小升初典型奥数：比例问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学通用版

比例问题 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 一．比的应用 【知识点归纳】 1．按比例分配问题的解题方法： （1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤： a．求出总份数； b．求出每一份是多少； c．求出各部分相应的具体数量． （2）转化成份数乘法来解答．解题步骤： a．先根据比求出总份数； b．再求出各部分量占总量的几分之几； c．求出各部分的数量． 2．按比例分配问题常用解题方法的应用： （1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量； （2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量． 二．正、反比例 【知识点归纳】 1．正比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的比值一定，正比例关系可以用式子表示为：y＝kx． 2．反比例的意义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系．如果用字母x和y表示这两种相关联的量，用k表示它们的乘积一定，反比例的关系可以表示为：xy＝k． 三．按比例分配 【知识点归纳】 1．按比例分配定义： 在工农业生产和日常生活中，常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配．这种分配方法通常叫做按比例分配． 2．解题方法： （1）求总份数 （2）想各部分占总数量的几分之几 （3）用分数乘法求出各部分是多少． 四．按比例分配应用题 把一个数按一定的比（或连比）分成若干部分，叫做按比例分配． 解答这类题的方法是：把一个总数A分成几部分，使顺次与几个已知数的连比成正比例关系，只要求出总份数，然后，把A分别乘以各部分量所占总量的几分之几，或者求出总份数后，再求平均每份是多少，然后，按照各个量所占的份数，求出几份是多少． 第二部分 典型例题 例题1：甲、乙两人分别从A、B两地相向而行，甲行了全程的，正好与乙相遇，已知甲每小时行4.5千米，乙行完全程要5.5小时，求A、B两地相距多少千米？ 【答案】29.7千米 【分析】因为两车行驶的时间一定，所以速度与路程成正比例，根据甲、乙路程比，可推知速度比及所用时间比，根据甲行了全程的，可以求出甲行了全程1-=、甲与乙的速度比为5:6.再根据“距离相同，速度比=时间的反比”．最后可求甲行完全程所用的时间5.5×=6.6小时，再根据“速度×时间=距离”可得A、B两地相距6.6×4.5=29.7千米． 【详解】甲路程：乙路程=:（1-）=5:6 甲速度：乙速度=5:6 甲、乙两人走完全程所用的时间比：6:5 走完全程甲所用的时间为5.5×=6.6 A、B两地相距：6.6×4.5=29.7（千米） 答：A、B两地相距29.7千米． 例题2：甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，甲车每小时行56千米，乙车每小时行40千米．当乙车行至全程的时，甲车已超过中点12千米，A、B两地相距多少千米？ 【答案】200千米 【分析】因为两车行驶的时间一定，所以速度与路程成正比例，根据甲、乙速度比，可推知路程比，根据乙行了全程的，可以求出甲行了全程的几分之几，再根据甲车超过中点12千米，即与全程的的差是12千米．最后可求出A、B两地相距多少千米． 【详解】甲车速度：乙车速度=56:40=7:5 甲车路程：乙车路程=7:5 甲行的路程：×= 全程：12÷（－）=200（千米） 答：A、B两地相距200千米． 例题3：甲、乙、丙三个班的学生一起去郊外活动，他们租了一辆大巴，已知学生步行的速度为5千米/小时，大巴车的行驶速度为55千米/小时，出发地到终点之间的距离为8千米，但大巴只够一个班的学生坐，于是他们计划先让甲班的学生坐大巴，乙、丙两班的学生步行，甲班学生搭乘大巴一段路后，下车步行，然后大巴车回头去接乙班学生，并追赶上步行的甲班学生，再回头载上丙班学生后一直驶到终点，如果三个班的学生同时到达，求这些学生到达终点一共所花的时间． 【答案】小时 【详解】关键是找到步行距离、汽车行驶距离、总路程之间的比例关系．由于题目条件只涉及速度和总路程，所以如果要求出时间必须首先将速度和路程对应起来，即明确学生或者大巴车的行程路段，因此我们应该画出整个行程过程的线段示意图． 如图所示：虚线为学生步行部分，实线为大巴车行驶路段，由于大巴车的速度是学生的11倍，所以大巴车第一次折返点D到出发点A的距离是乙班学生搭车前步行距离AB的（11+1）÷2=6倍，如果将乙班学生搭车前步行距离AB看作是一份的话，大巴车第一次折返点到出发点的距离AD为6份，大巴车第一次折返点D到接到乙班学生B又行驶了5份距离，同样的大巴车在B点接到乙班学生到在E点追上甲班学生所走的路程也应该是6份距离，而从E点回来到C点接到丙班的距离为5份，大巴车从C点到终点F的距离为6份，这样大巴车一共行驶了6+5+6+5+6=28份距离，而A到F的总距离为6-5+6-5+6=8份，所以大巴车一共行驶了8÷8×28=28（千米），所花的总时间为28÷55=小时． 