第7章 第1节 空间几何体(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第七章|立体几何与空间向量 第一节　空间几何体 1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 2．理解斜二测画法，能通过直观图还原原图并会相关计算． 3．知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题． 回首教材 1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 互相平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 2.旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 3．直观图的斜二测画法的规则 建系 原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直 规则 原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半 4.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 5.柱体、锥体、台体和球的表面积与体积公式(其中高为h，球的半径为R) 表面积 体积 柱体 S表面积＝S侧＋2S底 V＝S底h 锥体 S表面积＝S侧＋S底 V＝S底h 台体 S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 拓展教材(常见结论及应用) 1．正四面体的表面积与体积 正四面体的表面积为a2，体积为a3(a是正四面体的棱长)． 2．球的截面的性质 (1)球的任何截面都是圆面； (2)球心和截面(不过球心)圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝. 3．直观图与原图形面积的关系 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系： (1)S直观图＝S原图形．(2)S原图形＝2S直观图． 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) 考题品悟 (2023·新课标Ⅰ卷)在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，则该棱台的体积为. 追根溯源 (苏教必修②P206·T5)一个正四棱台形油槽可以装煤油190 L，假如它的上、下底面边长分别为60 cm和40 cm，求它的深度． 发现启迪 在高考中，空间几何体的表面积和体积必考1题．两题均以正四棱台为载体考查体积公式，教材题给出了体积，上、下底面积求高，高考题给出了上、下底面积，侧棱长求体积，其实也是求高，怎能不说高考题源于教材，高于教材呢！ 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1．(人B必修④P90T5改编)判断正误： (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　 ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　 ) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．(　 ) (4)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱．(　 ) (5)上、下底面是两个平行的圆面的旋转体是圆台．(　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)× 2.(人A必修②P106T8改编)如图，若长方体ABCD-A′B′C′D′中截去体积较小的一部分，其中EH∥B′C′∥FG，则剩下的几何体是(　 ) A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱 答案：C 3．(人A必修②P119T1改编)如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内．如果四边形ABCD是边长为3 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是________ cm2. 答案：18 4．(北师大必修②P256T2改编)某小区修建一个圆台形的花台，它的两底面半径分别为1 m和2 m，高为1 m，则需要________ m3的土才能把花台填满． 