第1章 第2节 常用逻辑用语(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（强基版）

第二节　常用逻辑用语 1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义． 2．理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系．数学定义与充要条件的关系． 3．理解全称量词命题与存在量词命题的意义，能正确对两种命题进行否定． 回首教材 1．充分条件、必要条件与充要条件 (1)如果p⇒q，则p是q的充分条件； (2)如果q⇒p，则p是q的必要条件； (3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件． 2．充分、必要条件与对应集合间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}， (1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件． (2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (3)若A＝B，则p是q的充要条件． 3．全称量词和存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有的、一切、任意一个、每一个、任给等 ∀ 存在量词 存在一个、至少有一个、有些、对某些等 ∃ 4．全称(存在)量词命题及含一个量词的命题的否定 命题名称 语言表示 符号表示 命题的否定 全称量词命题 对M中任意一个x，p(x)成立 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，綈p(x) 存在量词命题 存在M中的元素x，p(x)成立 ∃x∈M，p(x) ∀x∈M，綈p(x) [微点提醒] (1)区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同． (2)p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件． (3)命题p和綈p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假． 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) 考题品悟 (2023·天津高考)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的( B ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 追根溯源 (人A必修①P23T5)设a，b，c∈R，证明a2＋b2＋c2＝ab＋ac＋bc的充要条件是a＝b＝c. 发现启迪 两题均涉及完全平方公式，高考题在教材题的基础上，减少了一个字母，看似简单了，其实难度增加了(a与b的关系不唯一)．解决此类问题的关键不但要准确理解充分、必要条件的关系，还要纵向掌握学过的数学知识. 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1．(人A必修①P22T2改编)命题“三角形是等腰三角形”是命题“三角形是等边三角形”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”，但反之不成立． 2．(苏教必修①P46“探究拓展”素材发掘命题)《墨经》上说：“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也．”则“有之必然”表述的数学关系一定是(　 ) A．充分条件 　　 B．必要条件 C．既不充分也不必要条件 　　 D．不能确定 解析：选A　由“小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之必然，若见之成见也”知“大故”必然有其原因，有其原因必然会发生，所以“有之必然”所表述的数学关系一定是充分条件． 3．(人A必修①P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是________________． 答案：任意一个偶数都不是素数 4．(人B必修①P38T5改编)已知A＝(－∞，a]，B＝(－∞，3)，且x∈A是x∈B的充分不必要条件，则a的取值范围为________． 解析：因为x∈A是x∈B的充分不必要条件，所以AB，所以a＜3. 答案：(－∞，3) B组——迷点盲点的澄清训练 1．(忽视含量词命题的否定规则)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≤x2”的否定是(　 ) A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2 B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2 C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＞x2 D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＞x2 解析：选D　含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”，可知选D. 2．(混淆充分不必要与必要不充分条件)若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________． 