第8章 第6节 双曲线(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第六节　双曲线 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率)． 2．会解双曲线中的焦点三角形，会求标准方程、渐近线、离心率等． 回首教材 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性 质 范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R 对称性 对称轴：坐标轴，对称中心：原点 顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) 实虚轴 线段A1A2是双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2是双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a是双曲线的实半轴长，b是双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0) 拓展教材(常见结论及应用) (1)双曲线的焦点到渐近线的距离为b. (2)若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝c＋a，|PF2|min＝c－a. (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a. (4)若P是双曲线－＝1(a>0，b>0)右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a. (5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项． 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) 考题品悟 (2021·新课标Ⅱ卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为y＝±x. 追根溯源 (北师大选择性必修①P68T4)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，求双曲线C的渐近线方程． 发现启迪 高考题与教材习题完全一致，进一步凸显了一轮复习回归教材的紧迫性．双曲线渐近线求解的关键是根据条件中的代数关系和几何关系建立关于系数a，b，c的齐次方程，并结合定义求解. 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1．(人A选择性必修①P120例1改编)已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是(　 ) A.－＝1 B.－＝1(x≥4) C.－＝1 D.－＝1(x≥3) 解析：选D　由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A、C.又由题意可知焦点在x轴上，且c＝5，a＝3，所以b＝＝4，故点M的轨迹方程为－＝1(x≥3)． 2．(北师大选择性必修①P68T3改编)点(3,0)到双曲线－＝1的一条渐近线的距离为(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　双曲线－＝1的渐近线方程是±＝0，即3x±4y＝0.由点到直线的距离公式，得＝.故选A. 3．(人A选择性必修①P127T1)双曲线4x2－y2＋64＝0上一点P与它的一个焦点的距离等于1，那么点P与另一个焦点的距离等于________． 答案：17 4．(苏教选择性必修①P107T8改编)设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，过点(a,0)，(0，b)的直线的倾斜角为150°，则双曲线的离心率为________． 解析：由题设，tan 150°＝－tan 30°＝－，即＝，又c2＝a2＋b2，所以e2＝＝1＋＝，而e>1，故e＝. 答案： B组——迷点盲点的澄清训练 1．(忽视双曲线定义的条件)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)的距离之差等于6的点的轨迹是________． 解析：由|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|＝8，得a＝3，又c＝4，则b2＝c2－a2＝7，所以所求点的轨迹是双曲线－＝1的下支． 答案：双曲线－＝1的下支 2．(忽视讨论焦点的位置)已知双曲线的焦距为6，它的离心率为3，则该双曲线的标准方程为________． 解析：依题意2c＝6，c＝3，由＝3，得a＝1，所以b2＝c2－a2＝8，当双曲线的焦点在x轴上时，双曲线的标准方程为x2－＝1；当双曲线的焦点在y轴上时，双曲线的标准方程为y2－＝1. 答案：x2－＝1或y2－＝1 题点一　双曲线的标准方程(自主练通) 1．以椭圆＋＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点的双曲线方程是(　 ) A．x2－＝1 B．y2－＝1 C．－＝1 D．－＝1 解析：选B　由题意得双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，所以a＝＝1，c＝＝2，b2＝c2－a2＝3，所以双曲线的方程为y2－＝1. 2．