第2章 第7节 对数与对数函数(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第七节　对数与对数函数 学习目标 1.理解对数的概念与运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数. 2.了解对数函数的实际意义,会画对数函数的图象,并能应用图象解决一些简单问题. 3.理解对数函数的单调性、特殊点等性质,并能简单应用. 回首教材 1.对数的概念 定义 一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数 性质 loga1=0,logaa=1,logaax=x,其中a>0,且a≠1;负数和0没有对数 2.对数的运算 运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么: loga(MN)=logaM+logaN; loga=logaM-logaN; logaMn=nlogaM(n∈R) 换底公式 logab=(a>0,且a≠1;b>0;c>0,且c≠1) 3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象与性质 0<a<1 a>1 图象 定义域 (0,+∞) 值域 R 续表 0<a<1 a>1 性质 过定点(1,0),即x=1时,y=0 当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0 当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0 在(0,+∞)上是减函数 在(0,+∞)上是增函数 4.反函数 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换,图象关于直线y=x对称. 　　[微点提醒] (1)不论a>1还是0<a<1,对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象都无限靠近y轴,但不会与y轴相交. (2)不论a>1还是0<a<1,对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象都经过点,(1,0),(a,1),且图象都在y轴右侧,据此可以快速画出对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的大致图象. (3)底数a与1的大小关系决定了对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的单调性.因此若底数a的大小不确定,则需要分0<a<1和a>1两种情况讨论. 拓展教材(常见结论及应用) 1.换底公式的变形 (1)logab·logba=1,即logab=(a,b均大于0且不等于1); (2)lobn=logab(a,b均大于0且不等于1,m≠0,n∈R); (3)logNM==(a,b,N均大于0且不等于1,M >0). 2.换底公式的推广 logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0). 3.对数恒等式 =N(a>0且a≠1,N>0). 发掘教材 一、高考命题注重“教考衔接”(示例分析) 考题品悟 (2021·新课标Ⅱ卷)已知a=log52,b=log83,c=,则下列判断正确的是 ( C ) A.c<b<a　　　　　　B.b<a<c C.a<c<b　　　　　　D.a<b<c 追根溯源 (人A必修①P141T13)比较下列各题中三个值的大小: (1)log0.26,log0.36,log0.46; (2)log23,log34,log45. 发现启迪 高考题是教材习题的拓展,由于a和b的底数不同,故不能直接利用单调性比较大小,需变形后比较大小,而变形的过程中应用了函数的单调性. 二、复习备考要强化“教材本位” A组——教材信息的发掘训练 1.(湘教必修①P126T17)下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是 (　 ) A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y= 解析:选D　函数y=10lg x的定义域和值域都为(0,+∞),只有选项D符合题意. 2.(北师大必修①P114例7改编)已知a=log0.90.8,b=log0.80.9,c=1.41.9,则 (　 ) A.b<a<c B.c<a<b C.c<b<a D.b<c<a 解析:选D　因为a=log0.90.8>log0.90.81=2,b=log0.80.9<log0.80.8=1,所以a>2>1>b.因为c=1.41.9<1.42=1.96<2,故1<c<2.故选D. 3.(人A必修①P132“探究结论”的应用:同一直角坐标系内函数图象在x轴上方部分远离y轴的对数函数的底数越大) 对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的大致图象如图所示,已知a的取值为,,,,则曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次是　　　　 　.  