第8章 第2节 两条直线的位置关系(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第二节　两条直线的位置关系 1.能根据斜率公式判定两条直线平行或垂直．能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标． 2．掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行线间的距离． 回首教材 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 y＝k1x＋b1，y＝k2x＋b2 A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)， A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 垂直 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 平行 k1＝k2且b1≠b2 或 重合 k1＝k2且b1＝b2 A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0 2．直线的交点与方程组解的关系 (1)两直线的交点 点P的坐标既满足直线l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也满足直线l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即点P的坐标是方程组的解，解这个方程组就可以得到这两条直线的交点坐标． (2)两直线的位置关系与方程组解的关系 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 3．距离公式 (1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|＝. 特别地，原点O(0,0)与任一点P(x，y)的距离|OP|＝. (2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|·n|＝(其中n是与直线l方向向量垂直的单位向量，P1为直线l上任意一点)． (3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的距离d＝. 拓展教材(常见结论及应用) 6种常用的对称关系 (1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)； (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)； (3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)； (4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)； (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)； (6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)． 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) 考题品悟 (2024·九省联考)已知Q为直线l：x＋2y＋1＝0上的动点，点P满足＝(1，－3)，记P的轨迹为E，则(C) A．E是一个半径为的圆 B．E是一条与l相交的直线 C．E上的点到l的距离均为 D．E是两条平行直线 追根溯源 (人A选择性必修①P79T8)▱ABCD的一组对边AB和CD所在直线的方程分别是6x＋8y－3＝0与6x＋8y＋5＝0，过▱ABCD的两条对角线的交点作与AB所在直线的平行线l，求l与CD所在直线的距离． 发现启迪 联考题与教材题看似关联不大，但是利用向量的坐标运算可得P的轨迹为直线方程，从而转化为两直线的位置关系及平行直线间的距离问题．直线方程在历年高考中几乎没有单独涉及过，这也释放出高考的无规律性及反套路、反刷题的理念. 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1．(北师大选择性必修①P19T2改编)过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是(　 ) A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0 C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0 答案：A 2．