第03讲 第一章集合新定义题-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（苏教版2019必修第一册）

第03讲 第一章 集合新定义题 目录 集合新定义题（小题） 1 集合新定义题（解答题） 3 集合新定义题（小题） 1．（24-25高一·上海·课堂例题）设X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X属于，属于；（2）中任意多个元素的并集属于（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合X上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ②； ③； ④； 其中是集合X上的拓扑的集合的序号是（    ） A．② B．①③ C．②④ D．②③ 2．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知集合，对于集合中的任意元素和，记.若集合，，均满足，则中元素个数最多为（    ） A．10 B．11 C．1023 D．1024 3．（23-24高一下·湖南岳阳·期中）已知集合.对于，，定义A与B之间的距离为 .若集合M满足：，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（多选）（23-24高一上·福建厦门·期末）聚点是实数集的重要拓扑概念，其定义是：，，若，存在异于的，使得，则称为集合的“聚点”，集合的所有元素与E的聚点组成的集合称为的“闭包”，下列说法中正确的是（    ） A．整数集没有聚点 B．区间的闭包是 C．的聚点为0 D．有理数集的闭包是 5．（多选）（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，，都有，，ab，（除数），则称P是一个数域．例如有理数集Q是一个数域；数集也是一个数域．下列关于数域的命题中是真命题的为（    ） A．0，1是任何数域中的元素 B．若数集M，N都是数域，则是一个数域 C．存在无穷多个数域 D．若数集M，N都是数域，则整数集 6．（2024高一·全国·专题练习）设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若具有性质，且，则具有性质； ③若、具有性质，且，则具有性质； ④若、具有性质，则具有性质. 其中所有真命题的序号是 . 7．（2024·四川）已知集合，对任意、、，规定运算“”满足如下性质： （1）；（2）；（3）； 给出下列命题：①； ②若，则； ③若，且，则； ④若、、，且，，则． 其中所有正确命题的序号是 ． 8．（2024高一上·江苏·专题练习）已知集合，对于集合U的两个非空子集A，B，若，则称为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的所有“互斥子集”的组数为当且仅当时，与为同一组“互斥子集”，则 集合新定义题（解答题） 1．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）对于数集，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称X是“对称的”. (1)判断以下三个数集、、是否是“对称的”（不需要说明理由）； (2)若，且是“对称的”，求的值； (3)若“对称的”数集，满足：，，.求证：. 2．（23-24高一下·北京·期中）设（为正整数），对任意的，，定义 (1)当时，，，求； (2)当时，集合，对于任意，，均为偶数，求A中元素个数的最大值； (3)集合，对于任意，，，均有，求A中元素个数的最大值． 3．（23-24高一上·上海普陀·期中）集合A为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值． 4．（2024高一·全国·专题练习）（1）已知集合且，任意从中取出k个四元子集，均满足的元素个数不超过2个，求k的最大值.（举出一个例子即可，无需证明） （2）已知集合且，任意从中取出k个三元子集，均满足的元素个数不超过一个，求k的最大值. 5．（23-24高一上·北京延庆·期中）对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的整数，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，求的值，使得集合中元素的个数最少（直接写出答案，不需要说明理由）； (3)若和都是自然数，集合时，求出使得成立的所有和的值，并说明理由. 