第3章 第2节 导数与函数的单调性(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第二节　导数与函数的单调性 学习目标 1.了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性,能求函数的单调区间. 3.会利用函数的单调性判断大小、求参数范围等简单应用. 　　　　　　　　　　　　　　　　 回首教材 1.函数单调性与导数的关系 设函数f(x)在(a,b)内可导,f'(x)是f(x)的导函数,则 f'(x)>0 f(x)在(a,b)内单调递增 f'(x)<0 f(x)在(a,b)内单调递减 f'(x)=0 f(x)在(a,b)内为常数函数 2.充分、必要条件与导数及函数单调性 (1)f'(x)>0(或f'(x)<0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件. (2)f'(x)≥0(或f'(x)≤0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件. (3)若f'(x)在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,则f'(x)≥0(或f'(x)≤0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(或递减)的充要条件. 　　[微点提醒] (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,则当x∈(a,b)时,f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)内单调递减,则当x∈(a,b)时,f'(x)≤0恒成立. (2)若函数f(x)在(a,b)内存在单调递增区间,则当x∈(a,b)时,f'(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)内存在单调递减区间,则当x∈(a,b)时,f'(x)<0有解. 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) 考题品悟 (2023·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)单调递增,则a的最小值为 ( C ) A.e2　　　　　　B.e C.e-1　　　　　 D.e-2 追根溯源 (人B选择性必修③P113T4)已知关于x的函数y=x3-t2x-tx2+t3在区间(-1,3)上单调递减,求t的取值范围. 发现启迪 高考试题与教材习题的考查角度完全相同,都是根据函数在已知区间上的单调性求参数的范围.只不过高考试题的函数更为复杂一点,这就要求考生的解题能力在完成教材习题的基础上深化拓展. 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1.(人A选择性必修②P86例1改编)函数f(x)=cos x-x在(0,π)内 (　 ) A.先增后减 B.先减后增 C.单调递增 D.单调递减 解析:选D　∵当x∈(0,π)时,f'(x)=-sin x-1<0,∴f(x)在(0,π)内单调递减. 2.(人B选择性必修③P112T8改编)函数f(x)=2x2-ln x的单调递减区间是 (　 ) A. 　　　 B. C. 　　　 D.∪解析:选C　因为函数f(x)=2x2-ln x,x>0,所以f'(x)=4x-==.由f'(x)<0,解得0<x<,所以函数f(x)的单调递减区间是.故选C. 3. (湘教选择性必修②P30T1改编)导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是 (　 ) 解析:选D　由题图可知当x>0时,f'(x)>0,当x<0时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,D选项符合. B组——迷点盲点的澄清训练 1.(求单调区间忽视定义域)函数f(x)=ln x-x的单调递增区间为 (　 ) A.(-∞,1) B.(0,1) C.(1,+∞) D.(-1,1) 解析:选B　易知f(x)的定义域是(0,+∞),且f'(x)=-1=,令f'(x)>0,得0<x<1,故f(x)的单调递增区间为(0,1). 2.(求参数范围忽视验证等号是否成立)若y=x+(a>0)在[2,+∞)上单调递增,则a的取值范围是　　　　.  