专题02 实数（优质类型）-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（北师大版）

专题02实数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次根式中的最值 【解惑】若是整数，则正整数m 的最小值是（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【融会贯通】 1．代数式的最小值是（　　） A．0 B． C．1 D．不存在的 2．已知：如图，等边三角形的面积为，、分别是、边上的动点，,则的最小值是 ． 3．若，则y的最小值是 ． 类型二、二次根式中的规律 【解惑】阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在有什么样的关系？小南用自己的方法进行了验证：，而， ∴，即 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当，时，请直接写出和之间的关系； (2)运用以上结论，计算：①；②； (3)运用上述规律解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【融会贯通】 1．观察下列各式 ①；②；③…… 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)_________； (2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________； (3)用上述规律计算：． 2．观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：…… (1)请直接写出第4个等式： （不用化简）； (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式给予证明； (3)利用（2）的结论计算：． 3．观察下列各式：①；②；③． 解决下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子：______． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：______． (3)利用上述规律计算：．（仿照上式写出计算过程） 类型三、新定义下的实数运算 【解惑】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)求的值； (2)的值． 【融会贯通】 1．设x，y是任意两个有理数，规定x与y之间的一种运算“⊕”如下： (1)求 的值； (2)若 求m的值． 2．若一个含根号的式子可以写成的平方（其中，，，都是整数，x为正整数），即，则称为完美根式．是的完美平方根．例如：因为，所以是的完美平方根． (1)已知是的完美平方根，求a的值； (2)若是的完美平方根，用含，的式子表示，． (3)已知为完美根式，直接写出它的一个完美平方根． 3．定义：任意两个数a、b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a、b的“如意数”． (1)，，，求c； (2)若，，求a、b的“如意数”c； (3)已知，且a、b的“如意数”，则______．（用含x的式子表示） 类型四、整数、小数部分 【解惑】阅读下面的文字，解答问题： 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，的整数部分为，小数部分为，根据以上知识解答下列各题： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分为，的小数部分为，求的平方根． 【融会贯通】 1．【观察发现】 ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． 【解决问题】 (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 2．阅读与理解 下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 因为没有任何一个有理数的平方等于2，所以是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分． 又如： ∵，∴． ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)根据小茗笔记内容知，的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，x是整数，，求的值． 3．阅读下面的文字，解答问题． 例：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是__________； (2)已知：的小数部分是m，的小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 类型五、复合二次根式化简 【解惑】先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 【融会贯通】 1．阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 2．像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 3．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 类型六、二次根式分母有理化 【解惑】认真阅读下列解答过程，并解答下列各题： 比较与的大小． 解： 因为     所以 即： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算： 【融会贯通】 1．阅读下列解题过程，请回答下列各问题： ； ． (1)观察上面解题过程，请直接给出结果：（为正整数）______； (2)利用上面提供的方法，请你化简下面的式子：． 2．小明在解决问题“已知，求的值”时，他是这样分析与解答的： ． ，即． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)填空：_______________，_______________； (2)计算：； (3)若，求的值． 3．观察下列各式的化简过程 ① ② ③ (1)写出①式的具体化简过程； (2)从上面的式子看，你发现了什么规律？请用字母表示出来____________； (3)利用上面的规律计算：． 