解析：因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，由图可知m>3. 答案：(3，＋∞) 题点一　充分、必要条件的判断 例1　(2022·浙江高考)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　由sin x＝1，得x＝2kπ＋(k∈Z)，则cos＝cos＝0，故充分性成立；又由cos x＝0，得x＝kπ＋(k∈Z)，而sin＝1或－1，故必要性不成立．所以“sin x＝1”是“cos x＝0”的充分不必要条件，故选A. 例2　(2023·北京高考)若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C　充分性：因为xy≠0，且x＋y＝0， 所以x＝－y，所以＋＝－2，所以充分性成立． 必要性：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0，所以必要性成立，故选C. [思维建模] 判断充分、必要条件的2种方法 定义法 直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．在判断时，确定条件是什么、结论是什么 集合法 利用集合中包含思想判定．抓住“以小推大”的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必要性的问题 [针对训练] 1．设x∈R，则“|x－1|>1”是“x>3”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　|x－1|>1，解得x>2或x<0，由于{x|x>3}{x|x>2或x<0}，则“|x－1|>1”是“x>3”的必要不充分条件． 2．已知a∈R，若集合M＝{1，a}，N＝{－1,0,1}，则“a＝0”是“M⊆N”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　当a＝0时，集合M＝{1,0}，N＝{－1，0,1}，可得M⊆N，满足充分性；若M⊆N，则a＝0或a＝－1，不满足必要性．所以“a＝0”是“M⊆N”的充分不必要条件． 题点二　充分、必要条件的应用 例3　(2024·沈阳模拟)已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|(x－m－1)(x－2m＋1)<0}，若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为(　 ) A．[－3,2] B．[－1,3] C. D. 解析：选C　讨论m的范围确定集合B，根据题意推出BA，列不等式组求解． 由题意集合A＝[－3,4]，若m>2，则2m－1>m＋1，此时B＝(m＋1,2m－1)， 因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，故BA， 故所以2<m≤； 若m<2，则2m－1<m＋1，此时B＝(2m－1，m＋1)， 因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，故BA， 故所以－1≤m<2； 若m＝2，则2m－1＝m＋1，此时B＝∅，满足BA， 综上可得m∈，故选C. [思维建模] 由充分、必要条件求参数范围的策略 巧用转化求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形 端点值慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍 [针对训练] 3．(易错题)若集合A＝{x|x>2}，B＝{x|bx>1}，其中b为实数． (1)若A是B的充要条件，则b＝________； (2)若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是________． 解析：(1)由已知可得A＝B，则x＝2是方程bx＝1的解，且有b>0，解得b＝. (2)若不等式bx>1对任意的x>2恒成立，则b>对任意的x>2恒成立，当x>2时，∈，则b≥，因为A是B的充分不必要条件，故b的取值范围是. 答案：(1)　(2) 易错防范 “p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”，前者是p⇒q且qp，后者是pq 且q⇒p，这种推导关系极易混淆． 易错再练 已知集合A＝{x|1<2x<8，x∈R}，B＝{x|m＋1<x<3，x∈R}．若“x∈B”成立的一个充分不必要的条件是“x∈A”，则实数m的取值范围是________． 答案：(－∞，－1) 题点三　全称量词与存在量词 考法(一)　含量词命题的否定　 例4　(2024·郑州统考)命题：∀x∈R，x＋ln x>0的否定是(　 ) A．∀x∉R，x＋ln x>0 B．∀x∉R，x＋ln x≤0 C．∃x∈R，x＋ln x>0 D．∃x∈R，x＋ln x≤0 解析：选D　由全称量词命题的否定为存在量词命题，得原命题的否定为∃x∈R，x＋ln x≤0. |思维建模|　含量词命题否定的步骤 改写量词 确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写 否定结论 对原命题的结论进行否定 考法(二)　含量词命题的真假判断　 例5　[多选]下列命题的否定是真命题的有(　 ) A．某些平行四边形是菱形 B．∃x∈R，x2－3x＋3<0 C．∀x∈R，|x|＋x2≥0 D．