第2章 第5节 幂函数与二次函数(Word教师用书)-【新高考方案】2025年高考数学一轮总复习（旗舰版）

第五节　幂函数与二次函数 学习目标 1.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的图象,了解它们的变化情况;了解幂函数的概念. 2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　 回首教材 1.幂函数的定义 一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 2.幂函数的图象与性质 (1)幂函数在(0,+∞)上都有定义; (2)当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; (3)当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减. 3.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n). ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点. (2)二次函数的图象和性质 函数 y=ax2+bx+ c(a>0) y=ax2+bx+ c(a<0) 图象 (抛物线) 定义域 R 值域 对称轴 x=- 顶点坐标 续表 函数 y=ax2+bx+c(a>0) y=ax2+bx+c(a<0) 奇偶性 当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数 单调性 在上单调递减; 在上单调递增 在上单调递增; 在上单调递减 拓展教材(常见结论及应用) (1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限. (2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. (3)若幂函数y=xα在(0,+∞)上单调递增,则α>0;若在(0,+∞)上单调递减,则α<0. (4)二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关. (5)根与系数的关系:x1+x2=-,x1·x2=. (6)二次函数在某种特殊条件下也能具有奇偶性:b=0时,二次函数为偶函数. 发掘教材 A组——教材信息的发掘训练 1.(人A必修①P91T1改编)已知幂函数f(x)的图象过点,则f(4)的值是 (　 ) A.64 B.4 C. D. 解析:选D　设函数f(x)=xα,则由f(x)的图象过点得f(2)=2α=,即α=-1,所以f(x)=x-1,则f(4)=. 2.(人B必修①P98T7改编)函数f(x)=-2x2+4x,x∈[-1,2]的值域为 (　 ) A.[-6,2] B.[-6,1] C.[0,2] D.[0,1] 答案:A 3.(人A必修①P58T6改编)已知函数f(x)=ax2+x+5的图象在x轴上方,则a的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 解析:选C　由题意知即解得a>. 4.(苏教必修①P140例2改编)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,则a,b,c的大小关系是　　 　.(用“<”连接)  解析:由指数函数、幂函数的单调性可知0.30.4<0.30.3,0.40.3>0.30.3,即c<b<a. 答案:c<b<a B组——迷点盲点的澄清训练 1.(忽视对二次项系数a的讨论)若函数f(x)=ax2+2x-3在区间(-∞,4)上是单调递增的,则实数a的取值范围是 (　 ) A. B. C. D. 解析:选D　当a=0时,f(x)=2x-3,在(-∞,4)上是单调递增的.当a≠0时,二次函数f(x)的对称轴为x=-,因为f(x)在(-∞,4)上单调递增,所以a<0,且-≥4,解得-≤a<0,综上,-≤a≤0.故选D. 2.(忽视幂函数的定义域)已知幂函数f(x)=,若f(a+1)<f(10-2a),则a的取值范围为　　　　.  解析:∵f(x)==(x>0),且在(0,+∞)上是减函数,∴解得3<a<5. 答案:(3,5) 题点一　幂函数的图象和性质(自主练通) 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.[多选]幂函数f(x)=(m2-5m+7)在(0,+∞)上单调递增,则以下说法正确的是 (　 ) A.m=3 B.函数f(x)在(-∞,0)上单调递增 C.函数f(x)是偶函数 D.函数f(x)的图象关于原点对称 解析:选ABD　因为幂函数f(x)=(m2-5m+7)在(0,+∞)上单调递增,所以解得m=3,所以f(x)=x3.所以f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x),故f(x)=x3为奇函数,函数图象关于原点对称,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增.