第7章 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第三节　空间点、直线、平面之间的位置关系 1．借助长方体，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义． 2．了解可以作为推理依据的基本事实和定理． 3．能运用基本事实、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题． 回首教材 1．基本事实1～3 文字语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面 A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α 基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 ⇒l⊂α 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l 2．3个推论 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面 3．空间中两条直线的位置关系 (1)位置关系分类 共面直线 ①相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点； ②平行直线：在同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内，没有公共点 (2)基本事实4和定理 基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行 定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4．异面直线所成的角 定义 已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角) 范围 垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直 5．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 符号语言 公共点 直线与平面 相交 a∩α＝A 个 平行 a∥α 个 在平面内 a⊂α 无数个 平面与平面 平行 α∥β 个 相交 α∩β＝l 无数个 拓展教材(常见结论及应用) (1)空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补． (2)异面直线的判定：经过平面内一点和平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线． (3)唯一性定理 ①过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． ②过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直． ③过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直． 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) 考题品悟 (2021·新课标Ⅱ卷)[多选]如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MN⊥OP的是( BC ) 追根溯源 (人教A版必修②P147例2) 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O1为底面A1B1C1D1 的中心．求证AO1⊥BD. 发现启迪 两题均以正方体为背景，考查线线垂直的判断．解答此类问题常用的方法是几何法，其关键是熟练掌握三种垂直关系的转化和作出恰当的辅助线. 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1．(人A必修②P128T2改编)[多选]下列命题是假命题的是(　 ) A．空间不共线的三个点确定一个平面 B．一个点和一条直线确定一个平面 C．两两相交的三条直线确定一个平面 D．两两平行的三条直线确定三个平面 答案：BCD 2．(苏教必修②P218T9)下列图形中，能确定直线a，b是异面直线的是(　 ) 解析：选C　a，b两直线在平面内无交点，但可能在被平面遮住的部分有交点，故A错误；a，b两直线在平面内无交点，但在平面上方有一个交点，故B错误；a，b两直线在平面内无交点，在平面外也无交点且不平行，故C正确；a，b两直线在平面内有交点，故D错误． 3．(人A必修②P132T5改编)三个平面最多能把空间分为________部分，最少能把空间分成________部分． 答案：8　4 4.(人A必修②P148T3改编)如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，AB＝AD＝2，AA′＝2，则 (1)直线BC和A′C′所成的角的大小为________． (2)直线AA′和BC′所成的角的大小为________． 解析：(1)因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角， 在Rt△A′B′C′中，A′B′＝2，B′C′＝2，所以∠B′C′A′＝45°.故异面直线BC和A′C′所成的角是45°. (2)因为AA′∥BB′，连接BC′，则∠B′BC′是异面直线AA′与BC′所成的角．