小升初典型奥数：最优化问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学通用版

最优化问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 最优化概念反映了人类实践活动中十分普遍的现象，即要在尽可能节省人力、物力和时间前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果，因此，最优化问题成为现代数学的一个重要课题，涉及统筹、线性规划一排序不等式等内容．下面我们就最优化问题做出汇总分析． 最优化问题不仅具有趣味性，而且由于解题方法灵活，技巧性强，因此对于开拓解题思路，增强数学能力很有益处．但解决这类问题需要的基础知识相当广泛，很难做到一一列举． 第二部分 典型例题 例题1：冬冬中午要炒一个菜，煮一锅饭，烧一壶水．用煤气炉炒菜每道工序的时间如下：切菜4分钟，准备佐料4分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟．用煤气炉烧水每道工序的时间如下：洗水壶2分钟，用火烧水15分钟，把开水灌到热水瓶中需要2分钟．用电饭锅煮饭每道工序的时间如下：淘米4分钟，煮饭18分钟．冬冬家的煤气炉只有一个煤气灶．请问：冬冬做完这三件事情最短需要多少分钟？ 【答案】25分钟． 【详解】试题分析：因为只有一个煤气炉，所以可以先洗水壶，需要2分钟，然后烧水需要15分钟，在烧水的15分钟内，可以同时淘米4分钟，淘米后，烧水还需要15﹣4=11分钟，同时用电饭锅煮饭需要18分钟，与此同时，可以完成切菜、准备佐料，节约4+4=8分钟；水烧开后，把开水灌到热水瓶中需要2分钟，同时烧热锅节约2分钟，再烧热油，需要2分钟，最后炒菜需要4分钟，此时饭已经煮好，据此设计所用的时间最少． 解：根据题干分析可得先洗水壶，需要2分钟→烧水需要15分钟（在烧水的15分钟内，可以同时淘米4分钟，淘米后，烧水还需要15﹣4=11分钟，同时用电饭锅煮饭需要18分钟，与此同时，可以完成切菜、准备佐料，节约4+4=8分钟）→水烧开后，把开水灌到热水瓶中需要2分钟（同时烧热锅节约2分钟）→再烧热油，需要2分钟→最后炒菜需要4分钟，此时饭已经煮好， 2+15+2+2+4=25（分钟） 答：最少需要25分钟． 点评：本题主要考查了推理与论证，在解题时要注意统筹方法的应用． 例题2：烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙21块饼，至少需要多少分钟？ 【答案】63分钟 【分析】前3分钟，第一块饼的正面，第二块饼的正面；4~6分钟，第一块饼的反面，第三块饼的正面；7~9分钟，第二块饼的反面，第三块饼的反面；也就是每9分钟可以烙3张饼。 【详解】每9分钟可以烙3张饼； 所以烙21块饼，至少用（分钟） 答：至少需要63分钟。 【点睛】本题考查的是时间统筹优化的问题，关于烙饼问题，关键是不能浪费时间。 例题3：孙老师每天早晨到校后，要做这些事． 到班里整理桌椅 5分钟 在办公室做清洁 10分钟 批改昨日家庭作业 20分钟 做健美操 10分钟 听音乐 30分钟 与班干部交流 5分钟 如果8：00上课，那孙老师最迟几点到校才行？ 【答案】7:10 【详解】孙老师可以先整理桌椅（5分钟），然后做办公室清洁（10分钟），听音乐（30分钟），在听音乐（30分钟）同时批改昨日的家庭作业（20分钟）和做健身操（10分钟），最后于班干部交流（5分钟），这样共用50分钟． 所以孙老师最迟7:10到校才行． 例题4：如下图，有10个村坐落在从县城出发的一条公路上，图中的数字表示各段公路的长度，单位是千米．现在要安装水管，从县城送自来水供给各村．可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细管只能供一个村用水．粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元．把粗管和细管适当搭配，互相连接，可以降低工程的总费用．按你认为最节约的办法，费用应是多少元? 【答案】414000元 【详解】将这个村子依离县城从近到远记为A1，A2，A3，…，A10， 在A7之和，粗管可以换成3根或更少的细管，费用将减少． 在A6和A7之间，无论按粗管还是四条细管，花的钱一样多，在A6以前不安粗管按细管，需要5条以上的细管，费用将增加． 因此，工程的设计是：从县城到A7(或A6)安一条粗管；A7、A8之间安三条细管：A8、A9之间安两条细管；A9、A10之间安一条细管．这样做，工程总费用最少． (30+5+2+4+2+3+2)×800+(6+4+5)×2000＝414000元． 第三部分 高频真题 1．有七个村庄A1、A2、…、A7分布在公路两侧（见下图），由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里？ 2．甲，乙两人要到沙漠中探险，他们每天向沙漠深处走20千米，已知每人最多可以携带一个人24天的食物和水，如果不准将部分食物存放于途中，那么其中一人最远可以深入沙漠多少千米（要求最后二人返回出发点）？ 3．王林有很好的生活习惯．下面是他每天早上上学之前要做的一些事情． 穿衣叠被 刷牙洗脸 整理房间 收听广播 整理书包 吃早餐 5分钟 5分钟 8分钟 30分钟 2分钟 6分钟 王林要做完这些事情至少需要多少分钟？如果他和好朋友约好7时30分一起去上学，他最迟要什么时候起床？ 4．下图是一个交通示意图，、、是产地（用●表示，旁边的数字表示产量，单位：吨），、、是销地（用○表示，旁边的数字表示销量，单位：吨），线段旁边有括号的数字表示两地每吨货物的运价，单位：百元（例如与两地，由到或由由到每吨货物运价元）。将产品由产地全部运往销地，怎样调运使运价最小？最小运价是多少？ 