第06讲 拓展三：直线与抛物线的位置关系（11大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第06讲 拓展三：直线与抛物线的位置关系 目录 题型一：重点考查判断直线与抛物线的位置关系 1 题型二：重点考查求抛物线中的切线方程 2 题型三：重点考查根据根与系数求参数 3 题型四：重点考查抛物线中弦长问题 5 题型五：重点考查抛物线中焦点弦问题 7 题型六：重点考查抛物线中点弦问题 9 题型七：重点考查抛物线中范围及最值 11 题型八：重点考查抛物线中的定点问题 12 题型九：重点考查抛物线中的定值问题 14 题型十：重点考查抛物线定直线问题 16 题型十一：重点考查抛物线中向量问题 18 题型一：重点考查判断直线与抛物线的位置关系 典型例题 例题1．（多选）（23-24高二上·江西景德镇·期末）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·福建漳州·三模）写出过点且与抛物线有唯一公共点的一条直线方程 . 例题3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？ 精练核心考点 1．（2024·江苏宿迁·三模）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024高三·全国·专题练习）过点与抛物线只有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．0条 3．（23-24高三上·上海·期中）若过点的直线与抛物线恰有一个公共点，则直线的方程为 . 题型二：重点考查求抛物线中的切线方程 典型例题 例题1．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）抛物线：与抛物线：的公切线方程为 ． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 . 例题3．（2024·贵州遵义·二模）已知直线过点，抛物线． (1)若直线与抛物线于两点，且中点的横坐标为3，求直线的方程； (2)若直线与抛物线有且仅有一个交点，求直线的方程． 精练核心考点 1．（23-24高二上·辽宁·期末）已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 . 2．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的方程为，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程. 题型三：重点考查根据根与系数求参数 典型例题 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线C：，斜率为k的直线l过定点，直线l交抛物线C于两点，且位于x轴两侧，（O为坐标原点），则 ． 例题2．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点作的准线的垂线，垂足为为坐标原点. (1)证明：三点共线； (2)若，求直线的方程. 例题3．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于两点，且，求直线的方程. 精练核心考点 1．（24-25高三上·广东·开学考试）已知直线与抛物线交于，两点，为的焦点，若中点的纵坐标始终为1，则的取值范围是 ． 2．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1 (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程． 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知抛物线，其准线方程为． (1)求抛物线的方程； (2)不过原点的直线与抛物线交于不同的两点，，若以线段为直径的圆过坐标原点，求的值． 题型四：重点考查抛物线中弦长问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知点是直线上一动点，定点，过点作直线的垂线与线段的中垂线交于点，动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，且，求. 例题2．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知F是抛物线C：的焦点，点P在C上，点Q满足，点Q的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)过点F的直线l与曲线E交于M，N两点，，求直线l的方程． 例题3．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线l过抛物线C的焦点F，l与抛物线C相交于A，B两点，且，求直线l的方程. 精练核心考点 1．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为． (1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程． (2)斜率为2的直线与抛物线交于两点，与轴交于点，若，求． 2．（23-24高二上·山东威海·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与圆相切于点，且. (1)求； (2)若点在抛物线上，且线段的中点为，求. 3．（23-24高二下·安徽·开学考试）已知直线与抛物线. (1)若直线与抛物线相切，求实数的值； (2)若直线与抛物线相交于、两点，且，求直线的方程. 