在Rt△BB′C′中，B′C′＝AD＝2，BB′＝AA′＝2，所以BC′＝＝4，得cos∠B′BC′＝＝，又∠B′BC′为锐角，所以∠B′BC′＝60°， 故异面直线AA′和BC′所成的角是60°. 答案：(1)45°　(2)60° B组——迷点盲点的澄清训练 1．(误解异面直线的概念)下列关于异面直线的说法正确的是(　 ) A．若a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线 B．若a与b异面，b与c异面，则a与c异面 C．若a，b不同在平面α内，则a与b异面 D．若a，b不同在任何一个平面内，则a与b异面 答案：D 2．(忽视直线在平面内)若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是(　 ) A．b⊂α B．b∥α C．b⊂α或b∥α D．b与α相交或b⊂α或b∥α 答案：D 题点一　基本事实的应用(自主练通) 1．下列结论正确的是(　 ) A．两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线 B．两两相交的三条直线最多可以确定三个平面 C．如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合 D．若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则α内的所有直线与a异面 解析：选B　由基本事实3，两个平面有一个公共点A，那么它们有且只有一条过A点的公共直线，而不是任意一条过点A的直线都是两平面的交线，故A错误；若两两相交的三条直线交于一点，则三条直线最多可以确定三个平面，故B正确；若这三个公共点共线，两平面可能相交，不一定重合，故C错误；若直线a不平行于平面α，且a⊄α，则直线a与平面α相交，设交点为O，则平面α内所有过点O的直线都与a相交于点O，而不是异面，故D错误． 2.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过(　 ) A．点A B．点B C．点C但不过点M D．点C和点M 解析：选D　∵直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，∴β∩γ＝MC，∴γ与β的交线必通过点C和点M. 3．在正方体中，E，F，G，H分别是该点所在棱的中点，则下列图形中E，F，G，H四点共面的是(　 ) 解析：选B　对于A，如图1，点E，F，H，M确定一个平面，该平面与底面交于FM，而点G不在平面EHMF上，故E，F，G，H四点不共面； 对于B，如图2，连接底面对角线AC，由中位线定理得FG∥AC，又EH∥AC，则EH∥FG，故E，F，G，H四点共面；对于C，显然E，F，H所确定的平面为正方体的底面，而点G不在该平面内，故E，F，G，H四点不共面； 对于D，如图3，取部分棱的中点，顺次连接，得到一个正六边形，即点E，G，H确定的平面，该平面与正方体正面的交线为PQ，而点F不在直线PQ上，故E，F，G，H四点不共面． 4．已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q. 求证：(1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线； (3)DE，BF，CC1三线交于一点． 证明(1)如图所示，连接B1D1. 因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF∥B1D1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1∥BD，所以EF∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，F，E四点共面． (2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，又设平面BDEF为β.因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线． (3)因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交．设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1， 同理，M∈平面B1BCC1. 又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1. 所以DE，BF，CC1三线交于一点． [思维建模] 共面、共线、共点问题的证明方法 证明共面方法 纳入平面法 先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内 辅助平面法 先证有关点、线确定平面α，再证明其余点、线确定平面β，最后证明平面α，β重合 证明共 线方法 先由两点确定一条直线，再证明其他各点都在这条直线上 直接证明这些点都在同一条特定直线上 证明线 共点方法 先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点 题点二　空间位置关系的判断(自主练通) 1．如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是(　 ) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．不能确定 解析：选C　逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)． 2．