2025年中考数学核心考点复习： 第六单元圆的计算和证明——选填题

第六单元 圆的计算和证明 专题一 圆的计算和证明 (1) ——角度处理 核心考点一 圆心角与圆周角的转化 01.如图, AD是⊙O的直径, 弦BC交AD于点E, 连接AB, AC, 若∠BAD=30°, 则∠ACB 的度数是 ( ) A. 50° B. 40° C. 70° D. 60° 02.如图, 在⊙O中, 半径OA, OB互相垂直, 点C在劣弧AB上. 若∠ABC=19°, 则∠BAC= ( ) A. 23° B. 24° C. 25° D. 26° 核心考点二 圆周角与圆周角的转化 03.如图, 四边形ABCD 内接于⊙O, AC, BD为对角线, BD经过圆心O.若∠BAC=40°,则∠DBC的度数为 ( ) A. 40° B. 50° C. 60° D. 70° 04.如图, 在⊙O中, 直径AB与弦CD相交于点P, 连接AC, AD, BD, 若∠C=20°,∠BPC=70°, 则∠ADC= ( ) A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 核心考点三 圆内接四边形的角度关系 05.如图, 四边形ABCD 内接于⊙O, 延长AD至点E, 已知. 那么∠CDE的度数为 . 06.如图, 在圆内接四边形ABCD中, , 连接OB, OC, OD, BD,∠BOC=2∠COD, 则∠CBD的度数是 ( ) A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° 核心考点四 利用切线的性质转换角 07.如图, PA, PB分别与⊙O相切于A, B两点, 且 ，若C是⊙O上异于点A, B的一点, 则∠ACB的度数为 . 08.如图, 在△ABC中, 的内切圆⊙O与AB, BC分别相切于点D, E, 连接DE, AO的延长线交DE于点F, 则 核心考点五 圆与正多边形的相关计算 09.如图, 正五边形ABCDE内接于⊙O, 连接OC, OD, 则 A. 60° B. 54° C. 48° D. 36° 10. 如图, 正六边形ABCDEF内接于⊙O, 点P在AF上,Q是DE的中点,则 的度数为 ( ) A. 30° B. 36° C. 45° D. 60° 专题二 圆的计算和证明(2)——垂径定理 核心考点一 构半径，利用垂径定理与勾股计算 01. 如图, CD是圆O的弦, 直径 , 垂足为E, 若 , BE=3, 则四边形ACBD的面积为 ( ) 02.如图, ⊙O是△ABC的外接圆,. C于D, 延长AD交⊙O于点 E,若BD=4, CD=1, 则DE的长为 . 核心考点二 构垂径设参双勾股 03. 如图, ⊙O的弦CD交直径AB于点E,( 若OE=5, 则CD 的长为 ( ) 核心考点三 构造隐藏的垂径定理结构与勾股 04.如图,OA是⊙O的半径,F是弦CD的中点,( I于点E，若 则EF的长是( ) A. 2 D. 4 专题三 圆的计算和证明(3) ——切线 核心考点一 连切点，构造直角三角形 01. 如图, AC是⊙O的切线, B为切点, 连接OA, OC. 若 BC=3, 则OC的长度是 ( ) A. 3 D. 6 C 02.如图, 圆O的圆心在梯形ABCD的底边AB上, 并与其它三边均相切, 若AB=10,AD=6, 则BC长 ( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 无法确定 核心考点二 斜射影与切割线定理 03.如图, D为⊙O上的一点, 过点D 的切线交直径BA的延长线于点C, 连接AD, 若 则 AD的长为 . 04.如图，A，B表示足球门边框(不考虑球门的高度)的两个端点，点C 表示射门点，连接AC，BC，则∠ACB就是射门角. 在不考虑其它因素的情况下，一般射门角越大，射门进球的可能性就越大. 球员甲带球线路ED与球门AB垂直，D为垂足，点C在ED上， 当 最大时就是带球线路ED 上的最佳射门角. 