例题4：甲乙两车分别从A，B两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是5∶4，相遇后，甲的速度减少20％，乙的速度增加20％，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。问：A，B两地相距多少千米？ 【答案】450千米 【分析】甲、乙原来的速度比是5∶4，相遇后的速度比是：[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）]＝4∶4.8＝5∶6。相遇时，甲、乙分别走了全程的和。设全程x千米，剩下的部分甲行的长度和乙行的长度之比为5：6，其中相遇后甲行驶了全长的，所以乙行驶了全长的，所以乙一共行了全长，还剩1－＝没有走，所以A、B全长为450千米。 【详解】[5×（1－20％）]∶[4×（1＋20％）] ＝[5×0.8]∶[4×1.2] ＝4∶4.8 ＝5∶6 1－＝ 10÷＝450（千米） 答：A，B两地相距450千米。 【点睛】关键是确定相遇后的速度比，综合运用所学知识。 第三部分 高频真题 1．甲、乙二人步行远足旅游，甲出发后1小时，乙从同地同路同向出发，步行2小时到达甲于45分钟前曾到过的地方。此后乙每小时多行500米，经过3小时追上速度保持不变的甲。甲每小时行多少米？ 2．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向而行，甲行到全程的 的地方与乙相遇．甲每小时行30千米，乙行完全程需7小时．求A、B两地之间的路程． 3．甲本月收入的钱数是乙收入的，甲本月支出的钱数是乙支出的，甲节余240元，乙节余480元．甲本月收入多少元？ 4．甲乙两人植树，单独植完这批树，甲比乙所需时间多，如果两人一起干，完成任务时乙比甲多植36棵，这批树一共多少棵？ 5．某水果批发市场存放的苹果与桃子的吨数的比是，第一天售出苹果的，售出桃子的吨数与所剩桃子的吨数的比是；第二天售出苹果吨，桃子吨，这样一来，所剩苹果的吨数是所剩桃子吨数的，问原有苹果和桃子各有多少吨？ 6．有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子，甲与乙长度的比是6:5，甲钉子的钉入墙内，甲与丙钉入墙内的部分之比5:4，而它们留在墙外的部分一样长.问：甲、乙、丙的长度之比是多少？ 7．航模一班和航模二班的人数比为8∶7，如果将航模一班的8名同学调到航模二班去，那么航模一班与航模二班人数比为4∶5，原来这两班各有多少人？ 8．客车和货车同时从A、B两地相对开出，货车的速度是客车的．两车在离两地中点30千米处相遇．A、B两地相距多少千米？ 9．一个水箱，用甲、乙、丙三个水管往里注水。若只开甲、丙两管，甲管注入18吨水时，水箱已满；若只开乙、丙两管，乙管注入27吨水时，水箱才满。又知，乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。则该水箱最多可容纳多少吨水？ 10．一个周长是厘米的大长方形，按图⑴与图⑵所示意那样，划分为四个小长方形。在图⑴中小长方形面积的比是，。而在图⑵中相应的比例是，。又知长方形的宽减去的宽所得到的差与的长减去的长所得到差之比为。求大长方形的面积。 （1） （2） 11．如下图，ABCD是一个梯形，E是AD的中点，直线CE把梯形分成甲、乙两部分，它们的面积之比是10∶7. 求上底AB与下底CD的长度之比. 12．甲、乙两人同时分别从A、B两地出发相向而行，他俩相遇后经过5分钟，甲抵达B点，已知甲的速度是乙的速度的2倍，那么甲到达B后还要经过多长时间，乙才能到达A点？ 13．学校四五六年级共有615名学生，已知六年级学生的，等于五年级学生的，等于四年级学生的．这三个年级各有多少名学生？ 14．小王、小明、小军春游结束后，三人从学校合乘一辆出租车回家．三人商定，出租车费要合理分摊．小王在全程的处下车，小明在全程的处下车，小军在终点下车，车费共46元．请你设计三人车费的分摊方案． 15．一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作小时，共完成这批零件的。已知甲与乙的工作效率之比是，那么乙还要几小时才能完成分配的任务？ 16．小明和小强原有的图画纸之比是4∶3，小明又买来15张.小强用掉了8张，现有的图画纸之比是5∶2.问原来两人各有多少张图画纸？ 17．如图，三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，，，，乙部分面积是甲部分面积的几倍？ 18．甲、乙两人在10年前的年龄比为2:3，现在他俩的年龄比为3:4，那么10年后他俩的年龄比为多少？ 19．北京中学生运动会男女运动员比例为，组委会决定增加女子艺术体操项目，这样男女运动员比例变为；后来又决定增加男子象棋项目，男女比例变为，已知男子象棋项目运动员比女子艺术体操运动员多人，则总运动员人数为多少？ 20．有两块地共90公亩，第一块地的和第二块地的种茄子，两块地余下的共45公亩种西红柿．求第一块地有多少公亩？ 21．如图，已知，，与相交于点,则被分成的部分面积各占 面积的几分之几？ 22．甲、乙两个工地上原来水泥袋数的比是2：1，甲地用去125袋后，甲、乙两工地水泥袋数的比为3：4，甲、乙两工地原有水泥多少袋？ 23．甲、乙两项工程分别由一、二队来完成。在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降，二队的工作效率要下降。