(2023·成都二模)已知直线y＝x是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线，且点(2，2)在双曲线C上，则双曲线C的方程为(　 ) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：选C　由双曲线C：－＝1，则其渐近线方程为y＝±x，由题意可得＝，整理可得b＝a，将(2，2)代入双曲线方程可得－＝1，解得a2＝6，b2＝12，所以双曲线C的方程为－＝1. 3．过原点的直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右两支分别交于M，N两点，F(2，0)为C的右焦点，若·＝0，且||＋||＝2，则双曲线C的方程为________________． 解析：如图所示，设双曲线的左焦点为F1，连接F1M，F1N，·＝0，则⊥，四边形MFNF1为矩形，|MN|＝|FF1|＝4.故||2＋||2＝16，||＋||＝2，则||－||＝2，||－||＝||－||＝2a＝2，故a＝，b＝1.故双曲线C的方程为－y2＝1. 答案：－y2＝1 4．已知双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，存在过点F2的直线与双曲线C的右支交于A，B两点，且△ABF1为正三角形．试写出一个满足上述条件的双曲线C的方程：________________. 解析：如图，取a＝1，b＝，c＝，且AB⊥x轴，可得|AF2|＝|BF2|＝＝2，|AF1|＝|BF1|＝2a＋|AF2|＝4，即|AF1|＝|BF1|＝|AB|＝4，△ABF1为正三角形，符合题意，此时双曲线C的方程为x2－＝1. 答案：x2－＝1(答案不唯一，符合题意即可) [思维建模] 求双曲线标准方程的方法 定义法 由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程 待定系数法 先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值 题点二　双曲线的定义及其应用 例1　(2024·安徽师范大学附中模拟)已知F1，F2是平面内两个不同的定点，P为平面内的动点，则“||PF1|－|PF2||的值为定值m，且m<|F1F2|”是“点P的轨迹是双曲线”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　因为“||PF1|－|PF2||的值为定值m，m<|F1F2|”，若m＝0，则P点的轨迹不是双曲线，故充分性不成立；“点P的轨迹是双曲线”，则必有F1，F2是平面内两个不同的定点，且满足||PF1|－|PF2||＝m<|F1F2|，故必要性成立． 例2　(2024·扬州期末)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其渐近线方程为y＝±2x，P是C上一点，且PF1⊥PF2.若△PF1F2的面积为4，则C的焦距为(　 ) A. B．2 C．2 D．4 解析：选C　由题意，双曲线C的渐近线方程为y＝±2x，得＝2，因为PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为4，所以解得a2＝1，b2＝4，所以c2＝a2＋b2＝5，即C的焦距为2c＝2.故选C. [思维建模] 1．“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧 常用知识点 在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用 技巧 经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系 2.应用双曲线定义需注意的问题 在双曲线的定义中，一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|F1F2|，否则轨迹是两条射线或不存在． [针对训练] 1．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1，C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　 ) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1) 解析：选C　设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得|MC1|＝1＋r，|MC2|＝3＋r，|MC2|－|MC1|＝2<6＝|C1C2|，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1(－3,0)和C2(3,0)为焦点的双曲线的左支，且2a＝2，解得a＝1，又c＝3，则b2＝c2－a2＝8，所以动圆圆心M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)． 2．(2024·揭阳模拟)已知A(0,4)，双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线左支上一点，则|PA|＋|PF2|的最小值为(　 ) A．5 B．7 C．9 D．11 解析：选C　由双曲线－＝1，则a2＝4，b2＝5，即c2＝a2＋b2＝9，且F1(－3,0)，F2(3,0)，由题意，|PF2|－|PF1|＝2a，|PA|＋|PF2|＝|PA|＋2a＋|PF1|≥|AF1|＋2a＝＋4＝9，当且仅当A，P，F1共线时，等号成立．故选C. 题点三　双曲线的几何性质 考法(一)　渐近线问题　 例3　(2023·全国甲卷)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，C的一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　由e＝，则＝＝1＋＝5，解得＝2，所以双曲线的一条渐近线不妨取y＝2x，则圆心(2,3)到渐近线的距离d＝＝，所以弦长|AB|＝2＝2＝. 