解析:由y'=1-≥0,得x≤-a或x≥a,所以y=x+的单调递增区间为(-∞,-a],[a,+∞).因为函数在[2,+∞)上单调递增,所以[2,+∞)⊆[a,+∞),所以a≤2.又a>0,所以0<a≤2. 答案:(0,2] 题点一　求函数的单调性 　　　　　　　　　　　　　　　　 考法(一)　不含参的函数的单调性　例1　(2024·重庆八中月考)函数f(x)=e-xcos x(x∈(0,π))的单调递增区间为 (　 ) A. B. C. D. 解析:选D　f'(x)=-e-xcos x-e-xsin x=-e-x(cos x+sin x)=-e-xsin,当x∈时,e-x>0,sin>0,则f'(x)<0;当x∈时,e-x>0,sin<0,则f'(x)>0.所以f(x)的单调递增区间为.故选D. 例2　函数f(x)=2x+-ln x的单调递减区间为　　　　.   解析:由题可知,f(x)=2x+-ln x的定义域为(0,+∞),由f'(x)=2--==,可得当x∈(0,1)时,f'(x)<0,此时函数f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,此时函数f(x)单调递增.故函数f(x)=2x+-ln x的单调递减区间为(0,1). 答案:(0,1) |思维建模|　利用导数求函数单调区间的3种情况 (1)导函数不等式可解时,解不等式f'(x)>0或f'(x)<0求出单调区间. (2)方程f'(x)=0可解时,解出方程的实根,按实根把函数的定义域划分成若干个区间,确定各区间内f'(x)的符号,从而确定单调区间. (3)导函数的方程、不等式都不可解时,根据f'(x)的结构特征,利用其图象与性质确定f'(x)的符号,从而确定单调区间. 考法(二)　含参的函数的单调性　例3　(2024·亳州模拟)已知函数f(x)=ln x+ax2+(a+1)x,a∈R,讨论函数f(x)的单调性. 解:函数f(x)=ln x+ax2+(a+1)x的定义域为(0,+∞),所以f'(x)=+ax+a+1==. 当a≥0时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a<0时,令f'(x)<0得x>-,令f'(x)>0得0<x<-,所以f(x)在上单调递减,在上单调递增. 综上,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a<0时,f(x)在上单调递减,在上单调递增.(提醒:解计算大题时,分类讨论后的综述千万不能漏写,否则容易丢失1分的步骤分) |思维建模|　求含参函数的单调区间分类讨论的策略 (1)注意确定函数的定义域,在定义域的限制条件下研究单调区间; (2)注意观察f(x)的表达式(或其中的某一部分、某个因式等)的取值是否恒为正(或恒为负),这往往是分类讨论的出发点; (3)注意结合解含参数不等式中分类讨论的一些常用方法,例如:对二次项系数正负的讨论,对判别式Δ的讨论,对根的大小比较的讨论等;若导函数为二次函数式,首先看能否因式分解,再讨论二次项系数的正负及两根的大小;若不能因式分解,则需讨论判别式Δ的正负,二次项系数的正负,两根的大小及根是否在定义域内; (4)分类讨论要做到不重不漏,同时还要注意对结果进行综述. [针对训练] 1.函数y=sin x-xcos x(0<x<2π)的单调递增区间为　　　　.  解析:由函数y=sin x-xcos x(0<x<2π),可得y'=cos x-(cos x-xsin x)=xsin x,因为x∈(0,2π),令y'>0,即sin x>0,解得0<x<π,所以函数y=sin x-xcos x的单调递增区间为(0,π). 答案:(0,π) 2.(2024·南通模拟)讨论函数f(x)=x3-x2+ax+1的单调性. 解:由题意知f(x)的定义域为R,f'(x)=3x2-2x+a,令f'(x)=0,Δ=(-2)2-4×3×a=4(1-3a). ①当a≥时,f'(x)≥0,f(x)在R上单调递增; ②当a<时,令f'(x)=0,即3x2-2x+a=0, 解得x1=,x2=, 令f'(x)>0,得x<x1或x>x2; 令f'(x)<0,得x1<x<x2, 所以f(x)在(-∞,x1)上单调递增,在(x1,x2)内单调递减,在(x2,+∞)上单调递增. 综上,当a≥时,f(x)在R上单调递增; 当a<时,f(x)在,上单调递增,在内单调递减. 