故选ABD. 2.(2024·常州模拟)如图所示是函数y=(m,n均为正整数且m,n互质)的图象,则 (　 ) A.m,n是奇数,且<1 B.m是偶数,n是奇数,且<1 C.m是偶数,n是奇数,且>1 D.m,n是奇数,且>1 解析:选B　由幂函数性质可知y=与y=x恒过点(1,1),即在第一象限的交点为(1,1), 当0<x<1时,>x,则<1. 又y=图象关于y轴对称, ∴y=为偶函数, ∴= == , 又m,n互质,∴m为偶数,n为奇数. 3.已知函数y=a(x-4)+2(a>0,且a≠1)的图象恒过定点P,且P在幂函数f(x)的图象上,则f(x)=　　　　　　.  解析:当x=4时,y的值与a无关,且y=2, 故P(4,2).设f(x)=xm, 将P(4,2)代入f(x), 解得m=,故f(x)=. 答案: 4.已知函数f(x)=,则f(3x-1)<f(1+x2)的解集是　　　　　　.  解析:由于函数f(x)=是在定义域[0,+∞)上的增函数,所以所以x>2或≤x<1. 答案:∪(2,+∞) [思维建模] (1)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”),在区间(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离x轴. (2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 题点二　二次函数的解析式 例1　已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,求f(x)的解析式. 解:法一:利用二次函数的一般式 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得 故所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 法二:利用二次函数的顶点式 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ∵f(2)=f(-1), ∴抛物线对称轴为x==. ∴m=,又根据题意函数有最大值8, ∴n=8,∴y=f(x)=a+8. ∵f(2)=-1,∴a+8=-1,解得a=-4, ∴f(x)=-4+8=-4x2+4x+7. 法三:利用二次函数的零点式 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0),即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值f(x)max=8, 即=8. 解得a=-4或a=0(舍去),故所求二次函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. [思维建模] 　　求二次函数解析式的方法 　　根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下: [针对训练] 1.已知二次函数y=ax2+bx+c满足以下条件:图象与x轴交于(-2,0),(4,0)两点,且过点,则函数解析式为　　　　　　　　.  解析:设函数解析式为y=a(x+2)(x-4),则-=a(1+2)(1-4),解得a=.故所求函数的解析式为y=(x+2)(x-4),即y=x2-x-4. 答案:y=x2-x-4 2.已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3),它在x轴上截得的线段长为2,并且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),求函数f(x)的解析式. 解:∵f(2-x)=f(2+x)对x∈R恒成立,∴f(x)的对称轴为x=2.又∵f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2,∴f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a≠0).又∵f(x)的图象经过点(4,3),∴3a=3,a=1.∴所求二次函数的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3. 