例4　已知F是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，过点F的直线l与双曲线C的一条渐近线垂直，垂足为A，且直线l与双曲线C的左支交于点B，若3|FA|＝|AB|，则双曲线C的渐近线的方程为________． 快审准解：设C的左焦点为F1，连接F1B，过F1作F1D⊥FB于D，根据已知及双曲线性质有F1D为线段FB的中垂线，结合双曲线定义及参数关系求a，b的数量关系，即可得渐近线方程． 解析：设C的左焦点为F1，连接F1B，过F1作F1D⊥FB于D，易知F1D∥OA， 在曲线C中，易知|FA|＝b，则|DB|＝2b，则D为线段FB的中点．又|FB|＝4b，|F1B|＝4b－2a＝2c，即c＋a＝2b，又b2＝c2－a2＝(c－a)(c＋a)，所以＝(c－a)(c＋a)．所以c＋a＝4(c－a)，则c＝a，又c2＝a2＋b2，得b＝a，渐近线方程为y＝±x. 答案：y＝±x |思维建模|　求双曲线渐近线方程的方法 (1)求双曲线中a，b的值，进而得出双曲线的渐近线方程； (2)求a与b的比值，进而得出双曲线的渐近线方程； (3)令双曲线标准方程右侧为0，将所得代数式化为一次式即为渐近线方程． [提醒]　两条渐近线的倾斜角互补，斜率互为相反数，且两条渐近线关于x轴，y轴对称． 考法(二)　离心率问题　 例5　(2024·哈尔滨一模)已知A为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右顶点，O为坐标原点，B，C为双曲线E上两点，且＋＝2，直线AB，AC的斜率分别为2和，则双曲线E的离心率为(　 ) A. B. C. D．28 解析：选C　由＋＝2，可知O是BC中点，B，C两点关于原点对称，A(a,0)，设B(x0，y0)，C(－x0，－y0)，则kAB＝＝2，kAC＝＝，kAB·kAC＝＝＝＝×2＝，∴e＝＝＝. 例6　已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，若直线y＝±2x与E无公共点，则e的取值范围是________． 解析：因为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x， 因为要使直线y＝±2x与E无公共点，则≥2，所以0<≤，所以双曲线的离心率的范围1<e＝≤， 所以满足条件的离心率的范围是. 答案： |思维建模|　求双曲线离心率的方法 (1)求出a，b，c的值，根据e2＝＝＝1＋直接求e； (2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．建立关于a，b，c的齐次方程(或不等式)时，要充分利用双曲线的几何性质、三角形的边长关系等． 考法(三)　与双曲线有关的最值、范围问题 例7　已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　 ) A. B. C. D. 解析：选A　因为F1(－，0)，F2(，0)，－y＝1，所以·＝(－－x0，－y0)·(－x0，－y0)＝x＋y－3<0，即3y－1<0，解得－<y0<. |思维建模|　与双曲线有关的最值、范围问题的解题思路 (1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解． (2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中的不等关系来解决． [针对训练] 3．设双曲线C1：x2－y2＝1，C2：－＝1(b>0)的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则b＝(　 ) A．1 B．2 C. D. 解析：选A　由双曲线C1：x2－y2＝1，可得其离心率为e1＝，又由双曲线C2：－＝1(b>0)，可得其离心率为e2＝＝，因为e2＝e1，可得 ＝×，解得b＝1. 4．(2024·湖南长郡中学模拟)[多选]已知点F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线C位于第一象限内一点，若·＝0，||＝2||，则下列结论正确的是(　 ) A．△PF1F2的面积为a2 B．双曲线C的离心率为 C．双曲线C的渐近线方程为x±2y＝0 D．若双曲线C的焦距为2，则双曲线C的方程为x2－＝1 解析：选BD　由定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，因为|PF1|＝2|PF2|，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，由已知∠F1PF2＝90°，所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝×4a×2a＝4a2，故A错误；由勾股定理得(2a)2＋(4a)2＝(2c)2，即5a2＝c2，所以e＝＝＝，故B正确；因为b2＝c2－a2＝4a2，所以＝4，即＝2，所以双曲线的渐近线方程为2x±y＝0，故C错误；由双曲线C的焦距为2得c＝，从而a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－＝1，故D正确．故选BD. 5．(2024·泰安模拟)已知直线l过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左焦点F1，与双曲线的左、右两支分别交于P，Q两点，F2为双曲线的右焦点，若(＋)·＝0，其中∠PQF2∈，则的取值范围为________． 