题点二　函数单调性的应用 　　　　　　　　　　　　　　　　 考法(一)　比较大小或解不等式 例4　已知函数f(x)=xsin x,x∈R,则f,f(1),f的大小关系为 (　 ) A.f>f(1)>f B.f(1)>f>f C.f>f(1)>f D.f>f>f(1) 解析:选A　因为f(x)=xsin x,所以f(-x)=(-x)·sin(-x)=xsin x=f(x), 所以函数f(x)是偶函数.所以f=f. 又当x∈时,f'(x)=sin x+xcos x>0, 所以函数f(x)在上单调递增,所以f<f(1)<f,即f>f(1)>f.故选A. 例5　已知函数f(x)=ex-e-x-2x+1,则不等式f(2x-3)>1的解集为　　　　.  解析:∵f(x)=ex-e-x-2x+1,定义域为R,∴f'(x)=ex+e-x-2≥2-2=0,当且仅当x=0时取等号.∴f(x)在R上单调递增.又f(0)=1,∴原不等式可化为f(2x-3)>f(0),即2x-3>0,解得x>.∴原不等式的解集为. 答案: |思维建模|　比较大小或解不等式的关键 (1)若已知函数解析式比较函数值的大小,首先要判断已知函数的单调性,根据单调性比较大小. (2)若是比较数值的大小,其关键是利用题目条件中的不等关系构造辅助函数,并根据构造的辅助函数的单调性比较大小. (3)解不等式的关键是利用导数判断函数的单调性. 考法(二)　求参数的范围　例6　已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax2+2x,a≠0. (1)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,4]上单调递减,求实数a的取值范围; (2)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间,求实数a的取值范围. 快审准解:(1)由h(x)在[1,4]上单调递减,得到h'(x)=-ax-2≤0恒成立,用分离参数法求出实数a的取值范围; (2)由h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,得到-ax-2<0有解,用分离参数法求出实数a的取值范围. 　 解:(1)因为h(x)在[1,4]上单调递减,所以当x∈[1,4]时,h'(x)=-ax-2≤0恒成立, 即a≥-恒成立.令G(x)=-(x∈[1,4]), 则a≥G(x)max,而G(x)=-1. 因为x∈[1,4],所以∈.所以G(x)max=-(此时x=4),所以a≥-.当a=-时,h'(x)=+x-2==, 因为x∈[1,4],所以h'(x)=≤0,即h(x)在[1,4]上单调递减.所以a=-符合题意. 又a≠0,所以实数a的取值范围是∪(0,+∞). (2)因为h(x)=ln x-ax2-2x,x∈(0,+∞), 所以h'(x)=-ax-2. 因为h(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间, 所以当x∈(0,+∞)时,-ax-2<0有解, 即a>-有解. 设G(x)=-,x∈(0,+∞),所以只要a>G(x)min即可,而G(x)=-1,∈(0,+∞), 所以G(x)min=-1,此时x=1,所以a>-1. 又a≠0,所以-1<a<0或a>0. 所以实数a的取值范围为(-1,0)∪(0,+∞). |思维建模|　求参数的一般思路 (1)已知函数f(x)在区间I上单调递增(或单调递减),可转化为f'(x)≥0(或f'(x)≤0)在I上恒成立,要注意“=”能否取到. (2)已知函数f(x)在区间I上单调递增(或单调递减),I中含参数,可先求出f(x)的单调区间,再令I是其单调区间的子集,建立不等式组求解. (3)已知函数f(x)在区间I上存在单调递增(或单调递减)区间,可转化为f'(x)>0(或f'(x)<0)在I上有解求解. (4)已知函数f(x)在区间I上不具有单调性有两种解法 ①转化为f'(x)=0在I上有解求解,注意验证; ②运用补集思想,先求f(x)在区间I上具有单调性时参数的取值范围,再取其补集. [针对训练] 3.(2024·山西联考)设a=,b=,c=,则 (　 ) A.b>c>a B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b 解析:选D　易知a==,b=,c==,令f(x)=(x>0),则f'(x)=,f'(x)<0⇒x>e,所以f(x)在(e,+∞)上单调递减.