类型七、实数中的规律 【解惑】观察下列等式，并回答问题． ， ， ， ， …… (1)将2024写成两整数平方差的形式： __________________ (2)用含有字母（的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． (3)相邻的两个整数的平方差一定是4的倍数吗？请说说你的理由． 【融会贯通】 1．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数相等． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有_______项，请你写出它的展开式_____________________________； (2)的展开式共有_______项，系数和为_______； (3)利用上面的规律计算：． (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期_______． 2．如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 3．阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算，经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算： (1)； (2)． 类型八、二次根式新定义 【解惑】定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【融会贯通】 1．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 2．阅读理解题如图，数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点表示的数是其他两个点表示的数的和，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别是，3，，此时A就是B与C的“关联点”． (1)若点B表示的数是，点C表示的数是2，点B表示的数的相反数是点表示的数，则与C的关联点表示的数是__________； (2)若点A表示的数是，点B表示的数是，其中B是A与C的关联点，则点C表示的数是__________； (3)若点A表示的数是，点P表示的数是点B表示的数的倍，若在A，B，P中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，求点P表示的数是多少？ 3．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)代数式中x的取值范围是______； (2)已知：，求： ①_____； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：． 【一览众山小】 1．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数i，使其满足(即方程有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有 从而对任意正整数n，我们可得到同理可得，，，那么，的值为(　　) A．0 B．1 C． D． 2．我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则属于 （    ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 3．已知实数、、满足，则、、的大小关系为 ．（用“”连接）． 4．幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ． A B 5 C 10 D 5．将边长分别为，，，，的正方形的面积记为，，, (1)计算：，， ； (2)把边长为的正方形的面积记作，其中是整数，从（）中计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由． (3)若将边长变为，， ，时，的值是多少？ 6．规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题： (1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号） ①；②；③；④；⑤若（a为整数），则 (2)当时，解关于x的方程 7．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 8．阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02实数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次根式中的最值 【解惑】若是整数，则正整数m 的最小值是（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． 由题意知，，可知正整数m 的最小值是3． 【详解】解：由题意知，是整数， ∴正整数m 的最小值是3， 故选：D． 【融会贯通】 1．代数式的最小值是（　　） A．0 B． C．1 D．不存在的 【答案】B 【分析】根据二次根式有意义的条件，列不等式组求x的取值范围，再确定代数式的最小值． 【详解】解：由条件得， 解得：x≥2． ≥=． 即代数式的最小值是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、不等式组的解集以及二次根式的加减法运算，根据列出不等式组是解题的关键． 2．已知：如图，等边三角形的面积为，、分别是、边上的动点，,则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段的最值问题，构造直角三角形，过点B作，，垂足分别为H、F，设，则，，利用勾股定理表示出，由此即可求出的最小值． 【详解】解：过点B作，，垂足分别为H、F，设，则，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∴， ∴在中，， 当时，取最小值为，此时取最小值， 故答案为． 【点睛】本题主要利用了等边三角形性质、30度直角三角形性质、勾股定理和利用完全平方公式求出最小值等知识点，解题关键是构造直角三角形利用勾股定理将长表示出来，再利用完全平方公式求出最值． 3．若，则y的最小值是 ． 【答案】4 【分析】根据二次根式的化简即绝对值的化简，分-2≤x≤0，0≤x≤2，x＜-2，x＞2四种情况分析，即可得答案． 【详解】解：， 当-2≤x≤0时， y =-x+x+2-x+2=-x+4，此时y最小值为4， 当0≤x≤2时， y =x+x+2-x+2=x+4，此时y最小值为4， 当x＜-2时， y =-x-x-2-x+2=-3x，此时y最小值＞6， 当x＞2时， y =x+x+2+x-2=3x，此时y最小值＞6， 综上所述， y 的最小值为4． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，绝对值的化简，解题的关键是注意分情况分析，考虑问题全面． 类型二、二次根式中的规律 【解惑】阅读下列材料： 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在有什么样的关系？小南用自己的方法进行了验证：，而， ∴，即 回答以下问题： (1)结合材料猜想，当，时，请直接写出和之间的关系； (2)运用以上结论，计算：①；②； (3)运用上述规律解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【答案】(1) (2)①20；②77 (3)16 【分析】本题考查了二次根式的乘法，求一个数的算术平方根，熟练掌握二次根式的乘法法则进行计算即可解答． （1）根据阅读材料中的例题，即可解答； （2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答；②利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：当时，； （2）①， ②； （3）由题意得：长方形的面积． 【融会贯通】 1．观察下列各式 ①；②；③…… 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： (1)_________； (2)根据你的观察，猜想，写出第n（n为正整数）个等式：_________； (3)用上述规律计算：． 【答案】(1)或或 (2) (3) 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的运算，理解题意，找到题干中所给式子的规律是解题的关键． （1）根据所给算式的规律可直接得出答案； （2）根据所给算式得出一般性规律即可； （3）将被开方数变形，然后利用（2）中规律进行计算． 【详解】（1）解：根据题干所给算式的规律，可得 （或或） （2）解：根据题干所给算式的规律，可得 （3）解： 2．观察下列等式，解答下列问题： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：…… (1)请直接写出第4个等式： （不用化简）； (2)根据上述规律猜想：若为正整数，请用含的式子表示第个等式给予证明； (3)利用（2）的结论计算：． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)1 【分析】本题考查饿了二次根式的混合运算、数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据已知的三个等式中的各数字与序号数的关系写出第个等式即可； （2）利用前面规律写出第个等式，然后根据二次根式的性质证明即可； （3）根据（2）中的等式的规律，结合二次根式的乘法法则计算即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得： 第4个等式：； （2）解：第个等式为：（为正整数）； 证明：， 为正整数， ， ∴猜想成立； （3）解： ． 3．观察下列各式：①；②；③． 解决下列问题： (1)根据上面3个等式的规律，写出第⑤个式子：______． (2)请你按照上面每个等式反映的规律，写出用（为正整数）表示的等式：______． (3)利用上述规律计算：．（仿照上式写出计算过程） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解题中给出的规律，本题属于基础题型． （1）根据题意给出的规律即可求出答案． （2）由题意的规律即可用n表示该等式； （3）利用（2）中的结论即可求出答案． 【详解】（1）∵①； ② ； ③； …； ∴． 故答案为：； （2）由上述规律可得：． 故答案为：； （3） ． 类型三、新定义下的实数运算 【解惑】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．如：． (1)求的值； (2)的值． 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，准确理解新定义是解题的关键． （1）利用题中的新定义列出计算式计算即可； （2）利用题中的新定义列出计算式计算即可； 【详解】（1）解： ； （2） ， ． 【融会贯通】 1．设x，y是任意两个有理数，规定x与y之间的一种运算“⊕”如下： (1)求 的值； (2)若 求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算、解一元一次方程，（1）根据可得，把、代入求解即可； （2）根据，可得，再解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 2．若一个含根号的式子可以写成的平方（其中，，，都是整数，x为正整数），即，则称为完美根式．是的完美平方根．例如：因为，所以是的完美平方根． (1)已知是的完美平方根，求a的值； (2)若是的完美平方根，用含，的式子表示，． (3)已知为完美根式，直接写出它的一个完美平方根． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了新定义“完美根式”与“完美平方根”，正确理解新定义是解题关键． （1）根据完美平方根的定义，即可获得答案； （2）根据完美平方根的定义，即可获得答案； （3）根据完美根式的定义，可得，进而可得，，确定合理的，的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵是的完美平方根， ∴， ∴； （2）∵是的完美平方根， ∴， ∴，； （3）∵为完美根式， ∴， ∴，， ∴可取，， ∵均为整数， ∴，或，， ∴的一个完美平方根是． 3．定义：任意两个数a、b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a、b的“如意数”． (1)，，，求c； (2)若，，求a、b的“如意数”c； (3)已知，且a、b的“如意数”，则______．（用含x的式子表示） 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题考查了有理数的运算，整式的运算，掌握是解题的关键． （1）把，代入中求值即可； （2）利用完全平方公式求出，得到的值，进而得到的值； （3）把，的值代入，化简即可得出答案． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）解：当，时， ， ， ， 或； （3）解：根据题意得：， ， ， ， ， ． 