函数零点问题专项训练-2025届高三数学一轮复习

函数零点问题专项训练-高三数学上学期一轮复习检测卷 一、单选题 1．方程在内根的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．设函数，若存在使得既是的零点，也是的极值点，则的可能取值为（   ） A．0 B． C． D． 3．三个函数，，的零点分别为，则之间的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4．函数的零点所在区间是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，则关于方程的根个数不可能是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（    ） A． B．方程有解 C．是偶函数 D．是偶函数 7．已知函数在区间恰有两个零点，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D．3 8．已知函数在上有且仅有4个零点，直线为函数图象的一条对称轴，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数的极小值为 D．若有3个不等实根，则 10．已知定义在上的函数，对任意有，其中；当时，，则（    ） A．为上的单调递增函数 B．为奇函数 C．若函数为正比例函数，则函数在处取极小值 D．若函数为正比例函数，则函数只有一个非负零点 11．已知函数为偶函数，将图象上的所有点向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标变为原来的，得到函数的图象，若的图象过点，则（    ） A．函数的最小正周期为1 B．函数图象的一条对称轴为 C．函数在上单调递减 D．函数在上恰有5个零点 三、填空题 12．已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为 . 13．已知函数（，）的最小正周期为T，，若在内恰有10个零点则的取值范围是 ． 14．函数的部分图象如图所示，已知，且，则 ． 四、解答题 15．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围. 16．若关于x的指数函数方程 (1)有实数解，求实数a的取值范围； (2)在区间上有且只有一个实数解，求实数a的取值范围． 17．函数有且只有两个零点． (1)求实数的取值范围； (2)已知为常数，设函数，若，求的值． 18．已知函数． (1)若，求的值域； (2)若关于x的方程有三个连续的实数根，，，且，，求a的值． 19．帕德近似是法国数学家亨利．帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法．给定两个正整数m，n，函数在处的阶帕德近似定义为：，且满足：，，，…，．注：，，，，…；为的导数）．已知在处的阶帕德近似为． (1)求实数a，b的值； (2)比较与的大小； (3)若有3个不同的零点，求实数m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】先根据两角和差的正弦公式进行化简，整体替换得到方程的根； 【详解】由题意，， 即，可得或， 解得或 又因为，所以， 故选：D. 2．B 【分析】对函数求导后，令导数为零，讨论方程的根，再根据零点的定义即可求值. 【详解】由，得， 令，则或， 当时，由，得， 所以，则 当时，由，得， 由，得或， 当时，不存在极值点， 当时，得， 综上，， 所以当时，. 故选：B 3．B 【分析】先判断各函数的单调性，再根据零点的存在性定理求出函数零点的范围，即可得出答案. 【详解】因为函数，，，都是增函数， 所以函数，，均为增函数， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 因为， 所以函数的零点在上，即， 综上，． 故选：B． 4．C 【分析】由零点存在性定理可得答案. 【详解】因为函数的定义域为，又，易知函数在上单调递增， 又，所以在内存在一个零点，使. 故选：C. 5．C 【分析】将原问题转化为直线与函数的图象交点的个数，作出的图象，分、、三种情况，结合图象求解即可． 【详解】作出函数的图象，如图所示：      将原问题转化为直线（过定点）与函数的图象交点的个数， 由图可知，当时，直线与函数的图象只有一个交点； 当时，直线与函数的图象没有交点； 当时，直线与函数的图象有三个交点； 所以直线与函数的图象不可能有两个交点． 故选：C． 6．C 【分析】由已知利用赋值法与等差数列的求和公式，结合函数的奇偶性及方程解的存在条件检验各选项即可判断. 【详解】对于A，因为函数的定义域为，且满足， 取，得，则， 取，得，则，故错误； 对于B，取，得，则， 所以， 以上各式相加得， 所以， 令，得，此方程无解，故B错误. 对于CD，由知， 所以是偶函数， 不是偶函数，故C正确，错误. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用赋值法得到，再利用等差数列数列的求和公式得到，从而得解. 7．