(人A选择性必修①P67T8改编)已知直线l过点(0,3)，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　 ) A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 答案：D 3．(苏教选择性必修①P27T2改编)以点A(－1,1)，B(2，－1)，C(1,4)为顶点的三角形是(　 ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 解析：选B　易知kAB＝－，故△ABC是直角三角形． 4．(人A选择性必修①P72T3改编)直线l经过原点，且经过另两条直线2x＋3y－1＝0，x－4y－6＝0的交点，则直线l的方程为(　 ) A．2x＋y＝0 B．x＋2y＝0 C．2x－y＝0 D．x－2y＝0 解析：选B　联立方程解得则所求直线的斜率k＝－，直线l的方程为y＝－x，即x＋2y＝0. 5．(人A选择性必修①P77T3改编)已知点P(－1,2)到直线l：4x－3y＋C＝0的距离为1，则实数C的值为________． 答案：5或15 B组——迷点盲点的澄清训练 1．(使用平行线间距离公式忽略系数相等)平行线3x＋4y－9＝0和6x＋8y＋2＝0的距离是(　 ) A. B．2 C. D. 解析：选B　依题意得，所求的距离等于＝2. 2．(已知两直线平行求参数值未验证重合的情况)已知直线ax＋3y＋1＝0与x＋(a－2)y＋a＝0平行，则a的值为________． 解析：令3×1＝a(a－2)，解得a＝－1或a＝3，当a＝－1时，两直线重合，故舍去，故a＝3. 答案：3 题点一　两条直线的平行与垂直(自主练通) 1．“m＝1”是“直线l1：(m－4)x＋my＋1＝0与直线l2：mx＋(m＋2)y－2＝0互相垂直”的(　 ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　依题意，l1⊥l2⇔m(m－4)＋m(m＋2)＝0，解得m＝0或m＝1，所以“m＝1”是“直线l1：(m－4)x＋my＋1＝0与直线l2：mx＋(m＋2)y－2＝0互相垂直”的充分不必要条件． 2．(2024·重庆模拟)已知直线l1：2x＋2y－1＝0，l2：4x＋ny＋3＝0，l3：mx＋6y－1＝0，若l1∥l2且l1⊥l3，则m＋n的值为(　 ) A．－10 B．10 C．－2 D．2 解析：选C　由题意＝≠，n＝4,2m＋12＝0，m＝－6，所以m＋n＝－2.故选C. 3．(2024·邯郸期末)[多选]已知直线l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0，l2：ax＋(1－a)y－1＝0，则(　 ) A．l1恒过点(2，－2) B．若l1∥l2，则a2＝ C．若l1⊥l2，则a2＝1 D．当0≤a≤1时，l2不经过第三象限 解析：选BD　l1：(a＋1)x＋ay＋2＝0⇔a(x＋y)＋x＋2＝0，由得x＝－2，y＝2，则直线l1恒过点(－2,2)，故A不正确．若l1∥l2，则有(a＋1)·(1－a)＝a2,2(1－a)≠－a，解得a2＝，故B正确．若l1⊥l2，则有a(a＋1)＋a(1－a)＝0，解得a＝0，故C不正确．若直线l2不经过第三象限，则当1－a≠0时，≥0，－≤0，解得0≤a＜1；当1－a＝0，即a＝1时，直线l2：x＝1，不经过第三象限，综上可知，当0≤a≤1时，l2不经过第三象限，故D正确．故选BD. 4．已知三条直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的取值集合为(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　由题意得直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0其中一条平行，或者直线mx－y－1＝0过直线2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点．当直线mx－y－1＝0分别与直线2x－3y＋1＝0,4x＋3y＋5＝0平行时，m＝或m＝－；当直线mx－y－1＝0过直线2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－，所以实数m的取值集合为. [思维建模] 1．两直线平行、垂直的判断方法 若已知两直线的斜率存在：(1)两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等；(2)两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. 2．解决两直线平行与垂直的参数问题要“前思后想” 题点二　两条直线的交点与距离问题(自主练通) 1．(2024·烟台调研)若直线l与两直线y＝1，x－y－7＝0分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，－1)，则直线l的斜率是(　 ) A．－ B. C．－ D. 