类型四、整数、小数部分 【解惑】阅读下面的文字，解答问题： 大家知道，是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分．你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．又例如：，即，的整数部分为，小数部分为，根据以上知识解答下列各题： (1)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (2)已知，其中是整数，且，求的相反数； (3)已知的小数部分为，的小数部分为，求的平方根． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）首先得出，的取值范围，求得a，b，进而得出答案； （2）首先估算出的大小，然后求得x，y的值，从而可求得答案； （3）首先得出，的取值范围，求得a，b，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵，即 ∴ ∵，即 ∴， ∴； （2）解：∵， ∴的小数部分为：，的整数部分为：1， ∴的整数部分为：，小数部分为：， ∴，， ∴， ∴的相反数为：； （3）解：∵， ∴的小数部分为：，整数部分为：3； ∴的小数部分为：； ∵， ∴， ∴的小数部分为：， ∴， ∴， ∴的平方根为：． 【点睛】本题主要考查的是估算无理数的大小、相反数的定义，求得a、b，x、y的值是解题的关键． 【融会贯通】 1．【观察发现】 ，即， 的整数部分为2， 的小数部分为． 【解决问题】 (1)求的整数部分和小数部分． (2)已知的立方根是的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)整数部分为3，小数部分为； (2) 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）按照材料1的解题思路进行计算，即可解答； （2）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出、、的值，代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）解：， ， ， 的整数部分为3，小数部分为； （2）的立方根是3，的算术平方根是4， ，， 解得：，， 是整数部分， ， ， 的平方根是． 2．阅读与理解 下面是小茗同学的学习笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 因为没有任何一个有理数的平方等于2，所以是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此，的小数部分我们不能全部写出来，就用来表示的小数部分．原因是的整数部分为1，将这个数减去其整数部分，差就是它的小数部分． 又如： ∵，∴． ∴． ∴的整数部分为2，小数部分为． 任务： (1)根据小茗笔记内容知，的整数部分是______，小数部分是______； (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知，x是整数，，求的值． 【答案】(1)6， (2) (3) 【分析】本题考查无理数整数部分及小数部分的计算： （1）仿照题干中的做法即可求解； （2）仿照题干中的做法求出a和b的值，再代入求值； （3）求出的整数部分x和小数部分y，再代入求值． 【详解】（1）解：∵，∴， ∴， ∴的整数部分为6，小数部分为， 故答案为：6，； （2）解：∵，∴， ∴， ∴的整数部分为3，小数部分为， ∴； 同理，∵，∴， ∴， ∴的整数部分为5， ∴， ∴； （3）解：∵，∴， ∴， ∴，即 ∴的整数部分为4，小数部分为， ∵，x是整数，， ∴，， ∴． 3．阅读下面的文字，解答问题． 例：，即， 的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分是__________； (2)已知：的小数部分是m，的小数部分是n，且，请求出满足条件的x的值． 【答案】(1)3； (2)或2． 【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的意义是正确解答的前提，确定m、n的值是正确解答的关键． （1）估算无理数的大小即可； （2）估算的大小确定m、n的值，代入方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分为3； 故答案为：3； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的小数部分， ∴， ∴的小数部分， ∴， 是1的平方根， 解得或． 类型五、复合二次根式化简 【解惑】先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，读懂阅读材料中的方法是解题的关键．先将原式变形，再由，，仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】解：，这里， 由于，， ∴， ∴ ． 【融会贯通】 1．阅读材料． 把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是且，则把变成开方，从而使得化简． 如： 解答问题： (1)填空：______，______． (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质，将被开方数化为平方的形式是解题的关键． （1）仿照例题，根据，即可求解；直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案． （2）根据材料提供计算步骤，对进行化简，进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； ， ； （2）解： ． 2．像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 3．数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则”． 材料一：平方运算和开方运算是互逆运算．如，那么．如何将双重二次根式化简？我们可以把转化为完全平方的形式，因此双重二次根式得以化简． 材料二：在直角坐标系中，对于点和给出如下定义：若，则称点Q为点P的“横负纵变点”．例如：点的“横负纵变点”为，点的“横负纵变点”为． 请选择合适的材料解决下面的问题： (1)点的“横负纵变点”为______________________，点的“横负纵变点”为______________________； (2)化简：； (3)已知a为常数，点且，点是点M的“横负纵变点”，则点的坐标是_________________________． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据“横负纵变点”的定义进行求解即可； （2）根据题干提供的信息，进行变形求解即可； （3）先根据，得出，求出，，再求出m的值，得出，根据“横负纵变点”的定义写出结果即可． 【详解】（1）解：， ∴点的“横负纵变点”为； ， ∴点的“横负纵变点”为； 故答案为：；． （2）解： ； （3）解：∵， ∴， ， ． ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，二次根式化简求值，化简复合型二次根式，解题的关键是熟练掌握二次根式性质，理解新定义． 类型六、二次根式分母有理化 【解惑】认真阅读下列解答过程，并解答下列各题： 比较与的大小． 解： 因为     所以 即： (1)试比较与的大小； (2)尝试计算： 【答案】(1) (2)9 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据题中方法进行二次根式的化简比较即可； （2）利用题目所给的方法以及结合二次根式的变形进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， 因为， 所以， 即：； （2）解： ． 【融会贯通】 1．阅读下列解题过程，请回答下列各问题： ； ． (1)观察上面解题过程，请直接给出结果：（为正整数）______； (2)利用上面提供的方法，请你化简下面的式子：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式分母有理化，二次根式的加减运算，掌握分母有理化的方法是解题的关键，注意化简后抵消的规律． （1）分子与分母都乘以，进而化简即可； （2）利用（1）中所求规律先分母有理化，再计算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解： ． 2．小明在解决问题“已知，求的值”时，他是这样分析与解答的： ． ，即． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)填空：_______________，_______________； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)2021 (3) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握平方差公式的结构是解题关键． （1）利用平方差公式进行二次根式的分母有理化计算； （2）根据二次根式的分母有理化计算发现数字的变化规律，从而进行计算； （3）先对字母的值进行二次根式的分母有理化计算，然后代入求值． 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）原式 ． （3） ， ． ，即． ． 3．观察下列各式的化简过程 ① ② ③ (1)写出①式的具体化简过程； (2)从上面的式子看，你发现了什么规律？请用字母表示出来____________； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2007 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的运算： （1）利用分母有理化进行化简即可； （2）根据给定的等式，写出规律即可； （3）利用规律裂项相加，再利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）由题意，得： 故答案为：； （3）原式 ． 类型七、实数中的规律 【解惑】观察下列等式，并回答问题． ， ， ， ， …… (1)将2024写成两整数平方差的形式： __________________ (2)用含有字母（的整数）的等式表示这一规律，并用已学的知识验证这一规律． (3)相邻的两个整数的平方差一定是4的倍数吗？请说说你的理由． 【答案】(1)506，， (2)见详解 (3)相邻的两个整数的平方差不是4的倍数，理由见详解 【分析】本题考查了实数的规律运算，平方差公式的应用，解题的关键是整理题目给出的规律． （1）根据题意给出的规律即可求出答案； （2）利用平方差公式的应用即可验证； （3）根据题意列出式子即可求证． 【详解】（1）解：， 故答案为：506，，． （2）由题意可知：（的整数）， 证明：右边左边； （3）相邻的两个整数的平方差不是4的倍数，理由如下： 设相邻的两个整数分别：， 根据题意可知：， ∵的整数， ∴为奇数， ∴相邻的两个整数的平方差不是4的倍数． 【融会贯通】 1．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例，如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律，例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数相等． (1)根据上面的规律不难发现，的展开式共有_______项，请你写出它的展开式_____________________________； (2)的展开式共有_______项，系数和为_______； (3)利用上面的规律计算：． (4)运用：若今天是星期二，经过天后是星期_______． 【答案】(1)6， (2)， (3)1 (4)三 【分析】本题考查了整式的混合运算，学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键． （1）观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）的展开式共有项，写出前几项系数，得出一般规律即可； （3）利用规律，根据有理数混合运算的法则计算即可； （4）根据规律展开后看最后一项即可． 【详解】（1）解：根据上面规律，的展开式共有6项， 则； （2）解：的展开式共有项， 系数和为， 系数和为， 系数和为， 故系数和为； （3）解：根据规律可知： ； （4）解：的最后一项是1， 的余数是1， 若今天是星期二，经过天后是星期三． 2．如图，将形状大小完全相同的★按照一定规律摆成下列图形，第1幅图中★的个数为，第2幅图中★的个数为，第3幅图中★的个数为，…，以此类推，第n幅图中★的个数为．则： (1)　　　　，　　　　　； (2)求的值． 【答案】(1)2， (2) 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，数字类的规律探索． （1）根据图形即可得到，观察图形可知第n幅图中★的个数为； （2）由（1）得，再找到规律，据此把所求式子裂项求解即可． 