第1章 第5节 二次函数与一元二次方程、不等式(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（强基版）

第五节　二次函数与一元二次方程、不等式 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义． 2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集． 3．了解一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数方程的联系． 回首教材 1．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 2．(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 a<b a＝b a>b (x－a)·(x－b)>0 {x|x<a或x>b} {x|x≠a} {x|x<b或x>a} (x－a)·(x－b)<0 {x|a<x<b} ∅ {x|b<x<a} 3．分式不等式 (1)＞0(＜0)⇔f(x)·g(x)＞0(＜0)． (2)≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) 考题品悟 (2023·新课标Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝( C ) A．{－2，－1,0,1}　 B．{0,1,2} C．{－2} D．{2} 追根溯源 (人A必修①P55T3)已知M＝{x|4x2－4x－15>0}，N＝{x|x2－5x－6>0}，求M∩N，M∪N. 发现启迪 在高考中，一元二次不等式很少单独考查，多以辅助工具出现在题目中．两题都将不等式与集合进行融会命题，小考题体现出新高考的二大命题导向：一是教考衔接，二是注重综合融会贯通. 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1．(人A必修①P55T1改编)不等式－x2＋3x＋10>0的解集为(　 ) A．{x|－2<x<5} B．{x|x<－2或x>5} C．{x|－5<x<2} D．{x|x<－5或x>2} 答案：A 2．(人B必修①P75T5改编)设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　 ) A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} 解析：选B　不等式变形为(x－m)(x＋n)<0，方程(x－m)(x＋n)＝0的两根为m，－n，显然由m＋n>0得m>－n，所以不等式的解为－n<x<m. 3．(人A必修①P50“思考”：一元二次方程的根与不等式解集端点值的关系)二次函数y＝ax2＋bx＋2使函数值大于0的x范围是，则a＋b＝________. 解析：依题意知解得故a＋b＝－14. 答案：－14 4．(湘教必修①P55例9改编)甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润100元．要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则x的最小值是________． 解析：要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，则2×100≥3 000，整理得5x－14－≥0.又1≤x≤10，所以5x2－14x－3≥0，解得3≤x≤10.故x的最小值是3. 答案：3 B组——迷点盲点的澄清训练 1．(忽视分母不等于0)不等式≤0的解集为________． 解析：由≤0，则解得－2<x≤. 答案： 2．(忽视二次项系数的符号)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为[－2,3]，则不等式cx2－bx＋a≤0的解集为________． 解析：由题意且a<0，所以b＝－a，c＝－6a，不等式cx2－bx＋a≤0为－6ax2＋ax＋a≤0,6x2－x－1≤0，解得－≤x≤. 答案： 题点一　不含参数的一元二次不等式的解法(自主练通) 1．若集合A＝{x|－x2＋3x＋10≥0，x∈Z}，B＝{x|2x2－x－6>0，x∈Z}，则A∩B的子集有(　 ) A．15个 B．16个 C．7个 D．8个 解析：选B　因为A＝{x|－2≤x≤5，x∈Z}，B＝{x|x>2或x<－，x∈Z}，所以A∩B＝＝{－2,3,4,5}，它有24＝16个子集． 2．正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋≥m2－3m恒成立，则实数m的取值范围为(　 ) A．(－4,1) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C．[－1,4] D．(－∞，－1]∪[4，＋∞) 解析：选C　正实数x，y满足＋＝1，则x＋＝＝1＋＋＋1≥2＋2＝4，当且仅当＝，即y＝4x且＋＝1时，等号成立，即x＝2，y＝8时，x＋取到最小值4.要使不等式x＋≥m2－3m恒成立，即m2－3m≤4，解得－1≤m≤4，所以实数m的取值范围是[－1,4]． 3．不等式≥0的解集为______________． 解析：原不等式等价于或解得x≥1或－3≤x<－1. 答案：[－3，－1)∪[1，＋∞) 4．要在长为800 m，宽为600 m的一块长方形地面上进行绿化，要求四周种花卉(花卉的宽度相同)，中间种草皮．要求草皮的面积不少于总面积的一半，则花卉宽度的范围是________． 解析：设花卉宽度为x m，显然x<300，则草皮面积为S＝(800－2x)(600－2x)，由(800－2x)(600－2x)≥×800×600，整理得(x－100)(x－600)≥0，又0<x<300，故解得0<x≤100. 