解析：选A　由题意，设直线l的方程为y＝k(x－1)－1，分别与y＝1，x－y－7＝0联立，解得M，N，又因为MN的中点是P(1，－1)，由中点坐标公式得解得k＝－. 2．(2024·承德模拟)已知a<0，若直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y－4＝0平行，则它们之间的距离为(　 ) A. B. C. D.或 解析：选A　若直线l1：ax＋2y＋1＝0与直线l2: x＋(a＋1)y－4＝0平行，则a(a＋1)－2＝0，解得a＝1或a＝－2，∵a<0，∴a＝－2，此时直线l1：2x－2y－1＝0，直线l2：2x－2y－8＝0，故直线l1，l2之间的距离d＝＝.故选A. 3．若三条直线y＝3x，x＋y＝4，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离d的最小值是(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　联立解得把(1,3)代入mx＋ny＋5＝0，得m＋3n＋5＝0，∴m＝－5－3n，∴点(m，n)到原点的距离d＝＝＝≥，当且仅当m＝－，n＝－时取等号．∴点(m，n)到原点的距离d的最小值为. 4．经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线l的方程为________． 解析：法一　由解得即直线2x＋3y＋1＝0，x－3y＋4＝0的交点坐标为.因为直线l与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以直线l的斜率k＝，由直线的点斜式方程得直线l的方程为y－＝，即4x－3y＋9＝0. 法二　由题可设直线l的方程为4x－3y＋m＝0，由解得代入4x－3y＋m＝0，可得m＝9，故直线l的方程为4x－3y＋9＝0. 法三　由题意可设直线l的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0①，因为直线l与直线3x＋4y－7＝0垂直，所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0，解得λ＝2，代入①式得直线l的方程为4x－3y＋9＝0. 答案：4x－3y＋9＝0 谨记结论：(1)过定点(x1，y1)的直线系方程：y－y1＝k(x－x1)和x＝x1. (2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． (3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0. (4)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)与A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 　 [思维建模] 1．求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程． 2．利用距离公式解题的注意点 (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|； (2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等． 题点三　对称问题 考法(一)　中心对称问题　 例1　直线3x－2y＝0关于点对称的直线方程为(　 ) A．2x－3y＝0 B．3x－2y－2＝0 C．x－y＝0 D．2x－3y－2＝0 解析：选B　法一　设所求直线上任一点为(x，y)，则其关于点对称的点为， 因为点在直线3x－2y＝0上，所以3－2(－y)＝0，化简得3x－2y－2＝0，所以所求直线方程为3x－2y－2＝0. 法二　在直线3x－2y＝0上任取两点O(0,0)，M(2,3)，设点O，M关于点的对称点分别为O′，M′，则O′，M′，所以所求直线方程为＝，即3x－2y－2＝0. 例2　过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________． 解析：设l1与l的交点为A(a,8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 答案：x＋4y－4＝0 |思维建模|　中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称，主要求解方法 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 (2)直线关于点的对称，主要求解方法 ①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 考法(二)　轴对称问题　 例3　已知点A(1,2)与B(3,3)关于直线ax＋y＋b＝0对称，则a，b的值分别为(　 ) A．