2024年宁夏石嘴山实验中学中考数学四检试卷

2024年宁夏石嘴山实验中学中考数学四检试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某地区2021年元旦的最高气温为，最低气温为，那么该地区这天的最低气温比最高气温低(    ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.已知反比例函数图象经过点，则下列点中不在此函数图象上的是(    ) A. B. C. D. 4.将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，若，则图中的度数是(    ) A. B. C. D. 5.某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在正方形网格中，已知的三个顶点均在格点上，则的余弦值为(    ) A. B. C. D. 7.如图，已知第一象限内的点A在反比例函数上，第二象限的点B在反比例函数是常数，上，且，，则k的值为(    ) A. 8 B. C. D. 8.已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为米，数据用科学记数法表示为______. 10.分解因式：__________. 11.20瓶饮料中有3瓶已过保质期．从20瓶饮料中任取1瓶，取到已过保质期的饮料的概率为______. 12.如图，AB为的直径，C，D为上两点，若，则的大小为______. 13.若二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则实数______. 14.如图，四边形ABCD是的内接四边形，，弦，则的半径等于______. 15.如图，在中，，利用尺规在BC，BA上分别截取BE，BD，使；分别以点D、E为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线BF交AC于点若，P为AB上一动点，则GP的最小值为______. 16.如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角为，C点的俯角为，BC为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度CD为6m，则甲建筑物的高度AB为______ 结果保留整数 三、解答题：本题共10小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题3分 计算： 18.本小题6分 过程纠错，改错，解不等式组： 下面是某同学解不等式①的过程，请你阅读解题过程并完成相应任务. 解：去括号，得……第一步 移项，得……第二步 合并同类项，得……第三步 系数化为1，得第四步 任务一：该同学的解答过程中第——步出现了错误，错误原因是： 不等式①的正确解集是： 任务二：解不等式②，写出原不等式组的解集，并将其解集在如图所示的数轴上表示出来. 19.本小题6分 先化简，再求值：，其中从a从，2，3中取一个你认为合适的数代入求值. 20.本小题6分 如图，在平面直角坐标系中，把以格点为顶点的三角形称为格点三角形每个小方格都是边长为1的正方形，图中是格点三角形，点A、B、C的坐标分别是、、 画出关于原点O成中心对称的； 以为位似中心，在网格中画出同侧的位似图形，使与的相似比为2： 21.本小题6分 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根. 求实数k的取值范围. 设方程的两个实数根分别为，，若，求k的值. 22.本小题6分 某商店欲购进A，B两种商品，已知购进A种商品5件和B种商品4件，共需300元；若购进A种商品6件和B种商品8件，共需440元． 求A，B两种商品每件的进价分别是多少元？ 若该商店每件A种商品售价是48元，每件B种商品售价为30元，且商店将购进A，B共50件的商品全部售出后，要获得的利润不低于348元，问A种商品至少购进多少件？ 23.本小题8分 如图，在中，，以AB为直径的交BC于点D，交BA的延长线于点E，交AC于点 求证：DE是的切线； 若，，求AF的长. 24.本小题8分 2022年3月25日，教育部印发《义务教育课程方案和课程标准年版》，优化了课程设置，将劳动从综合实践活动课程中独立出来．某校以中国传统节日端午节为契机，组织全体学生参加包粽子劳动体验活动，随机调查了部分学生，对他们每个人平均包一个粽子的时长进行统计，并根据统计结果绘制成如下不完整的统计图表． 等级 时长单位：分钟 人数 所占百分比 A 4 x B 20 C D 根据图表信息，解答下列问题： 本次调查的学生总人数为______，表中x的值为______； 该校共有500名学生，请你估计等级为B的学生人数； 本次调查中，等级为A的4人中有两名男生和两名女生，若从中随机抽取两人进行活动感想交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 25.本小题10分 如图，已知抛物线经过点，，三点． 求此抛物线的解析式； 若点M是线段BC上的点不与B，C重合，过M作轴交抛物线于N，设点M的横坐标为m，请用含m的代数式表示MN的长； 在的条件下，连接NB，NC，是否存在点M，使的面积最大？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由． 26.本小题10分 [教材呈现]下面是华师版八年级下册数学教材第104页的部分内容． 如图，AB、CD是的两条直径，四边形ACBD是矩形吗？证明你的结论． [问题解决]如图①，AB、CD是的两条直径． 求证：四边形ACBD是矩形． [发现结论]矩形的四个顶点都在以该矩形对角线的交点为圆心，对角线的长为直径的圆上． [结论应用]如图②，已知线段，以线段AB为对角线构成矩形ACBD，矩形ACBD面积的最大值为______. [拓展延伸]如图③，在矩形ABCD中，，，点E、F分别为边AD、BC的中点，以线段EF为对角线构造矩形EGFH，矩形EGFH的边与矩形ABCD的对角线BD交于M、N两点，当MN的长最长时，矩形EGFH的面积为______. 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解： 故选 根据题意，列出算式计算即可． 本题考查有理数的减法． 2.【答案】C  【解析】解：无法合并，故此选项错误； B.，故此选项错误； C.，故此选项正确； D.，故此选项错误； 故选： 直接利用二次根式的加减运算法则、二次根式的性质、积的乘方运算法则分别化简得出答案． 此题主要考查了二次根式的性质加减运算、二次根式的性质、积的乘方运算等知识，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3.