题型五：重点考查抛物线中焦点弦问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·海南·期末）在直角坐标系中，点到直线的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于两点，求线段的长. 例题2．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知抛物线：，点在上． (1)求的方程； (2)若点是的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的最小值． 精练核心考点 1．（23-24高二下·上海青浦·期中）已知抛物线的焦点为，直线经过点且与交于点． (1)若直线的斜率为，求的面积； (2)若，求线段的中点到轴的距离． 2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，点在物物线内，若抛物线上一动点到两点距离之和的最小值为4． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)直线过抛物线的焦点且倾斜角为，并与抛物线相交于两点，求弦的长度． 题型六：重点考查抛物线中点弦问题 典型例题 例题1．（2024·贵州黔南·二模）已知抛物线：（）的焦点为，过焦点作直线交抛物线于两点，为抛物线上的动点，且的最小值为1. (1)抛物线的方程； (2)若直线交抛物线的准线于点，求线段的中点的坐标. 例题2．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）设抛物线的焦点为，点在上，，已知. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程. 精练核心考点 1．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程 (2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程． 2．（23-24高二上·青海西宁·期末）已知抛物线C：的焦点为F，过F作垂直于轴的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为2. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线l与抛物线C交于P，Q两点，是线段PQ的中点，求直线l的方程. 题型七：重点考查抛物线中范围及最值 典型例题 例题1．（2024·内蒙古·三模）已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是上一点，且. (1)求的方程； (2)是上两点（异于点），以为直径的圆过点为的中点，求直线斜率的最大值. 例题2．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知过点的动直线与抛物线相交于、两点． (1)当直线的斜率是时，．求抛物线的方程； (2)对（1）中的抛物线，当直线的斜率变化时，设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围． 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知在抛物线上存在两个不同的点M，N关于直线对称，求k的取值范围． 2．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知抛物线，过的直线交抛物线C于A，B两点，O是坐标原点，． (1)求抛物线C的方程； (2)若F点是抛物线C的焦点，求的最小值． 题型八：重点考查抛物线中的定点问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·上海·单元测试）已知直线：与抛物线Γ：交于点A，B． (1)若直线的倾斜角为45°，且过抛物线Γ的焦点F，求直线的方程； (2)若，且，证明：直线l过定点． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，点是直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为． (1)求抛物线的方程． (2)证明直线过定点，并且求出定点坐标． 精练核心考点 1．（2024·山东聊城·一模）已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且经过点，动直线不经过点、与相交于、两点，且直线和的斜率之积等于3. (1)求的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求出定点坐标. 2．（23-24高二下·黑龙江大兴安岭地·开学考试）已知抛物线的焦点为为上一点且纵坐标为4，轴于点，且． (1)求的值； (2)已知点是抛物线上不同的两点，且满足．证明：直线恒过定点． 题型九：重点考查抛物线中的定值问题 典型例题 例题1．（2023·陕西榆林·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：的焦点为F，位于第一象限的点A（点A的横坐标和纵坐标都为整数）在抛物线C上，且，． (1)求p的值及点A的坐标； (2)点B与A关于坐标原点对称，过点B的直线l（不经过点A）与抛物线C相交于M，N两点，直线AM，AN与x轴分别相交于点P，Q，求的值． 例题2．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）已知抛物线的准线与轴的交点为 . (1)求的方程，若经点的直线与有且只有一个公共点时，求直线的方程. (2)若过点的直线与抛物线交于，两点.求证： 为定值. 精练核心考点 1．