2，－ B．－2，－ C．－2， D．2， 快审准解：点A(1,2)与B(3,3)关于直线ax＋y＋b＝0对称，则利用垂直关系，以及线段AB的中点在直线ax＋y＋b＝0上，列式求解即可． 　 解析：选A　易知kAB＝，则直线ax＋y＋b＝0的斜率为－2，所以－a＝－2，即a＝2.又AB的中点坐标为，代入2x＋y＋b＝0，得b＝－. 例4　设直线l1：x－2y－2＝0与l2关于直线l：2x－y－4＝0对称，则直线l2的方程是(　 ) A．11x＋2y－22＝0 B．11x＋2y＋22＝0 C．5x＋y－11＝0 D．10x＋y－22＝0 解析：选A　联立得取直线l1：x－2y－2＝0上一点(0，－1)，设点(0，－1)关于直线l：2x－y－4＝0的对称点为(a，b)，则解得a＝，b＝－，直线l2的斜率k＝－，所以直线l2的方程为y＝－(x－2)，整理为11x＋2y－22＝0.故选A. |思维建模|　轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称：若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则可得(其中B≠0，x1≠x2)． (2)直线关于直线的对称：一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行． [针对训练] 1．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2过定点(　 ) A．(0,4) B．(0,2) C．(－2,4) D．(4，－2) 解析：选B　由题知直线l1过定点(4,0)，则由条件可知，直线l2所过定点关于(2,1)对称的点为(4,0)，故可得直线l2所过定点为(0,2)，故选B. 2．从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为(　 ) A．x＋2y－4＝0 B．2x＋y－1＝0 C．x＋6y－16＝0 D．6x＋y－8＝0 解析：选A　由直线与向量a＝(8,4)平行知，过点(2,3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A正确． 3．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为(　 ) A．(－2,4) B．(－2，－4) C．(2,4) D．(2，－4) 解析：选C　设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为(x，y)，则解得∴BC所在直线方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.联立解得则C(2,4)． 距离中的最值问题 (1)距离中的最值问题，常用的两种处理方法，一是利用图形的几何特点，如垂线段最短，三点共线的性质等确定动点的位置，从而求解距离的最值；二是建立函数关系，把距离问题转化为某个变量的函数表达式，然后利用函数求最值的方法进行求解，此时要注意自变量的范围． (2)特别注意的是两点间距离公式的“几何特征”可将问题化为几何最值问题，能够在复杂的题目情境中识别出来，并将问题转化，体现数形结合思想．平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|＝，若给两点坐标很容易得出两点距离，但若给 ，也要能够联想到两点距离公式，这提醒我们能“直用”公式也要能“逆用”公式． [应用体验] 1．已知点A(1,3)，B(5，－2)，在x轴上找一点P使|AP|－|BP|最大，则P的坐标为(　 ) A．(1,0) B. C．(5,0) D．(13,0) 解析：选D　如图所示，作点B关于x轴的对称点B′(5，2)，由对称性可知|BP|＝|B′P|，则|AP|－|BP|＝|AP|－|B′P|.当A，B′，P三点不共线时，由三角形三边关系得|AP|－|B′P|<|AB′|；当A，B′，P三点共线时，|AP|－|B′P|＝|AB′|.所以|AP|－|B′P|≤|AB′|，当且仅当A，B′，P三点共线时，等号成立，此时，直线AB′的斜率为k＝＝－，直线AB′的方程为y－3＝－(x－1)，即x＋4y－13＝0，在直线AB′的方程中，令y＝0，解得x＝13，即点P(13,0)． 2．已知点A(－3,8)和B(2,2)，在x轴上求一点M，使得|AM|＋|BM|最小，则点M的坐标为(　 ) A．(－1,0) B. C. D．(1,0) 解析：选D　如图，作出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′，与x轴相交于M点，连接BM，此时|AM|＋|BM|为最短，由B与B′关于x轴对称，B(2,2)，所以B′(2，－2)，又A(－3,8)，则直线AB′的方程为y＋2＝(x－2)，化简得y＝－2x＋2，令y＝0，解得x＝1，所以M(1,0)． 