若. ，则球员甲在此次带球中获得最佳射门角时的DC长度为 ( ) A. 4 B. 6 专题四 圆的计算和证明(4) ——全等与勾股 核心考点一 双切线与对称全等 01.如图,PA与⊙O相切于点A,PO交⊙O于点B,点C在PA上,且CB=CA.若OA=5,PA=12, 则CA的长为 . 02.如图, 四边形ABCD 内接于半径为5的⊙O, A , 则AD的长为 . 核心考点二 阿基米德折弦基本图 03. 如图, 半径为5的圆中有一个内接矩形ABCD, AB>BC, 点M是 的中点， 于点N，若矩形ABCD的面积为30, 则线段MN的长为 ( ) 核心考点三 利用半径相等构造斜 8字型全等 04.如图, AB为⊙O的直径, AE为⊙O的弦, C为优弧. 的中点， ，垂足为D. 若AE=8, DB=2, 则⊙O的半径为 ( ) A. 6 B. 5 专题五 圆的计算和证明(5)——直径的构造 核心考点一 构造直径得直角 01.如图, B为OA的中点, C 是以OB 为半径的⊙O上的一点, 若AC的中点D恰好在⊙O上, 则tan∠OBD的值为 . 核心考点二 已知特殊角的三角函数与直径构造 02. 如图, 内接于⊙O, 高AD, BE交于点G, ⊙O的半径为8, 则 GE 的长为 . 核心考点三 连线利用直径和鸡爪定理 03.如图, AB为⊙O的直径, 点C在圆上, I为 的内心, AI交⊙O于点D, 若 则sin∠CAD的值是 . 专题六 圆的计算和证明(6) ——垂美四边形 核心考点一 直接利用直径 01如图, 已知四边形ABCD内接于⊙O, 对角线BD是⊙O的直径, E为⊙O内一点,满足 若 则弦 BC的长为 . 核心考点二 构造直径，发现垂心 02. 如图, 内接于⊙O, 高线AD, BE交于点F, 若 , 求⊙O半径. 03.如图, 四边形ABCD是⊙O的内接四边形, 于点P，半径 8, 则 核心考点三 构造直径，求垂美四边形的面积 04. 四边形ABCD 内接于⊙O, 且. , 圆心O到边AB, BC, CD的距离分别为 则四边形ABCD的面积为 . 专题七 圆的计算和证明 ( 7) ——弧的中点 01.如图, 在半径为3的⊙O中, AB是直径, AC是弦, D是 的中点, AC与BD交于点 E. 若E 是 BD的中点, 则AC的长是 . 02.如图, AB 是半圆O的直径, 点C是弧AB 的中点, 点D 是弧BC的中点, 连接AD,CE⊥AD于点E, 则 ；的值为 . 03. 如图, AB为⊙O的直径, 点C为 的中点, 弦CD交AB于点E, 若 则tanB 的值是 . 04.如图,AB是⊙O的弦,C是 的中点，弦. ,连接CD交AB 于点E,若( EB=4, 则 的长为 ( ). D. π 专题八 圆的计算和证明(8) ——特殊角 核心考点一 已知特殊角的度数 01.如图, 在扇形OAB中, ∠AOB=90°, C是 上一点，连接OC交AB于点D，过点C作CE∥OA交AB于点E. 若∠BOC=30°, OB=2, 则CE的长是 . 02.如图, 点A, B, C在⊙O上, ∠ABC=45°, 延长CO交AB于点D,( 则BC的长是 . 核心考点二 隐含的特殊角 03如图, △ABC是半圆O的内接三角形, 点C是半圆上一点, ∠ACB=90°, BD平分∠OBC, 交AC于点D, 连OD, 且OD=4, 若AO=AD, 则BD的长为 . 04如图, △ABC内接于⊙O, AB是⊙O的直径, I为△ABC的内心, 延长CI交⊙O于点D, 连接OI, 若∠AOI=45°, 则cos∠OID的值是 . 专题九 圆的计算和证明(9)——圆与A字型、X型相似 01如图, 在⊙O中, 连接BO并延长, 交AC于点 F. 若⊙O的半径为5, 则OF的长为 . 02 如图, 已知四边形ABCD内接于⊙O, 直径AC=6, 对角线AC, BD交于E点, 且AB=BD, EC=1, 则AD的长为 . 03如图, 已知AB是⊙O的直径, 点P为BA延长线上一点, PC切⊙O于点C, 点 E为弧AB的中点, CE交AB于点F, 连PE, 若 则 04如图, 四边形ABCD内接于⊙O, AB是⊙O的直径, , 分别延长BA, CD, 交点为E，作 并与EC的延长线交于点F. 