解析:当a>1时,对数函数y=logax的图象是上升的;当0<a<1时,对数函数y=logax的图象是下降的.对数的底数越大,对数函数的图象在x轴上方的部分越远离y轴的正方向,故曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次是,,,. 答案:,,, 4.(人A必修①P127T7 lobn=logab结论的应用)计算:log89×log2732=　　　　.  解析:原式=lo32×lo25=log23×log32=. 答案: B组——迷点盲点的澄清训练 1.(忽视对底数的讨论)若loga<1(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是　　　　.  解析:当0<a<1时,loga<logaa=1,所以0<a<;当a>1时,loga<logaa=1,所以a>1. 综上所述,实数a的取值范围是∪(1,+∞). 答案:∪(1,+∞) 2.(忽略对数函数的定义域)已知log0.72m<log0.7(m-1),则实数m的取值范围是　　　　.  解析:∵log0.72m<log0.7(m-1),∴解得m>1. 答案:(1,+∞) 题点一　对数的运算(自主练通) 1.已知a>1,化简+,其结果为 (　 ) A. B.4 C.5 D.7 解析:选C　+=+=+3=5. 2.(2024·天津模拟)已知2a=15,log83=b,则2a-3b= (　 ) A.25 B.5 C. D. 解析:选B　由题意可得2a=15⇒a=log215,b=log83=lo3=log23,所以a-3b=log215-3×log23=log215-log23=log2=log25,所以2a-3b==5. 3.(2024·武汉调研)已知ab≠1,logam=2,logbm=3,则logabm= (　 ) A. B. C. D. 解析:选D　a2=m,则a=,b3=m,则b=,ab==,logabm=,选D. 4.(2024·咸阳模拟)著名的本福特定律:以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数,也称为“第一位数定律”或者“首位数现象”.意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中,一个数的首位数字是d(d=1,2,3,…,9)的概率为lg.以此判断,一个数的首位数字是1的概率与首位数字是9的概率之比约为(参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) (　 ) A.2.9 B.3.8 C.4.5 D.6.5 解析:选D　根据题意,首位数字是1的概率P1=lg(1+1)=lg 2,首位数字是9的概率P2=lg=lg=1-2lg 3,故=≈=≈6.5.故选D. [思维建模] 　　对数式化简与求值的策略 策略一 将真数化为底数的指数幂的形式进行化简 策略二 将同底对数的和、差、倍合并 策略三 利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式,要注意换底公式的正用、逆用及变形应用 策略四 利用常用对数中的lg 2+lg 5=1 题点二　对数函数的图象及其应用 例1　在同一平面直角坐标系中,函数y=a-x,y=logax+a(a>0且a≠1)的图象可能是 (　 ) 解析:选A　对于A、B,若y=a-x=图象正确,则0<a<1,∴y=logax+a单调递减,又x=1时,y=loga1+a=a>0,A正确,B错误;对于C、D,若y=a-x=图象正确,则a>1,∴y=logax+a单调递增,C、D错误. 例2　已知函数f(x)=|ln x|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+4b的取值范围是 (　 ) A.(4,+∞) B.[4,+∞) C.(5,+∞) D.[5,+∞) 解析:选C　 由f(a)=f(b)得|ln a|=|ln b|.如图,根据函数y=|ln x|的图象及0<a<b,得-ln a=ln b,0<a<1<b,所以=b.令g(b)=a+4b=4b+,根据对勾函数的图象与性质易得g(b)在(1,+∞)上单调递增,所以g(b)>g(1)=5.故a+4b>5,故选C. [思维建模] (1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. (2)对于较复杂的对数等式或不等式问题可借助函数图象解决,具体步骤如下: ①对不等式变形,使不等号两边对应两函数f(x),g(x); ②在同一平面直角坐标系内作出函数y=f(x)及函数y=g(x)的图象; ③观察当x在某一范围内取值时图象的位置关系及交点的个数,由此确定参数的取值或不等式的解的情况. [针对训练] 1.