第04讲 第一章 集合 章节验收测评卷-【练透核心考点】2024-2025学年高一数学核心题型总结与突破（苏教版2019必修第一册）

第04讲 第一章 集合 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东韶关·期末）设全集，集合，，则（    ） A．{2} B． C． D． 3．（浙江省L16联盟2024-2025学年7月新高三适应性测试数学试题）若集合，集合，则的子集个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24高一下·浙江·期中）设集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·新疆昌吉·阶段练习）已知a，b均为非零实数，集合，则集合的真子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．3 D．8 6．（23-24高一上·云南昆明·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·广东汕头·期中）用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则 （    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·北京·期中）对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·山西吕梁·期末）已知全集，，则下列选项正确的为（    ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 10．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的，（与可以相等，也可以不相等），都有且，则称是“和谐集”，则下列命题中为真命题的是（    ） A．存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集 B．集合是“和谐集” C．若，都是“和谐集”，则 D．对任意两个不同的“和谐集”，，总有 11．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（    ） A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1 C．若，则 D．若n=1，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2024·全国·模拟预测）以数集表示从之间的所有偶数，数集表示的所有质数，则数集的真子集个数与数集的真子集个数之和为 ．（用数字作答） 13．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则的最小值为 ． 14．（23-24高一上·北京通州·期中）某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人.第一天参加但第二天没参加活动的有 人，这三天参加活动的最少有 人. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高三上·甘肃定西·开学考试）设集合.求： (1)； (2). 16．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知全集，集合或. (1)求; (2)若，求实数的取值范围. 17．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合或，． (1)求，； (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 18．（23-24高一·全国·课后作业）设数集由实数构成，且满足：若（且），则 ． （1）若，试证明集合中有元素，； （2）判断集合中至少有几个元素，并说明理由； （3）若集合中的元素个数不超过8，所有元素的和为，且集合中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合． 19．（23-24高一上·北京·期中）对非空整数集合M及，定义，对于非空整数集合A，B，定义. (1)设，请直接写出集合； (2)设，，求出非空整数集合B的元素个数的最小值； (3)对三个非空整数集合A，B，C，若且，求所有可能取值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 第一章 集合 章节验收测评卷 （考试时间：150分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（23-24高一上·山西朔州·阶段练习）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简集合，结合交集的概念即可得解. 【详解】，，则. 故选：D. 2．（23-24高一下·广东韶关·期末）设全集，集合，，则（    ） A．{2} B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合交并补运算的定义即可求解. 【详解】由题意可得或，故， 故选：B 3．（浙江省L16联盟2024-2025学年7月新高三适应性测试数学试题）若集合，集合，则的子集个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由交集的概念得出交集中元素的个数即可求解. 【详解】集合，集合，则，则的子集个数是. 