答案： B组——迷点盲点的澄清训练 1．(直观图与原图形面积的关系用错)如图，Rt△O′B′A′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是(　 ) A．1 B. C．2 D．4 答案：C 2．(几何体形状不确定时，忽视分类讨论)圆柱的侧面展开图是边长分别为6π和4π的矩形，则圆柱的体积是________． 答案：24π2或36π2 题点一　基本立体图形(自主练通) 1．下列命题： ①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱； ②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱； ③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形； ④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱． 其中正确命题的个数为(　 ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：选A　如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故①错误；如图2，满足两侧面ABB1A1和DCC1D1与底面垂直，但不是直棱柱，故②错误；如图3，四边形ACC1A1为矩形，即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，故③错误；所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，故④错误． 2．(2024·淮北一模)如图所示，在三棱台A′B′C′-ABC中，沿平面A′BC截去三棱锥A′-ABC，则剩余的部分是(　 ) A．三棱锥 　　　 B．四棱锥 C．三棱柱 　　　 D．组合体 解析：选B　三棱台A′B′C′-ABC中，沿平面A′BC截去三棱锥A′-ABC，剩余的部分是以A′为顶点，四边形BCC′B′为底面的四棱锥A′-BCC′B′.故选B. 3．[多选]在一个密闭透明的圆柱桶内装一定体积的水，将该圆柱桶分别竖直、水平、倾斜放置时，圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状可能是(　 ) A．圆面 B．矩形面 C．梯形面 D．椭圆面或部分椭圆面 解析：选ABD　将圆柱桶竖放，水面为圆面；将圆柱桶斜放，水面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水面为矩形面，故选ABD. 4.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中O′C′＝O′A′＝2O′B′，则△ABC是(　 ) A．钝角三角形 B．等腰三角形，但不是直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析：选C　将其还原成原图，设A′C′＝2，则可得OB＝2O′B′＝1，AC＝A′C′＝2，从而AB＝BC＝，所以AB2＋BC2＝AC2，即AB⊥BC，故△ABC是等腰直角三角形．故选C. [思维建模] 空间几何体结构特征的判断技巧 (1)定义法：紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． (2)反例法：学会通过反例对概念进行辨析，即说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可． 题点二　空间几何体的表面积与体积 考法(一)　空间几何体的侧面积与表面积　 例1　《九章算术》中将圆台称为“圆亭”．已知某圆亭的高为3，上底面半径为1，下底面半径为5，则此圆亭的表面积为(　 ) A．25π B．26π C．30π D．56π 解析：选D　由题意，可作该圆亭的轴截面，如图所示，则圆亭的高h＝O1O2＝BE＝3，上底面半径r＝O2B＝1，下底面半径R＝O1A＝5，母线l＝AB＝＝5，所以圆台的表面积S＝π(r＋R)l＋πr2＋πR2＝56π. 例2　(2024·周口模拟)如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°，则该三棱柱的侧面积为(　 ) A．4＋4 B．4＋4 C．12 D．8＋4 解析：选A　连接A1B.因为AA1⊥底面ABC，则AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2，BC＝.