已知直线m⊂平面α，则“平面α∥平面β”是“m∥β”的(　 ) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　由于m⊂α，若“α∥β”，由面面平行的定义知α与β无公共点，即m与β无公共点，故可以推出“m∥β”成立，所以是充分条件．反之，若“m∥β”，平面α与平面β也可能相交．所以不是必要条件．则“α∥β”是“m∥β”的充分不必要条件． 3.[多选]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个结论正确的是(　 ) A．直线AM与CC1是相交直线 B．直线AM与BN是平行直线 C．直线BN与MB1是异面直线 D．直线AM与DD1是异面直线 解析：选CD　直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以A、B错误；点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．故选CD. 4．若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　 ) A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1与l4既不垂直也不平行 D．l1与l4的位置关系不确定 解析：选D　构造如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1，取AD为l1，AA1为l2，A1B1为l3，当取B1C1为l4时，l1∥l4；当取BB1为l4时，l1⊥l4；当取A1D为l4时，l1与l4既不垂直也不平行．故l1与l4的位置关系不确定． [思维建模] (1)点、直线、平面位置关系的判定，注意构造几何体(长方体、正方体)模型来判断，常借助正方体为模型． (2)异面直线的判定方法：①利用反证法，先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线是异面直线；②根据定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线来判断． 题点三　异面直线所成的角 例1　(2024·石家庄开学考试)在正四棱锥P-ABCD中，AB＝PA＝2，E为PC的中点，则异面直线AP与DE所成角的余弦值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选C　如图，连接AC，BD相交于O，连接OE，则O为AC的中点，又E为PC的中点，所以OE∥AP，所以∠DEO为异面直线AP与DE所成的角或其补角．又△PCD为等边三角形，且边长为2，故DE＝，又OE＝PA＝1，OD＝BD＝，所以DE2＝OE2＋OD2，所以∠EOD＝90°，所以cos∠DEO＝＝＝，故选C. 例2　在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为________． 解析：如图，将长方体ABCD-A1B1C1D1补成长方体ABCD-A2B2C2D2，使AA1＝A1A2，连接B1C2，DC2，易知AD1∥B1C2，∴∠DB1C2或其补角为异面直线AD1与DB1所成的角．易知B1C2＝AD1＝2，DB1＝＝，DC2＝＝＝.在△DB1C2中，由余弦定理得cos∠DB1C2＝＝＝－，∴异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为. 答案： [思维建模] 求异面直线所成角的方法 平移法 将异面直线中的某一条平移，使其与另一条相交，一般采用图中已有的平行线或者作平行线，形成三角形求解 补形法 在该几何体的某侧补接上同样一个几何体，在这两个几何体中找异面直线相应的位置，形成三角形求解 [针对训练] 1．在四面体ABCD中，BD＝AC＝2，AB＝BC＝CD＝DA＝，E，F分别为AD，BC的中点，则异面直线EF与AC所成的角为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　如图，把四面体ABCD补成一个长、宽、高分别为，，1的长方体，取AB的中点G，连接GE，GF.因为G，F分别是AB，BC的中点，所以GF∥AC，GF＝AC＝1，同理GE∥BD，GE＝BD＝1.因为AC⊥BD，所以GE⊥GF，所以△GEF是等腰直角三角形，则∠EFG＝，即异面直线EF与AC所成的角为. 2.(2024·运城期末)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作，其第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．如图，若AB，CD都是直角圆锥SO底面圆的直径，且∠AOD＝，则异面直线SA与BD所成角的余弦值为________． 解析：如图，连接AD，BC，AC，SC.因为O为AB，CD中点，且AB＝CD，所以四边形ADBC为矩形，所以DB∥AC，所以∠SAC或其补角为异面直线SA与BD所成的角．设圆O的半径为1，则SA＝SC＝.因为∠AOD＝，所以∠ADO＝.在Rt△DAC中，CD＝2，得AC＝.所以cos∠SAC＝＝，所以异面直线SA与BD所成角的余弦值为. 答案： 易错防范 求异面直线所成的角时，易忽视异面直线所成角的范围是而致误． 易错再练 直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝120°，E为BB′的中点，异面直线CE与C′A所成角的余弦值是(　 ) A.－ B. C．－ D. 答案：B [课时跟踪检测] 1．(2024·烟台二中期末)在空间中，“直线AB与CD没有公共点”是“直线AB与CD异面”的(　 ) A．