又因为e<3<π,所以f(e)>f(3)>f(π),即a>c>b. 4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=ex-cos x,则不等式f(x-1)-1<eπ的解集是　　　　.  解析:当x≥0时,f(x)=ex-cos x,f'(x)=ex+sin x≥1+sin x≥0,则f(x)在[0,+∞)上单调递增.因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(x)在(-∞,0]上单调递减.若f(x-1)-1<eπ,即f(x-1)<eπ+1=f(π),可得|x-1|<π,解得1-π<x<1+π,所以不等式f(x-1)-1<eπ的解集是(1-π,1+π). 答案:(1-π,1+π) 5.若对于任意t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2-2x在区间(t,3)上不具有单调性,则实数m的取值范围是　　　　　　.  快审准解:求导,先求解g(x)在区间(t,3)上为单调函数,分单调递增和单调递减两种情况讨论,然后转化成恒成立问题,分离参数求解最值,进而可得不具有单调性时m的取值范围. 　 解析:g'(x)=3x2+(m+4)x-2,若存在t∈[1,2],g(x)在区间(t,3)上具有单调性, 则①g'(x)≥0在(t,3)上恒成立或②g'(x)≤0在(t,3)上恒成立. 由①得3x2+(m+4)x-2≥0在(t,3)上恒成立,由于t∈[1,2],所以x>0, 即m+4≥-3x在x∈(t,3)上恒成立.由于函数y=,y=-3x均在x∈(t,3)上单调递减, 所以y=-3x单调递减,当x=t时,取最大值,则m+4≥-3t. 又存在t∈[1,2],使得m+4≥, 当t=2时,-3t取到最小值-5, 所以m+4≥-5,即m≥-9. 由②得m+4≤-3x在x∈(t,3)上恒成立, 则m+4≤-9,即m≤-. 所以存在t∈[1,2],函数g(x)在区间(t,3)上具有单调性的m的取值范围为m≤-或m≥-9, 因此使函数g(x)在区间(t,3)上不具有单调性的m的取值范围为-<m<-9. 答案: 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 函数中构造思想的应用 类型(一)　构造具体函数比较大小 　　根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或结构形式的相同点,构造具体的函数解析式,利用导数研究该函数的性质. 1.已知a=π-,b=2ln π,c=3ln 2.1,则 (　 ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.b<c<a 解析:选C　设f(x)=x--2ln x,x∈(0,+∞),则f'(x)=1+-==≥0,可知f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(π)>f(1)=0,即π--2ln π>0,π->2ln π,所以a>b.因为b-c=2ln π-3ln 2.1=ln π2-ln 2.13=ln >ln =ln >ln 1=0,所以b>c.综上,c<b<a. 类型(二)　构造抽象函数解不等式或比较大小 2.(利用f(x)与x构造)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,设函数f(x)的导函数为f'(x),若对任意的x>0都有2f(x)+xf'(x)>0成立,则 (　 ) A.4f(-2)<9f(3) B.4f(-2)>9f(3) C.2f(3)>3f(-2) D.3f(-3)<2f(-2) 解析:选A　根据题意,令g(x)=x2f(x),其导函数g'(x)=2xf(x)+x2f'(x),又对任意的x>0都有2f(x)+xf'(x)>0成立,则当x>0时,有g'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]>0恒成立,即函数g(x)在(0,+∞)上单调递增.又由函数f(x)是定义在R上的偶函数,则f(-x)=f(x),则有g(-x)=(-x)2f(-x)=x2f(x)=g(x),即函数g(x)也为偶函数,则有g(-2)=g(2),且g(2)<g(3),则有g(-2)<g(3),即有4f(-2)<9f(3). 3.