(2024·长沙期中)若函数y=a|x|(a>0且a≠1)的值域为[1,+∞),则函数y=loga|x|的大致图象是 (　 ) 解析:选A　∵|x|≥0,且y=a|x|的值域为[1,+∞),∴a>1.当x>0时,y=loga|x|=logax在(0,+∞)上单调递增.又函数y=loga|x|=loga|-x|,∴y=loga|x|为偶函数,图象关于y轴对称,∴y=loga|x|的大致图象应为选项A. 2.(2024·顺义模拟)已知函数f(x)=log2x-(x-1)2,则不等式f(x)<0的解集为 (　 ) A.(-∞,1)∪(2,+∞) 　B.(0,1)∪(2,+∞) C.(1,2) 　D.(1,+∞) 解析: 选B　由题意不等式f(x)<0,即log2x-(x-1)2<0,等价于log2x<(x-1)2在(0,+∞)上的解集,令g(x)=log2x,h(x)=(x-1)2,则不等式为g(x)<h(x),在同一直角坐标系下作出两个函数的图象,如图所示,可得不等式f(x)<0的解集为(0,1)∪(2,+∞),故选B. 题点三　对数函数的性质及其应用 考法(一)　比较大小　 例3　(2024·长沙模拟)已知a=log21.8,b=log43.6,c=,则 (　 ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 解析:选C　因为a=log21.8=log41.82,所以a-b=log41.82-log43.6=log4<log41=0,所以a<b.因为a=log21.8>log2==c,所以a>c.所以b>a>c. 例4　已知a=,b=log2,c=,则 (　 ) A.a>c>b B.c>a>b C.a>b>c D.c>b>a 解析:选A　利用函数的单调性,对比出a,b,c三者与特殊值0,1的大小关系,运用中间值法解决问题.因为函数y=3x为增函数,所以a=>30=1,即a>1;因为y=log2x为增函数,所以b=log2<log21=0,即b<0;因为y=lox为减函数,所以lo1<lo<lo,即0<c<1,故a>c>b. |思维建模|　比较对数函数值大小的方法 单调性法 在同底的情况下直接得到大小关系,若不同底,先化为同底 中间量 过渡法 寻找中间数联系要比较的两个数,一般是用“0”“1”或其他特殊值进行“比较传递” 图象法 根据图象观察得出大小关系 考法(二)　解简单对数不等式　 例5　已知不等式logx(2x2+1)<logx(3x)<0成立,则实数x的取值范围是　　　　.  解析:原不等式⇔① 或② 解不等式组①得<x<,不等式组②无解,所以实数x的取值范围是. 答案: 例6　不等式lo(+1)-lo(-1)<-的解集是　　　　.  解析:因为lo(+1)-lo(-1)<-可化为lo<-⇒>⇒1<<3+2,所以x∈(1,17+12),即原不等式的解集为(1,17+12). 答案:(1,17+12) |思维建模|　常见的对数不等式的类型及解题方法 (1)解形如logaf(x)>logag(x)的不等式,常借助函数y=logax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论. (2)解形如logaf(x)>b的不等式,应先将b化为以a为底数的对数式的形式,再借助函数y=logax的单调性求解. (3)解形如logaf(x)>logbg(x)的不等式,基本方法是将不等式两边化为同底的两个对数式,利用对数函数的单调性“脱去”对数符号,同时应保证真数大于零. 考法(三)　对数函数性质的综合应用　 例7　(2024·邯郸一模)[多选]已知函数f(x)=log2(x+6)+log2(4-x),则 (　 ) A.f(x)的定义域是(-6,4) B.f(x)有最大值 C.不等式f(x)<4的解集是(-∞,-4)∪(2,+∞) D.f(x)在[0,4]上单调递增 解析:选AB　由题意可得解得-6<x<4,即f(x)的定义域是(-6,4),则A正确;f(x)=log2(-x2-2x+24),因为y=-x2-2x+24在(-6,-1)上单调递增,在(-1,4)上单调递减,y=log2x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-6,-1)上单调递增,在(-1,4)上单调递减,所以f(x)max=f(-1)=2log25,则B正确;因为f(x)在(-6,-1)上单调递增,在(-1,4)上单调递减,且f(-4)=f(2)=4,所以不等式f(x)<4的解集是(-6,-4)∪(2,4),则C错误;因为f(x)在(-1,4)上单调递减,所以D错误. |思维建模|　解决对数函数性质的综合问题的注意点 (1)要分清函数的底数是a∈(0,1),还是a∈(1,+∞). (2)确定函数的定义域,无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质,都要在其定义域上进行. (3)转化时一定要注意对数问题转化的等价性. [针对训练] 3.(2023·九江三模)已知a=20.2,b=log0.20.5,c=log20.2,则 (　 ) A.b>a>c B.b>c>a C.a>b>c D.a>c>b 解析:选C　∵a=20.2>20=1,0=log0.21<b=log0.20.5<log0.20.2=1,c=log20.2<log21=0,∴a>b>c. 4.