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为是上在第一象限内的点，且直线的倾斜角为，点到的距离为． (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，是线段上一点（异于两点），是上一点，且轴．若平行四边形的三个顶点均在上，与交于点，证明：为定值． 2．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）已知直线过抛物线的焦点，交抛物线于两点. (1)若，求直线的方程． (2)若过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，直线的斜率是否为定值?若是，请求出定值，若不是，说明理由． 题型十：重点考查抛物线定直线问题 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于点、和点、，直线、交于点．证明：点在定直线上． 例题2．（2024·广西·模拟预测）已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且. （1）求C的方程. （2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上. 精练核心考点 1．（2024·广东肇庆·三模）设抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，当在上时，直线的斜率为. （1）求抛物线的方程； （2）在线段上取点，满足，，证明：点总在定直线上. 2．（2024·湖南郴州）已知抛物线的焦点为，过点的直线分别交抛物线于两点． （1）若以为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程； （2）过点分别作抛物线的切线，证明：的交点在定直线上． 题型十一：重点考查抛物线中向量问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·全国·单元测试）已知抛物线的焦点是． (1)若过原点作两条直线交曲线于两点，且，求证：直线过定点； (2)若过曲线上一点作两条直线交曲线于两点，且，求的面积的取值范围． 例题2．（2024·山西太原·二模）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F． (1)求抛物线C的方程； (2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 精练核心考点 1．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线，点在抛物线上，且在轴上方，和在轴下方（在左侧），关于轴对称，直线交轴于点，延长线段交轴于点，连接. (1)证明：为定值（为坐标原点）； (2)若点的横坐标为，且，求的内切圆的方程. 2．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知A，B，C是抛物线上三点，且，，垂足为D. (1)当C的坐标为时，求点D的轨迹方程； (2)当C的坐标为时，是否存在点Q，使得为定值，若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 拓展三：直线与抛物线的位置关系 目录 题型一：重点考查判断直线与抛物线的位置关系 1 题型二：重点考查求抛物线中的切线方程 6 题型三：重点考查根据根与系数求参数 9 题型四：重点考查抛物线中弦长问题 15 题型五：重点考查抛物线中焦点弦问题 21 题型六：重点考查抛物线中点弦问题 25 题型七：重点考查抛物线中范围及最值 29 题型八：重点考查抛物线中的定点问题 35 题型九：重点考查抛物线中的定值问题 39 题型十：重点考查抛物线定直线问题 45 题型十一：重点考查抛物线中向量问题 50 题型一：重点考查判断直线与抛物线的位置关系 典型例题 例题1．（多选）（23-24高二上·江西景德镇·期末）若直线被圆所截的弦长不小于2，则下列曲线中，与直线一定有公共点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据给定条件，结合圆的弦长公式求出原点到直线的距离范围，确定直线必过的区域，再逐项判断即可得解. 【详解】圆的圆心为原点，半径为，设点到直线的距离为， 由，得， 平面内到原点距离不大于的点的集合是以原点为圆心，为半径的圆及内部区域， 因此直线必过区域，以原点为圆心，为半径的圆方程为， 对于A，圆上的点到点的距离，显然，    因此圆内含于圆，则圆与直线一定有公共点，A是； 对于B，点在抛物线内，由消去得， 显然方程无解，即圆与抛物线无公共点，    因此圆在抛物线内，抛物线与直线一定有公共点，B是； 对于C，圆上的点在椭圆外，    直线与椭圆无公共点，而直线过区域，C不是； 对于D，圆上只有两点在双曲线上，其余点都在双曲线外，    直线与双曲线无公共点，而直线过区域，D不是. 故选：AB 【点睛】关键点睛：求出直线必过区域，再判断区域的边界曲线与各选项中曲线的位置关系是解决问题的关键. 例题2．（2024·福建漳州·三模）写出过点且与抛物线有唯一公共点的一条直线方程 . 【答案】（写对一个方程即可） 【详解】如图，当直线斜率为0时，与抛物线有唯一公共点，此时方程为； 当斜率不为0时，设的方程为， 联立消去，整理得：， 因为直线与抛物线有唯一公共点，所以， 解得或，所以为或， 即或. 综上，过点且与抛物线有唯一公共点的直线方程为： 或或. 故答案为：（或或）.    例题3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知抛物线的方程为，直线l过定点，斜率为k.当k为何值时，直线l与抛物线有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？ 