若，AE=AO,BC=6,, 则 CF的长为 . 专题十 圆的计算和证明(10) ——圆与斜射影 01如图, 已知四边形ABCD的外接圆⊙O的半径为5, 对角线AC与BD交于点E, 且AC=8, 则四边形ABCD 的面积为 . 02如图, D是△ABC边AB 上的一点, AB=3AD, P是 外接圆上一点(P在弧AC 上), 满足.∠ADP=∠ACB, 则. 的值为 . 03.如图, △ABC是⊙O的内接三角形, AB=AC, ∠BAC=120°, D 是BC边上一点, 连接AD并延长交⊙O于点E. 若AD=2, DE=3, 则⊙O的半径为 . 04. 如图, AB是⊙O的直径, 延长AB至点C, 使BC=OB=2, 点E是线段OB的中点, 交⊙O于点 D. (1) 求证: CD 是⊙O 的切线; (2) 点P为⊙O上一点, 连PC, PE, 若. 求cos∠ACP 的值. 专题十一 圆的计算和证明(11) ——圆与旋转相似 核心考点一 旋转型 01如图, BC是⊙O的直径, AB切⊙O于点B, AB=BC=8, 点D在⊙O上, DE⊥AD交BC于E, BE=3CE, 则AD的长是 . 02. 如图, AB 为半圆O的直径, 且BC=AB, 点D为半圆上一点, 连接BD 并延长交过点A的切线于点E, 连CF, DF⊥CD交AB于F, 若 则⊙O的半径长为 . 核心考点二 圆内接三角形的高与直径构造 03.如图, 内接于⊙O, AD是 边BC上的高，D为垂足. 若 BC=7,则⊙O的半径是 . 04. 如图, 在⊙O的内接 中， 则⊙O的半径为 . 专题十二 圆的计算和证明(12)——圆与四边形 核心考点一 圆与平行四边形 01.如图, 在平行四边形ABCD中, 以对角线AC为直径的圆O分别交BC, CD于点E,F. 若AB=13, BC=14, CE=9, 则线段EF的长为 . 核心考点二 切线与矩形 02如图, 矩形ABCD的顶点A, B在⊙O上, 边CD与⊙O相切于点E, 边BC交⊙O于点F. 若 则 CF的长为 . 03.如图, 以矩形ABCD对角线BD上一点O为圆心, 作⊙O过A点并与CD切于E点,若CD=3, BC=5, 则⊙O的半径为 . 04木匠黄师傅用长AB=3m，宽BC=2m的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了两种方案：方案一：用矩形木板直接锯一个半径最大的圆； 方案二：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，适当平移三角形并锯一个最大的圆，则方案二比方案一的圆的半径大 ( ) 核心考点三 圆与菱形 05.如图, 菱形ABCD的边AB=20, 面积为320, ⊙O与边AB, AD都相切, AO=10, 则⊙O的半径长等于 . 核心考点四 圆与梯形 06. 如图, 在四边形ABCD中, 以D为圆心，AD为半径的弧恰好与 BC 相切，切点为E. 若 则 sinC= ( ) 核心考点五 圆与正方形 07.如图, 正方形ABCD中, E为AB上一点, AF⊥DE于点F, 已知 过C,D, F的⊙O与边AD交于点 G, 则DG= . 08.如图, ⊙O内切于正方形ABCD, 边AD, CD分别与⊙O切于点E, F, 点M, N分别在线段DE, DF上, 且MN与⊙O相切, 若 的面积为8，则⊙O的半径为 . 专题十三 圆的计算和证明 (13) ——内心和外心 核心考点一 内心和内切圆 (1) ——平行类相似 01. 如图, 在△ABC中, AB=7, BC=8, AC=9, 过 的内切圆圆心I作. ,分别与AB,AC相交于点D, E, 则DE的长为 . 02.如图, ⊙I是Rt△ABC的内切圆, ， 过点I作. 分别交CA, CB于E, F, 若EA=4, IF=3, 则⊙I的半径是 . 03.如图, ⊙O与, 的三边分别相切于点D,E, F, 连接DE, EF. 