5．有几位同学计划暑假期间结伴到武汉归元寺旅游．春蕾旅行社退出武汉归元寺一日游A、B两种方案． （1）有5位家长，带10名小朋友去旅游，按哪种方案买票优惠？优惠多少元？     （2）有12位家长，带3名小朋友去旅游，按哪种方案买票优惠，优惠多少元？ 6．如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，每栋楼里每天都有20个人要坐车，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？ 7．6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？ 8．国庆节期间，华夏旅行社推出以下两种优惠方案． A方案：团体10人以上（含10人）每位100元． B方案：成人每位130元，儿童每位70元． （1）如果4个家长带6个孩子去旅游，那么选哪种方案合算？ （2）如果8个家长带2个孩子去旅游，那么选哪种方案合算？优惠多少钱？ 9．北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除了供应本地外，北京可以支援外地10台，上海可以支持外地4台。现决定给重庆8台，汉口6台，若每台计算机的运费如表，上海和北京制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省？最省的运费是多少？ 10．妈妈下班回家做饭，淘米要2分钟，煮饭要30分钟，洗菜要9分钟，切菜要8分钟，炒菜要12分钟．如果煮饭和炒菜要用不同的锅和炉子，妈妈要将饭菜都做好，最少要用多长时间？ 11．如图5所示，一长方体木板，它的长、宽和高分别为6厘米，1厘米和6厘米．有一只小蚂蚁从这块木板的A点出发爬到B点（其中A点、B点均为这块板长与高的中点），请问，它要如何选择爬行路线，使所经过的路程最短？ 12．六一儿童节，四一班44名同学和李老师到游乐园去欢庆节日．买票时他们看到游乐园对团体票有优惠，原来每人每张票2元，现在购买一张15元的团体票就可以让10人进去．如果请你去买票，那么你认为怎样买票最合算？ 13．烙饼需要烙它的正、反面，如果烙熟一块饼的正、反面，各用去3分钟，那么用一次可容下2块饼的锅来烙2007块饼，至少需要多少分钟？ 14．在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千米，已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨，5号煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的．现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元，集中到几号煤场花费最少？ 15．有1993名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？ 16．将一根长为374厘米的合金铝管截成36厘米和24厘米两种型号的短管(加工损耗忽略不计)．问剩余部分的铝管至少是多少厘米? 17．育红小学要组织春游，共有30名教师和400名学生．下面有两种可以租用的车型． 大车：限乘45人，每辆每天租金800元． 小车：限乘25人，每辆每天租金500元． 怎样租车最省钱呢？需要多少钱？ 18．车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元．现有两名工作效率相同的修理工， (1)怎样安排才能使得经济损失最少？ (2)怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？ 19．用10尺长的竹竿做原材料，来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎么截法最合算？ 20．一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎1张饼需要2分钟（正面、反面各1分钟）。问：煎2009张饼需几分钟？ 21．用一只平底锅煎饼，每次只能放两张饼，煎熟一只饼需要2分钟（煎熟正面反面各需要1分钟）．那么煎三只饼至少要几分钟？煎n（n≥2）只饼至少要几分钟？ 22．贴烧饼的时候，第一面需要烘3分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼。要贴3个烧饼至少需要几分钟？ 23．有66吨煤要从煤场运到发电厂，大卡车的载重量是5吨，耗油量是10升；小卡车的载重量是2吨，耗油量是5升．如果要使总耗油量最少，应该如何安排大小卡车． 24．设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，……。如此下去，当只有两个水龙头时，如何巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少？最少的时间是多少？ 25．小强、小明、小红和小蓉4个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿着手电筒过桥，并由1个人再将手电筒送回，再由2个人拿着手电筒过桥……直到4人都通过小木桥。已知，小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要分钟；小红单独过桥要2分钟；小蓉单独过桥要分钟。那么，4个人都通过小木桥，最少要多少分钟？ 26．社办厂生产两种产品：制造一公斤甲种产品要花1个劳动日，用原料5公斤．制造1公斤乙种产品要花2个劳动日，用与甲同样的原料3公斤．