结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？ 24．某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件，买 1件按定价，买2件降价 10％，买 3件降价 20％.最后结算，平均每件恰好按原定价的 85％出售，那么买3件的顾客有多少人？ 25．有10根大小相同的进水管给、两个水池注水，原计划用4根进水管给水池注水，其余6根给水池注水，那么5小时可同时注满。因为发现水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满。 （1）如果用10根进水管给漏水的水池注水，需要多少分钟注满？ （2）如果增加4根同样的进水管，水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟？（结果四舍五入到个位） 26．一把小刀售价元．如果小明买了这把小刀，那么小明与小强剩余的钱数之比是；如果小强买了这把小刀，那么两人剩余的钱数之比变为．小明原来有多少钱？ 27．甲、乙两仓库共存粮600吨，甲仓库的存粮比乙仓库少，求甲、乙两仓库各存粮多少吨？ 28．一列货车和一列客车同时从甲乙两地相向开出，已知客车的速度是货车的速度的，两车相遇时，客车比货车少行8千米．求甲、乙两地间的距离． 29．甲班与乙班学生同时从学校出发去15千米外的公园游玩，甲、乙两班的步行的速度都是每小时4千米．学校有一辆汽车，它的速度是每小时48千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生．为了使两班学生在最短时间内到达公园，那么甲班学生与乙班学生需要步行的距离是多少千米？ 30．大巴和轿车都从A地出发驶向B地，大巴与轿车的速度之比为5∶6。大巴比轿车早出发18分钟，但在AB的中点C处停留了8分钟，轿车则不停的驶向B地。如果大巴和轿车的速度都不变，大巴将比轿车晚2分钟到达B地。 （1）轿车出发多少分钟后追上大巴？ （2）如果轿车追上大巴后，速度增加，且轿车到达B地后立即原路返回A地，当轿车再次与大巴相遇时，大巴已经行驶了全程的几分之几？ 31．一辆车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，可以比原定时间提前1小时到达；如果原速行驶100千米后，再将车速提高30%，也比原定时间提前1小时到达，求甲、乙两地距离． 32．某学校入学考试，参加的男生与女生人数之比是． 结果录取91人，其中男生与女生人数之比是．未被录取的学生中，男生与女生人数之比是． 问报考的共有多少人？ 33．加工某种零件，甲分钟加工个，乙分钟加工个，丙分钟加工个．现在三人在同样的时间内一共加工个零件．问：甲、乙、丙三人各加工多少个零件? 34．甲火车4分行进的路程等于乙火车 5分行进的路程．乙火车上午8：00从B站开往A站，开出若干分后，甲火车从A站出发开往B站．上午9：00两列火车相遇，相遇的地点离A、B两站的距离的比是15∶16．甲火车从A站发车的时间是几点几分？ 35．某工地用种型号的卡车运送土方．已知甲、乙、丙三种卡车载重量之比为 ，速度比为，运送土方的路程之比为 ，三种车的辆数之比为。工程开始时，乙、丙两种车全部投入运输，但甲种车只有一半投入，直到 天后，另一半甲种车才投入工作，一共干了天完成任务。那么，甲种车完成的工作量与总工作量之比是多少？ 36．在下降的电梯中称重，显示的重量比实际体重减少；在上升的电梯中称重，显示的重量比实际体重增加．小明在下降的电梯中与小刚在上升的电梯中称得的体重相同，小明和小刚实际体重的比是？ 37．小明沿着向上移动的自动扶梯从顶向下走到底，他走了150级，他的同学小刚沿着自动扶梯从底向上走到顶，走了75级，如果小明行走的速度是小刚的3倍，那么可以看到的自动扶梯的级数是多少？ 38．一位牧羊人赶着一群羊去放牧，跑出一只公羊后，他数了数羊的只数，发现剩下的羊中，公羊与母羊的只数比是9∶7；过了一会跑走的公羊又回到了羊群，却又跑走了一只母羊，牧羊人又数了数羊的只数，发现公羊与母羊的只数比是7∶5．这群羊原来有多少只？ 39．商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下．如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍，则当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级． 40．王晓峰的书架有上、中、下三层．上层存书本数与存书总数的比是5：21．如果从下层拿18本书放到上层，则每层书架的存书本数相等．这个书架共有存书多少本？ 41．甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上乙．甲和丙的速度比是多少？ 42．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度为60千米/时，乙的速度为50千米/时。如图，点O是AB的中点，距离O点35千米处是C地，距离O点15千米处是D地，甲从D地开始减速，速度减少，乙从C地开始加速，速度增加20%。若两人同时到达目的地，求A、B两地的距离。 43．甲、乙、丙三种糖果每千克价分别是22元、30元、33元.某人买这三种糖果，在每种糖果上所花钱数一样多，问他买的这些糖果每千克的平均价是多少元？ 44．A、B两地间有一座桥，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，3小时后在桥上相遇．