第05讲 圆的方程（3考点6题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

第05讲 圆的方程 课程标准 学习目标 1 了解圆的定义，决定圆的方程条件； 2 会根据直线方程的推导方法类比推导圆的方程； 3 会根据圆的方程，认识点与圆的位置关系． 1. 类比直线的方程的推导方法写出圆的方程； 2. 认识圆的一般方程，能够熟练掌握圆的标准方程和一般方程的转化； 3. 根据圆的方程，掌握点与圆的位置关系． 知识点一、圆的定义及圆的方程 1、定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 其中，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 2、圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 3、圆的一般式方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 知识点二、点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法：设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 知识点三、定点与圆上的点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 题型01 圆的标准方程 1.已知点，则以线段为直径的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 2.圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（     ）． A． B． C． D． 3．以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 4.已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 5.（多选）已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)，且被x轴分成两段，弧长之比为1∶2，则圆C的方程可能是（    ） A．x2＋(y＋)2＝ B．x2＋(y－)2＝ C．x2＋(y＋)2＝ D．x2＋(y－)2＝ 6.写出下列圆的标准方程： (1)圆心为，半径是； (2)圆心为，且经过点. 题型02 圆的一般方程 1.曲线所围成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 2.已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 3.若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圆，则实数t的取值范围是（    ） A．{t|－1＜t＜} B．{t|－＜t＜1} C．{t|－1＜t＜} D．{t|1＜t＜2} 5.（多选）已知曲线:，则（   ） A．曲线围成图形面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D．曲线上任意两点间最大距离 6.（多选）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 题型03 用待定系数法求圆的方程 1.已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 2.过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3.求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 4．过三点的圆的标准方程是 . 5．已知关于直线对称，点，都在上. (1)求线段垂直平分线的方程； (2)求的标准方程 题型04 根据圆的定义求动点轨迹方程 1.在圆上任意取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程是（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）（    ） A． B． C． D． 2．点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3.已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 4.平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 5．已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 题型05 点与圆的位置关系 1.已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 2.“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 3.若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是（    ） A．{a|－1＜a＜1} B．{a|0＜a＜1} C．{a|a＜－1或a＞1} D．{a|－1＜a＜0} 4.若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5.若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型06 定点到圆上点距离的最值 1.已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2.圆(x－2)2＋y2＝1上的点到原点距离的取值范围是（    ） A．(0，3] B．[0，3] C．[1，3] D．[2，3] 3.已知圆，圆，点是圆上一点，当的面积最大时，（    ） A． B． C． D． 4.在平面直角坐标系中，已知P是圆上的动点，若，则的最小值为（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 5.已知复数满足，则的最大值为（    ） A．3 B． C．2 D． 1.经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2.若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（    ）． A． B．或 C． D． 3.圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4.若点不在圆的外部，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5.已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．3 6.（多选）已知倾斜角为的直线过点，动点在直线上，为坐标原点，动点满足，则下列结论正确的是（    ） A．直线的方程为 B．动点的轨迹方程为 C．的最大值为 D．的最小值为 7.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆上，则的最小值是 . 8．已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 9．已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 10.①过点，②圆G恒被直线平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 已知圆G经过点，，且_____. (1)求圆G的一般方程： (2)设，P是圆G上的动点，求线段的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 圆的方程 课程标准 学习目标 1 了解圆的定义，决定圆的方程条件； 2 会根据直线方程的推导方法类比推导圆的方程； 3 会根据圆的方程，认识点与圆的位置关系． 