快审准解：由题意设∠F1PF2＝θ，可得θ∈，在△F1PF2中，利用余弦定理和双曲线中a，b，c的关系即可得到的范围． 　 解析：如图，∵(＋)·＝0，∴|QP|＝|QF2|，又|QF1|－|QF2|＝2a＝|PF1|，则有|PF1|＝2a，|PF2|＝4a，不妨假设∠F1PF2＝θ，则有∠F1QF2＝π－2(π－θ)∈，可得θ∈，在△F1PF2中，由余弦定理可知，cos θ＝∈，7a2≤c2<9a2，则6a2≤b2<8a2，即∈[，2)． 答案：[，2) 双曲线中的二级结论的应用 1．焦点三角形的面积公式：已知点P为双曲线－＝1(a>0，b>0)上异于顶点的一点，F1，F2为左、右焦点且∠F1PF2＝θ，则双曲线中S△PF1F2＝. 2．焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与双曲线相交于A，B两点，则＋＝. 3．双曲线的焦半径公式：已知点P(xP，yP)在双曲线－＝1(a>0，b>0)上，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，e为双曲线的离心率，则|PF1|＝|exP＋a|，|PF2|＝|exP－a|. 4．过双曲线上一点的切线方程：已知点P(x0，y0)为焦点在x轴上的双曲线上任一点，则过点P与双曲线相切的切线方程为－＝1. 5．周角定理：已知过原点的直线l交双曲线于A，B两点， P是双曲线上异于A，B两点的动点，则kPA·kPB＝. 典例　已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以线段AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点F，若△ABF的面积为2a2，则双曲线的离心率为(　 ) A. B. C．2 D. [解题观摩] 一般法解题： 设双曲线的左焦点为F′， 连接AF′，BF′，因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F(c,0)，所以AF⊥BF，圆心为O(0，0)，半径为c， 根据双曲线的对称性可得四边形AFBF′是矩形，设|AF|＝m，|BF|＝n， 则 由2＝m2＋n2－2mn可得4c2－8a2＝4a2， 所以c2＝3a2，所以e2＝＝3，所以e＝. 二级结论解题： 设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，BF′，因为以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F(c，0)，所以S△AF′F＝2a2，且∠F′AF＝，根据双曲线焦点三角形面积公式S△AF′F＝得2a2＝b2，结合c2＝a2＋b2，得2a2＝c2－a2⇒c2＝3a2⇒e2＝3⇒e＝. [应用体验] 1．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　 ) A．2 B．4 C．6 D．8 解析：选B　由焦点三角形面积公式，得 S△F1PF2＝＝＝，即|PF1|·|PF2|sin 60°＝|PF1||PF2|＝， 所以|PF1|·|PF2|＝4. 2．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2，若点P是双曲线上任意一点，且满足|PO|2＝|PF1|·|PF2|(其中O为坐标原点)，则双曲线C的渐近线方程为(　 ) A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 解析：选D　设P(x0，y0)，则x≥a2，由焦半径公式可知|PF1|＝|ex0＋a|，|PF2|＝|ex0－a|，其中e为双曲线的离心率． 易知e2x－a2>0，则由|PO|2＝|PF1|·|PF2|， 有x＋y＝x＋b2＝e2x－a2， 可得x＝b2－a2，则a2＝b2， 故双曲线C的渐近线方程为y＝±x.故选D. 3．过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上一点P作双曲线C的切线l，若直线OP与直线l的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线C的离心率为(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　设P(x0，y0)，由于双曲线C在点P(x0，y0)处的切线方程为－＝1，故切线l的斜率k＝.因为k·kOP＝，所以·＝，则＝，即双曲线C的离心率e＝ ＝. [课时跟踪检测] 1．(2024·湖南长郡中学模拟)设P是双曲线－＝1上一点，F1，F2分别是双曲线左、右两个焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于(　 ) A．1 B．17 C．1或17 D．8 解析：选B　对于－＝1，a2＝16，b2＝20，∴c2＝a2＋b2＝36，a＝4，c＝6，|PF1|＝9<a＋c，∴P点在双曲线的左支，则有|PF2|－|PF1|＝2a＝8，∴|PF2|＝17.故选B. 2．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚半轴长为1，半焦距为，则双曲线的渐近线方程为(　 ) A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 解析：选D　双曲线－＝1(a>0，b>0)中，b＝1，由双曲线半焦距为，得a＝ ＝，所以双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x. 3．