6．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知集合中的元素有个且均为正整数，将集合分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合，即，其中.若集合中元素满足，则称集合为“完美集合”. (1)若集合，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由. (2)若集合为“完美集合”，求正整数的值以及相应的集合. 7．（2024·北京西城）设集合，如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”. (1)当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由； (2)若为集合的“相关数”，证明：； (3)给定正整数，求集合的“相关数”m的最小值. 8．（23-24高一上·上海普陀）已知集合，，，对任意，定义.若存在正整数，使得对任意，都有，则称集合具有性质.如集合、都具有性质.记是集合中的最大值. (1)判断集合和集合是否具有性质（直接写出结论）； (2)若集合具有性质，求证：和； (3)若集合具有性质，求证：. 9．（23-24高一上·上海宝山·期中）对于任意有限集，定义集合表示的元素个数.已知集合为实数集的非空有限子集，设集合. (1)若，求集合和； (2)已知为有限集，若，证明：. (3)若，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 第一章 集合新定义题 目录 集合新定义题（小题） 1 集合新定义题（解答题） 7 集合新定义题（小题） 1．（24-25高一·上海·课堂例题）设X是一个集合，是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X属于，属于；（2）中任意多个元素的并集属于（3）中任意多个元素的交集属于；则称是集合X上的一个拓扑.已知集合，对于下面给出的四个集合： ①； ②； ③； ④； 其中是集合X上的拓扑的集合的序号是（    ） A．② B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】根据集合X上的拓扑的集合的定义，逐个验证即可. 【详解】①，而，故①不是集合X上的拓扑的集合； ②，满足：①X属于，属于； ②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于， 因此②是集合X上的拓扑的集合； ③，满足：①X属于，属于； ②中任意多个元素的并集属于；③中任意多个元素的交集属于， 因此③是集合X上的拓扑的集合； ④，而，故④不是集合X上的拓扑的集合； 综上得，是集合X上的拓扑的集合的序号是②③. 故答案为：D. 2．（23-24高二下·北京昌平·期末）已知集合，对于集合中的任意元素和，记.若集合，，均满足，则中元素个数最多为（    ） A．10 B．11 C．1023 D．1024 【答案】B 【分析】分析可得当和同时为时，，当和至少有一个为时，，要使，则的所有元素的位置至多有个，讨论即可得到集合的元素个数的最值． 【详解】依题意，对于中元素和， 当和同时为时，， 当和至少有一个为时，， 要使得的一个子集中任两个不同元素、，均满足， 设集合中的元素记为， 则的所有元素的位置至多有个， 若位置为，其它位置为的元素有个， 若全为的有个， 综上中元素最多有个． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出的所有元素的位置至多有个，从而确定中元素个数的最大值. 3．（23-24高一下·湖南岳阳·期中）已知集合.对于，，定义A与B之间的距离为 .若集合M满足：，且任意两元素间的距离均为2，则集合M中元素个数的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由题中条件可得：R3中含有8个元素，先阅读然后再理解定义得：可将其看成正方体的8个顶点，已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点，即或，得解. 【详解】由题中条件可得：R3中含有8个元素，可将其看成正方体的8个顶点， 已知集合M中的元素所对应的点应该两两位于该正方体面对角线的两个端点， 所以 或, 故集合M中元素个数最大值为4， 故选： 4．