专题02 实数（基础类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题02实数思维导图 【类型覆盖】 类型一、认识无理数 【解惑】下列实数中，属于无理数的是（　　） A．3.14 B． C． D． 【融会贯通】 1．下列各数：，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，，是无理数的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 2．在，， 0，（每两个1之间依次多2），中， 无理数有 个． 3．有一组数据：，，，，，其中无理数出现的频率是 ． 类型二、认识二次根式 【解惑】下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．当时，二次根式的值为 ． 3．当时，二次根式的值是 ． 类型三、认识同类二次根式 【解惑】若与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 【融会贯通】 1．若与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 2．与最简二次根式是同类二次根式，则a＝ ． 3．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是 ． 类型四、二次根式有意义 【解惑】使式子在实数范围有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【融会贯通】 1．要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．如果在实数范围内有意义，那么的取值范围是 ． 3．若二次根式有意义，则的取值范围是 ． 类型五、求一个数的平方根 【解惑】有理数4的平方根是（　　） A． B． C．2 D． 【融会贯通】 1．下列说法正确的是（   ） A．4是的算术平方根 B．的平方根是 C．9的平方根是 D．平方根等于它本身的数是0 和1 2．若正数 的一个平方根是 ，则它的另一个平方根是 ，这两个平方根的和是 ． 3．已知实数a，b，c，d，e，若a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的算术平方根为3，求的平方根． 类型六、求一个数的立方根 【解惑】下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D． 【融会贯通】 1．的立方根是（    ） A． B． C．4 D． 2．的立方根是 ，0.0036的平方根是 ，的算术平方根是 ． 3．已知一个正数x的两个平方根分别是和，求这个正数x的立方根． 类型七、实数的分类 【解惑】把下列各数填在相应的集合内． ，，，，，，0， 负数集合：{                        …} 正分数集合：{                        …} 整数集合：{                        …} 【融会贯通】 1．把下列各数的序号分别填入相应的大括号内： ①0，②，③1.5，④，⑤，⑥1.010010001…（每两个“1”之间依次多1个“0”） 负数：{________________________…}； 整数：{________________________…}； 无理数：{________________________…}． 2．把下列各数填在相应的大括号内． ，，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），． 有理数： ； 无理数： ； 正数： 整数： ； 非负数： ； 分数： ． 3．把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩ (1)整数集合：（                ） (2)分数集合：（                ） (3)无理数集合：（                ） 类型八、二次根式的加减乘除 【解惑】化简： (1) (2) 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1) (2) (3) (4) 3．计算 (1) (2) (3) (4) 【一览众山小】 1．9的算术平方根是（　　） A． B．3 C． D． 2．在实数0、、、2、中，无理数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列各式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．计算： ． 5．平方等于49的数为 ；立方等于的数为 ． 6．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 7．计算: (1)； (2)． 8．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即若一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积满足公式：．现已知的三边长分别为1，3，，求的面积． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02实数思维导图 【类型覆盖】 类型一、认识无理数 【解惑】下列实数中，属于无理数的是（　　） A．3.14 B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像等有这样规律的数．无理数即无限不循环小数，据此进行判断即可． 【详解】解：3.14是分数，是有限小数，是分数，它们都不是无理数； 是无限不循环小数，它是无理数； 故选：D． 【融会贯通】 1．下列各数：，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，，是无理数的有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了无理数的识别，初中范围内常见的无理数有三类：①含类，如等；②开方开不尽的数，如等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，（相邻两个1之间0的个数逐次加1）等． 根据无理数的定义逐个判断即可解答． 【详解】解：，，，，，（相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，，中， 则、、、、是有理数，、、（相邻两个1之间0的个数逐次加1）、、无理数，共5个． 故选：D． 2．在，， 0，（每两个1之间依次多2），中， 无理数有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了无理数．熟练掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键． 根据无限不循环小数是无理数作答即可． 【详解】解：由题意知，，0，是有理数，故不符合要求； ，（每两个1之间依次多2）是无理数，故符合要求； 故答案为：2． 3．有一组数据：，，，，，其中无理数出现的频率是 ． 【答案】 【分析】先判断有理数和无理数的个数，然后根据频率等于频数除以总数即可求解． 【详解】解：∵在题中个数据里，其中，，是有理数，共个有理数，，是无理数，共个无理数， ∴无理数出现的频率， 故答案为． 【点睛】本题考查了求算术平方根，求立方根，无理数的定义，求频率，掌握以上知识是解题的关键． 类型二、认识二次根式 【解惑】下列式子中，是二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的定义．根据形如的式子叫做二次根式，逐项分析即可求解． 【详解】解：A、是二次根式，A符合题意； B、，不是二次根式，B不符合题意； C、不是二次根式，C不符合题意； D、不是二次根式，D不符合题意． 