题点三　二次函数的图象和性质 　　　　　　　　　　　　　　　　 考法(一)　二次函数的图象　例2　[多选]设abc<0,则函数y=ax2+bx+c的图象可能是 (　 ) 解析:选ABD　函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴为x=-,与x轴的交点的坐标分别为(x1,0),(x2,0),则x1+x2=-,x1x2=,A中,a<0,-<0,-<0,>0,则a<0,b<0,c<0,∴abc<0,符合题意;B中,a<0,->0,->0,<0,则a<0,b>0,c>0,∴abc<0,符合题意;C中,a>0,-<0,-<0,>0,则a>0,b>0,c>0,∴abc>0,不符合题意;D中,a>0,->0,->0,>0,则a>0,b<0,c>0,∴abc<0,符合题意,故选ABD. |思维建模|　二次函数图象的特征 　　研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析,“三点”中有一个点是顶点,另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点,常取与x轴的交点;“一线”是指对称轴这条直线;“一开口”是指抛物线的开口方向. 考法(二)　二次函数的单调性与最值　 例3　已知函数f(x)=-x2+2ax+1-a在x∈[0,1]时,有最大值2,则a的值为　　　　.  解析:函数f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,对称轴方程为x=a. 当a<0时,f(x)max=f(0)=1-a=2,所以a=-1. 当0≤a≤1时,f(x)max=a2-a+1=2, 所以a2-a-1=0,所以a=(舍去). 当a>1时,f(x)max=f(1)=a,所以a=2. 综上可知,a=-1或a=2. 答案:-1或2 例4　设二次函数f(x)=ax2-2ax+c在区间[0,1]上单调递减,且f(m)≤f(0),则实数m的取值范围是　　　　.  解析:依题意a≠0,二次函数f(x)=ax2-2ax+c图象的对称轴是直线x=1,因为函数f(x)在区间[0,1]上单调递减,所以a>0,即函数图象的开口向上,所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2. 答案:[0,2] |思维建模|　二次函数单调性与最值问题的解题策略 (1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.不论哪种类型,解题的关键都是对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. (2)二次函数的单调性问题主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解. [针对训练] 3.[多选]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则 (　 ) A.abc<0 　　 B.b+2a=0 C.3a+c=0 　　 D.c-a>0 解析:选BC　二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,则a>0,对称轴为直线x=-=1,可得b=-2a<0,当x=0时,y=c<0,所以abc>0,A错误;b+2a=0,B正确;当x=-1时,y=a-b+c=3a+c=0,C正确;c-a=-4a<0,D错误. 4.已知函数y=x2-3x-4,当0≤x≤m时,-≤y≤-4,则实数m的取值范围是 (　 ) A.[3,+∞) B. C. D. 解析: 选C　由y=x2-3x-4可得y=-,即二次函数y=x2-3x-4的图象开口向上,对称轴为x=.画出其函数图象如图所示,易知,当x=时,y=-;当x=0或x=3时,y=-4.根据题意当0≤x≤m时,-≤y≤-4,结合图象可知≤m≤3.所以实数m的取值范围是. 5.已知二次函数f(x)的最小值为1,且f(0)=f(2)=3. (1)求f(x)的解析式; (2)若f(x)在区间[3a,a+1]上不具有单调性,求实数a的取值范围; (3)在区间x∈[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,试确定实数m的取值范围. 解:(1)由题意,函数f(x)是二次函数,且f(0)=f(2),可得函数f(x)对称轴为x=1,又由最小值为1,可设f(x)=b(x-1)2+1.又f(0)=3,即b×(0-1)2+1=3,解得b=2.∴函数的解析式为f(x)=2(x-1)2+1=2x2-4x+3. (2)由(1)知函数f(x)=2x2-4x+3的对称轴为x=1,要使f(x)在区间[3a,a+1]上不具有单调性,则满足3a<1<a+1,解得0<a<,即实数a的取值范围为. (3)由在区间[-1,1]上,y=f(x)的图象恒在y=2x+2m+1的图象上方,可得2x2-4x+3>2x+2m+1在区间[-1,1]上恒成立,即m<x2-3x+1在区间[-1,1]上恒成立. 设函数g(x)=x2-3x+1,则g(x)在区间[-1,1]上单调递减, ∴g(x)在区间[-1,1]上的最小值为g(1)=-1. ∴m<-1.故实数m的取值范围为(-∞,-1). [课时跟踪检测] 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.