3．两条平行线l1，l2分别过点P(－1,2)，Q(2，－3)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间距离的取值范围是________． 解析：如图，过点P作PR垂直于l2，垂足为R，|PQ|＝＝.记PQ与l1的夹角为θ∈， 则∠QPR＝－θ，则|PR|＝|PQ|·cos＝sin θ，所以0<|PR|≤，即l1，l2之间距离的取值范围是. 答案： 4．已知x，y满足x＋2y－5＝0，求(x－1)2＋(y－1)2的最小值． 解：如图，由x，y满足x＋2y－5＝0知，点P(x，y)是直线l：x＋2y－5＝0上的任意点，而(x－1)2＋(y－1)2表示点P(x，y)到定点Q(1,1)的距离的平方，因此(x－1)2＋(y－1)2的最小值即为点Q(1,1)到直线l距离d的平方， 即有|PQ|min＝d＝＝，所以(x－1)2＋(y－1)2的最小值为d2＝. [课时跟踪检测] 1．直线2x＋y＋1＝0和直线x＋2y＋1＝0的位置关系是(　 ) A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合 解析：选B　方程2x＋y＋1＝0可化为y＝－2x－1，因此该直线的斜率k1＝－2，方程x＋2y＋1＝0可化为y＝－x－，因此该直线的斜率k2＝－，因为k1≠k2，k1k2＝1≠－1，所以这两条直线相交但不垂直．故选B. 2．已知直线l1：2x－y＋1＝0，l2：x＋ay－1＝0，且l1⊥l2，点P(1,2)到直线l2的距离d＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　由l1⊥l2可得2×1－1×a＝0，解得a＝2，故d＝＝，故选D. 3．若平面内两条平行线l1：x＋(a－1)y＋2＝0，l2：ax＋2y＋1＝0间的距离为，则实数a＝(　 ) A．－2 B．－2或1 C．－1 D．－1或2 解析：选C　∵l1∥l2，∴a(a－1)＝2，解得a＝2或a＝－1.当a＝2时，d＝＝，当a＝－1时，d＝＝.故选C. 4．(2024·杭州模拟)点(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是(　 ) A．(1,0) B．(0,1) C．(0，－1) D．(2,1) 解析：选B　设点A(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是B(a，b)，则有解得a＝0，b＝1，故点(1,2)关于直线x＋y－2＝0的对称点是(0,1)．故选B. 5．若直线kx－y＝k－1与直线ky－x＝2k相交且交点在第二象限内，则k的取值范围为(　 ) A．(1，＋∞) B. C. D. 解析：选C　若直线kx－y＝k－1与直线ky－x＝2k平行或重合，则k2－1＝0，解得k＝±1，若直线kx－y＝k－1与直线ky－x＝2k相交，可得k≠1且k≠－1.联立方程解得即交点坐标为，由题意可得解得0<k<.综上所述，k的取值范围为. 6．已知点M(1，－2)，N(m,2)，若线段MN的垂直平分线的方程是＋y＝1，则实数m的值是(　 ) A．－2 B．－7 C．3 D．1 解析：选C　由中点坐标公式，得线段MN的中点坐标为，直线＋y＝1的斜率为－，由题意知，直线MN的斜率为kMN＝＝2，所以解得m＝3.故选C. 7．已知直线l1：x－my＋1＝0过定点A，直线l2：mx＋y－m＋3＝0过定点B，l1与l2相交于点P，则|PA|2＋|PB|2＝(　 ) A．10 B．13 C．16 D．20 解析：选B　因为1×m＋(－m)×1＝0，所以直线l1与直线l2互相垂直且垂足为点P，又因为直线l1：x－my＋1＝0过定点A(－1,0)，直线l2：mx＋y－m＋3＝0，即m(x－1)＋y＋3＝0过定点B(1，－3)，所以在Rt△APB中，|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝[1－(－1)]2＋(－3－0)2＝13，故选B. 8．(2023·吉林二模)直线l的方程为(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ＝0(λ∈R)，当原点O到直线l的距离最大时，λ的值为(　 ) A．－1 B．－5 C．1 D．5 快审准解：求出直线(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ＝0(λ∈R)所过定点A的坐标，分析可知当OA⊥l时，原点O到直线l的距离最大，利用两直线垂直斜率的关系可求得实数λ的值． 　 解析：选B　直线方程(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ＝0(λ∈R)可化为(x＋y－3)λ＋(2x－y)＝0，由可得所以直线(λ＋2)x＋(λ－1)y－3λ＝0(λ∈R)过定点A(1,2)，当OA⊥l时，原点O到直线l的距离最大，且kOA＝2，又因为直线l的斜率为k＝－＝－，解得λ＝－5.