（多选）（23-24高一上·福建厦门·期末）聚点是实数集的重要拓扑概念，其定义是：，，若，存在异于的，使得，则称为集合的“聚点”，集合的所有元素与E的聚点组成的集合称为的“闭包”，下列说法中正确的是（    ） A．整数集没有聚点 B．区间的闭包是 C．的聚点为0 D．有理数集的闭包是 【答案】ABD 【分析】利用集合聚点的新定义，集合的表示及元素的性质逐项判断. 【详解】对于A，根据定义，，，若存在，使得， 所以，，当时，这样的不存在， 所以不存在符合不等式且异于的，故整数集无聚点，故A正确； 对于B，若，对于， 因为，所以存在异于的，使得， 故，故为集合的“聚点”， 即区间的闭包是，B正确； 对于C，因为， 所以对于，都存在，使得， 所，故的聚点为1，故C错误； 对于D，对于，，都存在，使得，所以为集合的“聚点”，所以有理数集的闭包是，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解聚点定义. 5．（多选）（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a，，都有，，ab，（除数），则称P是一个数域．例如有理数集Q是一个数域；数集也是一个数域．下列关于数域的命题中是真命题的为（    ） A．0，1是任何数域中的元素 B．若数集M，N都是数域，则是一个数域 C．存在无穷多个数域 D．若数集M，N都是数域，则整数集 【答案】ACD 【分析】AD选项，由数域定义可得答案；B选项，通过举反例判断选项正误；C选项，由题可知为素数为数域，据此可得答案. 【详解】A选项，根据定义，由，则，则0，1是任何数域中的元素，故A正确； B选项，若数集都是数域，不妨设， . 取，则，则不是一个数域，故B错误； C选项，由题可知，任何一个形如，是素数的集合都是数域，而素数有无穷多个，并且不同时集合也不同，故存在无穷多个数域，故C正确； D选项，由0，1是任何数域中的元素可得依次类推，整数集是任何数域的子集，若数集都是数域，则，则整数集，故D正确． 故选：ACD． 6．（2024高一·全国·专题练习）设是非空数集，若对任意，都有、，则称具有性质，给出以下命题： ①若具有性质，则可以是有限集； ②若具有性质，且，则具有性质； ③若、具有性质，且，则具有性质； ④若、具有性质，则具有性质. 其中所有真命题的序号是 . 【答案】①③ 【分析】举特例判断①；利用反证法判断②，元素0是关键；利用性质P的定义证明③即可；举反例说明④错误； 【详解】对于①，取集合具有性质P，故A可以是有限集，故①正确； 对于②，若A具有性质P，且，假设也具有性质P， 设，在中任取一个，此时可证得，否则若， 由于也具有性质P，则，与矛盾，故， 由于A具有性质P，也具有性质P， 所以，而，这与矛盾， 故当且A具有性质P时，则不具有性质P， 同理当时，也可以类似推出矛盾，故②错误. 对于③，取，则，，，， 又具有性质P，，， ，所以具有性质P，故③正确； 对于④，取，，，， 但，故④错误； 故答案为：①③ 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 7．（2024·四川）已知集合，对任意、、，规定运算“”满足如下性质： （1）；（2）；（3）； 给出下列命题：①； ②若，则； ③若，且，则； ④若、、，且，，则． 其中所有正确命题的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】根据新定义计算“”逐项分析可得结果. 【详解】对于命题①，对任意的，，命题①为真命题； 对于命题②，若，则，命题②为假命题； 对于命题③，当时，若，则，则显然成立； 当时，若，且， 在（3）中，令，，则， 另一方面，则，即，这与矛盾； 综上，，故命题③为真命题； 对于命题④，若、、，由可得， 又因为，则， 因为，则， 所以，，即， 所以，，所以，，故命题④为真命题. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点睛：本题考查新定义运算，解本题的关键在于根据题中三个性质进行推导，解题时应紧扣题中定义进行推导. 8．（2024高一上·江苏·专题练习）已知集合，对于集合U的两个非空子集A，B，若，则称为集合U的一组“互斥子集”．记集合U的所有“互斥子集”的组数为当且仅当时，与为同一组“互斥子集”，则 【答案】602 【分析】根据题设条件，集合U中的任一元素只能在集合A，B，之一中，求出n个元素的种数，再去掉A，B为空集的种数可得，取n=6即可得解. 