答案：(0,100] [思维建模] 解一元二次不等式的4个步骤 (1)把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)计算对应方程的判别式． (3)求出对应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有没有实根． (4)利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 题点二　含参数的一元二次不等式的解法 例1　解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0. 解：原不等式变形为(ax－1)(x－1)＜0， ①当a＞0时，原不等式可化为(x－1)＜0， 所以当a＞1时，解得＜x＜1； 当a＝1时，解集为∅；当0＜a＜1时，解得1＜x＜. ②当a＝0时，原不等式等价于－x＋1＜0，即x＞1. ③当a＜0时，＜1，原不等式可化为(x－1)＞0，解得x＞1或x＜. 综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为； 当a＝1时，不等式的解集为∅； 当a＞1时，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}； 当a＜0时，不等式的解集为. [思维建模] 含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论． (1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论． (2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式Δ的正负，以便确定解集的形式． (3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集． [针对训练] 1．解关于x的不等式x2－ax＋1≤0. 解：由题意知，Δ＝a2－4， ①当a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝， 所以解集为. ②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2. 当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0，即(x－1)2≤0，所以x＝1；当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，即(x＋1)2≤0，所以x＝－1. ③当Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2时，原不等式的解集为∅. 综上，当a＞2或a＜－2时，原不等式的解集为； 当a＝2时，原不等式的解集为{1}； 当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}； 当－2＜a＜2时，原不等式的解集为∅. 题点三　三个“二次”之间的关系 例2　[多选]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是{x|x≤－2或x≥6}，则下列说法正确的是(　 ) A．a<0 B．不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－3} C．不等式cx2－bx＋a<0的解集是 D．a＋b＋c>0 解析：选ACD　因为关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是{x|x≤－2或x≥6}，则a<0，A正确；由题意可知，关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为x1＝－2，x2＝6，由根与系数的关系可得6－2＝－，可得b＝－4a，－2×6＝，得c＝－12a，由bx＋c>0可得－4ax－12a>0，解得x>－3，B错误；由cx2－bx＋a<0可得－12ax2＋4ax＋a<0，即12x2－4x－1<0，解得－<x<，因此，不等式cx2－bx＋a<0的解集是，C正确；a＋b＋c＝－15a>0，D正确． [思维建模] (1)一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值． (2)给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数． [针对训练] 2．[多选]若关于x的二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为，则下列说法正确的是(　 ) A．a<0 B．a＋b＝－5 C．ax2＋x－b>0的解集是 D．ax2＋x－b>0的解集是∪(1，＋∞) 解析：选ABC　因为ax2＋bx＋1>0的解集是，所以a<0，且ax2＋bx＋1＝0的两个实数根是x1＝－1，x2＝，即－＝－，＝－，解得a＝－3，b＝－2，故A、B正确；ax2＋x－b>0⇔－3x2＋x－(－2)>0，其解集为，故C正确，D不正确． 3．关于x的不等式x2－2ax－8a2<0解集为(x1，x2)，且x－x＝15，则实数a＝(　 ) A.　 B．－　 C．－或　 D．－或 解析：选B　∵x2－2ax－8a2<0的解集为(x1，x2)，∴x1，x2为方程x2－2ax－8a2＝0的解．∴x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.又x－x＝15，∴(x－x)2＝225.∴[(x1＋x2)2－2x1x2]2－4(x1x2)2＝225.∴144a4＝225，∴a2＝.根据不等式x2－2ax－8a2<0的解集为(x1，x2)，又x－x＝15，可得x1<x2且|x1|>|x2|，故二次函数y＝x2－2ax－8a2的对称轴在y轴左侧，即a<0，∴a＝－. 一元二次方程的根的分布情况 一元二次方程的根的分布情况多样，比较复杂，常结合二次函数的图象从判别式“Δ”、端点函数值、对称轴三方面入手综合考虑．