故选：A． 【融会贯通】 1．下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如（）是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数即可得解． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； B、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； C、是三次根式，该选项不符合题意； D、 ， 是二次根式，该选项符合题意； 故选：D． 2．当时，二次根式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义以及二次根式求值．代入求值是解题的关键． 把的值代入已知二次根式中，然后将其化为最简二次根式． 【详解】解：把代入，得． 故答案为：． 3．当时，二次根式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，掌握代入求值法是解题关键．把代入原式化简即可． 【详解】解：当时，， 故答案为：2． 类型三、认识同类二次根式 【解惑】若与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 【答案】D 【分析】本题考查同类二次根式，利用二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的被开方数相同即为同类二次根式求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式，且 ∴， ∴， 故选：D． 【融会贯通】 1．若与最简二次根式是同类二次根式，则的平方根是（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式、平方根，根据同类二次根式的定义得出、的值，从而得出的值，再求平方根即可得出答案． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是， 故选：B． 2．与最简二次根式是同类二次根式，则a＝ ． 【答案】1 【分析】本题考查了同类二次根式，几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同得出关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴，即：． 故答案为：1． 3．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题属于基础题型．根据同类二次根式以及最简二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ， ． 故答案为：4 类型四、二次根式有意义 【解惑】使式子在实数范围有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据被开方数为非负数且分母不为，可求出的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义． 且， 解得：且， 故选：． 【融会贯通】 1．要使在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得出，计算即可得解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故选：A． 2．如果在实数范围内有意义，那么的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数不小于零的条件是解题的关键． 根据二次根式被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可得 ， 解得． 故答案为：． 3．若二次根式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数，分式分母不为0．据此即可解答． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 类型五、求一个数的平方根 【解惑】有理数4的平方根是（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义，一个正数有两个平方根，他们互为相反数即可得到结果，掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴4的平方根是． 故选：D． 【融会贯通】 1．下列说法正确的是（   ） A．4是的算术平方根 B．的平方根是 C．9的平方根是 D．平方根等于它本身的数是0 和1 【答案】C 【分析】本题考查了平方根与算术平方根的定义，解题的关键是掌握负数没有平方根．根据平方根与算术平方根的定义对各选项分析判断即可． 【详解】解：A、2是的算术平方根，故本选项错误，不符合题意； B、负数没有平方根，故本选项错误，不符合题意； C、9的平方根是，故本选项正确，符合题意； D、平方根等于它本身的数只有0，故本选项错误，不符合题意； 故选：C． 2．若正数 的一个平方根是 ，则它的另一个平方根是 ，这两个平方根的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是正数的平方根的含义，利用正数的两个平方根互为相反数可得答案； 【详解】解：正数 的一个平方根是 ，则它的另一个平方根是，这两个平方根的和是． 故答案为：， 3．已知实数a，b，c，d，e，若a，b互为倒数，c，d互为相反数，e的算术平方根为3，求的平方根． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质及实数的运算等知识点，掌握倒数、相反数及算术平方根的意义是解决本题的关键． 根据倒数、相反数及算术平方根的意义，先求出、、，再代入计算即可． 【详解】解：∵a，b互为倒数， ∴． ∵c，d互为相反数， ∴． ∵e的算术平方根为3， ∴， ∴， ∴4的平方根为． 类型六、求一个数的立方根 【解惑】下列结论正确的是（    ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．立方根等于本身的数是 D． 【答案】D 【分析】本题考查了立方根，利用立方根的定义及求法逐项判断即可确定正确的选项，解题的关键是掌握立方根的定义的运用，理解：一个正数有一个正的立方根、的立方根是，一个负数有一个负的立方根． 【详解】、的立方根是，原选项错误，不符合题意； 、有立方根为，原选项错误，不符合题意； 、立方根等于本身的数是和，原选项错误，不符合题意； 、，原选项正确，符合题意； 故选：． 【融会贯通】 1．的立方根是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是立方根的定义，先的求得的值，然后再依据立方根的定义求解即可． 【详解】解：， 64的立方根是4． 故选：C． 2．的立方根是 ，0.0036的平方根是 ，的算术平方根是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查立方根、平方根、算术平方根，熟练掌握定义是解题关键． 根据立方根、平方根、算术平方根的定义即可得答案． 【详解】的立方根是，0.0036的平方根是，的算术平方根是3． 故答案为：，，3． 3．已知一个正数x的两个平方根分别是和，求这个正数x的立方根． 【答案】4 【分析】本题考查了平方根和立方根、一元一次方程的应用，熟练掌握平方根的性质是解题关键．先根据一个正数的两个平方根互为相反数建立方程，解方程可得的值，再根据立方根的性质求解即可得． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得， ∴这个正数， ∴这个正数的立方根为． 