【答案】答案见解析 【分析】设直线的方程为，联立方程组求得，结合，和，三种情况，求得实数的值（范围），即可求解. 【详解】由题意，可设直线的方程为，即， 联立方程组，整理得， 则， 当时，即，解得或，此时方程只有一个实数解， 即直线与抛物线只有一个公共点； 当时，即，解得或，此时方程两个不等的实数解， 即直线与抛物线两个公共点； 当时，即，解得，此时方程没有实数解， 即直线与抛物线没有公共点， 综上可得：当或，直线与抛物线只有一个公共点； 当或，直线与抛物线两个公共点； 当，直线与抛物线没有公共点. 精练核心考点 1．（2024·江苏宿迁·三模）已知抛物线，点，则“”是“过且与仅有一个公共点的直线有3条”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】求出“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充要条件，进而判断. 【详解】过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条， 则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为； 当直线的斜率存在时，设直线为， 则，消去整理得， 即有两个不同的解， 所以即，解得或， 所以 “”是“过且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件. 故选：A. 2．（2024高三·全国·专题练习）过点与抛物线只有一个公共点的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．0条 【答案】C 【分析】分直线斜率存在与斜率不存在，设出方程，结合题意计算即可得. 【详解】当直线斜率存在时， 设直线的斜率等于，则当 时，直线的方程为， 满足直线与抛物线仅有一个公共点， 当时，设直线的方程为， 代入抛物线的方程可得：， 有，解得，故切线方程为， 当斜率不存在时，直线方程为，该直线也与抛物线相切， 故满足条件的直线方程有三条. 故选：C． 3．（23-24高三上·上海·期中）若过点的直线与抛物线恰有一个公共点，则直线的方程为 . 【答案】或或 【分析】根据图像易知直线的斜率不存在或为0时，满足题意，当斜率不存在时，设出直线程，联立，消得到，再利用即可求出结果. 【详解】如图，当直线的斜率不存在或为0时，显然满足题意，此时直线的方程为或， 当直线斜率存且不为0时，设直线的方程为， 由，消得到，整理得到， 由，得到，即，此时直线方程为，即， 故答案为：或或. 题型二：重点考查求抛物线中的切线方程 典型例题 例题1．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）抛物线：与抛物线：的公切线方程为 ． 【答案】 【分析】设出公切线方程，分别与抛物线、联立，借助判别式求解即得. 【详解】显然抛物线、的公切线不垂直于坐标轴，设其方程为， 由消去x得：，则，即， 由消去y得：，则，即， 联立解得，即， 所以所求公切线方程为. 故答案为： 例题2．（2024高三·全国·专题练习）过抛物线上一点的抛物线的切线方程为 . 【答案】 【分析】解法一：设切线方程为，联立切线方程与抛物线方程，由，得，则切线方程可求. 解法二：利用导数的几何意义直接可求切线斜率，再由点斜式方程求得答案. 【详解】解法一：由题意，切线方程一定存在，设切线方程为． 由⇒⇒， 由，得， ∴. 故切线方程为，即. 故答案为：. 例题3．（2024·贵州遵义·二模）已知直线过点，抛物线． (1)若直线与抛物线于两点，且中点的横坐标为3，求直线的方程； (2)若直线与抛物线有且仅有一个交点，求直线的方程． 【答案】(1)或； (2)或或. 【分析】（1）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即得. （2）按直线的斜率不存在、为0，存在且不为0分别求解即可. 【详解】（1）依题意，直线的斜率存在且不为0，设其方程为，， 由消去y得，， 解得，， 由中点的横坐标为3，得，解得或， 所以直线的方程为或，即或. （2）当直线的斜率不存在或为0时，直线与曲线有唯一公共点，此时直线的方程为或； 当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 由（1）知，，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或或. 精练核心考点 1．（23-24高二上·辽宁·期末）已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为 . 【答案】或 【分析】分直线斜率不存在和斜率存在两种情况，结合根的判别式得到方程，求出答案. 【详解】当过的直线斜率不存在时，方程为，与相切，满足要求， 当过的直线斜率存在时，设切线方程为，联立得， ， 令，解得， 故，即. 故答案为：或 2．（23-24高二下·上海·期中）已知抛物线的方程为，求过点且与抛物线只有一个公共点的直线方程. 【答案】，，. 【分析】考虑直线与对称轴平行、斜率不存在和斜率存在三种情况，当斜率存在时，设出直线方程，联立抛物线，由根的判别式为0，求出斜率，得到直线方程. 【详解】因为，所以点在抛物线外， 当直线斜率不存在时，直线方程为，为抛物线的切线，满足题意； 当直线斜率为0时，直线方程为，与抛物线对称轴平行，满足题意； 当直线斜率存在且不为0时，设直线方程为， 联立，消去整理可得， 因为只有一个公共点， 所以，解得，所以直线为， 综上，直线方程为，，. 题型三：重点考查根据根与系数求参数 典型例题 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线C：，斜率为k的直线l过定点，直线l交抛物线C于两点，且位于x轴两侧，（O为坐标原点），则 ． 