假如甲种产品每公斤利润为700元，乙种产品每公斤利润600元，并且社办厂只有750公斤原料，生产两种产品只允许花220个劳动日，试问：甲、乙两种产品各生产多少公斤时，才能使社办厂获利最大？ 27．车间内有5台机器同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次是15、8、29、7、10分钟．每台机器停产一分钟都将造成10元的经济损失．如何安排修复顺序，使经济损失最少？最少要损失多少元？ 28．A、B两个粮店分别有70吨和60吨大米，甲、乙、丙三个居民点分别需要30吨、40吨和50吨大米。从A，B两粮店每运1吨大米到三个居民点的运费如图所示：如何调运才能使运费最少？ 29．有十个村庄，坐落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水。可以用粗、细两种水管，粗管每千米7000元，细管每千米2000元。粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水，各村与县城间距离如下图所示（图中单位是千米），现要求按最节约的方法铺设，总费用是多少？ 30．有150个人要赶到90千米外的某地去执行任务．现有一辆中乘50人，时速为70千米的卡车．若这些人步行时速为10千米，请你设计一种乘车及步行的方案，使这150个人全部到达目的地所用的时间最少（上下车时间忽略不计）． 31．U2合唱团在17分钟 内得赶到演唱会场，途中必需跨过一座桥，四个人从桥的同一端出发，你得帮助他们到达另一端，天色很暗，而他们只有一只手电筒．一次同时最多可以有两人一起 过桥，而过桥的时候必须持有手电筒，所以就得有人把手电筒带来带去，来回桥两端．手电筒是不能用丢的方式来传递的．四个人的步行速度各不同，若两人同行则 以较慢者的速度为准．Bono需花1分钟过桥，Edge需花2分钟过桥，Adam需花5分钟过桥，Larry需花10分钟过桥．他们要如何在17分钟内过 桥呢？ 32．四（1）班的3个同学各拿一只水桶去接水，水龙头给3只桶注满水所需的时间分别是4分钟、3分钟、1分钟，现在只有1个水龙头可以接水，怎样安排能使他们总的等候时间最短？这个最短的时间是多少． 33．国际象棋比赛的奖金总数为10000元，发给前五名。每一名次的奖金都不一样，名次在前的钱数是比名次在后的钱数多，每份奖金钱数都是100元的整数倍。现在规定，第一名的钱数是第二、三名两人之和，第二名的钱数是第四、五名两人之和，那么第三名最多能得多少元？ 34．理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10，12，15，20和24分钟．怎样安排他们的理发顺序，才能使这五人理发的等候所用时间的总和最少？最少要用多少时间？ 35．学校举行乒乓球团体比赛,每班派出了3名运动员参赛．规定三场比赛至少两场获胜方为最终胜者．四(1)班按运动员的成绩好坏派出前三名甲、乙、丙,四(2)班按成绩好坏派出前3名A、B、C．两个班同一层次的同学水平比较接近．四(2)班想赢下这次比赛,应该怎样排兵布阵呢? 36．少先队一小队组织一次有趣的赛跑比赛，规则是从A点出发，跑到墙边，用手触摸墙壁，然后跑到B点．接着从B点再次跑到墙边用手触摸墙壁后，跑回C点，问如何选择最短路线以节省时间，请在图中标出来． 37．有5位探险家计划横穿沙漠．他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶315千米的汽油．显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的沙漠．于是，他们计划在保证其余车安全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠．当然，实现这一计划需要几辆车相互借用汽油（但不允许将汽油放在途中）．问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多远的沙漠？ 38．有大、中、小3个瓶子，最多分别可以装入水1000克，700克和300克．现在大瓶中装满水，希望通过水在3个瓶子间的流动使得中瓶和小瓶上标出100克水的刻度线，问最少要倒几次水. 39．早餐店炸油饼，油锅一次最多能炸2张饼，炸熟一张饼要4分钟（正反面各2分钟）．如果一个客人要9张饼，早餐店老板最快多少分钟可以把油饼给他？ 40．有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥。此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒塌。过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空。只有一个手电筒。4个人的行走速度不同：小强用1分钟就可以过桥，中强要2分钟，大强要5分钟，最慢的太强需要10分钟。17分钟后桥就要倒塌了。请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？ 41．一个小型物流公司有6个货站A、B、C、D、E、F，每个货站需要的装卸工人数分别为6、4、8、5、3、4人．公司有4辆汽车在这6个货站间进行循环运输，为了节省人力，装卸工人可以随车到各货站去，也可以固定在各站．公司应如何安排工作，才能使装卸工最少？装卸工最少需多少人？ 42．一个工厂有7个车间，分散在一条环形铁路上，三列火车循环运输产品。每个车间装卸货物所需工人数为25、18、27、10、20、15、30.若改为部分工人跟车，部分工人固定在车间，那么安排多少名装卸工，所用总人数最合理？ 43．小明骑在牛背上赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁4头牛。甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？ 