类型七、实数的分类 【解惑】把下列各数填在相应的集合内． ，，，，，，0， 负数集合：{                        …} 正分数集合：{                        …} 整数集合：{                        …} 【答案】；； 【分析】本题考查了负数，正分数，整数，掌握负数，正分数，整数的定义即可得，掌握负数，正分数，整数的定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 负数集合：； 正分数集合： 整数集合：． 【融会贯通】 1．把下列各数的序号分别填入相应的大括号内： ①0，②，③1.5，④，⑤，⑥1.010010001…（每两个“1”之间依次多1个“0”） 负数：{________________________…}； 整数：{________________________…}； 无理数：{________________________…}． 【答案】②，④，⑤；①，④；②，⑥ 【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数．据此解答即可． 【详解】解：， 负数：{②，④，⑤，…}； 整数：{①，④，…}； 无理数：{②，⑥，…} 故答案为：②，④，⑤；①，④；②，⑥． 2．把下列各数填在相应的大括号内． ，，，，，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），． 有理数： ； 无理数： ； 正数： 整数： ； 非负数： ； 分数： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是实数的概念和分类，掌握实数的分类方法是解题的关键．根据实数的概念和分类解答． 【详解】解：，， 有理数：，，，，，，，； 无理数：，，，（每相邻两个之间依次多个），； 正数： ，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），； 整数：，，，； 非负数：，，，，，，，（每相邻两个之间依次多个），； 分数：，，，， ． 3．把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧（相邻的两个3之间依次多1个0），⑨，⑩ (1)整数集合：（                ） (2)分数集合：（                ） (3)无理数集合：（                ） 【答案】(1)③④⑥ (2)①⑨⑩ (3)②⑤⑦⑧ 【分析】本题考查了有理数、实数和无理数的分类，熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键． （1）根据整数的定义作答即可； （2）根据分数的定义作答即可； （3）根据无理数的定义作答即可． 【详解】（1）解： ③是整数，④0是整数，⑥是整数， 整数集合： ③④⑥ 故答案为：  ③④⑥ （2）①是分数，⑨是分数，⑩是分数． 分数集合： ①⑨⑩ 故答案为： ①⑨⑩ （3）②是无理数，⑤是无理数，⑦是无理数，⑧ (相邻的两个3之间依次多1个0)是无理数，无理数集合 故答案为： ②⑤⑦⑧ 类型八、二次根式的加减乘除 【解惑】化简： (1) (2) 【答案】(1)1； (2)． 【分析】（1）先化简二次根式及零次幂，再根据二次根式的加减混合运算法则，即可求解； （2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类二次根式，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算法则，完全平方公式，平方差公式及零次幂，掌握二次根式的性质和二次根式的运算法则，是解题的关键． 【融会贯通】 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算和实数的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）利用平方差公式和二次根式的性质运算即可解题； （2）先利用负整数指数次幂、零指数次幂、二次根式的乘法和绝对值计算，然后合并解题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)4 (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握去绝对值，求立方根的计算，二次根式的混合运算是解答本题的关键． （1）先去括号，化简二次根式，再进行二次根式的加减运算即可． （2）先化简二次根式，去绝对值，求立方根，最后进行二次根式的加减运算即可． （3）先化简二次根式，再进行二次根式的加减运算即可． （4）先化简括号内的二次根式，再进行二次根式加减乘除混合运算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． （3） ． （4） ． 3．计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得； （2）先计算负整数指数幂、化简各二次根式、计算零指数幂，再合并同类二次根式即可得； （3）先化简各二次根式、分母有理化，再计算乘法，最后计算加减可得； （4）先计算二次根式的除法，化简二次根式，零次幂，再合并即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： （4）解： 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 【一览众山小】 1．9的算术平方根是（　　） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据算术平方根的定义即可求得答案． 【详解】解：9的算术平方根为， 故答案为：B． 2．在实数0、、、2、中，无理数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的概念，根据无理数是无限不循环小数逐个判断即可． 【详解】解：在实数0、、、2、中，，是无理数，有两个， 故选：B． 3．下列各式中是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式，依据定义准确判断是解题关键． 【详解】解：A、是最简二次根式，符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据可得． 【详解】解：， 故答案为：． 5．平方等于49的数为 ；立方等于的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：平方等于49的数为，立方等于的数为， 故答案为：，． 6．式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据二次根式中被开方数的非负性即可求得答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：． 7．计算: (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算， （1）先将各二次根式化简，再计算加减； （2）运用平方差公式计算即可． 【详解】（1） ； （2）． 8．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即若一个三角形的三边长分别为，，，则该三角形的面积满足公式：．现已知的三边长分别为1，3，，求的面积． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的应用，把，，的值代入三角形的面积公式，关键二次根式的性质计算即可． 【详解】解：将三边直接代入公式可得. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$