已知对数函数y=logax(a>0,且a≠1),且loga<loga,则关于x的不等式loga(2x-3)>0的解集为　　　　　.  解析:因为loga<loga,当0<a<1时,则有>,无解;当a>1时,则有<,解得a>1,所以a>1,则对数函数y=logax(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上单调递增,又关于x的不等式loga(2x-3)>0,所以2x-3>1,解得x>2.所以关于x的不等式loga(2x-3)>0的解集为(2,+∞). 答案:(2,+∞) 5.已知函数f(x)=loga(2-a2x)在区间[3,7]上单调递增,则a的取值范围为　　　　　.  解析:令u(x)=2-a2x(a>0),则u(x)=2-a2x(a>0)在[3,7]上单调递减,所以由复合函数的单调性可知y=logau在[3,7]上单调递减,则解得0<a<,即a的取值范围为. 答案: 　　　　　　　　　　　　　　　　 指、对、幂比较大小的方法 方法(一)　以0,1为中间值法 例1　已知a=30.2,b=20.3,c=log0.23,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.c<b<a B.b<a<c C.c<a<b D.a<b<c 解析:选A　∵a=90.1,b=80.1,∴90.1>80.1>0,又∵c=log0.23<log0.21=0,故a>b>c.故选A. 例2　已知a=0.,b=20.2,c=0.30.2,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.a>b>c B.b>a>c C.b>c>a D.c>b>a 解析:选C　因为y=0.3x在R上为减函数,且>0.2>0,所以0.<0.30.2<0.30,即0.<0.30.2<1.因为y=2x在R上为增函数,且0.2>0,所以20.2>20=1,所以0.<0.30.2<1<20.2,所以b>c>a.故选C. 方法(二)　作差比较法 例3　已知20a=22,22b=23,ac=b,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.c>a>b B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c 解析:选D　分别对20a=22,22b=23,ac=b两边取对数,得a=log2022,b=log2223,c=logab.a-b=log2022-log2223=-=. 由基本不等式,得lg 20·lg 23<=<==(lg 22)2, 所以(lg 22)2-lg 20·lg 23>0,即a-b>0, 所以a>b>1. 又c=logab<logaa=1,所以a>b>c.故选D. ［微点拨］ （1）一般情况下，作差，可处理底数不一样的对数比大小. （2）作差的难点在于后续变形处理，注意恒等变形的方向和变形的技巧，变形的目的是为了判断正负，所以可以因式分解，或计算化简，或放缩为具体值，准确计算找对变形方向. 方法(三)　做商比较法 例4　已知a=log0.20.3,b=log0.30.2,c=log23,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.b<c<a B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b 解析:选C　由题意,知0<a=log0.20.3<1,b=log0.30.2>1,c=log23>1,且=log0.30.2·log32=·=. 因为函数f(x)=x2-x=-在上单调递减,且f(0)=0,且>lg 3>lg 2>0, 所以f(lg 3)<f(lg 2)<0,所以<1,即<1,所以<1,即b<c,故a<b<c.故选C. 例5　已知a=20.4,b=,0.7c=0.5,则实数a,b,c的大小关系为 (　 ) A.c>a>b B.a>b>c C.a>c>b D.c>b>a 解析:选A　易知a=20.4<20.5=,====>1,所以>a>b.因为0.72<0.5<0.,所以由0.7c=0.5,得0.72<0.7c<0.,所以<c<2,所以a<c.所以实数a,b,c的大小关系为c>a>b.故选A. 方法(四)　图象交点比较大小 例6　已知正实数a,b,c满足ec+e-2a=ea+e-c,b=log23+log86,c+log2c=2,则a,b,c的大小关系为 (　 ) A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a 解析:选B　ec+e-2a=ea+e-c⇒ec-e-c=ea-e-2a,故令f(x)=ex-e-x,则f(c)=ec-e-c,f(a)=ea-e-a.易知y=-e-x=-和y=ex均在(0,+∞)上单调递增,故f(x)在(0,+∞)上单调递增.∵e-2a<e-a,故由题可知,ec-e-c=ea-e-2a>ea-e-a,即f(c)>f(a),则c>a>0. 