44．暑假到了，一个由3个大人和4个孩子组成的家庭去某地旅游．甲旅行社的收费标准是：如果买4张全票，则其余人按半价优惠；乙旅行社的收费标准是：家庭旅游算团体票，按原价的75%优惠．这两家旅行社的原价是大人小孩均为全票，每人100元．如果你是这个家庭的一员，从所花费用的多少考虑，你建议选择哪家旅行社？为什么？ 45．小明在家的一面墙上贴奖状，一共有32张，给一张奖状涂满胶水需要2分钟，涂完胶水后要过2分钟才能往墙上贴，贴的过程需要1分钟，但是如果等待超过6分钟的话胶水就会干掉不能再贴，问：小明最快用多长时间能贴完所有的奖状？ 参考答案： 1．车站设在D点 【分析】本题可简化为“B，C，D，E，F处分别站着1，1，2，2，1个人（见下图），求一点，使所有人走到这一点的距离和最小”． 【详解】把人尽量靠拢，显然把人聚到D、E最合适，靠拢完的结果变成了D=4，E=3，最好是移动3个人而不要移动4个人．所以车站设在D点． 2．320千米 【分析】题目的要求是要其中一人走的更远，假设这个人是甲，他必须获得乙的帮助，也就是说乙的食物和水当中的一部分得分给甲，由此，我们可以设计出如下的一个方案： 由线段图可知，两人先从A走到C地，然后乙将自己的一部分水和食物给甲，将甲的补给加满，只留下够自己回去的食物和水就行，然后甲继续往前走到B地然后返回A． 现在问题的关键是C地究竟在什么位置？我们来分析一下乙的食物和水分成了几个部分，他自己用去了两个部分（A到C，C回A），还把甲给加满了，也就是甲从A到C耗费的那部分，总共三部分，而且还是相等的．24÷3=8，即从A到C用去了8天，那么甲总共用去了24+8=32天的水和食物，因为是往返，所以从A到B总共用去了32÷2=16天，每天走20千米，所以A，B两地相距20×16=320（千米）． 【详解】24÷3=8（天） 24+8=32（天） 32÷2=16（天） 20×16=320（千米） 答: 其中一人最远可以深入沙漠320千米 3．至少需要30分钟  最迟7时起床 【详解】略 4．按照如图方式调运，最小运价5900元 【分析】B地的5吨货物，必然要运往D，A处的8吨货物，运往D、F的运费相等，可以给D4吨，这样A还剩下4吨；现在的问题是C的6吨和A的4吨如何给F运5吨，然后剩下的运往E点。 【详解】C运往E的运费比运往F的运费要贵很多，所以把C处的货物尽可能运往F处，A处还能给F运1吨，剩下的3吨运往E处，这样运费最少； 如图所示： （元） 答：最小运价是5900元。 【点睛】本题考查的是地点统筹优化的问题，这里不仅要考虑运费，还要考虑销售地的销量。 5．（1）按B方案买票优惠，优惠300元    （2）按A方案买票优惠，优惠120元 【详解】（1）A方案 100×（5+10）=1500（元） B方案 120×5+60×10=1200（元）      1500＞1200    1500-1200=300（元） 答：按B方案买票优惠，优惠300元． （2）A方案 100×（12+3）=1500（元）   B方案 120×12+60×3=1620（元）    1500＜1620    1620-1500=120（元） 答：按A方案买票优惠，优惠120元． 6．C点 【分析】如果不考虑楼里坐车的人数，应该把车站设在中间的位置，而现在每栋楼的人数相同，所以不影响，还是要把车站放在中间位置。 【详解】要使得居民到达车站的距离之和最短，车站应该设在中间位置，也就是C点； 答：车站应该设在C点。 【点睛】本题考查的是地点统筹优化的问题，如果每个居民楼的人数不一样，那么就要具体考虑人数的影响了。 7．按照接水时间按从少到多顺序排列等候接水；最短时间是100分钟 【分析】第一个人接水时，包括他本人在内，共有6个人等候，第二个人接水时，有5个人等候； ……第6个人接水时，只有他1个人等候；可见，等候的人越多（一开始时），接水时间应当越短，这样总的等候时间才会最少，因此，应当把接水时间按从少到多顺序排列等候接水。 【详解】最短时间： ＝18＋20＋20＋18＋14＋10 ＝100（分钟） 答：按照接水时间按从少到多顺序排列等候接水；最短时间是100分钟。 【点睛】本题考查的是时间统筹优化问题，对于此类问题，要把时间最少的排在最前面。 8．（1）选 B 方案合算   （2）选A方案合算，优惠180元 【详解】（1）A 方案：（4+6) ×100=1000 (元) B 方案：130×4+70×6=940 (元） 940＜1000 选 B 方案合算． (2) A 方案：（8+2）× 100=1000 (元） B方案：130×8+70×2=1180 (元） 1180-1000=180 (元） 1000＜1180 选A方案合算，优惠180元． 9．北京调运汉口6台，调运重庆4台，上海调运汉口0台，调运重庆4台；7600元 【分析】北京调往重庆的运费远远大于调往汉口的运费，所以汉口所需要的6台全部从北京调往，北京余下的4台调往重庆，上海的4台全部调往重庆。 【详解】北京调往汉口6台，调往重庆4台，上海调往重庆4台； 答：北京调往汉口6台，调往重庆4台，上海调往重庆4台费用最少；最少运费7600元。 【点睛】由于北京和上海的全部计算机都调往两地，可以设北京调往汉口的数量为未知数，然后表示出调往其它各地的数量，表示出总运费，然后求出运费的最小值。 10．32分钟 【详解】2+30=32（分钟） 9+8+12=29（分钟） 答：最少要用32分钟． 11．从A点出发，经前面和右面到达B点，将这两个面摊开在平面上，这时A、B间的最短路程就是连接A、B两点的直线段．最短距离是5厘米． 【分析】由于小蚂蚁是在长方体的表面上爬行，所以要求立体图形上的最短路线，必须把立体图形的两个面展开在平面上．而在同一平面上，A、B间的最短路线是连接这两点的直线段．不过，在本题中，小蚂蚁可以通过前面和右面到达B点，也可以通过下面和右面到达B点，必须比较这两条直线段，取其中最短的直线段． 