四川省泸州市第十五中学校2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试卷

2023-2024学年四川省泸州十五中九年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.等于(    ) A. B. C. 5 D. 2.我国倡导的“一带一路”地区覆盖的总人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 3.下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 4.如图是由5个相同的正方体搭成的几何体，其左视图是(    ) A. B. C. D. 5.下列计算或运算中，正确的是(    ) A. B. C. D. 6.一组数据1，5，7，x的众数与中位数相等，则这组数据的平均数是(    ) A. 6 B. 5 C. D. 7.已知圆锥的底面半径为2cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面积是(    ) A. B. C. D. 8.如图，AF 是的平分线，，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 9.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是(    ) A. 且 B. 且 C. 且 D. 10.在锐角中，，，所对的边分别为a，b，c，有以下结论：其中R为的外接圆半径成立.在中，若，，，则的外接圆面积为(    ) A. B. C. D. 11.如图，AB是的直径，EF，EB是的弦，且，EF与AB交于点C，连接OF，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 12.已知二次函数为常数的图象与x轴有交点，且当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.81的平方根是__________. 14.分解因式：______. 15.已知点，关于y轴对称，则______. 16.如图，在正方形ABCD中，，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且为对角线BD上一点，则的最大值为______. 三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题6分 计算： 18.本小题6分 如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边上的中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点求证： 19.本小题6分 化简： 20.本小题7分 为调查广西北部湾四市市民上班时最常用的交通工具的情况，随机抽取了四市部分市民进行调查，要求被调查者从“A：自行车，B：电动车，C：公交车，D：家庭汽车，E：其他”五个选项中选择最常用的一项，将所有调查结果整理后绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图，请结合统计图回答下列问题： 在这次调查中，一共调查了______名市民，扇形统计图中，C组对应的扇形圆心角是______； 请补全条形统计图； 若甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种，则甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率是多少？请用画树状图或列表法求解． 21.本小题7分 为了做好防疫工作，学校准备购进一批消毒液.已知2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元. 这两种消毒液的单价各是多少元？ 学校准备购进这两种消毒液共90瓶，且B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，请设计出最省钱的购买方案，并求出最少费用. 22.本小题8分 如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向是单位“海里”的符号处，A港口在B港口北偏西方向且距离B港口40nmile处，在A港口北偏东方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离． 参考数据：，，，，， 23.本小题8分 已知反比例函数为常数的图象经过点 求a的值； 如图，过点B作直线AB与函数的图象交于点A，与x轴交于点C，且，过点A作直线，交x轴于点F，求线段AF的长． 24.本小题12分 如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为 求证：； 如图2，的平分线分别交AC，BC于点E， ①求证：； ②若，，求CE的长. 25.本小题12分 如图，已知直线与抛物线相交于，两点，抛物线交y轴于点，交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为 求抛物线的解析式及点M的坐标； 设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当的面积最大时，求此时的面积及点P的坐标； 点Q为x轴上一动点，点N是抛物线上一点，当∽点Q与点M对应，求Q点坐标． 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解： 故选 根据一个负数的绝对值等于它的相反数解答． 本题考查了绝对值的性质，熟记一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0是解题的关键． 2.【答案】C  【解析】解：4400000000用科学记数法表示为：， 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3.【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念． 根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【解答】 A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误． 故选： 4.【答案】A  【解析】解：根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形． 故选： 根据三视图的定义即可判断． 本题考查三视图，解题的关键是根据立体图的形状作出三视图，本题属于基础题型． 5.【答案】B  【解析】解：，故选项A错误，不符合题意； ，故选项B正确，符合题意； ，故选项C错误，不符合题意； ，故选项D错误，不符合题意； 故选： 计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意． 本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用． 6.【答案】C  【解析】解：若众数为1，则数据为1、1、5、7，此时中位数为3，不符合题意； 若众数为5，则数据为1、5、5、7，中位数为5，符合题意， 此时平均数为； 若众数为7，则数据为1、5、7、7，中位数为6，不符合题意； 故选： 分别假设众数为1、5、7，分类讨论、找到符合题意得x的值，再根据平均数的定义求解可得． 本题主要考查众数、中位数及平均数，根据众数的可能情况分类讨论求解是解题的关键． 7.【答案】A  【解析】解：圆锥侧面积； 故选： 圆锥的侧面积底面半径母线长． 考查圆锥的侧面展开图公式；用到的知识点为：圆锥的侧面积底面半径母线长． 8.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，同位角相等，可得，再根据角平分线的定义可得 【解答】 解：， ， 是的平分线， 9.【答案】C  【解析】解：关于x的一元二次方程有实数根， 且， 解得：且 故选： 根据二次项系数非零及根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据二次项系数非零结合根的判别式，找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 10.【答案】A  【解析】解：， ， ， ， ， ， 故选： 已知c，所以求出的度数即可使用题中的结论，得到关于R的方程，再求圆的面积即可． 本题考查了特殊角的锐角三角函数值，三角形的内角和定理，实数的运算，解题的关键是：求出的度数，使用题中的结论，得到关于R的方程． 