【答案】C  【解析】解：反比例函数图象经过点， A、，在反比例函数图象上，不符合题意； B、，在反比例函数图象上，不符合题意； C、，不在反比例函数图象上，符合题意； D、，在反比例函数图象上，不符合题意． 故选： 由反比例函数图象上点的坐标特点找到横纵坐标的积不等于6的点即可． 此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点；用到的知识点为：反比例函数图象上点的横纵坐标的积相等． 4.【答案】B  【解析】解：， ， 故选： 先根据求出的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论． 本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同位角相等是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：第一次降价后的价格为，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为， 则列出的方程是 故选： 可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格降低的百分率，把相应数值代入即可求解． 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为 6.【答案】C  【解析】解：如图所示： 则， 故选： 由勾股定理得出AC的长，由三角函数定义即可得出答案． 本题考查了解直角三角形以及勾股定理的运用；熟练掌握勾股定理，构造直角三角形是解题的关键． 7.【答案】D  【解析】解：作轴于C，轴于D，如图， 在中，， ， ， ， ， ∽， ， ，， ， 而， 故选： 作轴于C，轴于D，利用反比例函数系数的几何意义得到，再根据正切的意义得到，接着证明∽，利用相似三角形的性质得，所以，然后根据反比例函数的性质确定k的值． 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数为常数，的图象是双曲线，图象上的点的横纵坐标的积是定值k，即也考查了相似三角形的判定与性质． 8.【答案】D  【解析】解：二次函数的图象开口向下， ， ， ， 抛物线与y轴相交于正半轴， ， 直线经过一、二、四象限， 由图象可知，当时，， ， 反比例函数的图象必在二、四象限， 故A、B、C错误，D正确； 故选： 先根据二次函数的图象开口向下和对称轴可知，由抛物线交y的正半轴，可知，由当时，，可知，然后利用排除法即可得出正确答案． 本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键． 9.【答案】  【解析】解： 故答案为： 绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此解答即可. 此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 10.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了提公因式法与平方差的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 原式提取2a，再利用平方差公式分解即可． 【解答】 解：原式 故答案为： 11.【答案】  【解析】解：有20瓶饮料，其中有3瓶已过保质期， 从20瓶饮料中任取1瓶，取到未过保质期的饮料的概率为： 故答案为： 由有20瓶饮料，其中有2瓶已过保质期，直接利用概率公式求解即可求得答案． 此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 12.【答案】  【解析】解：连接AC，如图， 为的直径， ， ， 故答案为 连接AC，如图，先利用圆周角定理得到，则利用互余计算出，然后再利用圆周角定理得到的度数． 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆或直径所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 13.【答案】4  【解析】【分析】 本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数是常数，的交点与一元二次方程根之间的关系．决定抛物线与x轴的交点个数．时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点．二次函数的图象与x轴只有一个公共点，则，据此即可求得． 【解答】 解：中，，，， 二次函数的图象与x轴只有一个公共点， ， 解得 故答案是 14.【答案】2  【解析】解：连接OA，OC， 四边形ABCD是的内接四边形， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 即的半径为 故答案为： 连接OA，OC，由圆内接四边形可求得的度数，由圆周角定理可得，即可证得为等边三角形，进而可求解． 本题主要考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定与性质，圆周角定理，证明为等边三角形是解题的关键． 15.【答案】1  【解析】解：如图，过点G作于 由作图可知，GB平分， ，， ， 根据垂线段最短可知，GP的最小值为1， 故答案为： 如图，过点G作于根据角平分线的性质定理证明，利用垂线段最短即可解决问题． 本题考查作图-基本作图，垂线段最短，角平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 16.【答案】16  【解析】解：过点D作于点E，如图． 则，，， 在中，， 设，则， ，， 在中， ， 解得， 故答案为： 过点D作于点E，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案． 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 17.【答案】解：原式   【解析】利用绝对值的性质，特殊锐角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂计算即可． 本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 18.