【详解】从A点出发，经前面和右面到达B点，将这两个面摊开在平面上，这时A、B间的最短路程就是连接A、B两点的直线段（如图6a所示）．从A点出发，经下面和右面到达B点，将这两个面摊开在平面上，连接A、B两点（如图6b所示）．比较这两条直线段的长度． 分析可得，图6a的线段要比图6b的线段稍短些，所以小蚂蚁应选择这条路线，此时路程的长度由勾股定理可得： 12．购买4张团体票和5张个人票最合算 【详解】方案一：购买团体票．（44+1）÷10=4（张）……5（人） 4+1=5（张）  15×5=75（元） 方案二：购买团体票和个人票． （44+1）÷10=4（张）……5（人） 4×15=60（元） 5×2=10（元）  10+60=70（元） 70＜75 购买4张团体票和5张个人票最合算． 13．6021分钟 【分析】首先很容易想到这样一种烙饼的方法，每次烙两张饼，正反两面共用6分钟，2007÷2=1003余1最后那张饼只能再用6分钟烙好，这样总共就用了6×1003+6=6024分钟．但是可以看出烙最后一张饼的时候对锅的利用不够充分，所以很有可能浪费了一部分时间． 我们可以先将两块饼同时放入锅内一起烙，3分钟后两块饼都熟了一面，这时取出一块，第二块翻个身，再放入第三块，又烙了3分钟，第二块已烙熟取出，第三块翻个身，再将第一块放入烙另一面，再烙3分钟，锅内两块饼均烙熟．这样烙3块饼，用去9分钟，所以烙2007块饼，至少用2007÷3×9＝6021（分钟）．这种方法保证了所有时间段都能充分的利用锅，不造成浪费． 因此这种方法是用时最短的． 【详解】2007÷3×9＝6021（分钟）． 答:至少需要6021分钟. 【点睛】如果是有2的倍数张饼，可以直接用第一种方式来操作，如果是一个3的倍数，可以直接用第二种方式，但是如果既不是2，又不是3的倍数（比如7张饼），我们可以把这样的数拆成一个2的倍数与一个3的倍数的和来操作，如7可以拆成4+3，4这一部分用第一种方式操作，3用第二种方式操作． 14．5号 【详解】解：我们采用尝试比较的方法来解答． 集中到1号场总费用为：1×200×10＋1×400×40＝18000（元） 集中到2号场总费用为：1×100×10＋1×400×30＝13000（元） 集中到3号场总费用为：1×100×20＋1×200×10＋1×400×10＝12000（元） 集中到4号场总费用为：1×100×30＋1×200×20＋1×400×10＝11000（元） 集中到5号场总费用为：1×100×40＋1×200×30＝10000（元） 经过比较，显然，集中到5号煤场费用最少． 答：集中到5号煤场费用最少． 15．第997个岗位处 【分析】1993名少先队员，要确定集合地点的话，比较麻烦，可以先考虑2名少先队员、3名少先队员这些较少的情况，寻找规律，然后再考虑1993名少先队员的情况。 【详解】 当只有2个人时，设2人宣传岗位分别为A1和A2（如上图），显然集合地点选在A1点或A2点或者A1A2之间的任何一个地点都可以。因为由A1、A2出发的人走过的路程总和都等于A1A2。 当有3个人时，则集合地点应该选在A2点（如上图）。因为若集合地点选在A1A2之间的B点，那时3个人所走的路程总和是A1B＋A2B＋A3B＝（A1B＋A3B）＋A2B＝A1A3＋A2B； 若集合地点选在A2A3之间的C点，那时3个人所走的路程总和是：A1C＋A2C＋A3C＝（A1C＋A3C）＋A2C＝A1A3＋A2C；而集合地点选在A2点时，3个人所走路程总和仅是A1A3。当然A1A3比A1A3＋A2B及A1A3＋A2C都小。 当有4个人时，由于集合地点无论选在A1A4之间的任何位置，对A1、A4岗位上的人来说，这2人走的路程和都是A1A4（如上图）。因此，集合地点的选取只影响A2、A3岗位上的人所走的路程，这就是说，问题转化为“2个人站在A2和A3岗位的情形”。根据上面已讨论的结论可知，集合地点应选在A2或A3或者A2A3之间任何地点。 当有5个人时，类似地可把问题转化为“3个人站在A2、A3、A4岗位的情形”（如下图）根据已讨论的结论可知，集合地点应选在A3点。 依此递推下去，我们就得到一个规律： 当有偶数（2n）个人时，集合地点应选在中间一段AnAn＋1之间的任何地点（包括An和An＋1点）； 当有奇数（2n＋1）个人时，集合地点应选在正中间岗位An＋1点。 本题有1993＝2×996＋1（奇数）个人，因此集合地点应选在从某一端数起第997个岗位处。 答：集合地点应选在从某一端数起第997个岗位处。 【点睛】本题考查的是位置统筹优化的问题，可以通过归纳法求解，归纳法实质上就是发现并总结规律，然后应用规律求解问题。 16．2厘米 【详解】设截成36厘米和24厘米两种型号的短管分别是x根和y根，则可以看方程36x+24y="374" 是否有解．由于36、24均能被4整除，374被4除余2，所以此方程无整数解． 若剩余部分最少是2厘米，则列方程36x+24y=372 即 3x+2y=31    当x=1时，y=14． 因此可以截成1根36厘米和14根24厘米两种型号的铝管，此时剩余部分最少为2厘米． 17．：租9辆大车，1辆小车最省钱，需要7700元 【详解】大车：800÷45=17（元）……35（元）小车：500÷25=20（元） 大车更便宜，尽量租用大车．（400+30）÷45=9（辆）……25（人），余下的25人正好再租1辆小车． 800×9+500=7700（元） 答：租9辆大车，1辆小车最省钱，需要7700元． 18．（1）一人修17、20、30，另一人修18、25 ；最少的经济损失为： 910元 （2）一人修需18，17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短为55分钟． 