如果甲加快速度，每小时多行2千米，而乙提前0.5小时出发，则仍旧在桥上相遇．如果甲延迟0.5小时出发，乙每小时少走2千米，还会在桥上相遇，则A、B两地相距多少千米？ 45．总路程是50千米，上坡、平路、下坡的路程比为1：2：3，行各段的时间比4：5：6，上坡速度是3km/h，求行完全程的时间． 46．一块长方形铁板，宽是长的．从宽边截去厘米，长边截去以后，得到一块正方形铁板．问原来长方形铁板的长是多少厘米？ 47．一架飞机所加的油最多能够航行9小时，某天这架飞机要外出执行任务，去时顺风，每小时能飞900千米，返回时逆风每小时能飞行720千米，问飞机最多飞出多少千米就必须返航才能安全回家？ 48．大、小两瓶油共重2.7千克．小瓶用0.3千克后，大瓶油与小瓶油剩下的重量比是2：1．小瓶原来有油多少千克？ 49．李华每天上学步行5分钟以后，跑步2分钟恰好到校．有一天，他步行了2分钟就开始跑步，结果早到了1分40秒，他跑步的速度是步行速度的多少倍？ 参考答案： 1．4000米 【分析】乙加速之前步行2小时的路程等于甲步行2.25小时的路程，得到甲、乙速度之比2︰2.25，乙的速度是甲的速度的1.125倍；加速之后乙加速之后步行3小时的路程等于甲步行3.75小时的路程，甲乙速度比为3︰3.75，乙的速度是甲的速度的1.25倍，由于乙加速后每小时多走500米，所以甲的速度为500÷（1.25－1.125），依此计算即可。 【详解】加速前甲乙的速度之比为2︰2.25＝8︰9，乙的速度是甲的速度的1.125倍； 加速后甲乙的速度比为3︰3.75＝4︰5，乙的速度是甲的速度的1.25倍， 甲的速度为500÷（1.25－1.125） ＝500÷0.125 ＝4000（米/时）， 答：甲每小时行4000米。 【点睛】先求出甲乙二人的速度比是解答此题的关键。 2．280千米 【分析】①甲走了全程的，那么乙走了全程的1-=；②乙行完全程需7小时，所以乙一小时行驶全程的．综合①②可知相遇时甲、乙两辆汽车行驶了÷=4小时．甲每小时行30千米，4小时行驶了30×4=120千米，是全程的，所以甲、乙两地间的距离是120÷=280千米 【详解】相遇是所用的时间：（1-）÷（1÷7）=4（小时） 相遇时甲所走的路程：30×4=120（千米） A、B两地之间的路程：120÷=280（千米） 答：A、B两地之间的路程是280千米． 3．600 【详解】甲、乙本月收入的比是，分别节余240元和480元，支出的钱数之比是．如果乙节余480元，甲节余元，那么两人支出的钱数之比也是，现在甲只节余240元，多支出了60元，结果支出的钱数之比从变成了(即)，所以这60元就对应份，那么甲支出了元，所以甲本月收入为元． 4．252棵 【详解】时间与工效成反比，甲比乙所需时间多，即甲的时间是乙的倍． 设甲、乙的工作效率为x与y 因为同时合作，所以甲、乙植树的总量比也是3：4，即可以将整个数量分成7份，那么甲植了其中3份的树，而乙植了4份的树． 乙比甲多1份，而又知乙比甲多植36棵 所以总共的棵数（棵） 5．74吨；37吨 【分析】本题可以理清题中数量关系，用方程方法求解；也可以用比例的方法分析求解。 【详解】法一： 解：设原来苹果有吨，则原来桃子有吨，得： 解得 所以原有苹果37吨； 原有桃子(吨) 答：原来苹果有37吨，桃子有74吨。 法二：原来苹果和桃子的吨数的比是，把原来的苹果的吨数看作1，则原来桃子的吨数为2，第一天后剩下的苹果是，剩下的桃子是，所以此时剩下的苹果和桃子的重量比是．现在再售出苹果18吨，桃子12吨，所剩的苹果与桃子的重量比是．这就相当于第一天后剩下的苹果和桃子的重量比是，先售出桃子12吨，苹果吨，此时剩下的苹果和桃子的重量比还是，再售出吨苹果，剩下的苹果和桃子的重量比变为，所以这相当于份，最后剩下的桃子有吨，那么第一天后剩下的桃子有吨，原有桃子吨，原有苹果吨。 答：原来苹果有37吨，桃子有74吨。 【点睛】本题较为复杂，要仔细分析数量间的等量关系。 6．30∶25∶26 【详解】略 7．一班有48名，二班有42名 【详解】8＋7＝15 4＋5＝9 8÷(－)＝90(人) 90×＝48(名) 90×＝42(名) 8．300千米 【分析】货车的速度是客车的，根据“时间相同，速度比=距离比”可知相遇时货车和客车行驶的路程比是2：3，货车行驶的路程为2份，客车行驶的路程为3份，货车比客车少行驶了1份路程，一份是2×30=60千米，A、B两地的距离就是60×5=300千米． 【详解】2×30×（2+3）=300(千米) 答：A、B两地相距300千米． 9．吨 【分析】 由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍。那么甲管注入18吨水的时间是乙管注入36吨水的时间，甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是4∶3，也就是这两种情况下丙管注水的时间比为4∶3，可以求出当甲管注入18吨水时丙管注水多少吨，甲管的注水量加上丙的注水量，得到总的注水量。 【详解】甲管注入18吨水的时间是乙管注入： （吨） 甲管注入18吨水的时间与乙管注入27吨水的时间比是： 那么在这两种情况下丙管注水的时间比为，而且前一种情况比后一种情况多注入吨水； 则甲管注入18吨水时，丙管注入水： （吨） （吨） 答：该水箱最多可容纳54吨水。 【点睛】本题将工程问题与比例问题相结合，当时间一定时，工作总量与工作效率成正比例关系。 10．