故选B. 9．[多选]若P，Q分别为l1：3x＋4y＋5＝0，l2：ax＋8y＋c＝0上的动点，且l1∥l2，下面说法正确的是(　 ) A．直线l2的斜率为定值 B．当c＝25时，|PQ|的最小值为 C．当|PQ|的最小值为1时，c＝20 D．c≠10 解析：选ABD　∵l1∥l2，∴＝≠，∴a＝6，c≠10，故A、D正确；∵|PQ|的最小值为两平行直线间的距离，∴当c＝25时，d＝＝，故B正确；当|PQ|的最小值为1时，d＝＝1，解得c＝20或c＝0，故C错误． 10．[多选]已知直线l：mx＋y－m＋1＝0，A(1,2)，B(3,4)，则下列结论正确的是(　 ) A．存在实数m，使得直线l与直线AB垂直 B．存在实数m，使得直线l与直线AB平行 C．存在实数m，使得点A到直线l的距离为4 D．存在实数m，使得以线段AB为直径的圆上的点到直线l的最大距离为＋ 解析：选ABD　∵直线l：mx＋y－m＋1＝0，A(1,2)，B(3,4)，∴直线l的斜率为－m，直线AB的斜率为1，故当m＝1时，直线l与直线AB垂直；当m＝－1时，直线l与直线AB平行，故A、B正确；直线l：mx＋y－m＋1＝0，即m(x－1)＋y＋1＝0，令解得可得直线l经过定点P(1，－1)，由于|AP|＝3，故点A到直线l的最大距离为3，故C错误；由于A(1,2)，B(3,4)，得|AB|＝＝2，故以AB为直径的圆的圆心Q(2,3)，且|PQ|＝＝，圆的半径为，圆心Q到直线l的最大距离为，故以线段AB为直径的圆上的点到直线l的最大距离为＋，故D正确，故选ABD. 11．[多选]已知平面上一点M(5,0)，若直线l上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为点M的“相关直线”．下列直线是点M的“相关直线”的是(　 ) A．y＝x＋1 B．y＝2 C．4x－3y＝0 D．2x－y＋1＝0 解析：选BC　选项A中，点M到直线y＝x＋1的距离d＝＝3＞4，即点M与该直线上的点的距离的最小值大于4，所以该直线上不存在点P，使|PM|＝4，故A错误；同理，D错误；选项B中，点M与该直线上的点的距离的最小值小于4，所以该直线上存在点P，使|PM|＝4，故B正确；选项C中，点M到直线4x－3y＝0的距离d＝＝4，即点M与该直线上的点的距离的最小值等于4，故C正确．故选BC. 12．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为(　 ) A．5 B. C. D．2＋ 解析：选B　f(x)＝＋＝＋，表示平面上点M(x,0)到点A(－5,2)与B(－3，－3)的距离之和，连接AB(图略)，与x轴交于M(x,0)，则此时点M到点A与点B的距离之和最小，即f(x)min＝＝，故选B. 13．已知点P(0,2)，直线l：x＋2y－1＝0，则过点P且与直线l相交的一条直线的方程是________． 解析：直线l：x＋2y－1＝0的斜率为－，故只需所求直线方程斜率不是－即可，可设过点P且与直线l相交的一条直线的方程为y＝x＋2. 答案：y＝x＋2(答案不唯一) 14．(2024·绍兴模拟)已知直线l：3x＋4y－1＝0，则过坐标原点且与l垂直的直线方程是______，点(2,0)到l的距离是________． 解析：直线l：3x＋4y－1＝0的斜率为k＝－，所以可设与l垂直的直线方程为4x－3y＋c＝0，把(0,0)代入，求得c＝0，所以过坐标原点且与l垂直的直线方程是4x－3y＝0；点(2,0)到l的距离为d＝＝1. 答案：4x－3y＝0　1 15．已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为____________________． 快审准解：根据对称性可求得M关于直线l的对称点P的坐标，再利用直线的两点式方程即可求得结果． 解析：由题意可知，点M(－3，4)关于直线l的对称点P(9,4)，如图所示， 直线PN的方程即为反射光线所在的直线方程，又N(2,6)，P(9,4)，可得kPN＝＝－，根据直线的点斜式方程可得，反射光线所在直线方程为y－6＝－(x－2)，整理得2x＋7y－46＝0，即反射光线所在直线的方程为2x＋7y－46＝0. 答案：2x＋7y－46＝0 16．已知a>0，b>0，直线l1：x＋(a－4)y＋1＝0，l2：2bx＋y－2＝0，且l1⊥l2，则＋的最小值为________． 解析：因为a>0，b>0，直线l1：x＋(a－4)y＋1＝0，l2：2bx＋y－2＝0，且l1⊥l2，所以2b＋a－4＝0，即a＋2b＝4，所以(a＋1)＋2b＝5，所以[(a＋1)＋2b]＝1，所以＋＝[(a＋1)＋2b]·＝≥＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时，取等号，所以＋的最小值为. 答案： 学科网（北京）股份有限公司 $$