(2023·镇江中学三模)点(0,4)到双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为(　 ) A. B. C. D．5 解析：选C　由题意可得双曲线的一条渐近线为by－ax＝0，所以(0,4)到by－ax＝0的距离d＝＝＝，∴＝，不妨设b＝4m(m>0)，则c＝5m，a＝＝3m，∴e＝＝.故选C. 4. 已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则双曲线的两条渐近线的夹角为(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　设双曲线－＝1(a>0，b>0)的半焦距为c，因为离心率为，所以e＝＝，解得c＝a，由a2＋b2＝c2，得b2＝c2－a2＝2－a2＝a2，所以b＝a，所以渐近线方程为y＝±x＝±x＝±x，所以两条渐近线的倾斜角分别为和.因为－＝，所以两条渐近线所夹的锐角为π－＝，即双曲线的两条渐近线的夹角为.故选C. 5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2,0)，直线l：y＝－(x－2)与渐近线和y轴分别交于点M，E，且＝3，则双曲线C的方程为(　 ) A.－＝1 B.－＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1 解析：选C　双曲线C的渐近线方程为y＝±x，直线l：y＝－(x－2)交y轴于点E，而F(2,0)，由＝3，得－＝3(－)，即＝＋＝，显然点M在直线y＝x上，则b2＝3a2，又a2＋b2＝4，解得a2＝1，b2＝3，所以双曲线C的方程为x2－＝1. 6．(2024·湖南雅礼中学模拟)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点．以F1F2为直径的圆与双曲线的右支的一个交点为P，且以OF2为直径的圆与直线PF1相切，若|PF1|＝8，则双曲线的焦距等于(　 ) A．6 B．6 C．3 D．3 快审准解：设以OF2为直径的圆与直线PF1相切于点N，圆心为M，则MN⊥PF1，因此Rt△PF1F2∽Rt△NF1M，所以＝，由此可求出|PF2|＝，而PF1⊥PF2，再由勾股定理可得|PF1|＝，而已知|PF1|＝8，从而可求出c的值． 　 解析：选A　依题意知PF1⊥PF2，设以OF2为直径的圆与直线PF1相切于点N，圆心为M，则MN⊥PF1，因此Rt△PF1F2∽Rt△NF1M，所以＝.设双曲线的焦距为2c，则＝，解得|PF2|＝，由勾股定理可得|PF1|＝＝＝，于是＝8，c＝3，故焦距2c＝6.故选A. 7．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足·＝－2a2，则双曲线离心率的最小值为(　 ) A. B. C．2 D. 解析：选D　设P(x0，y0)，双曲线的半焦距为c，则有|x0|≥a，－＝1，F1(－c,0)，F2(c,0)， 于是＝(c－x0，－y0)，＝(－c－x0，－y0)， 因此·＝x－c2＋y＝x＋b2－c2＝·x－b2－c2≥·a2－b2－c2＝－b2， 当且仅当|x0|＝a时取等号，则－2a2≥－b2，即≥2，离心率e＝＝≥， 所以双曲线离心率的最小值为. 谨记结论：与渐近线有关的结论或方法： (1)与双曲线－＝1(a>0，b>0)共渐近线的可设为－＝λ(λ≠0)；(2)若渐近线方程为y＝±x，则可设为－＝λ(λ≠0)；(3)双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b；(4)－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的斜率为＝＝.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小． 8．(2022·北京高考)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝________. 解析：法一　依题意得m<0，双曲线的方程可表示为y2－＝1，此时双曲线的渐近线的斜率为±＝±，解得m＝－3. 法二　依题意得m<0，令y2－＝0， 得y＝±x＝±x，解得m＝－3. 答案：－3 9．如图，F1，F2是平面上两点，|F1F2|＝10，图中的一系列圆是圆心分别为F1，F2的两组同心圆，每组同心圆的半径依次是1,2,3，…，点A，B，C分别是其中两圆的公共点．请写出一个圆锥曲线的离心率的值为________，使得此圆锥曲线可以同时满足①以F1，F2为焦点；②恰经过A，B，C中的两点． 解析：因为|F1F2|＝2c＝10，若过A，C两点，则由题意得|AF1|＋|AF2|＝|CF1|＋|CF2|＝12，此时离心率e＝＝＝＝.若过B，C两点，则由题意得|BF2|－|BF1|＝|CF1|－|CF2|＝2，此时离心率e＝＝＝＝5. 答案：5 10．若F1，F2分别是双曲线－＝1的左、右焦点，AB是双曲线左支上过点F1的弦，且|AB|＝4，△ABF2的周长是20，则m＝________. 解析：由题意得m>0， 根据双曲线定义得|AF2|－|AF1|＝2a＝2， |BF2|－|BF1|＝2a＝2， 上述两式相加得(|AF2|＋|BF2|)－(|AF1|＋|BF1|)＝4， 即|AF2|＋|BF2|－|AB|＝4， 即|AF2|＋|BF2|－4＝4， ∴|AF2|＋|BF2|＝4＋4， ∴△ABF2的周长为|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4＋4＋4＝20，解得m＝9. 答案：9 11．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，c＝a，且过点M(4，－)． (1)求双曲线的方程； (2)求△F1MF2的面积． 