必要不充分条件 B．充要条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A　在空间中，若直线AB与CD没有公共点，则直线AB与CD平行或异面．故“直线AB与CD没有公共点”是“直线AB与CD异面”的必要不充分条件．故选A. 2．(2024·吉林模拟)[多选]已知α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(　 ) A．若α∩β＝l，A∈α且A∈β，则A∈l B．若A，B，C是平面α内不共线三点，A∈β，B∈β，则C∉β C．若直线a⊂α，直线b⊂β，则a与b为异面直线 D．若A∈α且B∈α，则直线AB⊂α 解析：选ABD　根据A∈α且A∈β，则A是平面α和平面β的公共点，又α∩β＝l，由基本事实3可得A∈l，故A正确；由基本事实1：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，又A∈β，B∈β，且A，B，C∈α，则C∉β，故B正确；由于平面α和平面β位置不确定，则直线a与直线b位置亦不确定，可能异面、相交、平行、重合，故C错误；由基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内，故D正确．故选ABD. 3．(2024·惠州模拟)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　如图，连接BC1，PC1，因为AD1∥BC1，所以∠PBC1或其补角为直线PB与AD1所成的角．因为BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥PC1.又PC1⊥B1D1，BB1∩B1D1＝B1，所以PC1⊥平面PBB1，所以PC1⊥PB，设正方体棱长为2，则BC1＝2，PC1＝D1B1＝，sin∠PBC1＝＝，所以∠PBC1＝.故选D. 4.如图，在四棱台ABCD-A1B1C1D1中，正方形ABCD和A1B1C1D1的中心分别为O1和O2，O1O2⊥平面ABCD，O1O2＝3，AB＝5，A1B1＝4，则直线O1O2与直线AA1所成角的正切值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　连接AO1，A1O2，作A1E⊥AO1，垂足为E，∠AA1E即为直线O1O2与直线AA1所成的角．tan∠AA1E＝＝＝.故选B. 5．[多选]木工小张在处理如图所示的一块四棱台形状的木块ABCD-A1B1C1D1时，为了经过木料表面CDD1C1内一点P和棱AA1将木料平整锯开，需要在木料表面CDD1C1过点P画直线l.则下列结论正确的是(　 ) A．l∥DD1 B．l∥BB1 C．l与直线AA1相交 D．l与直线CC1相交 解析：选CD　延长A1A，B1B交于点M，则C1C，D1D的延长线也过点M，如图所示， 因为M∈AA1，则M∈平面PAA1，则直线PM即为所求作的直线l， 所以直线l与直线AA1、直线BB1、直线CC1、直线DD1都相交．故选CD. 6．(2024·绵阳模拟)在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是弧BC的中点，F是AB的中点，则(　 ) A．AE＝CF，AC与EF是共面直线 B．AE≠CF，AC与EF是共面直线 C．AE＝CF，AC与EF是异面直线 D．AE≠CF，AC与EF是异面直线 解析：选D　如图，在底面半径为1的圆柱OO1中，母线AB＝2，BC＝2，E是的中点，则BE＝.∵F是AB的中点，又AB＝2，则BF＝1，AE＝＝＝，CF＝＝＝，∴AE≠CF.在△ABC中，O是BC的中点，F是AB的中点，∴OF∥AC，∴AC与OF是共面直线，若AC与EF是共面直线，则O，F，A，C，E在同一平面，显然矛盾，故AC与EF是异面直线，故选D. 7.[多选]用一个平面截正方体，所得的截面不可能是(　 ) A．锐角三角形 B．直角梯形 C．有一个内角为75°的菱形 D．正五边形 解析：选BCD　用一个平面截正方体，只截正方体三个面，得锐角三角形，如图1，截四个面得四边形，四边形可以是矩形、正方形，可以是菱形，如图2中四边形ABCD(其中B，D为所在棱的中点)，但内角不是75°，图中菱形锐角内角的余弦值为，可以是梯形，如图2中四边形AEFG，但不可能是直角梯形，截六个面得六边形，如果过一个顶点截面可为五边形(也可不过顶点)，如图3，但不会是正五边形．故选BCD. 8.如图，在四面体A-BCD中作截面PQR，若PQ，CB的延长线交于点M，RQ，DB的延长线交于点N，RP，DC的延长线交于点K.则M，N，K三点的位置关系是________． 解析：因为M∈PQ，直线PQ⊂平面PQR，M∈BC，直线BC⊂平面BCD，所以M是平面PQR与平面BCD的一个公共点，所以M在平面PQR与平面BCD的交线上．同理可证，N，K也在平面PQR与平面BCD的交线上．所以M，N，K三点共线． 答案：共线 9．已知A，B，C，D是不共面的四个点，且这四个点到平面α的距离都相等，则这样的平面α有________个． 解析：当A，B，C三点在平面同侧，D位于平面另一侧时，只需A，B，C三点确定的平面到平面α的距离与点D到平面α的距离相等，则此时的平面α符合题意． 即当A，B，C，D中的三个点在平面同侧，另一个点在平面另一侧时，这样的情况有4种，则满足题意的α有4个； 当A，B位于平面同侧，C，D位于平面另一侧时，只需直线AB与直线CD到平面α的距离相等，则此时的平面α符合题意． 则当A，B，C，D中的两个点在平面同侧，另两个点在平面另一侧时，这样的情况有3种，则满足题意的α有3个． 