【详解】（1）解：第1幅图中★的个数为， 第2幅图中★的个数为， 第3幅图中★的个数为， ， 以此类推，第n幅图中★的个数为； （2）解：由（1）知，第n幅图中★的个数为， ， ， ， ， 以此类推，可知， ∴ ． 3．阅读材料后解决问题． 小明遇到下面一个问题：计算，经过观察，小明发现如果将原式进行恰当地变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下： ． 请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题： 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可； （2）结合平方差公式的特征对原式恒等变形，乘以，根据平方差公式运算即可；． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 类型八、二次根式新定义 【解惑】定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1)1； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义，即可得解； （2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； （3）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； 【详解】（1）解：， ∴ 与是关于1的共轭二次根式， 故答案为：1； （2）解：∵与是关于2的共轭二次根式， ∴ ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于12的共轭二次根式， ∴ ∴， ∴． 【融会贯通】 1．任意一个无理数介于两个整数之间，我们定义，若无理数，（其中为满足不等式的最大整数，为满足不等式的最小整数），则称无理数的“行知区间”为，如，所以的行知区间为． (1)无理数的“行知区间”是________； (2)若，求的“行知区间”； (3)实数，，满足，求的算术平方根的“行知区间”． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查无理数的估算，二次根式有意义的条件，非负性．熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键． （1）夹逼法求出的取值范围，即可得出结果； （2）根据二次根式有意义的条件，得到，进一步求出的取值范围即可； （3）根据二次根式有意义的条件，结合算术平方根的非负性，得到，，求出的值，进而求出的“行知区间”即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：无理数的“行知区间”是； 故答案为：； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴a的“行知区间”为； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 联立：，解得：， ∴的算术平方根为， ∵， ∴； ∴的算术平方根的“行知区间”为． 2．阅读理解题如图，数轴上有A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点表示的数是其他两个点表示的数的和，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如数轴上点A，B，C所表示的数分别是，3，，此时A就是B与C的“关联点”． (1)若点B表示的数是，点C表示的数是2，点B表示的数的相反数是点表示的数，则与C的关联点表示的数是__________； (2)若点A表示的数是，点B表示的数是，其中B是A与C的关联点，则点C表示的数是__________； (3)若点A表示的数是，点P表示的数是点B表示的数的倍，若在A，B，P中，有一个点恰好是其他两个点的“关联点”，求点P表示的数是多少？ 【答案】(1) (2) (3)点P表示的数是或6或 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的性质，新定义运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握“关联点”的定义． （1）先求出表示的数是，然后根据“关联点”的定义进行求解即可； （2）先求出点A表示的数是，点B表示的数是，然后根据“关联点”的定义进行求解即可； （3）分三种情况进行讨论：当点P是A与B的关联点时，当点A是P与B的关联点时，当点B是A与P的关联点时，分别列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：∵的相反数是， ∴表示的数是， ∵是与C的“关联点”， ∴表示的数是． （2）解：∵点A表示的数是，点B表示的数是， ∴点A表示的数是，点B表示的数是， ∵B是A与C的关联点， ∴点C表示的数是． （3）解：点A表示的数是， 设点B表示的数是x，则点P表示的数是， 分三种情况∶①当点P是A与B的关联点时，则： ， 解得：， ∴； ② 当点A是P与B的关联点时，则： ， 解得：，； ③ 当点B是A与P的关联点时，则， 解得， 综上所述，点P表示的数是或6或． 3．定义：我们将与称为一对“对偶式”．因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决．例如：，求的值，可以这样解答： 因为，所以． (1)代数式中x的取值范围是______； (2)已知：，求： ①_____； ②结合已知条件和第①问的结果，解方程：． 【答案】(1)； (2)①2；②． 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、二次根式的性质、平方差公式的应用等知识点，掌握二次根式有意义的条件成为解题的关键． （1）根据二次根式有意义的条件列不等式组求解即可； （2）①运用平方差公式进行变形，然后整体代入计算即可；②根据（1）构成方程组求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解：，解得：， ∴x的取值范围为． 故答案为：． （2）解：①∵， ∴． 故答案为：2． ②由题意可得：，则，解得：， 经检验，是方程的根． ∴方程的解为． 【一览众山小】 1．我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于，若我们规定一个新数i，使其满足(即方程有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有 从而对任意正整数n，我们可得到同理可得，，，那么，的值为(　　) A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，同底数幂的运算、实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算．