易知b=log23+log2=log23>2,log2c=2-c, 作出函数y=log2x与函数y=2-x的图象,如图所示,则两图象交点横坐标在(1,2)内,即1<c<2,∴c<b,∴a<c<b. ［微点拨］ 利用幂指对与一元一次函数、一元二次函数、反比例函数、对勾函数等函数图象，寻找函数图象的交点以比较大小. [课时跟踪检测] 1.-(-10)0+·(2)的值等于 (　 ) A.-2 B.0 C.8 D.10 解析:选A　-(-10)0+·(2)=3-1+(-2)×2=-2. 2.若函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的反函数的图象过点(1,3),则f(log28)等于 (　 ) A.-1 B.1 C.2 D.3 解析:选B　依题意,函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的反函数,即函数y=ax的图象过点(1,3),则a=3,f(x)=log3x,于是得f(log28)=log3(log28)=log33=1. 3.已知函数f(x)=log0.5(x4-4x2+6),则 (　 ) A.f(x)有最小值,且最小值为-2 B.f(x)有最小值,且最小值为-1 C.f(x)有最大值,且最大值为-2 D.f(x)有最大值,且最大值为-1 解析:选D　f(x)=log0.5(x4-4x2+6)=log0.5[(x2-2)2+2]≤log0.52=-1,所以f(x)有最大值,且最大值为-1,但无最小值. 4.设a=5-0.7,b=lo,c=lg ,则这三个数之间的大小关系是 (　 ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>c>a D.b>a>c 解析:选D　结合函数y=5x,y=lox,y=lg x的图象易知0<a=5-0.7<50=1,b=lo>lo=1,c=lg <lg 1=0,所以b>a>c.故选D. 5.已知函数y=loga(x+c)(a,c是常数,其中a>0且a≠1)的大致图象如图所示,下列关于a,c的表述正确的是 (　 ) A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1 解析:选D　由题图可以看出0<a<1,logac>0,loga(1+c)<0,故得0<c<1,0<a<1,故选D. 6.已知函数f(x)=log2(x+1)-|x|,则不等式f(x)>0的解集是 (　 ) A.(-1,1) B.(0,1) C.(-1,0) D.∅ 解析: 选B　不等式f(x)>0⇔log2(x+1)>|x|,分别画出函数y=log2(x+1)和y=|x|的图象,由图象可知y=log2(x+1)和y=|x|的图象有两个交点,分别是(0,0)和(1,1),由图象可知log2(x+1)>|x|的解集是(0,1),即不等式f(x)>0的解集是(0,1). 7.已知函数f(x)=(x2-ax+4a)在区间[2,+∞)上单调递减,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-2,4] B.[-2,4) C.(-∞,4] D.[4,+∞) 解析:选A　函数y=x在区间[2,+∞)上单调递减,要使得函数f(x)在区间[2,+∞)上单调递减,则g(x)=x2-ax+4a在区间[2,+∞)上单调递增,对称轴为x=,则⇒⇒-2<a≤4. 8.已知函数y=loga(x-3)-1的图象恒过定点P,则点P的坐标是　　　　.  答案:(4,-1) 9.函数f(x)=log2·log4(4x2)的最小值为　　　.  解析:函数定义域是(0,+∞),log2x∈R,f(x)=log2·log4(4x2)=(log2x-2)(1+log4x2)=(log2x-2)(1+log2x)=(log2x)2-log2x-2=-,所以x=时,f(x)min=-. 答案:- 10.已知实数a>0,且满足53a+2>54a+1,则不等式loga(3x+2)<loga(8-5x)的解集为　　　　.  解析:由实数a>0,且满足53a+2>54a+1,根据指数函数的单调性,可得3a+2>4a+1,解得0<a<1,所以函数y=logax为单调递减函数,则由不等式loga(3x+2)<loga(8-5x),可得解得<x<. 综上,不等式的解集为. 答案: 11.已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),其中a>0且a≠1. (1)判断f(x)的奇偶性; (2)若a>1,解关于x的不等式f(x)>0. 解:(1)因为f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)的定义域(-1,1)关于原点对称, 又f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-f(x), 所以f(x)为奇函数. (2)当a>1时,由f(x)=loga(x+1)-loga(1-x)>0可得loga(x+1)>loga(1-x), 所以x+1>1-x>0,故0<x<1,故不等式的解集为(0,1). 