1. 类比直线的方程的推导方法写出圆的方程； 2. 认识圆的一般方程，能够熟练掌握圆的标准方程和一般方程的转化； 3. 根据圆的方程，掌握点与圆的位置关系． 知识点一、圆的定义及圆的方程 1、定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。 其中，定点称为圆心，定长称为圆的半径。 2、圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 3、圆的一般式方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 知识点二、点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法：设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 知识点三、定点与圆上的点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 题型01 圆的标准方程 1.已知点，则以线段为直径的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 线段的中点为， 以线段为直径的圆的圆心坐标为， 故选：D． 2.圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意设圆心为，则圆的方程为， 又，解得，所以圆的方程为. 故选：D 3．以为圆心，为半径的圆的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据圆的标准方程可写出， 故选：A. 4.已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，，中点为， 所以线段的中垂线为，令得， 所以，半径，所以圆M的标准方程为． 故选：B. 5.（多选）已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)，且被x轴分成两段，弧长之比为1∶2，则圆C的方程可能是（    ） A．x2＋(y＋)2＝ B．x2＋(y－)2＝ C．x2＋(y＋)2＝ D．x2＋(y－)2＝ 【答案】CD 【详解】题可知，圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为，设圆心为(0，b)，半径为r，则r sin ＝1，r cos ＝|b|，解得r＝，|b|＝，即b＝±.故圆的方程为x2＋(y±)2＝. 6.写出下列圆的标准方程： (1)圆心为，半径是； (2)圆心为，且经过点. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）圆心在，半径长是， 故圆的标准方程为． （2）圆心在，且经过点， 故半径为， 故圆的标准方程为． 题型02 圆的一般方程 1.曲线所围成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 得， 故该曲线围成区域的面积为半径为3的圆的面积为 . 故选：D. 2.已知方程，则下列说法不正确的是（    ） A．当时，方程表示圆心为的圆 B．当时，方程表示圆心为的圆 C．当时，方程表示的圆的半径为 D．当时，方程表示的圆与y轴相切 【答案】A 【详解】由题意，方程，可化为， 当时，，方程表示点，故A错误； 当时，，方程表示圆心为的圆，故B正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，故C正确； 当时，，方程表示的圆的半径为，圆心为，与轴相交，故D正确， 故选：A. 3.若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 4．若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圆，则实数t的取值范围是（    ） A．{t|－1＜t＜} B．{t|－＜t＜1} C．{t|－1＜t＜} D．{t|1＜t＜2} 【答案】B 【详解】 由D2＋E2－4F＞0，得7t2－6t－1＜0，解得－＜t＜1. 5.（多选）已知曲线:，则（   ） A．曲线围成图形面积为 B．曲线的长度为 C．曲线上任意一点到原点的最小距离为2 D．曲线上任意两点间最大距离 【答案】ABD 【详解】当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线为原点. 画出曲线的图形，如图所示. 对于A，曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆， 故面积为，故A正确； 对于B，曲线由四个半径为的半圆组成，故周长为，故B正确； 对于C，如图所示，因为原点在曲线上，所以最小值为0，故C错误； 对于D，如图所示，曲线上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为.故D正确. 故选：ABD. 6.（多选）已知曲线，下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线是一条直线 B．当时，曲线是一个圆 C．当曲线是圆时，它的面积的最小值为 D．当曲线是面积为的圆时， 【答案】AB 【详解】对于A选项，当时，曲线的方程为，此时，曲线是一条直线，A对； 对于B选项，当时，曲线的方程可化为， 因为，此时，曲线是一个圆，B对； 对于C选项，当曲线是圆时，其半径为， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因此，当曲线是圆时，它的面积的最小值为，C错； 对于D选项，当曲线是面积为的圆时，其半径为， 即，解得或，D错. 故选：AB. 题型03 用待定系数法求圆的方程 1.已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意； 对于B，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意； 对于C，，，的坐标都满足圆的方程， 的坐标不满足圆的方程， 即圆过四个点中的三个点，故C符合题意； 对于D，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意. 故选：C. 2.过点和，且圆心在x轴上的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令该圆圆心为，半径为，则该圆方程为， 则有，解得， 故该圆方程为. 故选：D. 3.求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 【答案】 【详解】若经过点，，则圆心在直线上， 又在直线l：上，令，则， 故圆心坐标为，半径为， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 4．过三点的圆的标准方程是 . 【答案】 【详解】设圆的标准方程为， 得，得， 所以圆的标准方程是. 故答案为： 5．已知关于直线对称，点，都在上. (1)求线段垂直平分线的方程； (2)求的标准方程 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为点，， 所以线段的中点为 因为直线的斜率为，所以垂直平分线的斜率不存在. 所以垂直平分线的方程为； （2）解法一：因为关于直线对称，则可设的方程为， 又因为点，在上，所以， 解得， 所以的标准方程为. 解法二：因为直线与直线的交点为圆心， 由，解得， 故圆心. 又因为. 所以的标准方程为 题型04 根据圆的定义求动点轨迹方程 1.