已知f(x)=(m2+m-5)xm为幂函数,则 (　 ) A.f(x)在(-∞,0)上单调递增 B.f(x)在(-∞,0)上单调递减 C.f(x)在(0,+∞)上单调递增 D.f(x)在(0,+∞)上单调递减 解析:选B　因为f(x)=(m2+m-5)xm是幂函数,所以m2+m-5=1,解得m=2或m=-3, 所以f(x)=x2或f(x)=x-3, 对于f(x)=x2,函数在(0,+∞)上单调递增,在(-∞,0)上单调递减; 对于f(x)=x-3,函数在(0,+∞)上单调递减,且为奇函数,故在(-∞,0)上单调递减; 故只有B选项“f(x)在(-∞,0)上单调递减”符合这两个函数的性质. 2.已知幂函数y=(p∈Z)的图象关于y轴对称,如图所示,则 (　 ) A.p为奇数,且p>0 B.p为奇数,且p<0 C.p为偶数,且p>0 D.p为偶数,且p<0 解析:选D　因为函数y=的图象关于y轴对称,所以函数y=为偶函数,即p为偶数. 又函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), 且在(0,+∞)上单调递减,所以<0,即p<0. 3.若a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系正确的是 (　 ) A.a>b>c B.c>b>a C.b>a>c D.a>c>b 解析:选C　∵a==,b==,y=是增函数,6<8<9,∴c<a<b. 4.[多选]已知函数f(x)=ax2-2ax+2(a>0),则 (　 ) A.f(2)<f(3) B.f(2)>f(3) C.f(0)<f(-1) D.f(0)>f(-1) 解析:选AC　f(x)=ax2-2ax+2=a(x-1)2+2-a,因为a>0,所以f(x)开口向上,对称轴为x=1,故f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,故f(2)<f(3),A正确,B错误;f(0)<f(-1),C正确,D错误.故选AC. 5.若函数f(x)=x2-(m-2)x+4在区间(1,2)内存在最小值,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(3,4) B.(4,6) C.[5,9] D.[-11,-7] 解析:选B　函数f(x)=x2-(m-2)x+4的对称轴为x=,∵函数f(x)=x2-(m-2)x+4在区间(1,2)内存在最小值,∴1<<2,解得4<m<6. 6.已知函数f(x)=x2-2(a-1)x+a,若对于区间[-1,2]上的任意两个不相等的实数x1,x2,都有f(x1)≠f(x2),则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,0] 　B.[0,3] C.(-∞,0]∪[3,+∞) 　D.[3,+∞) 解析:选C　二次函数f(x)=x2-2(a-1)x+a图象的对称轴为直线x=a-1,∵对于任意x1,x2∈[-1,2]且x1≠x2,都有f(x1)≠f(x2), 即f(x)在区间[-1,2]上单调, ∴a-1≤-1或a-1≥2. ∴a≤0或a≥3,即实数a的取值范围为(-∞,0]∪[3,+∞). 7.[多选]若函数y=x2-ax-3,x∈[-3,2]的最小值为-8,则a的值为 (　 ) A.- B.-2 C.2 D. 解析:选BD　函数y=x2-ax-3=-3-的图象开口向上,对称轴为x=.若-3≤≤2,即-6≤a≤4时ymin=-3-=-8,解得a=-2或a=2(舍去);若>2,即a>4时,函数在[-3,2]上单调递减,所以ymin=22-2a-3=-8,解得a=;若<-3,即a<-6时,函数在[-3,2]上单调递增,所以ymin=(-3)2+3a-3=-8,解得a=-(舍去).综上可得a=-2或a=. 8.[多选]如图,函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,且对称轴为直线x=1,点B的坐标为(-1,0),则 (　 ) A.f(1-x)=f(x) B.f(2)>0 C.f<f(0) D.b2-4ac>0 解析:选BD　因为函数f(x)的对称轴为直线x=1,所以f(2-x)=f(x),故A错误;因为函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A,B两点,点B的坐标为(-1,0),所以f(2)=f(0)>0,故B正确;因为函数图象开口向下,在(-∞,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且图象关于直线x=1对称,所以f=f>f(0),故C错误;由于ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根,故b2-4ac>0,故D正确. 9.[多选]下列说法正确的是 (　 ) A.若幂函数的图象经过点,则解析式为y= B.若函数f(x)=,则f(x)在区间(-∞,0)上单调递减 C.幂函数y=xα (α>0)始终经过点(0,0)和(1,1) D.