第8章 第9节 定点、定值问题(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第九节　定点、定值问题 题点一　定点问题 例1　(2023·全国乙卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点A(－2,0)在C上． (1)求C的方程； (2)过点(－2,3)的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点． 解：(1)因为点A(－2,0)在C上，所以＝1，得b2＝4.因为椭圆的离心率e＝＝，所以c2＝a2，又a2＝b2＋c2＝4＋a2，所以a2＝9，b2＝4，故椭圆C的方程为＋＝1. (2)证明：由题意知，直线PQ的斜率存在且不为0， 设lPQ：y－3＝k(x＋2)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由得(4k2＋9)x2＋(16k2＋24k)x＋16k2＋48k＝0，则Δ＝(16k2＋24k)2－4(4k2＋9)·(16k2＋48k)＝－1 728k>0，故x1＋x2＝－，x1x2＝. 直线AP：y＝(x＋2)， 令x＝0，解得yM＝，同理得yN＝， 则＝ ＝ ＝ ＝ ＝＝3.所以MN的中点为定点(0,3)． [思维建模] 求定点问题的解题策略 (1)求解直线或曲线过定点问题的基本思路：把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)． [针对训练] 1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)经过点(，1)，且渐近线方程为y＝±x. (1)求C的方程； (2)若抛物线x2＝2py(p>0)与C的右支交于点A，B，证明：直线AB过定点． 解：(1)因为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)经过点(，1)，且渐近线方程为y＝±x， 所以－＝1，＝1，解得a＝b＝，所以C的方程为－＝1. (2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＝2py1，x＝2py2， 由可得y2－2py＋2＝0，Δ＝4p2－8>0，所以y1＋y2＝2p，y1y2＝2， 所以x1x2＝·＝2p， 因为kAB＝＝，所以直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)， 即y＝x－x1＋y1＝x－＝x－，所以直线AB过定点(0，－)． 题点二　定值问题 例2　已知P是圆C：(x＋2)2＋y2＝12上的一个动点，定点M(2,0)，线段PM的垂直平分线n与直线PC交于点T，记点T的轨迹为C′. (1)求C′的方程． (2)若直线l与曲线C′恰有一个公共点，且l与直线l1：y＝x，l2：y＝－x分别交于A，B两点，试证明△OAB的面积是定值(O为坐标原点)． 快审准解：(1)由题意可得|TP|＝|TM|，即可得到||TM|－|TC||＝2<|CM|，根据双曲线的定义得到点T的轨迹是以(2,0)，(－2,0)为焦点的双曲线，从而得解． (2)讨论直线l的斜率是否存在，当直线l的斜率存在时，设出直线方程，与双曲线方程联立，根据Δ＝0找到参数m，k之间的关系，再利用弦长公式求得|AB|，并用点到直线的距离公式求得三角形的高，求得面积．当直线l的斜率不存在时，得到此时三角形的面积．综上即可证明． 　 解：(1)由C：(x＋2)2＋y2＝12，可知C(－2,0)，圆C的半径r＝2， 连接TM，因为线段PM的垂直平分线n与直线PC交于点T，所以|TP|＝|TM|， 所以|TM|＝|TC|＋2或|TC|＝|TM|＋2，所以||TM|－|TC||＝2<|CM|＝4， 所以由双曲线的定义可知，点T的轨迹是以(2,0)，(－2,0)为焦点的双曲线， 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，易知2a＝2，c＝2，所以a＝，c＝2，b＝＝1， 所以C′的方程为－y2＝1. (2)证明：第1步：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程，分析斜率取值范围，与曲线C′方程联立． 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m， 因为直线l与直线l1：y＝x，l2：y＝－x分别交于A，B两点，所以k≠±. 由得关于x的方程(1－3k2)x2－6mkx－3m2－3＝0，因为k≠±，所以1－3k2≠0， 因为直线l与曲线C′恰有一个公共点， 所以Δ＝36m2k2＋4(1－3k2)(3m2＋3)＝0，即3k2＝m2＋1. 由得x＝－，即xA＝－. 第2步：根据弦长公式得|AB|，求点O到直线l的距离，得△OAB的面积． 同理可得xB＝－，则|AB|＝·|xA－xB|＝， 又原点O到直线l的距离d＝，所以S△OAB＝|AB|d＝. 因为3k2＝m2＋1，所以S△OAB＝. 第3步：当直线l的斜率不存在时，求直线l的方程，以及此时△OAB的面积，得出结论． 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝±，又渐近线方程为y＝±x，(易错提醒：本解答先求解直线斜率存在的情况，再对斜率不存在的情况补充说明，也可以反过来，先计算斜率不存在的情况，容易得到S△OAB＝，再计算斜率存在的情况，这样会有一个指引的作用) 此时|AB|＝2，S△OAB＝××2＝.综上，△OAB的面积为定值. [思维建模] 圆锥曲线中定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值． (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得． (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． [针对训练] 2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，|AF1|＝1，P是椭圆E上一点(异于顶点)，O是坐标原点，Q在线段PF2上，且OQ∥PF1，|OQ|＋|QP|＝2. (1)求椭圆E的标准方程； (2)若直线l与x轴交于点C、与椭圆E交于点M，N，B与N关于x轴对称，直线MB与x轴交于点D，证明：|OC|·|OD|为定值． 