故选：D. 4．（23-24高一下·浙江·期中）设集合，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系利用数轴即可得解. 【详解】如图，若，则. 故选：C. 5．（23-24高一上·新疆昌吉·阶段练习）已知a，b均为非零实数，集合，则集合的真子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．3 D．8 【答案】C 【分析】通过对、正负的讨论，利用绝对值的定义去掉绝对值，然后进行计算，从而求出集合A的元素，由此得解. 【详解】因为， 当，时，， 当，时，，， 当，时，，， 当，时，，， 故的所有值构成的集合为，则集合A的真子集的个数为3个. 故选：C. 6．（23-24高一上·云南昆明·期中）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析集合的元素特性，求出集合的关系，再结合交集、并集的定义判断即得. 【详解】集合中元素，是奇数， 集合中元素，是整数，因此，ACD错误； ，B正确. 故选：B 7．（23-24高一上·广东汕头·期中）用表示非空集合A中元素的个数，定义，若，且，设实数的所有可能取值构成集合S，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可得，结合，易得或，由定义分类讨论方程的根计算即可. 【详解】由已知得，因为，所以或． 当时，若要满足题意，则有一个实根，即， 此时没有实根，所以符合题意； 当时，若要满足题意，有两个不等实根， 则有两个相等且异于上面两个根的实根，即且，所以， 此时的三个根为，符合题意． 综上，或，故． 故选：B． 8．（23-24高一上·北京·期中）对于集合，给出如下三个结论：①如果，那么；②如果，那么；③如果，，那么.其中正确结论的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①根据，得出，即； ②根据，证明，即； ③根据，，证明． 【详解】解：集合，，， 对于①，，， 则恒有， ，即，，则，①正确； 对于②，，， 若，则存在，使得， ， 又和同奇或同偶， 若和都是奇数，则为奇数，而是偶数； 若和都是偶数，则能被4整除，而不能被4整除， ，即，②正确； 对于③，，， 可设，，、； 则 那么，③正确． 综上，正确的命题是①②③． 故选． 【点睛】本题考查了元素与集合关系的判断、以及运算求解能力和化归思想，是难题． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二下·山西吕梁·期末）已知全集，，则下列选项正确的为（    ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据已知条件作出Venn图，结合元素与集合的关系以及集合之间的关系，一一判断各选项，即得答案. 【详解】由题意得， 根据，,，，, 则； 作出Venn图:    则，A正确； 集合A中有3个元素，故A的不同子集的个数为，B正确； 由于，C正确； 因为，且，故，D错误， 故选：ABC. 10．（23-24高一上·陕西咸阳·阶段练习）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的，（与可以相等，也可以不相等），都有且，则称是“和谐集”，则下列命题中为真命题的是（    ） A．存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集 B．集合是“和谐集” C．若，都是“和谐集”，则 D．对任意两个不同的“和谐集”，，总有 【答案】ABC 【分析】根据已知中关于“和谐集”的定义，利用题目四个结论中所给的运算法则，对所给的集合进行判断，特别是对特殊元素进行判断，即可得出答案. 【详解】A项中，根据题意是“和谐集”，又是有限集，故A正确； B项中，设，则，，所以集合是“和谐集”，故B正确； C项中，根据已知条件，可以相等，故任意“和谐集”中一定含有0，所以，故C正确； D项中，取，，都是“和谐集”， 但5不属于，也不属于，所以不是实数集，故D错误. 故选：ABC 11．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）设非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S.给出如下命题，其中真命题是（    ） A．若m=1，则 B．若，则≤n≤1 C．若，则 D．若n=1，则 【答案】BC 【分析】先由非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S，判断出或，，对照四个选项分别列不等式组，解出不等式进行一一验证即可 【详解】∵非空集合满足：当x∈S时，有x2∈S. ∴当m∈S时，有m2∈S，即，解得：或； 同理：当n∈S时，有n2∈S，即，解得： . 对于A: m=1,必有m2=1∈S，故必有解得：，所以，故A错误； 对于B: ,必有m2=∈S，故必有，解得：，故B正确； 对于C: 若，有，解得：，故C正确； 对于D: 若n=1，有，解得：或，故D不正确. 故选：BC 【点睛】方法点睛：新定义题（创新题）解答的关键：对新定义的正确理解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（2024·全国·模拟预测）以数集表示从之间的所有偶数，数集表示的所有质数，则数集的真子集个数与数集的真子集个数之和为 ．（用数字作答） 【答案】 【分析】由题意可得集合与集合的元素个数，即可得其真子集个数之和. 【详解】由题意可得，， 则数集的真子集个数与数集的真子集个数之和为. 