设二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)对应方程ax2＋bx＋c＝0的根为x1，x2，其根的分布情况如下： 根的分布情况 x1＜x2＜m m＜x1＜x2 x1＜m＜x2 图象的大致形状 满足条件 f(m)＜0 根的分布情况 m＜x1＜x2＜n m＜x1＜n＜x2＜p 只有一根在(m，n)之间 图象的大致形状 满足条件 或f(m)·f(n)＜0 或 或 [应用体验] 1．若方程mx2＋(m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实根，则实数m的取值范围为_________． 解析：∵方程有两个不相等的实根， ∴即∴ ∴解得－＜m＜0或0＜m＜1. 故实数m的取值范围为∪(0,1)． 答案：∪(0,1) 2．(变条件)将第1题中“有两个不相等的实根”改为“有两个不相等的负根”，则m的取值范围为________． 解析：∵方程有两个不相等的负根， ∴解得0＜m＜1. 故m的取值范围为(0,1)． 答案：(0,1) 3．(变条件)将第1题中“有两个不相等的实根”改为“一个根大于0且小于1，另一个根大于1”，则m的取值范围为________． 解析：由于方程有两个不相等的实根，所以m≠0，令f(x)＝mx2＋(m＋1)x＋m，根据题意画出满足“一个根大于0且小于1，另一个根大于1”的二次函数的大致图象，如图所示． 由图象可知，要使方程f(x)＝0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1，则当m＞0时，当m＜0时，即解得－＜m＜0.故m的取值范围为. 答案： 4．若f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4满足有两个零点且均比－1大，求m的取值范围． 解：设f(x)的两个零点分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2m，x1x2＝3m＋4.由题意知 即解得 ∴－5＜m＜－1.故m的取值范围为(－5，－1)． [课时跟踪检测] 1．不等式≥0的解集为(　 ) A．{x|0≤x≤1} B．{x|0<x≤1} C．{x|x≤0或x≥1} D．{x|x<0或x＝1} 解析：选B　由原式得x(1－x)≥0且x≠0，解得0<x≤1，即不等式的解集为{x|0<x≤1}． 2．已知集合A＝{x|x2－5x＋4<0}，B＝{x|x2－x－6<0}，则A∩B＝(　 ) A．(－2,3) B．(1,3) C．(3,4) D．(－2,4) 解析：选B　A＝{x|x2－5x＋4<0}＝{x|1＜x＜4}，B＝{x|x2－x－6<0}＝{x|－2＜x＜3}，所以A∩B＝(1,3)． 3．不等式(x2－7x＋12)(x2＋x＋1)>0的解集为(　 ) A．(－∞，－4)∪(－3，＋∞) B．(－∞，3)∪(4，＋∞) C．(－4，－3) D．(3,4) 解析：选B　因为x2＋x＋1＝2＋>0恒成立，故不等式(x2－7x＋12)(x2＋x＋1)>0等价于x2－7x＋12>0，即(x－3)(x－4)>0，解得x>4或x<3.故不等式的解集为(－∞，3)∪(4，＋∞)． 4．[多选]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，则下列说法正确的是(　 ) A．a<0 B．bc<0 C．b＋c＝a D．a－b＋c>0 解析：选ABC　因为ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，所以a<0，且方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为2,3，由根与系数的关系可知结合a<0，解得b＝－5a>0，c＝6a<0，所以bc<0，所以A、B正确；因为b＋c＝－5a＋6a＝a<0，所以C正确；因为a－b＋c＝a＋5a＋6a＝12a<0，所以D错误． 5．若t>1，则关于x的不等式(t－x)>0的解集是(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　因为t－＝，t>1，所以t－>0，所以t>.原不等式(t－x)>0可化为(x－t)<0，解得<x<t.所以不等式(t－x)>0的解集为. 6．若不等式－2<x2＋mx－m2<1的解集为(n,2)，则m－n＝(　 ) A．－2 B．－1 C．0 D．1 解析：选C　因为不等式－2<x2＋mx－m2<1的解集为(n,2)，又y＝x2＋mx－m2开口向上，所以有n≤－≤2，且最小值大于－2，即－m2>－2，解得m2<.又x2＋mx－m2＝1的两个根为n,2，所以解得或当时，不符合m2<，故舍去，所以所以m－n＝0. 7．已知实数a为常数，且a≠0，函数f(x)＝(ax－1)(x－a)．甲同学：f(x)>0的解集为(－∞，a)∪；乙同学：f(x)<0的解集为(－∞，a)∪；丙同学：f(x)的极值为负数．在这三个同学中，只有一个同学的论述是错误的，则a的取值范围为(　 ) A．(－∞，－1) B．(－1,0) C．(0,1) D．(1，＋∞) 解析：选C　若甲正确，则a>0，且>a，所以a2<1，则0<a<1；若乙正确，则a<0，且a<，所以a2>1，故a<－1；若丙正确，因为f(x)是二次函数，且有两个零点，同时极值为负数，所以f(x)的图象开口向上即可，故a>0.因为只有一个同学是错误的，只能乙错，故0<a<1.故选C. 8．已知关于x的不等式ax＋b>0的解集为(－3，＋∞)，则关于x的不等式ax2＋bx<0的解集为________． 解析：由ax＋b>0的解集为(－3，＋∞)，可得a>0，且方程ax＋b＝0的解为－3，所以－＝－3，即b＝3a.所以ax2＋bx＝a(x2＋3x)<0⇒x2＋3x<0⇒－3<x<0，即关于x的不等式ax2＋bx<0的解集为(－3,0)． 答案：(－3,0) 9．已知关于x的不等式a2x2－ax－2≤0的解集为M，若－1∈M，则实数a的取值范围为________． 