又AB⊥BC，则AB＝，则该三棱柱的侧面积为2×2＋2×2＝4＋4. |思维建模|求空间几何体表面积的技巧 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和． (2)组合体的表面积应注意重合部分的处理． (3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和． 考法(二)　空间几何体的体积　 例3　如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝3，则四棱锥A1-B1C1CB的体积是(　 ) A．2 　　　 B．2 C. 　　　 D．4 解析：选A　由题意正三棱柱ABC-A1B1C1的体积VABC-A1B1C1＝3××2×2×＝3，三棱锥A1-ABC的体积VA1-ABC＝×3××2×2×＝，所以四棱锥A1-B1C1CB的体积VA1-B1C1CB＝VABC-A1B1C1－VA1-ABC＝3－＝2. 例4　在《九章算术·商功》中将正四面形棱台体(棱台的上、下底面均为正方形)称为方亭．在方亭ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝2，四个侧面均为全等的等腰梯形且面积之和为3，则该方亭的体积为(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　如图，过A1作A1E⊥AB，垂足为E，由四个侧面的面积之和为3知，侧面ABB1A1的面积为，∴(AB＋A1B1)·A1E＝，则A1E＝.由题意得AE＝(AB－A1B1)＝，在Rt△AEA1中，AA1＝＝＝1.连接AC，A1C1，过A1作A1F⊥AC，垂足为F，易知四边形ACC1A1为等腰梯形且AC＝2，A1C1＝，则AF＝(AC－A1C1)＝，∴A1F＝＝，∴该方亭的体积V＝(12＋22＋)×＝.故选D. |思维建模|　简单几何体体积的常用求法 公式法 规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解 割补法 把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体 等体积法 通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积 [针对训练] 1．(2024·深圳高级中学模拟)已知一个直棱柱与一个斜棱柱的底面多边形全等，且它们的侧棱长也相等．若直棱柱的体积和侧面积分别为V1和S1，斜棱柱的体积和侧面积分别为V2和S2，则(　 ) A.> B.< C.＝ D.与的大小关系无法确定 解析：选A　设棱柱的底面周长为c，底面面积为S，侧棱长为l，斜棱柱的高为h，则＝＝，而V2>Sh，斜棱柱各侧面的高均不小于h，所以S2>ch，于是，有<＝，所以>.故选A. 2.(2024·海南模拟)如图，某制药厂以前生产的维C药片的形状是由一个圆柱和两个直径为 cm的半球组成的几何体，总长度为2 cm.现根据市场需求进行产品升级，要将药片形状改为高为 cm的圆柱，且升级前后药片的表面积相同，则升级后的药片体积相比升级前(　 ) A．减少了 cm3 B．增加了 cm3 C．减少了 cm3 D．增加了 cm3 解析：选D　升级前的药片表面积为4π×2＋π××＝π(cm2)，体积为π×3＋π×2×＝π(cm3)，设升级后的药片底面半径为r，则2πr2＋2πr×＝π，解得r＝(cm)，升级后药片的体积为π×2×＝(cm3)，因为－＝，所以升级后体积增加了 cm3，故选D. 3．(2023·新课标Ⅱ卷)[多选]已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，∠APB＝120°，PA＝2，点C在底面圆周上，且二面角P-AC-O为45°，则(　 ) A．该圆锥的体积为π B．该圆锥的侧面积为4π C．AC＝2 D．△PAC的面积为 解析：选AC　在△PAB中，由余弦定理得AB＝2，如图，连接PO，易知圆锥的高h＝PO＝1，底面圆的半径r＝AO＝BO＝.该圆锥的体积V＝πr2h＝π，故A正确；该圆锥的侧面积S侧＝πr·PA＝2π，故B错误；取AC的中点H，连接PH，OH，因为OA＝OC，所以OH⊥AC，同理可得PH⊥AC，则二面角P-AC-O的平面角为∠PHO＝45°，所以OH＝PO＝1，AH＝CH＝＝，所以AC＝2，故C正确；由上述分析知PH＝OH＝，S△PAC＝×2×＝2，故D错误．故选AC. 多面体的平面展开图 1．常见多面体的展开图 (1)直棱柱的侧面展开图是矩形． (2)正棱锥的侧面展开图是由一些全等的等腰三角形拼成的，底面是正多边形． (3)正棱台的侧面展开图是由一些全等的等腰梯形拼成的，底面是正多边形． 2．常见旋转体的展开图 (1)圆柱的侧面展开图是矩形，矩形的长(或宽)是底面圆周长，宽(或长)是圆柱的母线长． (2)圆锥的侧面展开图是扇形，扇形的半径长是圆锥的母线长，弧长是圆锥的底面周长． (3)圆台的侧面展开图是扇环，扇环的上、下弧长分别为圆台的上、下底面周长． [应用体验] 1．