160 【分析】根据比的基本性质找到A与C的面积之比，A，与C，的面积之比，因为A与C的宽相等，A，与C，的宽相等，所以它们各自的长之比就等于面积之比；长方形 D' 的宽减去 D 的宽所得到的差与 D' 的长减去 D 的长所得到差之比为 1∶3 ，列出方程解答即可。 【详解】因为，，所以； 因为，，所以， 设长方形的宽为，长为，得：。 得。又，所以，。 所以长方形面积。 答：大长方形的面积是160。 【点睛】本题考查列比列解决问题、长方形，解答本题的关键是找到数量关系式，列比例解决问题。 11．3∶14 【详解】因为E是中点，三角形CDE与三角形CEA面积相等． 三角形ADC与三角形ABC高相等，它们的底边的比： AB∶CD=三角形ABC的面积∶三角形ADC的面积=（10-7）∶（7×2）= 3∶14 答：上底AB与下底CD的长度之比是3∶14． 12．15分钟 【详解】因为甲的速度是乙的速度的2倍，所以在相遇前，甲行走的路程是乙行走的路程的2倍，相遇前乙行走的路程，甲只用5分钟便走完了，所以，在相遇前二人都走了10分钟，相遇前甲走的这一段路让乙来走要用20分钟，所以甲到达B后还要经过20-5=15分钟，乙才能到达A点． 13．180名；225名；210名 【详解】将六年级学生的，等于五年级学生的，等于四年级学生的，看作一个单位，那么六年级学生人数等于2个单位，五年级学生等于2.5个单位，四年级学生等于学生，所以六年级、五年级、四年级学生人数的比为，所以六年级学生人数为=180人，五年级学生人数为人，四年级学生人数为人 14．小王应分摊6元，小明应分摊16元，小军应分摊24元． 【详解】∶∶1＝3∶8∶12 3＋8＋12＝23 46×＝6(元) 46×＝16(元) 46×＝24(元) 15．小时 【分析】先求出甲、乙的工作效率之和，再按比例分配，得到各自的工作效率，然后求出乙完成一半需要的总时间，减去5小时，得到还需要的时间。 【详解】乙小时完成总工作量的； 乙每小时完成总工作量的； 乙需要完成的总工作量为； 乙要完成这个任务还需要的时间： （小时） 答：乙还要5小时才能完成分配的任务。 【点睛】本题考查的是工程问题与比例问题，按比例分配的问题可以设份数求解。 16．原来小明40张，小强30张 【详解】解法一：4∶3=20∶15 5∶2=20∶8 假设小强也买来15×=（张），那么变化后的比仍应是20:15，但现在是20∶8． 因此这个比的每一份是：（+8）（15-8）= 小明现有：20×=55（张），原有55-15=40（张） 小强现有：8×=22（张），原有22+8=30（张） 答：原来小明有40张，小强有30张. 解法二：设原来小明有4“份”，小强有3“份”.把小明现有的图画纸张数乘2，小强现有的图画纸张数乘5，所得到的两个结果相等.我们可以画出如下示意图： 从图上可以看出，3×5-4×2=7（份）相当于图画纸15×2+8×5=70（张）. 因此每份是10张，原来小明有40张，小强有30张. 17．5 【详解】 连接． ∵， ∴， 又∵， ∴，∴，． 18．4:5 【详解】设10年前甲的年龄为岁，则当时乙的年龄为岁，那根据现在两人的年龄比可得方程：，等式两边前后项交叉相乘可得，解得，所以10年前甲的年龄为20岁，乙的年龄为30岁，10年后两人分别是40岁、50岁，10年后两人的年龄比为4:5． 19．3185人 【详解】将运动会最初的运动员人数设为“”，那么男运动员人数为，女运动员人数为，而增加女子艺术体操项目，男运动员人数不变，仍然是，所以这时女运动员人数为，增加男子象棋项目，女运动员人数保持不变，仍然是，所以男运动员人数增加为。女子艺术体操项目人数为，男子象棋项目的人数为女象棋项目运动员有人，女子艺术体操运动员有人，所以现在的总运动员人数为人。 20．36公亩 【详解】解：设第一块地有x公亩，则第二块地有（90-x）公亩，依题意可得： 答：第一块地有36公亩． 21．，，， 【详解】 连接,设份，则其他部分的面积如图所示，所以份，所以四部分按从小到大各占面积的 22．甲工地200袋；乙工地100袋 【详解】2:1=8:4 125÷（8-3）=25（袋） 甲工地：25×8=200（袋） 乙工地：25×4=100（袋） 23．10个 【分析】先求出晴天时甲、乙的工作效率，再计算雨天时甲、乙的工作效率，求出晴天、雨天甲、乙的工作效率的关系；由于两队同时开工、同时完工，可以求出晴天和雨天之比，然后再计算具体的天数。 【详解】在晴天，一队、二队的工作效率分别为和，一队比二队的工作效率高； 在雨天，一队、二队的工作效率分别为和，二队的工作效率比一队高； 由知，3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程的，所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天。 答：工作时间内下了10天雨。 【点睛】本题考查的是工程问题，这里将工程问题与比例问题相结合，求出晴天和雨天的天数比是解题的关键。 24．14位 【详解】题目已给出平均数 85％，可作比较的基准. 1人买3件少 5％×3； 1人买2件多 5％×2； 1人买1件多 15％ ×1. 1人买3件与1人买1件成A组，即按1∶1比例，2人买3件与3人买2件成B组，即按2∶3的比例. A组是2人买4件，每人平均买2件. B组是5人买12件，每人平均买2.4件. 现在已建立了一个鸡兔同笼型问题：总脚数76，总头数33，兔脚数2.4，鸡脚数2. B组人数是：（76-2×33）÷（24-2）＝ 25（人） 其中买3件25×=10（人） 买2件25×=15（人） A组人数是 33-25＝8（人），其中买 3件4人，买 1件4人. 10＋4＝ 14（人）. 