解：(1)由题知，O是线段F1F2的中点，Q在线段PF2上，OQ∥PF1， 则Q是线段PF2的中点， 可得|OQ|＝|PF1|，|QP|＝|PF2|， 所以|OQ|＋|QP|＝(|PF1|＋|PF2|)＝×2a＝2，即a＝2. 又因为|AF1|＝a－c＝1，所以c＝1， 可得b2＝a2－c2＝3， 所以椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)证明：由题意知直线MN，MB的斜率均存在且均不为零，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，C(m,0)，D(n,0)，则B(x2，－y2)， 可得直线MN的方程为y＝(x－m)，直线MB的方程为y＝(x－n)， 联立方程 消去y并整理得(3x－6mx2＋3m2＋4y)x2－8myx＋4m2y－12(x2－m)2＝0， 则Δ1>0，x1＋x2＝. 联立方程 消去y并整理得(3x－6nx2＋3n2＋4y)x2－8nyx＋4n2y－12(x2－n)2＝0， 则Δ2>0，x1＋x2＝. 因为 ＝， 即n(3x－6mx2＋3m2＋4y)＝m(3x－6nx2＋3n2＋4y)， 整理得3(m－n)x＋4(m－n)y＝3mn(m－n)， 当m≠n时，3mn＝3x＋4y＝12，即mn＝4； 当m＝n时，C，D，M三点重合或N，B，C，D四点重合，此时|m|＝|n|＝a＝2. 综上所述，|OC|·|OD|＝|mn|＝4，为定值． [课时跟踪检测] 1．(2024·南通开学考试)在直角坐标系xOy中，点P到点F(，0)的距离与到直线l：x＝的距离之比为，记动点P的轨迹为W. (1)求W的方程； (2)过W上两点A，B作斜率均为－的两条直线，与W的另两个交点分别为C，D.若直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值． 解：(1)设P(x，y)，由题意可知，＝⇒＋y2＝1，∴W的方程为＋y2＝1. (2)证明：设A(x0，y0)，C(x1，y1)， ∴AC的方程：y＝－(x－x0)＋y0，代入椭圆方程⇒x2＋4＝4， ∴2x2－(2x0＋4y0)x＋x＋4y＋4x0y0－4＝0， ∴x2－(x0＋2y0)x＋2x0y0＝0，∴x1x0＝2x0y0， ∴x1＝2y0，∴C，同理设B(x0′，y0′)，D(x2，y2)，∴D， ∴k1k2＝kAB·kCD＝·＝，为定值． 2．(2024·大庆模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)上的点M与焦点F的距离为，且点M的纵坐标为2. (1)求抛物线C的方程和点M的坐标； (2)若直线l与抛物线C相交于A，B两点，且MA⊥MB，证明直线l过定点． 解：(1)设M(x0,2)，则解得∴抛物线C：y2＝2x，M(2,2)． (2)证明：由题意知直线l斜率不为零，可设l：x＝my＋n，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得y2－2my－2n＝0，∴Δ＝4m2＋8n>0，即m2＋2n>0. ∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－2n. ∵kMA＝＝＝， kMB＝＝＝， 又MA⊥MB，∴kMA·kMB＝＝＝＝－1， 则n＝2m＋4(此时m2＋2n＝m2＋4m＋8＝(m＋2)2＋4>0成立)， ∴直线l：x＝my＋2m＋4＝m(y＋2)＋4,当y＝－2时，x＝4，∴直线l恒过定点(4，－2)． 3．(2024·河南联考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝2x，右焦点坐标为(，0)． (1)求C的方程； (2)若过点P(－2,0)的直线l与C交于A，B两点(A，B均在x轴上方)；线段AB的中点为M，点N在线段AB上，且满足|AN|·|BP|＝|AP|·|BN|，设直线OM，ON(O为坐标原点)的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值． 解：(1)因为C的一条渐近线方程为y＝2x，所以＝2，即b＝2a，又右焦点坐标为(，0)， 所以a2＋b2＝5，解得a＝1，b＝2， 所以C的方程为x2－＝1. (2)证明：设l：x＝ty－2，A(x1，y1)， B(x2，y2)， 由 可得(4t2－1)y2－16ty＋12＝0，则Δ＝(－16t)2－4(4t2－1)×12＝64t2＋48>0， 所以y1＋y2＝，y1y2＝. 因为直线l与双曲线C交于x轴上方的A，B两点， 所以解得t>， 所以yM＝＝， xM＝tyM－2＝， 所以M，所以k1＝＝4t. 由|AN|·|BP|＝|AP|·|BN|， 得＝，可得＝， 解得yN＝＝＝， 所以xN＝tyN－2＝－，所以N. 所以k2＝＝－， 于是k1k2＝4t·＝－12，为定值． 4．(2024·烟台模拟)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，右焦点F到渐近线的距离为.设M(x0，y0)是双曲线C2：－＝1上的动点，过M的两条直线l1，l2分别平行于C1的两条渐近线，与C1分别交于P，Q两点． (1)求C1的标准方程； (2)求证：直线PQ过定点，并求出该定点的坐标． 解：(1)因为C1的渐近线方程为y＝±x，所以＝，所以b＝a. 又右焦点F到渐近线的距离为，所以＝，得c＝. 又因为c2＝a2＋b2，所以a＝2，所以b＝. 所以双曲线C1的标准方程为－＝1. (2)证明：由(1)可知C2的方程为－＝1， 设M(x0，y0)，所以有－＝1， 过点M作与y＝x平行的直线与双曲线C1交于点P， 由得－＝1，整理得＝1， 所以x－x0＋y0＝， 由于－＝1， 故＝－， 则x＝x0－y0－＝－y0，故y＝(x－x0)＋y0＝－x0， 所以P， 同理可得Q. 所以直线PQ4y0y＝3x0x恒过定点(0,0)． 学科网（北京）股份有限公司 $$