若幂函数f(x)=(2m2-2m-3)xm图象关于y轴对称,则f(-a2+2a-5)>f(3) 解析:选CD　设f(x)=xα,将代入,=2,即(2-3)α=2,解得α=-,故解析式为y=,A错误;因为-<0,所以f(x)=在(0,+∞)上单调递减,又f(x)=定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f(-x)===f(x),故f(x)=为偶函数,故f(x)=在(-∞,0)上单调递增,B错误;因为α>0,所以0α=0,1α=1,故幂函数y=xα (α>0)始终经过点(0,0)和(1,1),C正确;由题意得2m2-2m-3=1,解得m=2或m=-1,当m=2时,f(x)=x2为偶函数,满足图象关于y轴对称,当m=-1时,f(x)=x-1为奇函数,不满足图象关于y轴对称,舍去,其中-a2+2a-5=-(a-1)2-4≤-4恒成立,故|-a2+2a-5|=(a-1)2+4≥4>3,又f(x)=x2在(0,+∞)上单调递增,故f(-a2+2a-5)>f(3),D正确. 10.已知函数f(x)=-x2+2x+5在区间[0,m]上的值域为[5,6],则实数m的取值范围是 (　 ) A.[0,1] B.(-1,1] C.[0,2] D.[1,2] 解析: 选D　f(x)=-x2+2x+5=-(x-1)2+6,f(x)的图象开口向下,对称轴为x=1,画出f(x)的图象如图所示,由于f(x)在区间[0,m]上的值域为[5,6],由图可知,m的取值范围是[1,2]. 11.如图是抛物线y=-(x+1)2+k的部分图象,其顶点为M,与y轴交于点(0,3),与x轴的一个交点为A,连接MO,MA.以下结论:①常数k=3;②抛物线经过点(-2,3);③S△OMA=4;④当x=-3+时,y>0.其中正确的是 (　 ) A.①③ B.②③ C.②④ D.①④ 解析:选C　因为抛物线y=-(x+1)2+k与y轴交于点(0,3),所以3=-(0+1)2+k,得k=4,故①错误;所以抛物线为y=-(x+1)2+4,当x=-2时,y=-(-2+1)2+4=3,即抛物线经过点(-2,3),故②正确;由-(x+1)2+4=0,解得x1=1,x2=-3,所以A(1,0),所以OA=1,由抛物线为y=-(x+1)2+4,知抛物线的顶点M(-1,4),所以S△OMA=×1×4=2,故③错误;因为抛物线y=-(x+1)2+4与x轴的交点为(-3,0),(1,0),所以当-3<x<1时,y>0,所以当x=-3+时,y>0,故④正确. 12.[多选]已知函数f(x)=x2+2x,若存在实数t,当x∈[1,m]时,有f(x+t)≤3x恒成立,则实数m可以等于 (　 ) A.3 B.6 C.9 D.12 解析:选AB　不等式f(x+t)≤3x⇔(x+t)2+2(x+t)-3x≤0⇔x2+(2t-1)x+t2+2t≤0,令g(x)=x2+(2t-1)x+t2+2t,x∈[1,m],依题意,存在实数t,使g(x)≤0在x∈[1,m]上恒成立,由二次函数的图象与性质知,即令h(t)=t2+2(m+1)t+m2-m,于是存在实数t∈[-4,0],使得h(t)≤0成立,而m>1,当-m-1≤-4,即m≥3时,函数h(t)在[-4,0]上单调递增,h(t)min=h(-4)=m2-9m+8≤0,解得3≤m≤8;当-4<-m-1<-2,即1<m<3时,h(t)min=h(-m-1)=-1-3m≤0,解得1<m<3.综上,1<m≤8.选项A、B符合题意,选项C、D不符合题意. 13.(2024·南通模拟)若(a+1<(3-2a,则实数a的取值范围是　　 　　　.  解析:令f(x)=,其定义域是{x|x≥0},且在(0,+∞)上单调递增,则原不等式等价于解得a∈. 答案: 14.已知二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1,+∞),则+的最小值为　　　.  解析:因为二次函数f(x)=ax2+2x+c(x∈R)的值域为[1,+∞),则a>0,所以f(x)min===1,即ac-1=a,可得a=>0,则c>1,所以+=c+-1≥2-1=3,当且仅当c=2时,等号成立,因此+的最小值为3. 答案:3 15.已知函数f(x)=x2-ax+2,x∈[1,3],图象上任意两点连线都不与x轴平行,则实数a的取值范围是　　　　　　　.  解析:由题意知,f(x)=x2-ax+2在[1,3]上单调.因为二次函数f(x)图象开口向上,对称轴为x=-=.当f(x)在[1,3]上单调递增时,有≤1,解得a≤2;当f(x)在[1,3]上单调递减时,有≥3,解得a≥6.综上可知,实数a的取值范围是(-∞,2]∪[6,+∞). 答案:(-∞,2]∪[6,+∞) 16.设关于x的方程x2-2mx+2-m=0(m∈R)的两个实数根分别是α,β,则α2+β2+5的最小值为　　　　.  解析:由题意有且Δ=4m2-4(2-m)≥0,解得m≤-2或m≥1.α2+β2+5=(α+β)2-2αβ+5=4m2+2m+1.令f(m)=4m2+2m+1,而f(m)图象的对称轴为m=-,且m≤-2或m≥1,所以f(m)min=f(1)=7. 答案:7 学科网（北京）股份有限公司 $$