(2024·沈阳阶段练习)[多选]圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为180°，则下面说法正确的是(　 ) A．圆台的母线长是20 B．圆台的表面积是1 100π C．圆台的高是10 D．圆台的体积是π 解析：选ABD　依题意，圆台侧面展开图如图，设圆台的上底面周长为C，由扇环的圆心角为180°，得C＝π·SA，又C＝10×2π，则SA＝20，同理SB＝40，于是圆台的母线AB＝SB－SA＝20，高h＝＝10，表面积S＝(10＋20)×20π＋100π＋400π＝1 100π，体积V＝π×10×(102＋10×20＋202)＝π，故选ABD. 2.如图，正三棱锥A-BCD中，∠BAD＝30°，侧棱长为2，过点C的平面截得△CB1D1.则△CB1D1的周长的最小值为(　 ) A．2 B．2 C．4 D．2 解析：选D　由题意，沿正三棱锥A-BCD的侧棱AC剪开，所得侧面展开图是三个顶角为30°的等腰三角形，腰长为2，如图所示，连接CC1，则∠CAC1＝90°，所以△CAC1是等腰直角三角形，则CC1＝＝2，由两点间距离线段最短，得△CB1D1的周长的最小值为C，C1两点之间的距离，即2，故选D. 3.第24届冬奥会于2022年在中国北京举办，单板滑雪的U型场地近似为圆柱体的一部分(如图)．现一名运动员从顶端A点滑行到另一顶端B点，则滑行的最短距离约为(　 ) A. m B. m C. m D. m 快审准解：先画出U型场地的截面，求出∠AOC的大小，从而可求出弧AD的长，然后在U型场地侧面展开图中计算即可． 解析：选A　如图(1)所示是U型场地的截面示意图， 设圆柱的底面半径为r，则在Rt△ACO中， (r－4)2＋2＝r2，解得r＝10. 设∠AOC＝θ，则sin θ＝＝＝， 所以θ≈53°，所以∠AOD≈106°， 所以弧AD的长为l＝≈＝π. U型场地侧面展开图如图(2)所示， 则从顶端A点滑行到另一顶端B点，滑行的最短距离约为 m. 4．已知正三棱柱ABC-A′B′C′的各棱长均为2，P是线段BC′的中点，沿正三棱柱的表面从点A′到点P的路程最小值为________． 解析：正三棱柱ABC-A′B′C′如图1所示．当按照图2所示展开，过点P作PP′⊥A′C′于点P′，可知PP′＝1，A′P′＝3，由勾股定理可得A′P＝＝；当按照图3所示展开，连接A′P交B′C′于点O，可知OP＝1，A′O＝，所以A′P＝＋1.因为＋1<，所以点A′到点P的路程最小值为＋1. 答案：＋1 [反思领悟] (1)多面体的展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系．由多面体画平面展开图，一定要先观察立体图形的每一个面的形状． (2)求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体的侧面展开，转化为求平面上两点间的最短距离问题． [课时跟踪检测] 1．下列命题正确的是(　 ) A．用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台 B．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 C．圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形 D．一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台 解析：选C　只有在平面平行于圆锥底面时，才能将圆锥截为一个圆锥和一个圆台，当平面不平行于圆锥底面时，得到的几何体并非圆锥和圆台，所以A错误；棱柱的侧棱都相等且平行，且侧面是平行四边形，但其底面多边形各边不一定相等，则侧面并不一定全等，所以B错误；圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都可以构成直角三角形，所以C正确；直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示，所以D错误． 2．三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为(　 ) A．18 B．21 C．24 D．27 解析：选B　三棱柱的三个侧面将空间分成7部分，三棱柱的两个底面将空间分成3部分．故三棱柱各面所在平面将空间分成不同部分的个数为3×7＝21. 3．圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为(　 ) A. B. C. D. 