【详解】令，如图，全集U被划分成A，B，C三个部分，U中的任意一个元素只能在集合A，B，C之一中，有3种方法， 则这n个元素在集合A，B，C中，共有种， 其中A为空集的种数为，B为空集的种数为，则，B均为非空子集的种数为， 因当且仅当时，与为同一组“互斥子集”，而，满足的与不是同一组“互斥子集”， 于是得集合U的所有“互斥子集”的组数为， 所以. 故答案为：602 集合新定义题（解答题） 1．（23-24高一下·江苏镇江·阶段练习）对于数集，，定义向量集，若对任意，存在使得，则称X是“对称的”. (1)判断以下三个数集、、是否是“对称的”（不需要说明理由）； (2)若，且是“对称的”，求的值； (3)若“对称的”数集，满足：，，.求证：. 【答案】(1)是，是，否 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意直接判断即可； （2）由题意可得，因为，所以中必有一个负数一个正数，分类整合即可求解； （3）取，设，得到，假设，推导出异号，从而之中恰有一个为，最后分类研究得出即可. 【详解】（1）由题意可判断：是，是，否 （2）因为，且是“对称的”， 所以可取，设满足，即， 因为，所以中必有一个负数一个正数， 而X中只有一个负数，所以必有一个是， 若则，但且，与题意矛盾； 若则，其中，当时，，不符合题意； 当时，，符合题意；当时，，不符合题意； 所以. （3）证明：取，设，满足， 所以，所以异号， 因为是X中的唯一的负数， 所以中之一为，另一个为，所以； 假设，其中，则， 选取，并设，满足， 所以，则异号，从而之中恰有一个为， 若，则，而正数，故即，与矛盾； 若，则，矛盾， 所以当时，， 综上，得证. 【点睛】关键点点睛：取，设，得到，假设，推导出异号，从而之中恰有一个为，最后分类研究得出即可.分类整合进行推理判断是解决第三问的关键. 2．（23-24高一下·北京·期中）设（为正整数），对任意的，，定义 (1)当时，，，求； (2)当时，集合，对于任意，，均为偶数，求A中元素个数的最大值； (3)集合，对于任意，，，均有，求A中元素个数的最大值． 【答案】(1)1 (2)4 (3) 【分析】（1）直接根据定义计算即可； （2）当时，集合，对于任意，，均为偶数，则有两种情况，一种任意两个元素相同位置不能同时出现1，另一种情况必有两个相同位置同时出现1，分别讨论即可判断个数最大值； （3）由得到，再根据且，得到，由此即可判断A中个数. 【详解】（1）当时， ； （2）因为均为偶数，所以结果为0或2， 若，则A中的任意两个元素乘积为0， 即共有四个元素， 若，则A中必有两个位置为1， 即， 所以A中元素个数的最大值为4; （3），中的“1”变为“0”，“0”变为“1”， 得到， 可得， 因为，， 所以， 因为中有个元素， 则A中元素个数最多有个， 所以A中元素个数的最大值为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查集合中元素个数的最大值求法，关键在于理解材料中的定义，根据条件要求确定元素位置上的取值不同，再进行讨论得到个数最大值，而在不限n时，需根据要求判断出对立条件下的情况，即可求解. 3．（23-24高一上·上海普陀·期中）集合A为非空数集，定义：，． (1)若集合，直接写出集合S、T； (2)若集合，，且，求证：； (3)若集合，，记为集合A中元素的个数，求的最大值． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据定义直接求解出集合S、T； （2）根据两集合相等即可找到的关系； （3）通过假设集合，，求出相应的，，通过建立不等关系求出相应的值. 【详解】（1）根据定义：，， 所以，； （2）由于集合，，且， 所以也只有四个元素， 即， 所以其余的则应满足， 所以，即； （3）设满足题意，其中， 则， 所以， 因为， ， 因为， 所以， 中最小的元素为，最大的元素为， ， 所以， ， 实际上当时满足题意， 证明如下： 设，， 则，， 依题意有，解得， 故的最小值为674， 于是当时，中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合中元素的个数的最大值为. 【点睛】本题考查了集合的新定义，解题时首先要理解题目所给出的定义，结合第（1）问理清定义，其次结合集合的性质、集合常见的运算等得出集合中元素的个数，要求有较强的逻辑推理思维. 4．（2024高一·全国·专题练习）（1）已知集合且，任意从中取出k个四元子集，均满足的元素个数不超过2个，求k的最大值.（举出一个例子即可，无需证明） （2）已知集合且，任意从中取出k个三元子集，均满足的元素个数不超过一个，求k的最大值. 