【答案】3 【分析】根据题意写出直线方程，联立直线方程和抛物线，得出韦达定理，再根据即可求解 【详解】设直线l的方程为，，， 与抛物线方程联立可得 消去y并整理可得，， 由根与系数的关系可得，，则， ∵，∴，即，解得（负值舍去）． 故答案为：3. 例题2．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）已知点是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于两点，过点作的准线的垂线，垂足为为坐标原点. (1)证明：三点共线； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据抛物线求焦点坐标，设直线方程为，与抛物线联立方程组，利用韦达定理计算的斜率判断三点共线； （2）根据（1）结合，得，，代入计算得，即得直线的方程. 【详解】（1） 证明：拋物线的焦点坐标为， 设直线的方程为，点， 联立，消去得，则， 所以，因为，所以， 又，所以， 即，所以三点共线. （2）因为，所以，于是，即， 由（1）知， 所以直线的方程为. 例题3．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1，记的轨迹为. (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线的定义理解动点轨迹，即可写出动点轨迹方程； （2）设出直线方程，代入抛物线方程，消元后得出韦达定理，由题设等式解得的值，检验即得. 【详解】（1）由动点到直线的距离比它到定点的距离多1， 知动点到直线的距离等于它到定点的距离， 故动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 故的方程为：. （2） 如图，由题意可设直线， 代入，消去得：. 显然有，设， 则. 由，知. 得或， 解得. 当时，直线经过原点，显然不合题意； 当时，直线，符合题意； 综上，所求直线的方程为：. 精练核心考点 1．（24-25高三上·广东·开学考试）已知直线与抛物线交于，两点，为的焦点，若中点的纵坐标始终为1，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，，直线的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，根据中点纵坐标，得到方程，求出，由焦半径公式得到，由根据的判别式得到，从而得到的取值范围. 【详解】不妨设，，直线的方程为， 与联立消去得，， 此时必须，所以， 因为中点的纵坐标为1，所以，所以，所以， 所以，又为抛物线的焦点， 所以， 因为，所以，所以. 故答案为：. 2．（23-24高二下·湖南邵阳·期末）已知动点到直线的距离比它到定点的距离多1 (1)求的方程； (2)若过点的直线与相交于A，B两点，且，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由抛物线的定义理解动点轨迹，即可写出动点轨迹方程； (2)设出直线方程，代入抛物线方程，消元后得出韦达定理，由题设等式解得的值，检验即得 【详解】（1）因为动点到直线的距离比它到定点 所以动点到直线的距离等于它到定点 则动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 故Γ的方程为； （2）设直线的方程为，，， 联立，消去x并整理得， 此时，由韦达定理得，， 又因，所以，则， 代入，得， 解之得 当时，直线l的方程为；与只有一个交点所以不符合 当时，直线l的方程． 故直线l的方程为． 3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知抛物线，其准线方程为． (1)求抛物线的方程； (2)不过原点的直线与抛物线交于不同的两点，，若以线段为直径的圆过坐标原点，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据抛物线的标准方程和准线方程即可求解； （2）利用直径所对的圆周角为直角，得出，再用向量的坐标表示垂直关系，结合韦达定理建立方程，即可求解. 【详解】（1）准线为，， 抛物线的方程为； （2） 设，，联立得， ，得， 则，， 所以 以为直径的圆过坐标原点，所以，即， 则， 或，经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意， 又， 综上，的值为． 题型四：重点考查抛物线中弦长问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·河北张家口·期末）已知点是直线上一动点，定点，过点作直线的垂线与线段的中垂线交于点，动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过可得点的轨迹是抛物线，直接写出抛物线的标准方程即可； （2）设出直线的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理及条件求出和两点的纵坐标，根据弦长公式可求得. 【详解】（1）设点，由中垂线的性质可得， 即点到直线的距离和到点的距离相等， 故点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 故曲线的方程为；    （2）设直线的方程为， 联立，消去得，设， 则， 因为，则， 解方程组，可得，或 所以.    例题2．