恒成立． (2)设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，当m∈[－2,2]时，f(m)＜0恒成立． 则⇔ 由①得，＜x＜. 由②得，x＜或x＞.取交集，得＜x＜.所以实数x的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$