若AD=6, BE=7, 则tan∠DEF的值是 . 04.如图, 内接于⊙O, AB为⊙O的直径,I为 的内心，连接OI，AI, BI. 若OI⊥BI,OI=1,则AB的长为 . 05如图, ⊙O是△ABC的外接圆, 点I是 内心，连接AI并延长交⊙O于点D，若AB=9, BC=14, CA=13,则 的值是 . 06. 如图, ⊙O是△ABC的外接圆, AB是⊙O的直径, E为 的内心，BE的延长线交AC于点D, 若OE⊥BD, 则cos∠CBD的值为 . 核心考点二 外心和平行构相似 07.如图, 在△ABC中, ∠ABC=∠ACB, 点O是 的外心，连接CO并延长交边AB于点P, AP=3, BP=4, 则cos∠ABC的值为 . 核心考点三 构造外心：定角对定弦，构造辅助圆 (或构造相似) 08. 如图, 在 中， 求线段AD的长. 专题十四 圆的计算和证明(14)——圆的折叠与旋转 方法：圆的折叠问题即折叠形成的等圆问题，折叠出等腰 核心考点一 圆的折叠——折叠出等腰 01.如图，在⊙O中，点C在优弧AB上，将弧BC沿BC折叠后刚好经过AB的中点D.若OO的半径为 则BC的长是 . 02.半径OA⊥弦BC于D,将⊙O沿着BC对折交AD于点E, 的面积为36，则OD的长为 . 03.如图, AB为⊙O的直径, 将BC沿BC翻折，翻折后的弧交AB于点 D. 若 则图中阴影部分的面积为 . 核心考点二 圆的旋转——等弧等弦与等角 04. 如图, 点A, B均在⊙O上, 圆心角. 将弧AB绕点A顺时针旋转一定角度，得到弧AC且恰好经过圆心O，连接AC 并延长交⊙O于点D，则. 1的值为 ( ) 专题十五 圆的计算和证明(15) ——圆的覆盖 核心考点一 最大内切圆 01. 如图, 在四边形材料ABCD 中, BC=24cm. 现用此材料截出一个面积最大的圆形模板，则此圆的半径是 ( ) B. 8cm D. 10cm 核心考点二 最小覆盖圆 02.如图是由三个大小相同的正方形组成的“品”字型轴对称图案，测得顶点A，B之间的距离为5. 现用一个半径为r的圆形纸片将其完全覆盖，则r的最小值是( ) 03. 如图, 在Rt△ABC中, 以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点E，F，G，H，M，N都在同一个圆上. 记该圆面积为( 面积为S₂，则 的值是 ( ) B. 3π D. 5π 专题十六 圆的计算和证明(16) ——面积法 01.如图, 在△ABC中, 于 D, ⊙O为 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 的值为 . 02.如图, 在△ABC中, AB=7, BC=5, AC=8, 则 的内切圆的半径为( ) 03.《数书九章》是我国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式 若三角形的三边a，b，c分别为7，6，3，则这个三角形内切圆的半径是 ( ) 专题十七 圆的计算和证明(17) ——求面积 核心考点一 构造和差法 01.如图, AB是半圆O的直径,以O为圆心, OC长为半径的半圆交AB于C, D两点, 弦AF切小半圆于点E. 已知OA=2, OC=1, 则图中阴影部分的面积是 ( ) 核心考点二 等积转化法 02.如图, AB和CD是⊙O的两条互相垂直的弦, 若 ，则阴影部分的面积是 ( ) A. 2π-1 C. 5π-4 D. 5π-8 核心考点三 容斥原理法 03.如图, 将半径为2, 圆心角为120°的扇形OAB绕点A 逆时针旋转( , 点O, B的对应点分别为O'，B'，连接BB'，则图中阴影部分的面积是 ( ) 核心考点四 最值与面积 04.两个以点O为圆心的半圆如图放置，AB，CD分别是直径，且( , 点E为大半圆上异于C，D的一点，连接OE交小半圆于点P，连接AE. 当 最大时，扇形OED的面积为 ( ) B. π 学科网（北京）股份有限公司 $$