(利用f(x)与sin x(cos x)构造)已知函数y=f(x)对于任意的x∈满足f'(x)cos x+f(x)sin x>0(其中f'(x)是函数f(x)的导函数),则下列不等式不成立的是 (　 ) A.f<f B.f<f C.f(0)<f D.f(0)<2f 解析:选A　构造F(x)=,则F'(x)=,导函数f'(x)满足f'(x)cos x+f(x)sin x>0,则F'(x)>0,F(x)在内单调递增.把选项转化后可知选A. 4.(利用f(x)与ex构造)若定义在R上的函数f(x)满足f'(x)+2f(x)>0,且f(0)=1,则不等式f(x)>的解集为　　　　.  解析:构造F(x)=f(x)·e2x,∴F'(x)=f'(x)·e2x+f(x)·2e2x=e2x[f'(x)+2f(x)]>0,∴F(x)在R上单调递增,且F(0)=f(0)·e0=1.∵不等式f(x)>可化为f(x)e2x>1,即F(x)>F(0),∴x>0,∴原不等式的解集为(0,+∞). 答案:(0,+∞) [系统归纳] (1)对于xf'(x)+f(x)>0(<0),构造g(x)=xf(x). (2)对于xf'(x)+kf(x)>0(<0),构造g(x)=xkf(x). (3)对于xf'(x)-f(x)>0(<0),构造g(x)=. (4)对于f'(x)+f(x)>0(<0),构造g(x)=exf(x). (5)对于f'(x)-f(x)>0(<0),构造g(x)=. (6)对于F'(x)=f'(x)sin x+f(x)cos x,构造F(x)=f(x)sin x. (7)对于F'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x,构造F(x)=f(x)cos x. [课时跟踪检测]　　　　　　　　　　　　　　　　 1.函数f(x)=(x-1)ex的单调递减区间为 (　 ) A.(-∞,0) B.(-∞,1) C.(0,+∞) D.(1,+∞) 解析:选A　∵f(x)=(x-1)ex,∴f'(x)=ex+(x-1)ex=xex,令f'(x)<0,即xex<0,解得x<0,∴f(x)的单调递减区间为(-∞,0),故选A. 2.已知函数f(x)=ln x+x2+ax的单调递减区间为,则 (　 ) A.a∈(-∞,-3] B.a=-3 C.a=3 D.a∈(-∞,3] 解析:选B　由题意得f'(x)=+2x+a<0(x>0)的解集为,所以不等式2x2+ax+1<0的解集为,所以+1=-,解得a=-3. 易错 防范 混淆函数的单调区间与函数在区间上单调. 易错 再练 已知函数f(x)=ln x+x2+ax在区间上单调递减,则 (　 ) A.a∈(-∞,-3]　　B.a=-3 C.a=3 D.a∈(-∞,3] 答案:A 3.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则f(x)的图象是下列四个图象中的 (　 ) 解析:选A　由题意可知,当-2<x<0时,f'(x)>0,则f(x)在(-2,0)内单调递增,当0<x<2时,f'(x)<0,则f(x)在(0,2)内单调递减.当-2<x<-1时,f'(x)单调递增,则f(x)在(-2,-1)内增的越来越快;当-1<x<0时,f'(x)单调递减,则f(x)在(-1,0)内增的越来越慢;当0<x<1时,f'(x)单调递减,则f(x)在(0,1)内减的越来越快;当1<x<2时,f'(x)单调递增,则f(x)在(1,2)内减的越来越慢,只有A选项符合. 4.已知f(x)=-x2+6x-8ln x在[m,m+1]上不具有单调性,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(1,2) B.(3,4) C.(1,2]∪[3,4) D.(1,2)∪(3,4) 解析:选D　由f(x)=-x2+6x-8ln x,得f'(x)=-x+6-=-, 所以函数f(x)=-x2+6x-8ln x的极值点为x=2,x=4. 由f(x)=-x2+6x-8ln x在[m,m+1]上不具有单调性,得m<2<m+1或m<4<m+1, 解得m∈(1,2)∪(3,4).故选D. 5.已知a=+ln,b=1+,c=+ln 2,则 (　 ) A.c<b<a B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b 解析:选D　构造函数f(x)=+ln x(x>0),因为f'(x)=-+=(x>0),所以当x>1时,f'(x)>0,所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增.