答：买3件的顾客有14位. 25．（1）144分钟；（2）257分钟 【分析】（1）设每只进水管的工效为“1”，根据原计划的情况，可以求出A、B池的容量，再结合实际的情况，可以求出漏水的效率，然后计算10根进水管给漏水的A水池注水的效率，进而计算时间. （2）增加4根同样的进水管，一共14根，可以先假设同时注满，根据A、B池的容量之比，求出各自所需要的进水管数量，但由于进水管数量是整数，所以只能取临近的整数进行分类讨论。 【详解】（1）设每只进水管的工效为“1”，那么A池容量为4×5＝20，B池容量为6×5＝30； 当用5根进水管给B池灌水时需30÷5＝6小时，而在6小时内5只其水管给A池也是灌有30的水，所以漏了30—20＝10，因此漏水的工效为； （1）用10根进水管给漏水的A池灌水，那么需要的时间是： （ 小时） 2.4小时＝144分钟 答：需要144分钟注满。 （2）设A池需根，那么B池需14根，有， 所以有，化简解得。所以A池用7根或6根进水管，此时对应所需时间，分别为： ①当A池用7根进水管时： A：7根水管； 需时间小时＝225分钟； B：7根水管，需时间小时257分钟； 此时要把两个水池注满最少需要257分钟； ②当A池用6根进水管时： A：6根水管， 需时间小时277分钟； B：8根水管，需时间30÷8＝小时＝225分钟； 此时要把两个水池注满最少需要277分钟。 所以，要把两个水管都注满，最少需257分钟，7根水管注A池，7根水管注B池。 答：最少需要257分钟。 【点睛】本题考查的是工程问题，当有多种情况时，需要进行分类讨论。 26．12 【详解】由已知，小强的钱相当于小明、小强买刀后所剩钱数和的，小明的钱相当于小明、小强买刀后钱数和的，所以小明、小强的钱数的比值为，而小明买刀后小明、小强的钱数之比为，所以小明买刀前后的钱数之比为，所以小刀的售价等于小明原来钱数的，所以小明的钱数为元．也可这样看，小明买刀与未买刀的钱数比为，小明的钱数为（元） 27．甲仓库250吨，乙仓库350吨 【分析】根据题目中的“甲仓库的存粮比乙仓库少”，可以把甲、乙存粮用份数表示，乙仓库的存粮是7份，那么甲仓库的存粮就是（7－2）份，由此我们就可以根据按比例分配的知识，把600吨按5：7分配，就可以求出来甲、乙两仓库原来存粮的吨数． 【详解】解：甲：乙=（7－2）：7=5：7 每份数：600÷（5+7）=50（吨） 甲仓库存粮的吨数：50×5=250（吨） 乙仓库存粮的吨数：50×7=350（吨） 答：甲仓库存粮250吨，乙仓库存粮350吨． 28．40千米 【分析】客车速度：货车速度=2：3，客车路程：货车路程=2：3，客车行驶的路程为2份，货车行驶的路程为3份，也就是说客车比货车少行了1份，少行了8千米；所以两城相距8÷=40千米． 【详解】8÷=40 (千米) 答：甲、乙两城相距40千米． 29．2千米 【详解】关键是找到步行距离、汽车行驶距离、总路程之间的比例关系． 由于两班速度相同，所以要使时间最少，必须同时出发，同时到达，因此行走的路程要相同，即AD=CB，画图如下： 在某一班行走BC的时间内，车行走的路程就是C—A—B，即CB+BA+AB，这样得出CB︰（CB+BA+AB）=4︰48=1︰12 该比例式可以化为：CB︰BA=1︰=1︰5.5 所以CB和总路程的比为1︰（1+5.5+1）=1︰7.5=2︰15 CB的长度为（千米） 所以每个班步行的距离为2千米． 【点睛】此题的解决主要有两个关键点： 1，两个班的行走路程一样． 2，找出步行与汽车在相同时间内行走的路程，根据路程与速度成正比的关系得出相应路程的比例关系，最终求出答案． 30．（1）50分钟；（2） 【分析】（1）通过题意可知，大巴车相当于比轿车早出发（18－8）分钟，大巴车不停地驶向B地，已知如果大巴和轿车的速度都不变，大巴将比轿车晚2分钟到达B地，则同样行驶完AB的路程，大巴车所花时间比轿车多花（18－8＋2）分钟，根据路程相同，速度比等于时间的反比，所以大巴与轿车的速度之比为5∶6，大巴与轿车的时间之比是6∶5，所以大巴车所花时间比轿车多花（6－5）份时间，据此根据比的应用，用（18－8＋2）÷（6－5）即可求出每份是多少，进而求出6份和5份，也就是大巴与轿车分别行驶完全程需要的时间，轿车追上大巴时，大巴已离开C地，大巴车相当于比轿车早出发（18－8）分钟，轿车追上大巴车时，两车的时间差是（18－8）分钟，根据路程相同，速度比等于时间的反比，大巴与轿车的时间之比是6∶5，也就是两车的时间差是（6－5）份，根据比的应用，用（18－8）÷（6－5）即可求出每份是多少，进而求出5份，也就是轿车追上大巴车需要的时间。 （2）把全程看作单位“1”，已知轿车出发追上大巴车时需要50分钟，而轿车行驶完全程需要60分钟，所以用50÷60即可求出轿车追上大巴车时行驶了全程的几分之几，也就是，剩下全程的（1－），也就是；如果轿车追上大巴后，速度增加，轿车现在的速度是原来的（1＋），据此可知大巴与轿车现在的速度之比为5∶[6×（1＋）]，也就是5∶7，根据时间相同，速度比＝路程比，可知大巴车被追上之后到与轿车相遇所行驶的路程∶轿车开始增速到与大巴车相遇所行驶的路程＝5∶7，此时从增速到相遇时，两车的路程和占全程的2个，据此按比分配，用×2÷（5＋7）即可求出每份是多少，进而乘5即可求出大巴车被追上之后到与轿车相遇所行驶的路程占全程的几分之几；再加上即可求出当轿车再次与大巴相遇时，大巴已经行驶了全程的几分之几。 