【分析】怎样安排才能使经济损失最少，必须等待的时间少，那么我们应该把时间短的放在前面，并且使两名修理工的工作时间尽量接近． 【详解】（1）一人修17、20、30，另一人修18、25 ；最少的经济损失为：5×（17×3+20×2+30+18×2+25）=910（元）． （2）因为（18＋30＋17＋25＋20）÷2=55（分），一人修需18，17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短为55分钟． 19．最少75根；见详解 【分析】要确保使用的竹竿最少，就要尽可能地利用原材料，10尺长的竹竿可以分成3尺、3尺、4尺，这样无剩余，也可以分成3尺、3尺、3尺，这样剩余1尺，也可以分成4尺、4尺，剩余2尺，然后合理进行组合，得到甲、乙两种短竹竿各100根。 【详解】分析不难想到有三种截法省料： 截法1：截成3尺、3尺、4尺三段，无残料； 截法2：截成3尺、3尺、3尺三段，残料1尺； 截法3：截成4尺、4尺两段，残料2尺； 由于截法1最理想（无残料），因此应该充分应用截法1，考虑用原材料50根，可以截成100根3尺长的短竹竿，而4尺长的仅有50根，还差50根； 于是再应用截法3，截原材料25根，可以得到4尺长的短竹竿50根，留下残料2×25＝50（尺） 50＋25＝75（根） 答：至少要用去原材料75根。 【点睛】本题考查的是最值问题，需要合理地进行统筹优化，进行对比分析，找出最优解。 20．2009分钟 【分析】煎2张饼最少需要2分钟，第一分钟煎2张饼的正面，第二分钟煎2张饼的反面；煎3张饼最少需要3分钟，第一分钟煎2张饼的正面，第二分钟煎第一张饼的反面和第三张饼的正面，第三分钟；煎第二张饼的反面和第三张饼的反面；考虑把2009张饼分成若干个2和3进行求解。 【详解】煎2张饼最少需要2分钟，煎3张饼最少需要3分钟； 需要1003个2分钟和1个3分钟； 答：煎2009张饼需2009分钟。 【点睛】本题考查的是时间的统筹优化问题，当并的数量大于1时，经过合理安排，n张饼至少需要n分钟。 21．煎三只饼至少要3分钟，煎n（n≥2）只饼至少要n分钟 【分析】煎三只饼若是一只一只地煎，要6分钟；但是每次可以放两只饼，可以同时煎熟两种饼，现煎第三只饼，这样共需要4分钟，但是这两种策略都不是最佳策略． 【详解】煎三只饼至少需要三分钟．因为，第一次煎两个饼，一分钟后两个饼都熟了一面，此时将第二只取出，第一只翻个面，再放入第三只．又煎了一分钟，第一只煎好取出，第三只翻个面，再将第二只放入，再煎一分钟，全部煎熟了。煎n只饼，需要n分钟．因为，当n是偶数时，每煎两个需要2分钟，可以两只两只地煎；当n是奇数时，也可以两只两只地煎，直到最后剩下三只饼时采用上面的方法就可以了． 22．8分钟 【分析】在架子上同时放两个烧饼，烘3分钟后，把第一个翻过来，拿下第二个，再放上去第三个，过2分钟去下第一个，再过1分钟，把第三个翻过来，再把第二个放上去，过2分钟全部取下，把所用时间加起来即可。 【详解】3＋2＋1＋2＝8（分钟） 答：至少需要8分钟。 【点睛】根据“烙三张饼的最佳方法”解答。 23．可以派遣12辆大卡车和3辆小卡车或13辆大卡车和1辆小卡车，总耗油量最少为135升． 【详解】如果是10吨的重量，大卡车要耗油20升，而小卡车要耗油25升．所以应该尽量安排大卡车，对于最后剩下的6吨，可以有三种方案： （1）两辆大卡车，则耗油20升； （2）一辆大卡车和一辆小卡车，则耗油15升； （3）三辆小卡车，则耗油15升． 综上所述，可以派遣12辆大卡车和3辆小卡车或13辆大卡车和1辆小卡车，总耗油量最少为135升． 24．最少时间125分钟；见详解 【分析】如果是1个水龙头，那么就按照所需时间多少进行排序即可，而两个水龙头，其实是一样的，也是按照各自所需时间的多少排序。 【详解】第一个水龙头先安排1号，同时第二个水龙头先安排2号； 那么1号先接完水，这样把3号安排给第一个水龙头，同理，哪个水龙头先空出来，就把时间较少的人排上去； 第一个水龙头依次是1、3、5、7、9打水； 第二个水龙头依次是2、4、6、8、10打水； 总时间： ＝3×5＋7×4＋11×3＋15×2＋19 ＝15＋28＋33＋30＋19 ＝125（分钟） 答：最少时间是125分钟。 【点睛】本题考查的是时间统筹优化的问题，始终遵循所需时间少的排在前面，所需时间多的排在后面。 25．分钟 【分析】要想用最少的时间，4人都通过小木桥，可采用让过桥最快的小强往返走，将手电筒送回，这样就能保证时间最短了。 【详解】第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用：（分钟）； 第二步：返回原地的小强与小红过桥后再返回，共用了（分钟）； 第三步：最后小强与小蓉一起过桥用了分钟； 所以，4个人都通过小木桥，最少用（分钟） 答：最少要8分钟。 【点睛】本题考查的是时间的统筹优化问题，对于这种需要一个人往返接送的问题，这个人尽量选消耗时间短的一个人。 26．甲生产120公斤，乙生产50公斤时，获得的利润最大，最大的利润是114000元． 【详解】假设生产甲种产品x公斤，为了获得最大的利润，必须充分利用劳动日和原料，从而乙种产品必定生产公斤．由于劳动日为220天，从而有，解这个方程可得x=120（公斤），从而；即甲产品要生产120公斤，乙产品要生产50公斤时，获得的利润最大，最大的利润是700×120+600×50=84000+3000=114000（元）． 27．先修复修复时间短的．最少的经济损失为1560元 【分析】如果先修所需修复时间长的机器，而让修复时间短的机器等待无疑将造成较大的经济损失． 【详解】最佳方案是先修复修复时间短的，让其尽快投入生产，减少经济损失．这样总的修复时间为7×5+8×4+10×3+15×2+29=35+32+30+30+29=156（分），而最少的经济损失为10×156=1560（元）． 28．