12.已知f(x)=loga(ax-2)(其中a>0且a≠1). (1)若a=2,f(x)<2,求实数x的取值范围; (2)若x∈[4,6],f(x)的最大值大于1,求a的取值范围. 解:(1)当a=2时,f(x)=log2(2x-2)<2, 即有log2(2x-2)<log24,所以解得1<x<3, 故实数x的取值范围是(1,3). (2)因为a>0,则x∈[4,6]时,4a-2≤ax-2≤6a-2.当a>1时,则f(x)max=loga(6a-2)>1,解得a>1;当0<a<1时,则f(x)max=loga(4a-2)>1,解得<a<.综上所述,a的取值范围是∪(1,+∞). 13.已知a=log32,b=log43,c=log54,则 (　 ) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<a<b 解析:选A　由题意显然a,b,c均大于0,所以=log32×log34<=,又因为y=log3x在(0,+∞)上单调递增,所以有0=log31<log38<log39=2,所以<<=1,所以a<b.同理可得=log43×log45<=,又因为y=log4x在(0,+∞)上单调递增,所以有0=log41<log415<log416=2,所以<<=1,所以b<c,综上所述,a<b<c. 14.(2024·广东模拟)[多选]已知函数f(x)=ln(x2+x+m)(m∈R),则 (　 ) A.当m>时,f(x)的定义域为R B.f(x)一定存在最小值 C.f(x)的图象关于直线x=-对称 D.当m≥1时,f(x)的值域为R 解析:选AC　若m>,则Δ=1-4m<0,则二次函数y=x2+x+m的图象恒在x轴的上方,即x2+x+m>0恒成立,所以f(x)的定义域为R,故A正确;若m=0,则f(x)=ln(x2+x)的定义域为(-∞,-1)∪(0,+∞),值域为R,没有最小值,故B错误;由于函数y=ln为偶函数,其图象关于y轴对称,将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数f(x)=ln=ln(x2+x+m)的图象,此时对称轴为直线x=-,故C正确;若m≥1,则y=x2+x+m=+m-≥,故f(x)的值域不是R,故D错误. 15.(2024·绵阳期末)已知函数f(x)=|logax|(a>0,且a≠1)的定义域为[m,n](0<m<n),值域为[0,1].若n-m的最小值为,则实数a的值为 (　 ) A. B. C.或 D.或 解析: 选C　当a>1时,作出f(x)的大致图象如图1所示,∵f(1)=0,f=f(a)=1, ∴由图1可知使值域为[0,1] 的满足n-m最小的定义域为, ∴n-m的最小值为1-=,∴a=.当0<a<1时,作出f(x)的图象如图2所示. ∵f(1)=0,f=f(a)=1,∴由图2可知使值域为[0,1]的满足n-m最小的定义域为[a,1],∴n-m的最小值为1-a=,∴a=.综上,选C. 易错 防范 不要忘了对底数a进行分类讨论. 易错 再练 已知函数f(x)=loga(2x-a)在区间上恒有f(x)>0,则实数a的取值范围是　　　　.  答案: 16.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)=log2(2x+1)-kx,g(x)=f(x)+2x. (1)求f(x)的解析式; (2)若不等式g(4x-a·2x+1)>g(-15)恒成立,求实数a的取值范围; (3)设h(x)=x2-2mx+5,若存在x1∈[0,2],对任意的x2∈[1,4],都有g(x1)≤h(x2),求实数m的取值范围. 解:(1)由题意知log2(2-x+1)+kx-log2(2x+1)+kx=0,即-2kx=log2=-x,所以k=,故f(x)=log2(2x+1)-x. (2)由(1)知,g(x)=f(x)+2x=log2(2x+1)+x,易知g(x)在R上单调递增, 所以不等式g(4x-a·2x+1)>g(-15)恒成立,等价于4x-a·2x+1>-15,即a<恒成立. 又=2x+≥8,当且仅当x=2时,等号成立,所以a<8,即实数a的取值范围是(-∞,8). (3)因为存在x1∈[0,2],对任意的x2∈[1,4],都有g(x1)≤h(x2), 所以g(x)在[0,2]上的最小值不大于h(x)在[1,4]上的最小值. 因为g(x)=log2(2x+1)+x在[0,2]上单调递增,所以当x∈[0,2]时,g(x)min=g(0)=1. h(x)=x2-2mx+5图象的对称轴方程为x=m,x∈[1,4],当m≤1时,h(x)在[1,4]上单调递增,h(x)min=h(1)=6-2m≥1,解得m≤,所以m≤1; 当1<m<4时,h(x)在[1,m)上单调递减,在[m,4]上单调递增, h(x)min=h(m)=5-m2≥1,解得1<m≤2; 当m≥4时,h(x)在[1,4]上单调递减,h(x)min=h(4)=21-8m≥1,解得m≤,所以m∈∅. 综上,实数m的取值范围是(-∞,2]. 学科网（北京）股份有限公司 $$