【详解】（1）同样行驶完AB的路程，大巴车所花时间比轿车多花（18－8＋2）分钟，根据路程相同，速度比等于时间的反比，所以大巴与轿车的速度之比为5∶6，大巴与轿车的时间之比是6∶5， （18－8＋2）÷（6－5） ＝12÷1 ＝12（分钟） 大巴行驶完全程需要：12×6＝72（分钟） 轿车行驶完全程需要：12×5＝60（分钟） 轿车追上大巴车时，两车的时间差是（18－8）分钟， （18－8）÷（6－5）×5 ＝10÷1×5 ＝50（分钟） 答：轿车出发50分钟后追上大巴。 （2）轿车追上大巴时，行驶了全程的50÷60＝ 剩下1－＝ 大巴与轿车现在的速度之比为5∶[6×（1＋）]， 5∶[6×（1＋）] ＝5∶[6×] ＝5∶7 时间相同，速度比＝路程比， 大巴车被追上之后到与轿车相遇所行驶的路程占全程的： ×2÷（5＋7）×5 ＝×2÷12×5 ＝÷12×5 ＝××5 ＝ 当轿车再次与大巴相遇时，大巴已经行驶了全程的： ＋＝ 答：当轿车再次与大巴相遇时，大巴已经行驶了全程的。 【点睛】本题主要考查了较复杂的行程问题，明确路程相同，速度比等于时间的反比以及时间相同，速度比等于路程比是解答本题的关键。 31．360千米 【详解】题目给出的距离信息只有100千米一条，我们应当找到驾车行驶100千米的总时间． 车速提高20%，那么前后两次的速度比为5︰6，所以两次所用的时间比为6︰5，所花的时间减少1小时，由此可求原计划所花时间为（小时），汽车提速后从甲地到乙地只用5小时，这辆车如果提速30%，提速前后的速度比为10︰13，那么这辆车行驶相同距离所花的时间为13︰10，那么如果能将所花时间缩短1小时，则提速后行驶的时间应该为：（小时），所以原速行驶100公里所花的时间为：（小时），即这辆车原来的速度为：（千米/小时），甲乙两地的距离为：（千米）． 【点睛】此题是利用比例解行程问题非常经典的题型，事实上题目中给出的条件非常适合用比例法的应用，首先有前后的速度比例关系，其次有时间差．“比例+两者之一或两者和与差”的考题模式是非常常见的．它对应的解题模式是“比例转化+按比例分配（已知两者之一或两者和与差分别求两者）”． 32．119人 【详解】(法1)录取的学生中男生有人，女生有(人)，先将未录取的人数之比变成，又有(人)，所以每份人数是(人)，那么未录取的男生有(人)，未录取的女生有(人)．所以报考总人数是(人)。 (法2)设未被录取的男生人数为人，那么未被录取的女生人数为人，由于录取的学生中男生有人，女生有(人)，则，解得．所以未被录取的男生有12人，女生有16人．报考总人数是(人)。 33．1400个；1200个；1050个 【详解】根据题意可知，甲、乙、丙的工作效率之比为，那么在相同的时间内，三人完成的工作量之比也是，所以甲加工了个零件，乙加工了个零件，丙加工了个零件。 34．8点15分 【详解】甲、乙火车的速度比是5：4，所以甲乙火车相同时间内的行程比也是5：4．从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5∶4＝15∶12，而相遇点距A，B两站的距离的比是15∶16．说明甲出发前乙火车所走的路程等于乙火车所走全部路程的（16-12）÷16=1/4．也就是说乙比甲先走了总时间的四分之一．上午8：00-上午9：00，总时间为1小时．所以甲火车从A站发车的时间是8点15分． 35．32:79 【详解】由于甲、乙、丙三种卡车运送土方的路程之比为，速度之比为 ，所以它们运送次所需的时间之比为 ，相同时间内它们运送的次数比为：。在前天，甲车只有一半投入使用，因此甲、乙、丙的数量之比为 ．由于三种卡车载重量之比为，所以三种卡车的总载重量之比为。那么三种卡车在前天内的工作量之比为：。在后 天，由于甲车全部投入使用，所以在后天里的工作量之比为 。所以在这天内，甲的工作量与总工作量之比为： 。 36．49:36 【详解】小明在下降的电梯中称得的体重为其实际体重的，小刚在上升的电梯中称得的体重为其实际体重的，而小明在下降的电梯中与小刚在上升的电梯中称得的体重相同，所以小明和小刚实际体重的比是：． 37．120级 【详解】小明走过的级数是小刚走过的级数的2倍，同时小明速度又是小刚的3倍，可以得到小明与小刚走的时间比2：3，因此小明走的级数实际上是静止的级数加上行走时间内扶梯伸出的级数，小刚行走的级数是静止级数减去行走时间内扶梯缩进的级数，那么他们走过的级数差就是扶梯伸出级数与缩进级数的150-75=75，伸出时间和缩进时间比是2：3，那么伸出和缩进级数比就是2：3，因此伸出级数为75÷（2+3）×2=30，静止时就应该是150-30=120． 38．49只 【分析】分析题意，设这群羊原有x只，结合已知条件可知：(原有羊的只数-1)×跑走一只公羊后现在公羊只数占总数的分率+1=(原有羊的只数-1)×跑走一只母羊后公羊占总只数的分率，根据这个等量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这群羊原来有x只 (x-1)×+1=(x-1)× x=49 答：这群羊原来有49只． 39．60级 【详解】关键是找出两人上下楼的时间比． 因为男孩的速度是女孩的2倍，所以男孩走80级到达楼下与女孩走40级到达楼上所用时间相同，男孩下楼过程中由于自动扶梯上行而多走的路应该等于女孩上楼过程借助自动扶梯少走的路，男孩比女孩多走的路应等于行程过程中自动扶梯运行的级数的两倍． 因此自动扶梯向上运行了（80-40）÷2=20（级），扶梯可见部分有80-20=60（级）． 40．