11.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查圆周角定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 连接FB，得到，求出，即可求解． 【解答】解：连接 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选 12.【答案】D  【解析】解：二次函数为常数的图象与x轴有交点， 解得：； 抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大， ， 实数a的取值范围是 故选： 根据图象与x轴有交点，得出判别式，解得；再求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得，从而得出答案． 本题考查了抛物线与x轴的交点和二次函数的图象与性质，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：， 的平方根是 故答案为：； 直接根据平方根的定义解答即可． 本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 14.【答案】  【解析】解：原式 故答案为： 直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式即可． 此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题关键． 15.【答案】  【解析】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，可得a、b的值，进而可得答案． 解：点，关于y轴对称， ，， ， 故答案为： 16.【答案】2  【解析】解：如图所示，以BD为对称轴作N的对称点，连接，， 根据轴对称性质可知，，为OC的中点， ， 当P，M，三点共线时，取“=”， 过O作于点E，可得， ，， 为的中位线， ，， ， 为等腰直角三角形，， 正方形边长为8，， ， ， 即的最大值为2， 故答案为： 以BD为对称轴作N的对称点，连接，，依据，可得当P，M，三点共线时，取“=”，过O作于点E，即可得出，，得到为等腰直角三角形，即可得到 本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决即可． 17.【答案】解：   【解析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开平方和特殊角的三角函数值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 此题主要考查了实数的运算，解答此类问题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 18.【答案】证明：为AB边上的中点， 四边形ABCD是平行四边形， ， ， 在和中， ， ≌，   【解析】由平行四边形的性质得，则，再证明≌，然后由全等三角形的性质即可得出结论． 本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 19.【答案】解：   【解析】先算括号里面的，再算除法即可． 本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 20.【答案】；108 见解析； ；图见解析；  【解析】解：被调查的人数为：人， C组的人数为：人， 组对应的扇形圆心角度数为：， 故答案为：2000，108； 条形统计图如下： 画树状图得： 共有16种等可能的结果，甲、乙两人选择同一种交通工具的有4种情况， 甲、乙两人选择同一种交通工具上班的概率为： 根据B组的人数以及百分比，即可得到被调查的人数，进而得出C组的人数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比进行计算即可； 根据C组的人数，补全条形统计图； 根据甲、乙两人上班时从A、B、C、D四种交通工具中随机选择一种画树状图或列表，即可运用概率公式得到甲、乙两人恰好选择同一种交通工具上班的概率． 此题考查了条形统计图、扇形统计图和概率公式的运用，解题的关键是仔细观察统计图并从中整理出进一步解题的有关信息，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 21.【答案】解：设A型消毒液的单价是x元，B型消毒液的单价是y元， ， 解得， 答：A型消毒液的单价是7元，B型消毒液的单价是9元； 设购进A型消毒液a瓶，则购进B型消毒液瓶，费用为w元， 依题意可得：， 随a的增大而减小， 型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的， ， 解得， 当时，w取得最小值，此时，， 答：最省钱的购买方案是购进A型消毒液67瓶，购进B型消毒液23瓶，最低费用为676元．  【解析】根据2瓶A型消毒液和3瓶B型消毒液共需41元，5瓶A型消毒液和2瓶B型消毒液共需53元，可以列出相应的二元一次方程组，然后即可求出这两种消毒液的单价各是多少元； 根据题意，可以写出费用和购买A型消毒液数量的函数关系，然后根据B型消毒液的数量不少于A型消毒液数量的，可以得到A型消毒液数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得最省钱的购买方案，计算出最少费用． 本题考查一次函数的应用、二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是列出相应的方程组和列出相应的函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 22.【答案】解：过点A作，垂足为E，过点B作，垂足为F， 由题意得： 海里，， ， 在中，，海里， 海里， 海里， 在中，海里， 货船与A港口之间的距离约为80海里．  【解析】过点A作，垂足为E，过点B作，垂足为F，根据题意得：海里，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AE的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23.【答案】解：图象过点，代入， ， 解得：； ， 反比例函数解析式为， 分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点D、E， ， ，， ， ∽， ， 即， 把代入， 得 ， 设直线AB解析式为， 把，代入解析式得，， 解得：， 直线AB解析式为， 当时，， 解得：， ， ， ，， ∽， ， ， 解得：  【解析】由反比例函数为常数的图象经过点，直接利用待定系数法求解即可求得答案； 首先分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，易得∽，即可求得A的坐标，由∽，即可求得答案． 此题考查了待定系数求函数解析式以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键． 24.【答案】证明：如图1中，连接   ， ， 是切线， ， ， ， 是直径， ， ， ； 解：①，， ，， ， ， ， ； ②在中，，， ， ，， ∽， ， ，， ∽， ， 设， ， ，   【解析】利用等角的余角相等即可证明； ①只要证明即可； ②由∽，得，再由∽，得，设，列出方程即可解决问题． 本题考查切线的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型． 25.【答案】解：把点代入中，得， ， 把点、、代入抛物线中， 解得 抛物线的解析式为， ， 点M的坐标为 点P为直线AB下方抛物线上一动点， ， 如图1所示，过点P作y轴的平行线交AB于点H， 设点P的坐标为，则点， ， 当时，S最大，最大为，此时点 如图2所示， 令，解得，， ， ，， 为等腰直角三角形， 设点Q的坐标为， ≌， ， ， 解得或舍， 点Q的坐标为， 根据对称性，可知另一个点Q的坐标为 综上所示：点Q的坐标为或  【解析】将点B代入直线解析式求出m的值，再代入点A、B、C即可求出抛物线的解析式． 过点P作y轴的平行线交直线AB与点H，设点P的坐标，表示线段PH的长度，表示的面积，利用二次函数求最值问题配方即可． 先证出为等腰直角三角形，再构造字形求点Q的坐标即可． 此题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与几何有关的问题，最后一问构造字形为解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$