综上所述，这样的平面α有7个． 答案：7 10．平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A，平面α∥平面A1BD，平面α∩平面ABCD＝l，则直线l与直线CD1所成的角为________． 解析：如图所示，易知l∥BD，又CD1∥BA1，所以直线l与直线CD1所成的角即为直线BD与直线BA1所成的角．在等边三角形A1BD中，∠A1BD＝60°，即异面直线l与直线CD1所成的角为60°. 答案：60° 11.如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，B1C1，AB，BC的中点． (1)证明E，F，G，H四点共面； (2)证明GE，FH，BB1相交于一点． 证明：(1)连接AC，A1C1，如图所示． 因为ABCD-A1B1C1D1为正四棱台，所以A1C1∥AC. 又E，F，G，H分别为棱A1B1，B1C1，AB，BC的中点，所以EF∥A1C1，GH∥AC， 则EF∥GH，所以E，F，G，H四点共面． (2)因为A1C1≠AC，所以EF≠GH，所以四边形EFHG为梯形，则EG与FH必相交． 设EG∩FH＝P，因为EG⊂平面AA1B1B，所以P∈平面AA1B1B. 因为FH⊂平面BB1C1C，所以P∈平面BB1C1C. 又平面AA1B1B∩平面BB1C1C＝BB1，所以P∈BB1，则GE，FH，BB1交于一点． 12.如图，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点． (1)求证：直线EF与BD是异面直线； (2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角的大小． 解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾，故直线EF与BD是异面直线． (2)如图，取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD. 所以相交直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角． 又因为AC⊥BD，则FG⊥EG， 在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°. 13．(2023·宁德二模)在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1D和CD1与底面所成的角分别为45°和30°，则异面直线A1D和B1D1所成角的余弦值为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　由题意，可作图如图，则∠A1DA＝45°，∠D1CD＝30°，设AD＝1，在△ADA1中，易知AA1＝AD＝1，在△D1DC中，DD1＝AA1＝1，DD1⊥CD，CD＝＝，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，易知DB∥B1D1，则∠A1DB为异面直线A1D和B1D1所成的角或其补角，在Rt△DAB中，AD2＋AB2＝BD2，则BD＝2，同理可得A1D＝，A1B＝2，在△A1DB中，由余弦定理，得cos∠A1DB＝＝＝.故选B. 14.已知ABCD-A′B′C′D′为长方体，对角线AC′与平面A′BD相交于点G，则G为△A′BD的(　 ) A．垂心 　　　B．重心 C．内心 　　　D．外心 解析：选B　如图连接AC交BD于点E，连接A′E，AB′，A′C′，DC′，AB′∩A′B＝F，连接DF，由ABCD-A′B′C′D′为长方体，所以E为BD的中点，F为A′B的中点，则A′E，DF为△A′BD的中线，平面A′BD∩平面A′C′CA＝A′E，体对角线AC′与平面A′BD相交于点G，则G∈A′E，平面A′BD∩平面B′C′DA＝DF，体对角线AC′与平面A′BD相交于点G，则G∈DF，所以G为A′E与DF的交点，所以G为△A′BD的重心． 15．已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则A1P＋PC的最小值为________． 解析：如图①，连接A1B，由已知数据可得BC1＝2，A1B＝2，则A1C＋BC＝A1B2，∴∠A1C1B＝90°.将△BCC1沿BC1展平在平面A1BC1内，连接A1C，如图②，则A1P＋PC的最小值为线段A1C的长．在△A1C1C中，A1C1＝2，CC1＝，易知∠A1C1C＝135°，由余弦定理，得A1C2＝A1C＋CC－2A1C1·CC1·cos∠A1C1C＝22＋()2－2×2××cos 135°＝4＋2＋4＝10，∴A1C＝，即A1P＋PC的最小值为. 答案： 16.如图，已知多面体PABCDE的底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，ED∥PA，且PA＝ED＝AB，现将△CDE以直线DE为轴旋转一周后，求直线BP与动直线CE所成角的取值范围． 解：如图所示，将PB平移到EB1的位置，C1点在以D为圆心，1为半径的圆上运动． 则∠B1EC1就是所求线线角，根据三角形中“大角对大边”，EB1，EC1为定值， 故最值由B1C1来确定，故当C1在C处线线角最小，在C2处线线角最大．由于PA＝ED＝AB，故∠PBA＝∠EB1D＝.而DE＝DC＝1，故∠ECD＝，所以∠CEB1＝－＝.而∠EC2D＝∠ECD＝，故∠B1EC2＝π－－＝.所以所求线线角的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$