∀x∈R，x2－ax＋1＝0有实数解 解析：选BD　对于A，某些平行四边形是菱形，是真命题；对于B，因为Δ＝9－12＝－3<0，所以原命题是假命题；对于C，∀x∈R，|x|＋x2≥0，是真命题；对于D，只有Δ＝a2－4≥0，即a≤－2或a≥2时，x2－ax＋1＝0有实数解，是假命题；根据原命题和它的否定真假相反的法则判断，选项B、D中，原命题的否定是真命题． |思维建模|　含量词命题真假判断的方法 要判断全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可． 考法(三)　由含量词命题的真假求参数　 例6　已知命题p：∃x∈(－1,3)，x2－a－2≤0.若p为假命题，则a的取值范围为________． 解析：∵p为假命题，∴綈p：∀x∈(－1,3)，x2－a－2>0 为真命题，故a<x2－2.∵y＝x2－2在(－1,3)内的最小值为－2，∴a<－2. 答案：(－∞，－2) |思维建模|　由含量词命题的真假求参数的思路 与全称(存在)量词命题真假有关的参数取值范围问题的本质是恒成立问题或有解问题．解决此类问题时，一般先利用等价转化思想将条件合理转化，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或范围． [针对训练] 4．[多选]下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的是(　 ) A．∃x∈R，x2－x＋<0 B．所有的正方形都是矩形 C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0 D．至少有一个实数x，使x3＋1＝0 解析：选AC　A项，原命题的否定为∀x∈R，x2－x＋≥0，是全称量词命题，因为x2－x＋＝2≥0，所以原命题的否定为真命题，所以该选项符合题意；B项，原命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题，所以该选项不符合题意；C项，原命题为存在量词命题，所以其否定为全称量词命题，对于方程x2＋2x＋2＝0，Δ＝22－8＝－4<0，所以x2＋2x＋2>0，所以原命题为假命题，即其否定为真命题，所以该选项符合题意；D项，原命题的否定为对于任意实数x，都有x3＋1≠0，如x＝－1时，x3＋1＝0，所以原命题的否定不是真命题，所以该选项不符合题意． 5．已知命题p：对于任意x∈[1,2]，都有x2－a≥0；命题q：存在x∈R，使得x2＋2ax＋2－a＝0.若p与q中至少有一个是假命题，则实数a的取值范围为________． 快审准解：先根据命题p为真和命题q为真，求得a的范围，再求得命题p和命题q同时为真的a的范围，再求补集即可． 解析：若命题p为真，则对于任意x∈[1,2]，都有a≤(x2)min＝1，即a≤1；若命题q为真，则方程x2＋2ax＋2－a＝0有解．则有Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即 a2＋a－2≥0，解得 a≥1或a≤－2.若p与q都是真命题，则a≤－2或a＝1，所以若p与q中至少有一个是假命题，则a>－2且a≠1. 答案：(－2,1)∪(1，＋∞) [课时跟踪检测] 1．设命题p：∀n∈N，n2<3n＋4，则p的否定为(　 ) A．∀n∈N，n2>3n＋4 B．∀n∈N，n2≥3n＋4 C．∃n∈N，n2≥3n＋4 D．∃n∈N，n2>3n＋4 解析：选C　因为命题p：∀n∈N，n2<3n＋4，所以p的否定为∃n∈N，n2≥3n＋4. 2．“a2<1”是“a<2”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　因为a2<1⇒－1<a<1，(－1,1)(－∞，2)，故选A. 3．命题“有些三角形是直角三角形”的否定为(　 ) A．所有三角形都是直角三角形 B．所有三角形都不是直角三角形 C．有些三角形不是直角三角形 D．有些三角形不是锐角三角形 答案：B 4．“n是3的倍数”是“n是6的倍数”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　若“n是3的倍数”，当n＝3时，不满足“n是6的倍数”，故不满足充分性；若满足“n是6的倍数”，则必是3的倍数，故满足必要性． 5．[多选]下列选项中，能说明“∀x∈(－∞，2)，都有x2<4”为假命题的x取值可以为(　 ) A．－4 B．－2 C．0 D．3 解析：选AB　法一　易知－4∈(－∞，2)，但(－4)2＝16>4，此时为假命题，即A正确；同理－2∈(－∞，2)，但(－2)2＝4，此时为假命题，即B正确；而0∈(－∞，2)，但02＝0<4，此时为真命题，即C错误；显然3∉(－∞，2)，可得D错误． 法二　由x2<4，得－2<x<2，若∀x∈(－∞，2)，都有x2<4为假命题，则x∈(－∞，－2]，故选AB. 6．[多选]下列四个命题，是真命题的为(　 ) A．有些不相似的三角形面积相等 B．∃x∈Q，x2＝2 C．∃x∈R，x2＋1＝0 D．有一个实数的倒数是它本身 解析：选AD　选项A，有些不相似的三角形面积相等，如：等底等高的直角三角形与正三角形不相似，面积相等，∴A为真命题；选项B，x2＝2⇔x＝±，命题“∃x∈Q，x＝±”是假命题，∴B为假命题；选项C，命题“∃x∈R，x2＋1＝0”，它的否定是“∀x∈R，x2＋1≠0”，是真命题，∴C为假命题；选项D，存在实数1，它的倒数是它本身，∴D为真命题．故选AD. 7．若“0<x<3”是“x>log2a”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是(　 ) A．(1,8) B．(0,1) C．(0,1] D．(0，＋∞) 解析：选C　因为“0<x<3”是“x>log2a”的充分不必要条件，所以(0,3)(log2a，＋∞)，所以log2a≤0＝log21，解得0<a≤1，故实数a的取值范围是(0,1]． 