元 【分析】观察发现，A、B运往乙地的运费差距最大，所以A粮店的大米应尽可能多地供应乙，即A供应乙40吨；然后是A、B运往丙地的运费差距大于运往甲地的运费差，所以A粮店剩下的30吨应全部供应丙；此时A粮店的的大米已分配完，其余的由B粮店供应，即B供应甲30吨，供应丙20吨。 【详解】A运往乙40吨，运往丙30吨，B运往丙20吨，运往甲 30吨； 运费： （元） 答：运费最少为560元。 【点睛】由于A运往甲、乙、丙三地的运费都要低于B，所以A的粮食肯定是运完的，那么B只需要50吨，然后再进行求解。 29．元 【分析】由于细管相对于粗管来讲，价钱要少一些，因此先假设都用细管，那么从县城到A10村要铺设10根细管，A1村到A2村要铺设9根细管，依此类推；因为粗管每千米7000元，细管每千米2000元，所以4根细管的价钱将大于1根粗管的价钱，这样一来，凡是超过3根细管的路段，都应改铺粗管。 【详解】从县城铺设粗管到A7，然后从A7用细管连接A8、A9、A10； ＝7000×48＋2000×15 ＝336000＋30000 ＝366000（元） 答：总费用最少是366000元。 【点睛】本题考查的是统筹优化的问题，虽然细管单价更低，但长度更长，所以要综合单价和长度的影响。 30．步行30千米，乘车60千米所用时间最少，为小时 【分析】由于卡车只能运送50个人，若将这50个人从起点送到终点，其他人步行到终点，这和150个人步行到终点所用的时间相同（全部到达时间）汽车没有起到省时间的作用．因此汽车应该把50个人送至某一点后，返回去接另外50个人，如此往返．另外不乘车的人也应步行前进．总之：车要不停地开，人要不停地走，最大限度地利用人力和物力．为了省时间，应该同时出发同时到达．由于卡车车座的限制，应将150个人平均分成3组，每组50个人．同时为了保证同时到达，每组乘车走的路程必须相同，步行也必须相同．所以一题的关键是每组要乘车走多少路，步行走多少路． 【详解】将150个人平均分成三组，每组50个人，为了使这三组人数到达目的地所用的时间最少，必须使每一组人都步行相同的路程，乘车相同的路． 如图所示，设每组步行x千米，则乘车（90-x）千米．卡车送完第一组走完（90-x0）千米后返回来接第二组，与第二组相遇时第二组走了千米，此时汽车走了．由于他们所用的时间相等，根据时间=路程÷速度，可列方程得，解得x=30（千米），即最省时间的方案是步行30千米，乘车60千米．所用的时间为． 31．2＋1先过 然后1回来送手电筒   5＋10再过 2回来送手电筒 2＋1过去 总共2＋1＋10＋2＋2＝17分钟 【详解】2＋1先过，然后1回来送手电筒． 5＋10再过，2回来送手电筒， 2＋1过去． 总共2＋1＋10＋2＋2＝17分钟． 32．安排用时1分钟的同学先打水，然后用时3分钟的同学打水，最后用时4分钟的同学打水能使他们总的等候时间最短；这个最短的时间是13分钟． 【分析】要求三人等待时间的总和最短，那么只要先接水的人用的时间越少，后面的等待的人等待时间就少，等待的人越少，等待时间之和就少，因此得解． 【详解】先让1分钟的那个打水，别人等待； 1分钟后：让3分钟的人打水，剩下的人等待； 4分钟后：让4分钟的人打水； 8分钟后：全部完毕． 总的等待时间： 1分钟的人打水时，大家都在等，1+1+1=3（分钟）， 3分钟的人打水时，一个人在等，3+3=6（分钟）， 4分钟的人打水时，没人等，4分钟； 相加：3+6+4=13（分钟）； 答：安排用时1分钟的同学先打水，然后用时3分钟的同学打水，最后用时4分钟的同学打水能使他们总的等候时间最短；这个最短的时间是13分钟． 33．1700元 【分析】把10000元看成100个100元，总奖金数就成了整数100，前5名的奖金数设第一名，第二名，第三名，第四名，第五名。也都成了整数。题的条件是：①；②；③，把②、③代入①得只剩下含和的项：，又因为，所以④，可见，从而是偶数且，最小是22。当代入④时，最大。所以第三名最多能得元。 【详解】把10000元看成100个100元，前5名的奖金数设第一名，第二名，第三名，第四名，第五名。 可得：①；②；③， 把②、③代入①得：， 又因为，所以④，可得，， 所以：是偶数且，最小是22， 当代入④时，最大， ，就是第三名最多能得1700元。 答：第三名最多能得1700元。 故答案为：1700元 【点睛】设出各名次所得的奖金的未知数，根据他们之间的数量关系列出等式，然后依次代换切入，一步步求解。 34．甲先给需10分钟的人理发，然后15分钟的，最后24分钟的；乙先给需12分钟的人理发，然后20分钟的．      128分 【详解】甲给需10分钟的人理发时，有2人等待，占用三人的时间和为（10×3）分；然后，甲给需 15分钟的人理发，有1人等待，占用两人的时间和为（15×2）分；最后，甲给需 24分钟的人理发，无人等待．甲理发的三个人，共用（10×3＋15×2＋24）分，乙理发的两个人，共用（12×2＋20）分．总的占用时间为（10×3＋15×2＋24）＋（12×2＋20）=128（分） 35．A—乙,B—丙,C—甲 【详解】略 36．见详解． 【详解】解法一：如图所示： 作点B关于墙线的对称点，连接交墙线于点D，连接交墙线于点E，连接DB，BE，则最短路线即为AD+DB+BE+EC． 解法二：分别作点A、C关于墙线的对称点，连接，分别交墙于点D、E连接，AD、EC．则最短路线即为AD+DB+BE+EC． 37．525千米 【详解】如下图所示，5辆车从A点一起出发，到B点时第1辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余4辆车，注意，B点的最佳选择应满足刚好使这4辆车全部加满汽油；剩下的4辆车继续前进，到C点时第2辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余3辆车，使它们刚好加满汽油；剩下的3辆车继续前进……到E点时，第4辆车留下返回A点的汽油，剩下的汽油转给第5辆车．