【答案】（1）3    （2）7 【分析】（1）列举所有的四元子集，根据的元素个数不超过2个即可求解， （2）列举所有的三元子集，根据的元素个数不超过1个，可得 满足要求，当时得到元素个数之和超过21矛盾，即可求解. 【详解】由题意知：，四元子集的个数一共有15个， 则有， ， 要使任意的元素个数不超过2个，则最大为2， 比如： （2）由题意知：，三元子集的个数一共有35个，如下： , , 对,则 与中其他元素共构成6个含的二元数对， 而在每个含的三元子集中，恰好含的有2个这种数对， 由题意可知：两个不同的三元子集中所含的相应数对不同， 所以至多属于三元集组中的3个，即至多出现在3个三元集中， 由于的元素个数不超过一个， 故在含的三元数对中，， 由m的任意性，不妨取 ， 包含1的三元集合不妨取满足， 去掉1，剩下6个元素为 ，分为3组： 若选这组中的2，则中可选一个数字4或5， 则满足至多一个元素的三元集合还有， 故, 故可取7. 由于，所以至多属于三元集组中的3个， 即至多出现在3个三元集中，中一共有7个元素， 则这7个元素故总共出现的次数至多为 当时，每个三元集中的元素出现3次， 那么所有的三元集中的元素出现次数为，则 ，这与总次数21矛盾，故， 故的最大值为7 5．（23-24高一上·北京延庆·期中）对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的整数，定义集合. (1)若，直接写出集合和； (2)若，其中，求的值，使得集合中元素的个数最少（直接写出答案，不需要说明理由）； (3)若和都是自然数，集合时，求出使得成立的所有和的值，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)，或，，理由见解析 【分析】（1）根据题意，集合，利用列举法，即可求得； （2）由，得到，得到时，此时中的元素个数最少，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，分、和三种情况分类讨论，结合题设条件，即可求解. 【详解】（1）由题意，集合，且， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得. （2）由题意，集合， 对于，其中， 当时，此时中的元素个数最少， 若为奇数，则时，中的元素个数最少； 若为偶数，则或时，中的元素个数最少. （3）若时，可得，此时，且，所以； 若时，可得，要使得且， 则，即. 若时，此时，显然中有很多自然数空缺，所以不成立. 综上可得：，或，. 【点睛】关键点点睛：对于集合新定义问题，关键在于理解所给新定义，根据所给新定义，创新性解决问题. 6．（23-24高一上·北京·阶段练习）已知集合中的元素有个且均为正整数，将集合分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合，即，其中.若集合中元素满足，则称集合为“完美集合”. (1)若集合，判断集合和集合是否为“完美集合”？并说明理由. (2)若集合为“完美集合”，求正整数的值以及相应的集合. 【答案】(1)集合为“完美集合”，集合不是“完美集合”，理由见解析. (2)答案见解析 【分析】（1）根据“完美集合”的定义判断集合、，可得出结论； （2）分析可知，则，可知集合中的另一个元素为，则为、、、、中的某个数，求出的可能取值，然后对的取值进行分类讨论，结合“完美集合”的定义判断即可得解. 【详解】（1）解：对于集合，取集合、、，则， 三个集合、、两两没有公共元素，且，故集合为“完美集合”， 对于集合，若集合，则存在集合、、， 使得，，且， 记集合所有元素之和为，集合中所有元素之和为，集合所有元素之和为， 则，可得， 故集合不是“完美集合”. （2）解：因为集合为“完美集合”，由（1）可知，则， 根据定义可知，为中的最大元素，故， 又因为集合中各元素之和为， 所以，集合中的另一个元素为，且为、、、、中的某个数， 所以，的可能取值有、、、、， 当时，则，或，满足定义要求； 当时，则，或，满足定义要求； 当时，则，或，满足定义要求； 当或时，在、、、、中任取两个数，这两个数之和的最大值为， 此时，集合不是“完美集合”. 综上所述，当时，或； 当时，或； 当时，或. 【点睛】关键点点睛：本题考察集合的新定义，解题时要紧扣“完美集合”的定义，分析集合元素之间的关系，解本题第（2）问的关键就是找出集合中的两个元素，确定的可能取值，然后逐一结合定义分析讨论求解. 7．