A 【分析】根据题意，由辅助角公式可得，然后结合条件代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，其中， 且，函数在区间恰有两个零点， 则，即， 所以. 故选：A 8．C 【分析】以为整体，根据题意结合零点可得，结合对称性可得，进而可求. 【详解】因为，且，则， 由题意可得：，解得， 又因为直线为函数图象的一条对称轴， 则，解得， 可知，即， 所以. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：以为整体，可得，结合正弦函数零点分析可知右端点的取值范围，进而可得的取值范围. 9．BCD 【分析】根据导函数求出函数的单调性判断A，B选项，再求极小值判断C，根据方程根求和即可得出D选项. 【详解】对于A，因为， 所以 ，， ，，函数在上单调递增， ，， 则函数在上单调递减，故A错误； 对于B，在上，，函数在上单调递减，故B正确； 对于C，，函数在上单调递增， 所以当时，取极小值，故C正确； 对于D，， 故 ， 根据待定系数法得，故D正确. 故选：BCD. 10．AB 【分析】选项A，利用函数单调性的定义，设，，得出即可得证； 选项B，先得出，再设，得出，即可得证； 选项C，在前提下，求函数的导函数，分析导函数的正负，得出函数的单调性以及极值即可； 选项D，在前提下，函数，利用零点存在性定理，代入特殊值检验即可. 【详解】对于选项A，设，且，， ，即， 故单调递增，选项A正确； 对于选项B，是定义在上的函数，取，则， 取，则，即， 故是奇函数，选项B正确； 对于选项C、D，设，代入，得， 其中C选项，，， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 函数在处取极大值，无极小值,选项C错误； 其中D选项，函数， 其中， ， ， ， 由零点存在性定理可知，函数分别在区间，和上各至少存在一个零点，选项D错误； 故选：AB. 【点睛】方法点睛：抽象函数单调性问题主要包括： 1.判断（证明）函数的单调性：这类问题通常要求在给定的区间上设出自变量的任意两个取值并给出它们之间的大小关系，然后对函数值因式进行化简变形，并判断其符号，得出函数的单调性结论； 2.利用函数的单调性比较大小：这包括正用和逆用两种方法，即若已知函数在某个区间上是增函数，则当时，有；反之亦然； 3.利用函数的单调性求函数的最值（值域）：通过函数的单调性，可以求得函数的值域，进而求得函数的最大值或最小值； 4.利用函数的单调性：用将函数值之间的不等关系用于自变量间的不等关系，进行等价转化即可； 5.利用函数的单调性求参数的取值范围：通过将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，或通过建立关于参数的不等式（组）或方程（组），解不等式（组）或方程（组）求出参数的取值范围. 11．AC 【分析】由为偶函数得，再由图象变换结合已知求出，即得，然后借助余弦函数的图象性质逐项判断即得. 【详解】由函数为偶函数，得，而，则， 因此，， 由，得，于是，解得，则， 对于A，函数的最小正周期为，A正确； 对于B，，函数图象关于不对称，B错误； 对于C，当时，，而余弦函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减，C正确； 对于D，由，得，解得， 由，解得，因此函数在上恰有6个零点，D错误. 故选：AC 12．9 【分析】由结合是奇函数可求出的周期为3，即可求出，再由的对称性和周期性可得. 【详解】由，可得的图象关于点对称， 又是奇函数，所以， 则的周期为3，所以， ， 而，则. 故在上的零点个数的最小值为9. 故答案为：9. 13． 【分析】由，可得，进而可求，进而根据在内恰有10个零点，可求的取值范围. 【详解】函数（，）的周期为， 又，所以， 所以，即， 因为，所以，解得， 所以，因为，所以， 要使在内恰有10个零点，则. 所以的取值范围是. 故答案为：. 14．1 【分析】先求出的解析式，再根据得到，从而得到的值. 【详解】由函数的部分图象得，函数的周期，， 即，由，得，而， 于是，，由，得， 整理得， 因此或， 即或与矛盾， 于是，， 所以. 故答案为：1 【点睛】思路点睛：依据图象求解析式时，要遵循“两看一算”即看周期与振幅，利用对称轴算初相位，另外，已知三角函数值的关系要求自变量的关系时，要利用诱导公式化成同名的三角函数的相等关系，再依据终边的位置关系得到自变量的关系. 15．(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）求导，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得单调性. （2）分类讨论，根据函数的单调性及函数零点的判断，分别求得函数的零点，即可求得a的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为R， 求导得， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上递减，在上递增， ，即， ①当时，，恒成立，在R上单调递减； ②当时，由，得，由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，在R上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时，在R上单调递减，在R上至多一个零点，不满足条件， 