因为1<<2<e,所以f<f(2)<f(e),即1+>+ln 2>+ln,所以a<c<b,故选D. 6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,f'(x)是f(x)的导函数,当x≥0时,f'(x)-2x>0,且f(1)=2,则f(x)>x2+1的解集是 (　 ) A.(-1,0)∪(1,+∞) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(0,1) D.(-∞,-1)∪(0,1) 快审准解:利用抽象函数的导数,及时还原出原函数,构造所需形式解不等式即可. 　 解析:选B　由题意知当x≥0时,f'(x)-2x>0,可知[f(x)-x2]'>0. 令g(x)=f(x)-x2,故g(x)在[0,+∞)单调递增,且g(1)=1. 若求f(x)>x2+1的解集,即求g(x)>1的解集,即解g(x)>g(1), ∵f(x)是定义在R上的偶函数,∴g(x)也是偶函数,故|x|>1即可, 解得x∈(-∞,-1)∪(1,+∞),故选B. 7.已知a>0,b>1,且e2a+2ln b+1=b2+2a,则必有 (　 ) A.b>ea B.ln b<a C.a+ln b=1 D.a+ln b<1 解析:选A　因为e2a+2ln b+1=b2+2a,所以e2a-2a=b2-2ln b-1=-ln b2-1, 所以-ln b2-1>e2a-2a-1. 令f(x)=ex-x-1(x>0),则f'(x)=ex-1,则f'(x)在(0,+∞)上单调递增, 则f'(x)>f'(0)=0, 故f(x)在(0,+∞)上单调递增. 因为a>0,b>1,所以2a>0,ln b2>0. 则ln b2>2a,所以ln b>a,即b>ea,则A正确,B错误,C、D无法确定其与1的大小关系,故选A. 8.已知函数f(x)=,则函数f(x)的单调递增区间是　　　　.  解析:因为函数f(x)=(x≠0),于是f'(x)=,所以当x∈(-∞,0)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(0,1)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增.因此函数f(x)的单调递增区间是(1,+∞). 答案:(1,+∞) 9.若f(x)=-x2+aln(x+2)在[-1,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:f(x)=-x2+aln(x+2)(x>-2)⇒f'(x)=-x+,因为f(x)=-x2+aln(x+2)在[-1,+∞)上单调递减,所以f'(x)=-x+≤0在[-1,+∞)上恒成立,即-x(x+2)+a≤0⇒a≤x(x+2)=(x+1)2-1,当x∈[-1,+∞)时,(x+1)2-1的最小值为-1,所以a≤-1. 答案:(-∞,-1] 10.定义在(0,+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),当x>0时,xf'(x)<1,且f(e)=3,则不等式f(x2)-2ln x<2的解集为　　　　　 .  快审准解:利用构造函数法,结合导数化简不等式f(x2)-2ln x<2,从而求得不等式的解集. 　 解析:构造函数g(x)=f(x)-ln x(x>0),则g'(x)=f'(x)-=<0, 所以g(x)在区间(0,+∞)上单调递减.由f(x2)-2ln x<2,得f(x2)-ln x2<f(e)-ln e, 即g(x2)<g(e),所以解得x>.所以不等式f(x2)-2ln x<2的解集为(,+∞). 答案:(,+∞) 11.讨论函数f(x)=(a-1)ln x+ax2+1的单调性. 解:由已知得,f(x)的定义域为(0,+∞),则f'(x)=+2ax=. ①当a≥1时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②当a≤0时,f'(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减; ③当0<a<1时,令f'(x)=0,解得x=, 则当x∈时,f'(x)<0; 当x∈时,f'(x)>0, 故f(x)在内单调递减, 在上单调递增. 综上,当a≥1时,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当0<a<1时,f(x)在上单调递减, 在上单调递增. 12.