（2024·北京西城）设集合，如果对于的每一个含有个元素的子集P，P中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”. (1)当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由； (2)若为集合的“相关数”，证明：； (3)给定正整数，求集合的“相关数”m的最小值. 【答案】(1)5不是集合的“相关数”，6是集合的“相关数”，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据相关数的定义判断，即可求解； （2）根据相关数的定义，得到时，一定不是集合的“相关数”，得到，从而证明结论； （3）根据，将集合的元素分成组，对的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合，不妨设与无相同元素，此时这4个元素之和为，从而求出的最小值． 【详解】（1）解：当时，， ①对于的含有5个元素的子集， 因为，所以5不是集合的“相关数”； ②的含有6个元素的子集只有， 因为，所以6是集合的“相关数”． （2）证明：考察集合的含有个元素的子集， 中任意4个元素之和一定不小于， 所以一定不是集合的“相关数”； 所以当时，一定不是集合的“相关数”， 因此若为集合的“相关数”，必有， 即若为集合的“相关数”，必有. （3）解：由（2）得， 先将集合的元素分成如下组：， 对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合， 再将集合的元素剔除和后，分成如下组：， 对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合， 这一组与上述三组中至少一组无相同元素， 不妨设与无相同元素，此时这4个元素之和， 所以集合的“相关数”的最小值为. 【点睛】数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移. 8．（23-24高一上·上海普陀）已知集合，，，对任意，定义.若存在正整数，使得对任意，都有，则称集合具有性质.如集合、都具有性质.记是集合中的最大值. (1)判断集合和集合是否具有性质（直接写出结论）； (2)若集合具有性质，求证：和； (3)若集合具有性质，求证：. 【答案】(1)具有，不具有 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据性质的定义直接判断即可； （2）根据性质的定义可得，结合与是集合中的最大值可得，再根据裂项方法证明即可； （3）先假设，再根据分别推导的最小正整数值，进而推出矛盾即可. 【详解】（1）对集合，因为，，，故 具有性质. 对集合，，故不具有； （2）因为集合具有性质，所以对于、有； 因为，所以， 因为是集合中的最大值， 则 ； （3）假设集合的元素个数大于，即 因为集合具有性质，所以，因为，所以， 所以，所以，所以，所以， 因为，所以，所以， 以此类推，得，，，，，，， ，所以， 所以，与矛盾， 所以假设不成立，故. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 9．（23-24高一上·上海宝山·期中）对于任意有限集，定义集合表示的元素个数.已知集合为实数集的非空有限子集，设集合. (1)若，求集合和； (2)已知为有限集，若，证明：. (3)若，求的值. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据给定的定义，求出集合C及其元素个数作答. （2）分中至少含有一个不在D中的元素、两种情况分别推理作答. （3）根据给定条件，确定集合中的元素个数即可计算作答. 【详解】（1）集合，而， 所以，. （2）依题意，，，当且仅当时取等号， 若中至少含有一个不在D中的元素，则有， 当时，则有，因为有限集，且，令的最小元素为， 此时集合A中最小的元素，集合B中最小的元素，因此集合C中最小的元素，即， 于是得，有， 所以. （3），因集合，若或，则，不符合题意，因此且， 当集合中有存在3元素的集合时，不妨令，令，若， 则有，即集合C中至少有4个元素，不符合题意，同理，因此，， 当集合都只有1个元素时，集合C只有1个元素，不符合题意， 当集合中一个只有1个元素，另一个有两个元素时，集合C只有2个元素，不符合题意， 当集合都有2个元素时，令，， ，若，有，满足，此时， 若，有，此时，不符合题意， 所以或的值可能为4. 【点睛】关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决. 学科网（北京）股份有限公司 $$