189本 【详解】18÷（-）=189（本） 41．25：18 【详解】根据题意可知，乙和丙的时间比为45：50 =9：10 ，即速度比为10：9．甲和乙的时间比为60：75 =4：5 ，即速度比为5：4，甲、乙和丙的速度比为  25：20：18．甲和丙的速度比为25：18 42．180千米 【分析】根据时间＝路程÷速度，可知甲走CD段花的时间是（50÷60）时，乙走CD段花的时间是（50÷50）时，说明乙比甲多花了时；总时间相同，说明甲走AC、BD段的时间和比乙走AC、BD段的时间多花了时；根据分数和百分数乘法的意义，分别求出变速后甲、乙的速度，通过计算可知，因为AC段乙加速后速度和甲原来的速度相同，说明乙在AC段花的时间和甲在AC段花的时间相同，所以甲走BD段的时间和比乙走BD段的时间多花了时；根据路程相同，速度比等于时间的反比，甲走BD段的速度和乙走BD段的速度比是45∶50＝9∶10，据此可知，甲走BD段的时间和乙走BD段的时间比是10∶9；根据比的应用，用时除以（10－9）即可求出每份是多少，进求出9份，也就是乙走BD段的时间；然后根据速度×时间，就是BD段的路程，用BD段的路程加上OD段的路程，即可求出AB一半的路程，最后乘2即可求出AB的总路程。 【详解】CD段的路程：35＋15＝50（千米） 甲走CD段花的时间： 50÷60＝（小时） 乙走CD段花的时间： 50÷50＝1（小时） 甲走AC、BD段的时间和比乙走AC、BD段的时间多花了： 1－＝（小时） 甲减速后速度为： 60×（1－） ＝60× ＝45（千米/小时） 乙加速后速度为： 50×（1＋20%） ＝50×1.2 ＝60（千米/小时） 因为AC段乙加速后速度和甲原来的速度相同，说明乙在AC段花的时间和甲在AC段花的时间相同，所以甲走BD段的时间和比乙走BD段的时间多花了时； 甲走BD段的速度和乙走BD段的速度比： 45∶50 ＝（45÷5）∶（50÷10） ＝9∶10 根据路程相同，速度比等于时间的反比， 甲走BD段的时间和乙走BD段的时间比是10∶9； 乙走BD段的时间： ÷（10－9）×9 ＝÷1×9 ＝×9 ＝（小时） BD段：×50＝75（千米） OB段：75＋15＝90（千米） AB段：90×2＝180（千米） 答：A、B两地相距180千米。 【点睛】解答本题的关键是通过计算出CD段甲、乙的时间差推出AC、BD段两人的时间差，再利用比和比例的知识进行解答。 43．27.5元 【详解】解法一：设每种糖果所花钱数为1． 平均价是：=27.5（元） 答：这些糖果每千克平均价是27.5元． 上面解法中，算式很容易列出，但计算却使人感到不易．最好的计算方法是，用22，30，33的最小公倍数330，乘这个繁分数的分子与分母，就有： =27.5（元） 解法二：先求出这三种糖果所买数量之比. 不妨设，所花钱数是330，立即可求出，所买数量之比是甲∶乙∶丙=15∶11∶10. 平均数是（15+11+10）÷3=12. 单价33元的可买10份，要买12份，单价是33×=27.5（元） 44．72千米 【详解】三种方式相遇所行的路程都相等，典型的由时间比化速度比的题目，求出了速度再求总路程就简单了． 因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路程都是一样的，同样乙每次走的路程也是一样的． 在第二种情况中，乙速度不变，所以乙到桥上的时间还是3小时，他提前了0.5小时，那么甲到桥上的时间是3-0.5＝2.5（小时），两次相遇时间比为3：2.5，路程一样，所以甲的速度成反比为2.5：3=5：6，又速度增加2千米每小时，所以甲原速为2÷（6－5）×5=10（千米/小时）． 在第三种情况中，甲速度不变，所以甲到桥上的时间还是3小时，他延迟了0.5小时，那么乙到桥上的时间是3＋0.5＝3.5（小时），与第一种情况相比较，两种相遇时间比为3：3.5，路程一样，所以乙的速度成反比为3.5：3=7：6，又速度减少2千米每小时，所以乙原速为2÷（7－6）×7=14（千米/小时）． 这样就可以求出A 、B两地的距离为（10＋14）×3＝72（千米）． 45． h 【详解】总路程等于50，上坡、平路、下坡路程的比为1：2：3，所以上坡路程为 千米．又因为上坡速度为3km/h，所以上坡时间 （h） 又因为各段时间比为4：5：6，所以总时间为 （h） 答：总时间为h 【点睛】行程问题、比例问题 46．140厘米 【详解】如果只将长边截去，宽、长之比为，所以宽边的长度为（厘米），所以原来铁板的长为（厘米）。 答：原来长方形铁板的长是140厘米。 47．3600千米 【详解】飞机顺风与逆风的速度分别是每小时900千米和每小时720千米，速度比5∶4，所以往返时间之比为4∶5． 飞机顺风飞行的时间：9×=4小时， 飞机能保证安全返回的最大路程：900×4=3600千米， 答：飞机能保证安全返回的最大路程是3600千米． 【点睛】根据条件可知，要保证飞机安全返航，它飞出的路程必须与飞回的路程相等．根据路程一定，速度与时间成反比例，即可求出飞机往返的时间比，求出往返时间就能够求出飞机飞行的最大距离． 48．1.1千克 【详解】（2.7-0.3）×=0.8（千克） 0.8+0.3=1.1（千克） 49．2.25 【详解】李华平时需要7分钟到校，早到1分40秒，即用了分钟到校，其中步行了2分钟，跑步了分钟．所以跑步2分钟，步行5分钟的距离与步行2分钟，跑步分钟的距离相等．跑步分钟的距离与步行3分钟的距离相等． 3÷=2.25， 所以他跑步的速度是步行速度的2.25倍． 学科网（北京）股份有限公司 $$