在圆上任意取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程是（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点的坐标为，点的坐标为， 依题意点在圆上，可得， 所以点的轨迹方程为. 故选：D. 2．点与圆上任意一点连线的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设圆上任意一点为，中点为， 则，可得， 代入得， 化简得． 故选：D． 3.已知圆，是圆上的动点，点，若动点满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，由，得，所以， 又因为点在圆上， 所以，即. 故选：C. 4.平面上一动点满足：且，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，由，所以6， 整理得，即动点的轨迹方程为. 故选：C. 5．已知等腰三角形的一腰的两个端点分别是，则另一腰的一个端点的轨迹方程是（    ） A． B．（除去两点） C．（除去两点） D．（除去两点） 【答案】B 【详解】设点， 由，得， 即， 又点与点不重合且不共线，所以需除去两点． 故选：B． 题型05 点与圆的位置关系 1.已知圆，则下列点在圆C内的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因为，所以点在圆外，所以A错误， 对于B，因为，所以点在圆上，所以B错误， 对于C，因为，所以点在圆上，所以C错误， 对于D，因为，所以在圆内，所以D正确. 故选：D 2.“”是“点在圆内”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】点在圆内， 所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件. 故选：A. 3.若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是（    ） A．{a|－1＜a＜1} B．{a|0＜a＜1} C．{a|a＜－1或a＞1} D．{a|－1＜a＜0} 【答案】A 【详解】点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，∴ (2a)2＋a2＜5，解得－1＜a＜1. 4.若点在圆的外部，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为可化为，则，所以． 又点在圆的外部，所以，故， 综上，． 故选：A. 5.若点在圆（为常数）外，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知， 故， 又由圆的一般方程， 可得，即， 即或， 所以实数的范围为. 故选：C. 题型06 定点到圆上点距离的最值 1.已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】由圆经过点，可得， 即，故圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又，所以圆心到原点的距离的最大值为. 故选：C 2.圆(x－2)2＋y2＝1上的点到原点距离的取值范围是（    ） A．(0，3] B．[0，3] C．[1，3] D．[2，3] 【答案】C 【详解】 圆心为(2，0)，半径1，所以圆上的点到原点的距离d满足2－1≤d≤2＋1，即1≤d≤3. 3.已知圆，圆，点是圆上一点，当的面积最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆化为， 则圆心，半径， 圆的圆心，半径， 因为，所以点在圆上，则， 当的面积最大时，， 在中，，则， 所以， 所以. 故选：A. 4.在平面直角坐标系中，已知P是圆上的动点，若，则的最小值为（    ） A．12 B．8 C．6 D．4 【答案】B 【详解】，当且仅当P在线段CO上时等号成立. 故选：B. 5.已知复数满足，则的最大值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】设， 由已知可得， 所以位于原点为圆心，半径为的圆上. 又， 可以看做点到圆上点的距离. 因为点在圆外，且， 所以，点到圆上点的距离的最大值为， 所以，的最大值为3. 故选：A． 1.经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设经过，，三个点的圆的方程为 ， 由题意可得，解得， 且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为， 即为. 故选：C. 2.若方程表示的曲线为圆，则的取值范围是（    ）． A． B．或 C． D． 【答案】C 【详解】若方程表示的曲线为圆， 则， 即， 解得：， 故选:C． 3.圆心为且过原点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆心为且过原点，所以， 所以圆的方程是. 故选：A. 4.若点不在圆的外部，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为点不在圆的外部， 所以且， 化简得： 解得：. 故选：B. 5.已知i是虚数单位，复数z满足，则的最小值为（　　） A．1 B． C．2 D．3 【答案】A 【详解】设，∵， ∴，表示以为圆心，2为半径的圆， ∴，表示圆上的点到点的距离， ∴的最小值为. 故选：A. 6.（多选）已知倾斜角为的直线过点，动点在直线上，为坐标原点，动点满足，则下列结论正确的是（    ） A．直线的方程为 B．动点的轨迹方程为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BD 【详解】由倾斜角为得出斜率为1，,直线过点，得直线的方程为，故选项错误； 设， 可得动点的轨迹为圆，故选项B正确； 因为圆心到直线的距离，所以由 可知线段最小值为，线段无最大值，所以选项错误､正确. 故选:. 7.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆上，则的最小值是 . 【答案】 【详解】设，则， 整理得（或）. 设，则， 故 . 令，则=. 故答案为：； . 8．已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1)13； (2). 【详解】（1）， 直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 所以的面积； （2）设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 9．已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由动点满足，得，化简得， 所以动点P的轨迹方程是. （2）设点，由轴于点，且是中点，得，即， 由（1）知，， 因此，整理得. 所以点M的轨迹方程是. ①过点，②圆G恒被直线平分，③与y轴相切；在以上三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答. 10.已知圆G经过点，，且_____. (1)求圆G的一般方程： (2)设，P是圆G上的动点，求线段的中点M的轨迹方程，并说明表示何曲线?注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】(1) (2)，M的轨迹是一个圆. 【详解】（1）方案一：选条件①. 设圆的方程为， 则，解得， 则圆G的方程为. 方案二：选条件② 直线恒过点. 因为圆G恒被直线平分，所以恒过圆心， 所以圆心坐标为，又圆G经过点， 所以圆的半径，所以圆G的方程为，即. 方案三：选条件③ 设圆G的方程为， 由题意可得，解得， 则圆G的方程为，即. （2）设，因为M为线段的中点，所以， 因为点P是圆G上的动点，所以， 即， 所以M的轨迹是一个圆.    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$