故答案为：. 13．（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】由可得，解出集合后结合集合的关系计算即可得. 【详解】由，故， 由，得， 故有，即，即， 即的最小值为. 故答案为：. 14．（23-24高一上·北京通州·期中）某小区连续三天举办公益活动，第一天有190人参加，第二天有130人参加，第三天有180人参加，其中，前两天都参加的有30人，后两天都参加的有40人.第一天参加但第二天没参加活动的有 人，这三天参加活动的最少有 人. 【答案】 160 290 【分析】根据题意画出Venn图，表示只去第一天的人，表示只去第二天的人，表示只去第三天的人.表示只去第一天与第二天的人，表示只去第一天与第三天的人，表示只去第二天与第三天的人，表示三天都去的人，要使总人数最少，则令最大，其次､､也尽量大，由此计算可得答案. 【详解】解：根据题意画出Venn图，如图所示： 表示只去第一天的人， 表示只去第二天的人， 表示只去第三天的人， 表示只去第一天与第二天的人， 表示只去第一天与第三天的人， 表示只去第二天与第三天的人， 表示三天都去的人， ∴要使总人数最少，则令最大，其次､､也尽量大，，，∴，，，， ∴，， ∴，∴，， 则这三天参加活动的最少有：人. 故答案为：160，290. 四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高三上·甘肃定西·开学考试）设集合.求： (1)； (2). 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据交集运算求解； （2）先求，再结合补集运算求解. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为，则， 所以或. 16．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知全集，集合或. (1)求; (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，再利用交集运算求解； （2）根据题意得，求得的取值范围. 【详解】（1）由题意得，， . （2），， . 17．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合或，． (1)求，； (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2)或 【分析】（1）根据集合的运算法则计算即可得； （2）由子集的定义得出不等关系后计算即可得． 【详解】（1）， 则， ，或， ∴或； （2）∵集合是集合的真子集， ∴或，解得或． 18．（23-24高一·全国·课后作业）设数集由实数构成，且满足：若（且），则 ． （1）若，试证明集合中有元素，； （2）判断集合中至少有几个元素，并说明理由； （3）若集合中的元素个数不超过8，所有元素的和为，且集合中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合． 【答案】（1）证明见解析；（2）至少有3个元素．理由见解析（3） 【分析】（1）由，可得，从而，由此得到结论； （2）由，可推得，，，，，即可得到集合中至少有3个元素； （3）由集合中所有元素的积为1，从而得出，进而求得的值，由此能求得集合． 【详解】（1）由题意，因为，可得． 因为，则．所以集合中有元素，． （2）由题意，可知若（且）， 则，，且，，， 故集合中至少有3个元素． （3）由集合中的元素个数不超过8，所以由（2）知中有6个元素． 设，，且，且， 因为集合中所有元素的积为1， 不妨设，或，或． 当时，（舍去）或；若，则． ∵集合中所有元素的和为，∴， ∴，即， 即，即， ∴或3或，∴． 当或时，同理可得． 综上，． 【点睛】本题主要考查了集合定义、集合的表示方法，以及集合中元素的个数的求法等知识的综合应用，着重考查了运算与求解能力，属于中档试题． 19．（23-24高一上·北京·期中）对非空整数集合M及，定义，对于非空整数集合A，B，定义. (1)设，请直接写出集合； (2)设，，求出非空整数集合B的元素个数的最小值； (3)对三个非空整数集合A，B，C，若且，求所有可能取值． 【答案】(1) (2)34 (3)3或4或5 【分析】（1）直接由的定义计算即可求解. （2）若，则，则只需每个组成的数组能够覆盖即可，从而，其中表示不超过的最大整数. （3）首先证明，其次结合的定义得出满足距离的三角不等式：，从而运用到本题中即可得解. 【详解】（1）若， 则由集合新定义可知. （2）设有个元素，下证. 一方面，，则， 所以，即， 而，， 这表明了满足题意，此时，故； 另一方面：若，不妨设且， 由题意可知， 而最多含有个元素，当且仅当两两不同且时，等号成立， 但这与有100个元素矛盾， 所以. 综上所述：非空整数集合B的元素个数的最小值是34. （3）一方面：先来证明， ， 因此只要，就有， 而，，， 所以， 所以， 即， 从而. 另一方面：如果，，， 那么，，， 从而，同理， 因此由定义可得， 即满足距离的三角不等式； 所以在本题中，，， 即， 取，可知可能成立， 取，可知可能成立， 取，可知可能成立， 综上所述，所有可能取值为3或4或5. 【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，直接按定义即可；第二问的关键是要注意到由题意有，从而只需每个组成的数组能够覆盖即可；而第三问的关键是要注意到表示距离，因此要联想到去证明距离的三角不等式，从而顺利得解. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$