8．已知向量a＝(1,1)，b＝(x，－1)，则“(a＋b)⊥b”是“x＝0”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　由向量a＝(1,1)，b＝(x，－1)，可得a＋b＝(x＋1,0)，若(a＋b)⊥b，可得(a＋b)·b＝x(x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－1，所以“(a＋b)⊥b”是“x＝0”的必要不充分条件． 9．(2024·杭州一模)已知符号函数sgn(x)＝则“sgn(a)×sgn(b)>0”是“ab>0”的(　 ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　若sgn(a)×sgn(b)>0，则sgn(a)，sgn(b)同号，所以或即或即ab>0，所以“sgn(a)×sgn(b)>0”是“ab>0”的充要条件． 10．若p：实数a使得“∃x∈R，x2＋2x＋a＝0”为真命题，q：实数a使得“∀x∈[1，＋∞)，x2－a>0”为真命题，则q是p的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　对于p：∃x∈R，x2＋2x＋a＝0，所以Δ＝4－4a≥0⇒a≤1.对于q：∀x∈[1，＋∞)，x2－a>0，因为y＝x2－a在[1，＋∞)上单调递增，所以ymin＝1－a>0⇒a<1，所以q是p的充分不必要条件． 11．[多选]下列命题正确的是(　 ) A．“a>1”是“<1”的充分不必要条件 B．命题“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1” C．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的必要不充分条件 D．设a，b∈R，则“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件 解析：选ABD　若<1，则a>1或a<0，则“a>1”是“<1”的充分不必要条件，故A正确；根据存在量词命题的否定为全称量词命题，得“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是“∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1”，故B正确；当x≥2且y≥2时，x2＋y2≥4，当x2＋y2≥4时却不一定有x≥2且y≥2，如x＝5，y＝0，因此“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件，故C错误；因为“ab＝0”是“a＝0”的必要不充分条件，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确．故选ABD. 12．甲、乙、丙、丁四位同学在玩一个猜数字游戏，甲、乙、丙共同写出三个集合：A＝{x|0<Δx<2}，B＝{x|－3≤x≤5}，C＝，然后他们三人各用一句话来正确的描述“Δ”中的数字，让丁同学找出该数字，以下是甲、乙、丙三位同学的描述，甲：此数为小于5的正整数；乙：B是A成立的必要不充分条件；丙：C是A成立的充分不必要条件．则“Δ”中的数字可以是(　 ) A．3或4 B．2或3 C．1或2 D．1或3 解析：选C　因为此数为小于5的正整数，故A＝{x|0<Δx<2}＝，因为B是A成立的必要不充分条件，C是A成立的充分不必要条件，所以C是A的真子集，A是B的真子集，故>且≤5，解得Δ∈，故“Δ”中的数字可以是1或2. 13．命题“∃x∈R，|x|＋≥0”的否定是________． 解析：存在量词命题的否定，先把存在量词改为全称量词，再把结论进行否定即可，命题“∃x∈R，|x|＋≥0”的否定是“∀x∈R，|x|＋<0”． 答案：∀x∈R，|x|＋<0 14．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不过第三象限的一个充分条件是____________(答案不唯一)． 解析：要使y＝kx＋b(k≠0)不过第三象限，则k<0且b>0，这是一个等价条件，故一个充分条件可取k＝－1，b＝1. 答案：k＝－1，b＝1 15．设命题p：0<ln(x－2)≤ln 3，命题q：(x－2m)·(x－2m－3)≤0.若q是p的必要不充分条件，则实数m的取值范围是____________． 解析：由p：0<ln(x－2)≤ln 3，得1<x－2≤3，即3<x≤5；由q：(x－2m)(x－2m－3)≤0，得2m≤x≤2m＋3.因为q是p的必要不充分条件，所以{x|3<x≤5}是{x|2m≤x≤2m＋3}的真子集，所以解得1≤m≤. 答案： 16．已知命题：“∃x≥2，不等式x2－x－m≤0”是假命题． (1)求实数m的取值集合B； (2)设不等式(x－a)(x－a－1)<0的解集为A，若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 解：(1)∵“∃x≥2，不等式x2－x－m≤0”是假命题，∴命题：“∀x≥2，不等式x2－x－m>0”是真命题．∴∀x≥2，不等式m<x2－x恒成立．易知当x≥2时，f(x)＝x2－x单调递增，即f(x)＝x2－x≥2，∴m<2，即实数m的取值集合B＝{m|m<2}． (2)∵不等式(x－a)(x－a－1)<0的解集为{x|a<x<a＋1}， ∴A＝{x|a<x<a＋1}．∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，即A是B的真子集， ∴a＋1≤2，即a≤1，∴实数a的取值范围为(－∞，1]． 学科网（北京）股份有限公司 $$