解析：选B　设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，则＝＝，所以h＝＝2r＝2，解得r＝，所以圆锥的体积为πr2h＝.故选B. 4.如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝3，O′C′＝1，则原图形是(　 ) A．面积为6的矩形 B．面积为的矩形 C．面积为6的菱形 D．面积为的菱形 解析：选C　因为∠D′O′A′＝45°，O′C′＝C′D′＝1，所以O′D′＝，故在原图中，OD＝2，CD＝C′D′＝1，OC＝＝＝3，所以四边形OABC为菱形(如图所示)，OA＝3，则原图形面积为S＝OA×OD＝6. 5．(2024·辽源期末)我国古代经典数学名著《九章算术》中有一段表述：“今有圆堡壔(do)，周四丈八尺，高一丈一尺”，意思是有一个圆柱，底面周长为4丈8尺，高为1丈1尺．则该圆柱的表面积约为(注：1丈＝10尺，π取3)(　 ) A．1 088平方尺 B．912平方尺 C．720平方尺 D．656平方尺 解析：选B　由1丈＝10尺，则4丈8尺＝48尺，1丈1尺＝11尺，如图，则BC＝11,2π·AB＝48，解得AB＝8，则圆柱底面积为S1＝2×π·AB2＝128×3＝384(平方尺)，侧面积为S2＝2π·AB·BC＝2×3×8×11＝528(平方尺)，则圆柱的表面积S＝S1＋S2＝912(平方尺)，故选B. 6．正多面体共有5种，统称为柏拉图体，它们分别是正四面体、正六面体(即正方体)、正八面体、正十二面体、正二十面体．若连接某正方体的相邻面的中心，就可以得到一个正八面体，已知该正八面体的体积为，则生成它的正方体的棱长为(　 ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D　设正方体棱长为2a，可得正八面体是由两个四棱锥构成，四棱锥的底面为边长为a的正方形，高为a，则正八面体体积为2××2a2×a＝，解得a＝2，∴棱长2a＝4.故选D. 7.在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后，剩余部分几何体如图所示．已知正六棱柱的底面正六边形边长为3 cm，高为4 cm，内孔半径为1 cm，则此几何体的表面积是(　 ) A. cm2 　　 B．(72＋27＋8π) cm2 C．(72＋27＋6π) cm2 　　 D．(60＋27＋6π) cm2 解析：选C　所求几何体的侧面积为3×4×6＝72(cm2)，上、下底面面积为×2＝(27－2π)(cm2)，挖去圆柱的侧面积为2π×4＝8π(cm2)，则所求几何体的表面积为(72＋27＋6π)(cm2)． 8．(2023·全国甲卷)在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，PC＝，则该棱锥的体积为(　 ) A．1 B. C．2 D．3 解析：选A　如图，取AB的中点D，连接PD，CD，因为△ABC是边长为2的等边三角形，PA＝PB＝2，所以PD⊥AB，CD⊥AB，所以PD＝CD＝，又PC＝，所以PD2＋CD2＝PC2，所以PD⊥CD，又AB∩CD＝D，AB，CD⊂平面ABC，所以PD⊥平面ABC，所以VP-ABC＝×S△ABC×PD＝××2××＝1，故选A. 9.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，过A1B1的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则＝(　 ) A. B. C. D. 解析：选D　由题可知平面A1B1ED与棱柱上、下底面分别交于A1B1，ED，则A1B1∥ED，ED∥AB，显然CDE-C1A1B1是三棱台，设△ABC的面积为1，△CDE的面积为S，三棱柱的高为h，∴·1·h＝h(1＋S＋)，解得＝，由△CDE∽△CAB，可得＝＝.故选D. 10．[多选]如果一个凸n面体共有m个面是直角三角形，那么我们称这个凸n面体的直度为，则(　 ) A．三棱锥的直度的最大值为1 B．直度为的三棱锥只有一种 C．四棱锥的直度的最大值为1 D．四棱锥的直度的最大值为 解析：选AD　如图，借助于正方体模型，图1中三棱锥D-ABC的四个面都是直角三角形，其直度为1，A正确； 图1中三棱锥E-BCD，三个面CED，CBD，BCE都是直角三角形，面BDE为正三角形，其直度为.图2中三棱锥D-ABC，三个面ABD，CBD，ABC都是直角三角形，面ACD为正三角形，其直度为，故直度为的三棱锥不止一种，B错误；四棱锥共有5个面，底面为四边形，故其直度不可能为1，C错误；图3中的四棱锥P-ABCD的四个侧面都是直角三角形，底面为正方形，故四棱锥的直度的最大值为，D正确．故选AD. 11．圆柱的轴截面是周长为12的矩形，则满足条件的圆柱的最大体积为(　 ) A．