此时，第5辆车是加满汽油的，还能向前行驶315千米． 5辆车到达B点时，第1辆车要把另外4辆车消耗掉的汽油补上，加上自己往返AB的汽油，所以应把行驶315千米的汽油分成6份，2份供自己往返AB，4份给另外4辆车每辆加1份，刚好使这4辆车都加满汽油．AB长为：315÷6=52.5（千米）； 4辆车从B点继续前进，到达C点时，4辆车共消耗掉4份（BC）汽油，再加上第2辆车从C经B返回A，所以第2辆车是把汽油分成：5份BC+1份AB=315（千米），由上可知6份AB=315（千米），所以AB=BC，也就是说第2辆车仍是把汽油分成6份，3份供自己从B到C，再从C返回A，3份给另外3辆车加满汽油，由此知BC长也是52.5千米． 同理，CD=DE=52.5（千米）． 所以第5辆车最远能行驶52.5×4+315=525（千米）． 38．6次 【详解】通过对三个数字的分析，我们发现700-300-300=100，是计算步数最少的得到100的方法．而由于我们每计算一步就相当于倒一次水，所以倒水最少的方案应该是： （1）大瓶往中瓶中倒满水． （2）中瓶往小瓶中倒满水，这时中瓶中还剩下400克水． （3）小瓶中水倒回大瓶． （4）中瓶再往小瓶中倒满水，这时中瓶中只剩下100克水，标记． （5）小瓶中水倒回大瓶． （6）中瓶中100水倒入小瓶，标记．所以最少要倒6次水． 39．18分钟 【分析】9÷2=4（组）…1（个），最后一次只烙1张饼，浪费了时间． 所以先炸6张饼，剩下的3张饼可以这样炸：先炸两张的正面；炸熟后拿出第一张，放入第三张，炸第二张的反面和第三张的正面；炸熟后第二张就熟了，再炸第一张和第三张的反面；据此解答． 【详解】先炸前6张饼，需要4×3=12（分）； 剩下的3张，假设为①、②、③； 第一次：放①的正面和②的正面， 第二次：放①的反面和③的正面， 第三次：放②的反面和③的反面， 共用3×2=6（分）， 所以一共需要：12+6=18（分）． 答：早餐店老板最快18分钟可以把油饼给他． 40．见详解 【分析】由于这4个人要尽快过桥，但是每次最多过2人，那么来回跑，送手电筒这个任务必须是小强和中强的，并且要让大强跟太强一起过桥，这样节约时间。 【详解】小强和中强先过桥，用2分钟； 再用小强把电筒送过去，用1分钟，现在由大强跟太强一起过桥，用10分钟； 过去以后叫中强把电筒送给小强用2分钟，最后小强与中强一起过河再用2分钟； 他们一起用时间： 2＋1＋10＋2＋2＝17（分钟），正好在桥倒塌的时候全部过河。 【点睛】时间最短过河的原则是：时间长的一起过，时间短的来回过，这样保证总的时间是最短的。 41．23是所需的最少装卸工人数．具体安排如下：在C、A、D站分别安排4、2、1个固定工人，每车再安排4个工人随车流动到各站. 【详解】当方案有限时，枚举是找到最优方案的有效途径．枚举也要进行必要的分析，在尽可能小的范围内枚举，少做无用功． 42．人 【分析】如果车上不跟人，各车间所需人数和即为总人数；可以求出每列车上跟1人、2人、3人等，所需要的总人数的变化规律，然后找出每列车上跟多少人时所需的总人数最少。 【详解】如果车上不跟人，各车间所需人数和为：（人） 如果每列车上跟1人，共多3人；每个车间可少1人，共少7人，多3少7，可减少4人； 每列车上跟10人，总人数可减少40人； 从11至15，列车上每增加1人，总人数可减少3人； 从16至18，列车上每增加1人，总人数可减少2人； 从19至20，列车上每增加1人，总人数可减少1人； 21增3减3无意义； 总人数为 （人）最少； 答：安排82名装卸工，所用总人数最合理，其中60人跟车。 【点睛】本题考查的调运中的统筹优化问题，可以用逐步调整的思想求解。 43．分钟 【分析】首先要确定赶牛的顺序，小明把牛赶到对岸还要回来，所以要选跑得快的牛来回走。 【详解】要想用最少的时间，4头牛都能过河，保证时间最短： 第一步：甲与乙一起过河，并由小明骑甲牛返回，共用：（分钟）； 第二步：返回原地的小明再骑丙与丁过河后再骑乙牛返回，共用了（分钟）； 第三步：最后小明骑甲与乙一起过河用了2分钟； 所以，小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用（分钟）。 答：最小要用13分钟。 【点睛】本题考查的是统筹优化的问题，确定过河顺序是求解问题的关键。 44．解：（1）甲旅行社： 4×100+3×100×50% =400+150， =550（元）； 乙旅行社： （4+3）×100×75% =7×100×75%， =525（元）； 525元＜550元，所以选择乙旅行社花费较少． 答：这个家庭选择乙旅行社所花的费用少． 【详解】最优化问题 根据这个家庭的人数按照两家旅行社的优惠方案分别进行计算即能得出去哪家旅行社花费最少： 甲旅行社：如果买4张全票，则其余人按半价优惠．4×100+3×100×50%=550元； 乙旅行社：家庭旅游算团体票，按原价的75%优惠．（7+3）×100×75%=525元； 525元＜550元，所以应去乙旅行社． 45．96分钟 【分析】如果不想浪费时间，那就需要充分利用时间，如果涂一张，等2分钟，再往墙上贴，再涂，再等待，再贴在墙上，这样肯定是浪费时间的；我们完全可以在涂完胶水后的2分钟时间里继续涂，但不能超过6分钟，注意可以等于6分钟。 【详解】先涂第一张然后涂，然后涂，这时候等待了4分钟马上贴上； 再涂一张马上贴上已经等待了5分钟的； 再涂一张贴上已经等待6分钟的； 这样一直下去，会使每一张奖状花费的时间就只有涂的2分钟和贴的1分钟，也就是完成一张需要3分钟； 那么总时间是96分钟； 答：小明最快用96分钟能贴完所有的奖状。 【点睛】本题考查的是时间的统筹优化问题，要使得所用时间最短，首先就要保证不能浪费时间。 学科网（北京）股份有限公司 $$