从而可知4次一循环，一个循环内的和为0，据此计算即可． 【详解】解：由题意得，故可发现4次一循环，一个循环内的和为0， 故选：C． 2．我们把形如（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如是型无理数，则属于 （    ） A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数 【答案】B 【分析】此题考查完全平方公式和二次根式的性质，先根据完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再得出选项即可． 【详解】解：， ∴属于型无理数， 故选B． 3．已知实数、、满足，则、、的大小关系为 ．（用“”连接）． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数．熟练掌握偶次方，算术平方根，绝对值的非负性质，是解答问题的关键． 根据平方，算术平方根，绝对值的非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数同时为0，求出a，b，c的值，比较，得出答案． 【详解】∵，，，且， ∴， ， ， ∴，， ， ∴ ，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4．幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则数值 ． A B 5 C 10 D 【答案】 【分析】本题考查了数的规律探究，涉及考查一元一次方程的应用，二次根式的乘法．根据横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等列出方程求解即可． 【详解】解：对角线方向上的实数相乘的结果为， 根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， ， 故答案为：． 5．将边长分别为，，，，的正方形的面积记为，，, (1)计算：，， ； (2)把边长为的正方形的面积记作，其中是整数，从（）中计算结果，你能猜出等于多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由． (3)若将边长变为，， ，时，的值是多少？ 【答案】(1)，，； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（）根据正方形的面积公式列式计算即可求解； （）根据正方形的面积公式列出算式，利用完全平方公式化简即可求证； （）根据正方形的面积公式列出算式，利用完全平方公式化简即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：； ； ； （2）解：，理由如下： ， ， ， ， ； （3）解：由题意得， ， ， ， ． 6．规定：对任意的非负实数n，用表示不大于n的最大整数，称为n的整数部分，用表示的值，称为n的小数部分.例如：，，，；请回答下列问题： (1)当时，以下五个命题中为真命题的是 （填序号） ①；②；③；④；⑤若（a为整数），则 (2)当时，解关于x的方程 【答案】(1)①②④⑤ (2)或 【分析】本题考查的是估算无理数的大小和实数的运算，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． （1）根据题目中的规定进行逐一判断即可得出答案； （2）先根据题目中的规定对原方程进行整理得，再进行分类讨论，求解即可． 【详解】（1）解： ，故①正确； ，由于，，故②正确； 表示的小数部分，，故③错误； 表示的整数部分，，故④正确； 为整数），，故⑤正确， 故五个命题中为真命题的是①②④⑤， 故答案为：①②④⑤； （2）解：， ， ， ， 是的小数部分， 当时，； 当时，， ， 可得， ， 综上可得或． 7．阅读下面材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的是分母有理化以及应用，其实，还有一个方法叫做“分子有理化”，与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式比如：，分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较  和  的大小可以先将它们分子有理化如下：，，因为，所以．再例如：求  的最大值．做法如下：解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而，当x＝2时，分母    有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题： (1)由材料可知，__________； (2)比较和 的大小； (3)式子 的最小值是__________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分子有理化： （1）根据分子有理化的方法进行求解即可； （2）利用分子有理化得到，，然后比较和的大小即可得到与的大小； （3）利用二次根式有意义的条件得到，而，利用当时，有最小值，有最小值0得到的最小值． 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）， ， 而，， ， ； （3）由，，得， ， 当时，有最大值，则有最小值，此时有最小值0，所以的最小值为． 8．阅读材料，并完成下列任务： 材料一：裂项求和 小华在学习分式运算时，通过具体运算：，，，…… 发现规律：（n为正整数），并证明了此规律成立． 应用规律：快速计算． 材料二：根式化简 例1        ； 例2         任务一：化简． (1)化简： (2)猜想：___________________（n为正整数）． 任务二：应用 (3)计算：； 任务三：探究 (4)已知 ， 比较x和y的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)，理由见解析 【分析】本题考查二次根式裂项求解，解题关键是熟练进行二次根式分母有理化的化简． （1）根据题目中的例子可以写出答案； （2）根据例2，可以写出相应的猜想； （3）根据分母有理化，可得二次根式的化简，根据二次根式的加减，即可得到答案； （4）结合例1，例2的规律进行计算即可； 【详解】（1） （2） ， ， ， 故答案为：； （3） ； （4） ， ， ， 故． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$