解析：因为关于x的不等式a2x2－ax－2≤0的解集为M且－1∈M，所以a2×(－1)2－a×(－1)－2≤0，即a2＋a－2≤0，即(a＋2)(a－1)≤0， 解得－2≤a≤1，即实数a的取值范围为[－2,1]． 答案：[－2,1] 10．为配制一种药液，进行了二次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出10升后用水补满，搅拌均匀第二次倒出8升后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则V的取值范围为________． 解析：第一次操作后，剩下的纯药液为V－10， 第二次操作后，剩下的纯药液为V－10－×8，由题意可知， V－10－×8≤V·60%⇒V2－45V＋200≤0⇒5≤V≤40， 因为V≥10，所以10≤V≤40. 答案：［10，40］ 11．已知关于x的不等式ax2－3x＋6>0的解集为{x|b<x<1}(其中b<1)． (1)求实数a，b的值； (2)解不等式(x－1)(ax－b)>－1. 解：(1)由题意可知，方程ax2－3x＋6＝0的两根分别为x1＝1，x2＝b， 所以解得 (2)由(x－1)(－3x＋2)>－1，得3x2－5x＋1<0，解得<x<.因此，原不等式的解集为. 12.如图所示，已知边长为8 m的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4 m，CD＝6 m．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上． (1)设MP＝x m，矩形BNPM的面积为S m2，试写出x的取值范围及S与x的关系式； (2)要使矩形BNPM的面积不小于42 m2，试求x的取值范围． 解：(1)设PN＝y，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4， 因为△EDF∽△EPQ，所以＝，所以＝，所以y＝－x＋10， 设矩形BNPM的面积为S，则S＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，x∈[4,8]． (2)依题意S＝－(x－10)2＋50≥42，解得6≤x≤14，又4≤x≤8， 所以6≤x≤8，故x的取值范围为[6,8]． 13．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是(　 ) A．[－4,3] B．[－4,2] C．[－1,3] D．[－2,2] 解析：选A　原不等式可化为(x－a)(x－1)≤0，当a＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a＜1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a＞1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1＜a≤3，综上可得－4≤a≤3. 特别提醒：一元二次不等式解法(含参问题)讨论三原则 (1)最高项系数含参，从参数等于0开始讨论 如2a2x2－3ax－2＞0，最高项系数为2a2，讨论时，从2a2＝0开始讨论． (2)两根大小不确定，从两根相等开始讨论 如x2＋(1－a)x－a＝(x－a)(x＋1)＜0两根分别为x1＝a，x2＝－1，讨论时从a＝－1开始讨论． (3)根是否在定义域内 如(x－1)(x＋1)＜0，x∈(0,1)，此时两根x1＝－1，x2＝1，讨论时注意x1＝－1∉(0,1)(舍去)． 14.(2024·苏州质检)已知关于x的不等式ax2＋bx＋1>0的解集为(－∞，m)∪，其中m<0，则＋的最小值为(　 ) A．－2 B．2 C．2 D．3 解析：选D　因为ax2＋bx＋1>0的解集为(－∞，m)∪，所以a>0，且m，是方程ax2＋bx＋1＝0的两根，所以m·＝，得a＝1，所以m＋＝－＝－b，即b＝－，当m<0时，b＝－＝－m＋≥2＝2，当且仅当m＝，即m＝－1时取等号，令f(b)＝＋＝b＋(b≥2)，由对勾函数的性质可知函数f(b)在(2，＋∞)上单调递增，所以f(b)≥f(2)＝2＋1＝3，＋的最小值为3.故选D. 15．关于x的不等式ax2＋(1－2a2)x－2a<0的解集中恰有3个正整数解，则a的取值范围为________． 解析：①当a＝0时，不等式化为x<0，则解集中有无数个整数，不满足题意，当a≠0时，不等式ax2＋(1－2a2)x－2a<0的解集中恰有3个正整数解即为不等式(ax＋1)(x－2a)<0的解集中恰有3个正整数解，②当a<0时，不等式(ax＋1)(x－2a)<0的解集中有无数个正整数，不满足题意，③当a>0时，－<0,2a>0，所以－<2a，所以不等式的解集为，由解集知0一定属于此集合，则由不等式的解集中恰有3个正整数，则这3个正整数一定为1,2,3，则3<2a≤4⇒<a≤2. 答案： 16．解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R)． 解：原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0. ①当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0，解得x≤－1. ②当a＞0时，原不等式可化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1. ③当a＜0时，原不等式可化为(x＋1)≤0. 当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤； 当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1； 当＜－1，即－2＜a＜0时，解得≤x≤－1. 综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}； 当a＞0时，不等式的解集为； 当－2＜a＜0时，不等式的解集为； 当a＝－2时，不等式的解集为{－1}； 当a＜－2时，不等式的解集为. 学科网（北京）股份有限公司 $$