当时，，令， 则， 令，求导得，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，即， 于是，函数在R上单调递增，而， 则当时，，当时，，当时，， ①若，则，故恒成立，无零点； ②若，则，仅有一个实根，不满足条件； ③若，则， 注意到，， 于是在上有一个实根，又， 且 ， 令，则，当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，， 则，又，即，则有， 即，于是在上有一个实根， 又在上单调递减，在上单调递增，因此在R上至多两个实根， 又在及上均至少有一个实根，则在R上恰有两个实根， 所以时，在R上恰有两个实根. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： ①转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； ②列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； ③得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 16．(1)； (2)或 【分析】（1）参变分离后借助基本不等式计算即可得； （2）参变分离后借助对勾函数的性质计算即可得. 【详解】（1）由题意可得有解， 由，故， 当且仅当时，等号成立， 即，则，即； （2）由题意可得在区间上有且只有一个实数解， 由时，则， 由对勾函数性质可得，当，即时，单调递减， 此时， 当，即时，单调递增， 此时， 则有或， 解得或. 17．(1)； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数结合零点存在性定理求解即得. （2）利用零点的意义建立方程，并令，用表示，再利用最小值建立不等式，并等价转化建立函数，利用导数探讨最大值即可得解. 【详解】（1）函数定义域为，求导得， 当时，在上单调递增，此时至多一个零点，不合题意； 当时，由，得；由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增，， 当趋近于0时，趋近于正无穷大，当趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大， 则只需，即，此时在上有唯一零点，在上有唯一零点，符合题意， 所以的取值范围是. （2）由（1）知，得，令，则， ，， ， ，记， ，令，则， 令，求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，而， 则，当时，时，当时，， 于是函数在上单调递增，在上单调递减，又，， 当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 因此，显然当时，，而，所以. 【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤： （1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题； （2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式； （3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围． 18．(1) (2) 【分析】（1）将看成整体角，由求得，判断的单调性，求得函数的值域，继而得的值域； （2）结合函数的图象，得和，，求得，，由方程即可求得值. 【详解】（1） 因，令，则， 因在上单调递增，在上单调递减， 而，故． 则，的值域为． （2）如图，因的最小正周期为， 当时，易得，不满足，故舍去， 当时，依题意：，代入得：． 由，，可得，． 由，，代入，解得，． ，， 当时，，； 当时，，，    故的值为． 19．(1)，． (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求出，，，，根据，列方程组即可求解； （2）令，利用导数研究的单调性即可比较大小； （3），除1外还有2个零点，设为，，，由导数由函数零点个数求m的范围． 【详解】（1）由，， 知，，，， 由题意，， 所以，所以，． （2）由（1）知，，令， 则， 所以在其定义域内为增函数， 又， ∴时，； 时，， 所以时，；时，． （3）由（1）知，， 注意到，则除1外还有2个零点，设为，， ， 令， 当时，在上恒成立，则， 所以在上单调递减，不满足，舍去， 当时，除1外还有2个零点，设为，，则不单调， 所以存在两个零点，∴，解得， 当时，设的两个零点分别为s，， 则，， ∴，当时，，，则单调递增， 当时，，，则单调递减； 当时，，，则单调递增， 又，不妨设，， 而，且，，且， 所以存在，，满足， 即有3个零点，1，， 综上所述，m的取值范围为． 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$