8π B．10π C．12π D．16π 解析：选A　设圆柱的底面半径为r，高为h，则4r＋2h＝12，即2r＋h＝6，圆柱的体积V＝πr2h＝πr2(6－2r)＝－2πr3＋6πr2,0<r<3，(重点：遇到求三次方函数的最值问题，想到利用导数求解)V′＝－6πr2＋12πr＝－6πr(r－2)，当0<r<2时，V′>0，函数单调递增，当2<r<3时，V′<0，函数单调递减，所以当r＝2时，函数V(r)取得最大值，最大值为V(2)＝8π.故选A. 12．(2023·新课标Ⅰ卷)[多选]下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(　 ) A．直径为0.99 m的球体 B．所有棱长均为1.4 m的四面体 C．底面直径为0.01 m，高为1.8 m的圆柱体 D．底面直径为1.2 m，高为0.01 m的圆柱体 解析：选ABD　因为棱长为1 m的正方体的内切球的直径为1 m，所以A正确；因为棱长为1 m的正方体中可放入棱长为 m的正四面体，且＞1.4，所以B正确；因为正方体的棱长为1 m，体对角线长为 m，＜1.8，所以高为1.8 m的圆柱体不可能整体放入正方体容器中，所以C不正确；因为正方体的体对角线长为 m，且＞1.2，设正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，以AC1为轴对称放置圆柱，设圆柱的底面圆心O1到正方体的表面的最近的距离为h m，如图，结合对称性可知，OC1＝C1A＝，C1O1＝OC1－OO1＝－0.6，则＝，即＝，解得h＝－＞0.01，所以能够被整体放入正方体内，所以D正确．故选ABD. 13.如图，一个水平放置在桌面上的无盖正方体容器ABCD-A1B1C1D1，AB＝4，容器内装有高度为h的水，现将容器绕着棱A1B1所在直线顺时针旋转45°，容器中溢出的水刚好装满一个半径为的半球形容器，不考虑容器厚度以及其他因素影响，则h＝________. 解析：由题意可知当旋转后，此时水面溢出，则此时水在正方体容器中形成一个三棱柱(正方体的一半)，故由长方体、球的体积公式可知，16h－×43＝×π3，解得h＝. 答案： 14.如图，在六面体ABC-FEDG中，BG⊥平面ABC，平面ABC∥平面FEDG，AF∥BG，FE∥GD，∠FGD＝90°，AB＝BC＝BG＝2，GD＝2BC，四边形AEDC是菱形，则六面体ABC-FEDG的体积为________． 解析：如图，连接AG，AD，则V六面体ABC-FEDG＝V四棱锥A-FEDG＋V四棱锥A-BCDG ＝2V四棱锥A-FEDG，由题意得，EF＝2，DG＝4，FG＝AF＝2， ∴S梯形FEDG＝×(2＋4)×2＝6，∴V四棱锥A-FEDG＝×S梯形FEDG×AF＝4， ∴V六面体ABC-FEDG＝8. 答案：8 15．如图，在正四棱台ABCD-EFGH中，AB＝4，EF＝9，且四棱锥E-ABCD的体积为48，则该四棱台的体积为________． 解析：法一　由题意，设点E到平面ABCD的距离为h，由四边形ABCD面积为S＝(4)2＝48，得四棱锥E-ABCD的体积为48＝hS＝×48h，得h＝3.所以棱台体积为V＝h ＝×3×＝399. 法二　由题意，设点E到平面ABCD的距离为h，由四边形ABCD面积为S＝(4)2＝48，得四棱锥E-ABCD的体积为48＝hS＝×48h，得h＝3. 由棱台定义知，延长EA，FB，GC，HD交于一点，设为P，设棱锥P-ABCD的高为x，则棱锥P-EFGH的高为x＋3，由三角形相似可得＝＝，得x＝，于是棱台体积V＝(x＋3)S下－xS上＝××243－××48＝399. 答案：399 16．(2024·南京模拟)已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为________时，圆锥的体积最大，最大值为________． 解析：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，高为h，设母线与底面所成的角为α，则cos α＝(0<cos α<1)，则r＝2cos α，则h＝＝2，则圆锥的体积为V＝πr2h＝π(2cos α)2·2＝π.令x＝cos α(0<x<1)，则V(x)＝π，令f(x)＝x4－x6(0<x<1)，求导得f′(x)＝4x3－6x5＝2x3(2－3x2)，令f′(x)＝0，则x＝或x＝－(舍去)或x＝0(舍去)，所以当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以当x＝时，f(x)取得极大值，也是最大值．此时V(x)＝π最大，Vmax＝V＝π.即圆锥的母线与底面所成的角的余弦值cos α＝时，圆锥的体积最大，最大值为π. 答案：　π 学科网（北京）股份有限公司 $$