解：(1)由a2＋b2＝c2且c＝a，则a2＝b2，又点M(4，－)在双曲线上，则－＝1， 综上，a2＝b2＝6，即双曲线的方程为－＝1. (2)由(1)知|F1F2|＝2c＝4，而M到x轴的距离为，所以△F1MF2的面积为×4×＝2. 12．已知双曲线E的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，并且E经过点P(2,3)． (1)求双曲线E的方程； (2)过点M(0,1)的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程． 解：(1)由已知可设双曲线E的方程为－＝1(a>0，b>0)，则解得所以双曲线E的方程为x2－＝1. (2)当直线l的斜率不存在时，显然不合题意， 所以可设直线l的方程为y＝kx＋1， 如图，联立得(3－k2)x2－2kx－4＝0(*)， ①当3－k2＝0，即k＝或k＝－时，方程(*)只有一解，所以直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，此时，直线l的方程为y＝±x＋1； ②当3－k2≠0，即k≠±时，要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，则Δ＝(－2k)2－4(3－k2)(－4)＝0，解得k＝±2，此时，直线l的方程为y＝±2x＋1. 综上所述，直线l的方程为y＝±x＋1或y＝±2x＋1. 13.(2024·宜宾模拟)[多选]已知F1，F2分别为双曲线C：－＝1(b>0)的左、右焦点，且F1到渐近线的距离为1，过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且l⊥AF1，则下列说法正确的为(　 ) A．△AF1F2的面积为1 B．双曲线C的离心率为 C．·＝10＋4 D．＋＝＋2 解析：选AD　设双曲线C的半焦距为c(c>0)，因为双曲线C的焦点在x轴上，且a＝2，所以其中一条渐近线方程为y＝x，即bx－2y＝0，且F1(－c,0)，则F1到渐近线的距离为＝＝b＝1，可得c＝＝.(另解：过双曲线焦点作双曲线渐近线的垂线，垂足是双曲线的渐近线与准线的交点，焦点到渐近线距离为b，垂足到原点距离为a.因而本题可直接得b＝1) 选项 分析过程 正误 A |AF2|－|AF1|＝4，|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝20→(|AF2|－|AF1|)2＋2|AF1|·|AF2|＝16＋2|AF1|·|AF2|＝20→|AF1|·|AF2|＝2→△AF1F2的面积为|AF1|·|AF2|＝1(二级结论：由于∠F1AF2＝90°，因而S△F1AF2＝＝1) √ B 双曲线C的离心率为e＝＝ × C →→·＝·(＋)＝2＋·＝2＝(－2)2＝10－4 × D 设|BF2|＝m→|BF1|＝m＋4，|AB|＝＋2－m→|BF1|2＝|AB|2＋|AF1|2→(m＋4)2＝(＋2－m)2＋(－2)2→m＝ →＋＝＋＝＋2 √ 14.(2024·咸阳模拟)已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们一个公共点，设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，若＋＝4，则∠F1PF2＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　设焦距为2c，椭圆的长轴长为2a，双曲线的实轴长为2m，则e1＝，e2＝，＋＝＋＝4，∴a2＝4c2－3m2.不妨设|PF1|>|PF2|， 由得 cos∠F1PF2＝＝＝＝＝，因为∠F1PF2是三角形的内角，所以∠F1PF2＝，故选C. 15．(2023·新课标Ⅰ卷)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，⊥，＝－，则C的离心率为________． 解析：法一　由题意可知，F1(－c,0)，F2(c,0)，设A(x1，y1)，B(0，y0)，所以＝(x1－c，y1)，＝(－c，y0)，因为＝－，所以即 所以A.＝，＝(c，y0)，因为⊥，所以·＝0，即c2－y＝0，解得y＝4c2. 因为点A在双曲线C上，所以－＝1，又y＝4c2，所以－＝1，即－＝1，化简得＝，所以e2＝1＋＝，所以e＝. 法二　由＝－，得＝，设||＝2t，||＝3t，由对称性可得||＝3t，则||＝2t＋2a，||＝5t，设∠F1AF2＝θ，则sin θ＝＝，所以cos θ＝＝，解得t＝a，所以||＝2t＋2a＝4a，||＝2a，在△AF1F2中，由余弦定理可得cos θ＝＝，即5c2＝9a2，则e＝. 答案： 16．(2024·南京模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点A(4,3)，离心率e＝. (1)求双曲线C的方程； (2)过点B(1,0)的直线l交双曲线C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝1于点P，Q，求的值． 解：(1)由题知 解得a2＝4，b2＝3，c2＝7. 所以双曲线C的方程为－＝1. (2)设直线l：y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 联立得(3－4k2)x2＋8k2x－4k2－12＝0， 则Δ＝144－144k2＞0，－1＜k＜1，x1＋x2＝，x1x2＝. 设直线MA：y－3＝(x－4)，NA：y－3＝(x－4)， 令x＝1，则yP＝3－，yQ＝3－， 所以yP＋yQ＝6－3. 因为＋ ＝ ＝ ＝ ＝＝2， 所以yP＋yQ＝6－3＝0，所以B为PQ的中点，所以＝1. 学科网（北京）股份有限公司 $$