【答案】解：任务一：改同学解不等式①的过程中第四步出现了错误，错误原因是不等式两边同除时，不等号的方向没变， 不等式①的正确解集是； 任务二：解不等式②的过程， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： ， 所以不等式组的解集为  【解析】任务一：根据解一元一次不等式的方法即可判断； 任务二：根据解一元一次不等式的方法即可得出不等式②的解集，即可得到不等式的解集，并在数轴上表示出来即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟知以上知识是解题的关键． 19.【答案】解：原式 ， 且， ， 原式  【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用分式有意义的条件选取符合条件的a的值代入计算即可． 本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 20.【答案】解：如图所示，即为所求； 如图所示，即为所求．  【解析】根据中心对称的性质找出对应点即可求解； 根据位似图形的性质找出对应点即可求解． 本题考查了作图-位似变换、旋转变换，熟记位似变换、旋转变换的性质是解题的关键． 21.【答案】解：由题知， ， 解得， 又因为， 所以， 所以k的取值范围是且 因为方程的两个实数根分别为，， 所以 因为， 所以， 则， 解得， 所以k的值为  【解析】根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于k的不等式，据此可解决问题． 利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． 本题主要考查了根与系数的关系及根的判别式，熟知一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解题的关键． 22.【答案】解：设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元， 依题意，得：， 解得： 答：A种商品每件的进价为40元，B种商品每件的进价为25元． 设购进A种商品m件，则购进B种商品件， 依题意，得：， 解得：， 又为正整数， 的最小值为 答：A种商品至少购进33件．  【解析】设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据“购进A种商品5件和B种商品4件，共需300元；购进A种商品6件和B种商品8件，共需440元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 设购进A种商品m件，则购进B种商品件，根据总利润=每件商品的利润销售数量购进数量结合总利润不低于348元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再取其中最小的整数值即可得出结论． 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 23.【答案】证明：如图，连接OD， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； ， ， ，， ， ， ， ， ， ∽， ， ，   【解析】由等腰三角形的性质可得，可证，可得，可得结论； 由锐角三角函数可求，在直角三角形ODE中，由勾股定理可求，通过证明∽，可得，即可求解． 本题考查了切线的判定和性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，求出OE的长是解题的关键． 24.【答案】解：；； 人， 所以估计等级为B的学生人数为200人； 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率  【解析】解：本次调查的学生总人数为人， 所以； 故答案为：50；； 人， 所以估计等级为B的学生人数为200人； 画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽到一名男生和一名女生的概率 用D等级人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，然后用4除以总人数得到x的值； 用500乘以B等级人数所占的百分比即可； 画树状图展示所有12种等可能的结果，找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了统计图． 25.【答案】解：设抛物线的解析式为：，则： ，； 抛物线的解析式： 设直线BC的解析式为：，则有： ， 解得； 故直线BC的解析式： 已知点M的横坐标为m，，则、； 故 如图； ， ； 当时，的面积最大，最大值为  【解析】已知了抛物线上的三个点的坐标，直接利用待定系数法即可求出抛物线的解析式． 先利用待定系数法求出直线BC的解析式，已知点M的横坐标，代入直线BC、抛物线的解析式中，可得到M、N点的坐标，N、M纵坐标的差的绝对值即为MN的长． 设MN交x轴于D，那么的面积可表示为：，MN的表达式在中已求得，OB的长易知，由此列出关于、m的函数关系式，根据函数的性质即可判断出是否具有最大值． 该二次函数题较为简单，考查的知识点有：函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、二次函数性质的应用以及图形面积的解法．的解法较多，也可通过图形的面积差等方法来列函数关系式，可根据自己的习惯来选择熟练的解法． 26.【答案】  【解析】[问题解决] 证明：、CD是的两条直径， ，， 四边形ACBD是平行四边形， ， 四边形ACBD是矩形； [结论应用] 解：四边形ACBD是矩形，， ， 由可得：， ，即， 矩形ACBD面积的最大值为2， 故答案为：2； [拓展延伸] 解：设EF交BD于O，当MN最长时，G、H与M、N分别重合，如图： 四边形ABCD是矩形，E、F分别为边AD、BC的中点， 四边形EFCD和四边形ABFE都是矩形， ，， ， ， 四边形EGFH是矩形， ，，， 是等边三角形， ， 在中，， ， 故答案为： [问题解决]由AB、CD是的两条直径，可得，，从而四边形ACBD是平行四边形，又，即可证四边形ACBD是矩形； [结论应用]由四边形ACBD是矩形，，得，而，即得，即，故矩形ACBD面积的最大值为2， [拓展延伸]设EF交BD于O，当MN最长时，G、H与M、N分别重合，根据四边形ABCD是矩形，E、F分别为边AD、BC的中点，可得四边形EFCD和四边形ABFE都是矩形，即有，，又，得，而四边形EGFH是矩形，可得是等边三角形，在中，，从而 本题考查圆的综合应用，涉及矩形的判定及性质、勾股定理等知识，解题的关键是理解当MN最长时，G、H与M、N分别重合． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$