已知函数f(x)的图象与函数h(x)=x++2的图象关于点A(0,1)对称. (1)求f(x)的解析式; (2)若g(x)=f(x)+,且g(x)在区间(0,2]上单调递减,求实数a的取值范围. 解:(1)设f(x)图象上任一点坐标为(x,y),点(x,y)关于点A(0,1)的对称点(-x,2-y)在h(x)的图象上,∴2-y=-x++2.∴y=x+,即f(x)=x+,x≠0. (2)g(x)=x+,x≠0,∵g'(x)=1-,g(x)在(0,2]上单调递减,∴1-≤0在x∈(0,2]时恒成立,即a≥x2-1在x∈(0,2]时恒成立.∵x∈(0,2]时,(x2-1)max=3,∴a≥3,即实数a的取值范围是[3,+∞). 13.(2023·广东二模)已知偶函数f(x)与其导函数f'(x)的定义域均为R,且y=f'(x)+e-x+x也是偶函数,若f(2a-1)<f(a+1),则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,2) B.(0,2) C.(2,+∞) D.(-∞,0)∪(2,+∞) 快审准解:由偶函数的定义并求导得f'(x)=-f'(-x),由已知得f'(x)+e-x+x=f'(-x)+ex-x,可求出f'(x)的表达式,利用导数分析函数f'(x)的单调性与取值范围,可知函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,再由f(2a-1)<f(a+1)得出f(|2a-1|)<f(|a+1|),得出关于实数a的不等式,解之即可. 　 解析:选B　因为f(x)为偶函数,所以f(x)=f(-x),对两边求导可得f'(x)=-f'(-x)①. 因为函数y=f'(x)+e-x+x为偶函数, 所以f'(x)+e-x+x=f'(-x)+ex-x②. 联立①②可得f'(x)=-x, 令g(x)=f'(x),则g'(x)=-1≥-1=0,且g'(x)不恒为零,所以函数g(x)在R上为增函数,即函数f'(x)在R上为增函数.故当x>0时,f'(x)>f'(0)=0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.由f(2a-1)<f(a+1)可得f(|2a-1|)<f(|a+1|),所以|2a-1|<|a+1|,整理可得a2-2a<0,解得0<a<2.故选B. 14.(2024·宁德模拟)记a=,b=+1,c=ln π+2,则 (　 ) A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<c<b 解析:选B　设f(x)=ex-x-1,x∈(0,+∞),则f'(x)=ex-1>e0-1=0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)>f(0)=0,则f()=--1>0,即>+1,即a>b.b=+1>1.7+1=2.7,c=+2<+2=+2<+2=2.6,则b>c.故c<b<a. 15.已知函数f(x)=aln x+-1(a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若对于任意的x1,x2∈(0,1),且x1≠x2,恒有<2,求实数a的取值范围. 快审准解:(1)求导后,根据导函数的正负情况对实数a进行分类讨论; (2)不妨设0<x1<x2<1,原不等式分离得到f(x1)-2x1>f(x2)-2x2,进而转化为g(x)=f(x)-2x,则函数g(x)在(0,1)内单调递减,然后利用导数研究函数的单调性求得实数a的取值范围. 　 解:(1)由已知得f(x)的定义域为(0,+∞), 则f'(x)=-=. 当a≤0时,f'(x)<0在(0,+∞)恒成立, 故f(x)在(0,+∞)上单调递减; 当a>0时,令f'(x)>0,得x>,f(x)在上单调递增;令f'(x)<0,得0<x<,f(x)在上单调递减,综上所述,当a≤0时,f(x)的单调递减区间为(0,+∞); 当a>0时,f(x)的单调递增区间为, 单调递减区间为. (2)不妨设0<x1<x2<1,则不等式等价于f(x1)-f(x2)>2(x1-x2),即f(x1)-2x1>f(x2)-2x2, 令g(x)=f(x)-2x,则函数g(x)在(0,1)内单调递减,则g'(x)=f'(x)-2=--2≤0在(0,1)内恒成立,所以a≤+2x在(0,1)内恒成立,所以a≤. 因为y=2x+在内单调递减, 在内单调递增,所以2x+≥2, 所以实数a的取值范围为(-∞,2]. 学科网（北京）股份有限公司 $$