（23-24高二上·辽宁抚顺·期中）已知F是抛物线C：的焦点，点P在C上，点Q满足，点Q的轨迹为曲线E． (1)求曲线E的方程； (2)过点F的直线l与曲线E交于M，N两点，，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）设出，根据得到，代入抛物线方程，求出答案； （2）设直线l的方程为，与抛物线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据弦长列出方程，求出或，得到直线方程. 【详解】（1）由题意得， 设，则， 所以，，， 所以， 由P在抛物线C上可得，即， 则曲线E的方程为． （2）显然当直线l的斜率为0时，与抛物线只有一个交点，不合要求， 设直线l的方程为，设，， 代入，消去x得， 则，，， 所以 ， 所以或． 所以直线l的方程为或． 例题3．（23-24高二下·陕西西安·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线l过抛物线C的焦点F，l与抛物线C相交于A，B两点，且，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据抛物线的定义得建立方程可求得，从而得抛物线的方程； （2）设直线：，与抛物线方程联立得，得出根与系数的关系，以及运用弦长公式可求得m，求得直线的方程. 【详解】（1）根据抛物线的定义得，解得：， 所以抛物线方程是 （2）抛物线的焦点， 直线的斜率不可能为0，设直线：， 与抛物线方程联立得， 设，则， ，解得：， 所以直线的方程是或. 精练核心考点 1．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，双曲线的渐近线方程为． (1)求抛物线的标准方程和双曲线的标准方程． (2)斜率为2的直线与抛物线交于两点，与轴交于点，若，求． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）由双曲线渐近线方程求出，进而求出其右焦点即可得解. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，借助共线向量求出点的坐标即可. 【详解】（1）依题意，双曲线渐近线方程为：，于是，解得， 因此双曲线的标准方程为：，其右焦点为，则，解得， 所以抛物线的标准方程为，双曲线的标准方程为. （2）设的方程为：，则， 由消去得：，则，， 由，得，则，满足， 因此，，， 所以．    2．（23-24高二上·山东威海·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与圆相切于点，且. (1)求； (2)若点在抛物线上，且线段的中点为，求. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）由题意得，设圆心，由已知有，求解即可得出答案； （2）直线的斜率存在，设，，方法一：利用直线与抛物线方程联立，利用中点坐标公式、韦达定理，及弦长公式计算即可得出答案；方法二：利用点差法计算，即可得出答案. 【详解】（1）由题意知，抛物线的焦点， 圆的圆心设为，半径， 则， 又，可得. （2）法一：由题意知，直线存在斜率，设的方程为， ，， 由，可得， 所以，， 因为线段的中点为， 所以， 即，所以， 所以， 所以. 法二：设，， 由，可得， 即， 因为线段的中点为， 所以，， 所以， 由，由，可得：，所以，所以， 所以. 3．（23-24高二下·安徽·开学考试）已知直线与抛物线. (1)若直线与抛物线相切，求实数的值； (2)若直线与抛物线相交于、两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将直线的方程与抛物线的方程联立，由可求得的值； （2）设点、，由求出的取值范围，列出韦达定理，结合弦长公式求出的值，即可得出直线的方程. 【详解】（1）解：联立，可得，则，可得. （2）解：设点、，则，可得， 由韦达定理可得，， 由弦长公式可得，解得. 因此，直线的方程为. 题型五：重点考查抛物线中焦点弦问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·海南·期末）在直角坐标系中，点到直线的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为. (1)求的方程； (2)直线与交于两点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义直接求解即可； （2）将直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理和抛物线的定义求解即可. 【详解】（1）在直角坐标系中，点到直线的距离等于点到点的距离， 所以根据抛物线的定义可得动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以轨迹为的方程为. （2）设点，， 由，消去整理得， ， ， 故弦长. 例题2．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知抛物线：，点在上． (1)求的方程； (2)若点是的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的最小值． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）带入已知点，可得抛物线方程； （2）设直线方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式表示弦长，再利用基本（均值）不等式求最小值. 【详解】（1）因为点在上，所以，即：． （2）如图： 设，，，， 直线的方程为（直线斜率存在且不为0）． 联立方程组，消去得：， 所以． 因为，用代替，得：． 由抛物线的定义可知， 当且仅当时，等号成立． 精练核心考点 1．（23-24高二下·上海青浦·期中）已知抛物线的焦点为，直线经过点且与交于点． (1)若直线的斜率为，求的面积； (2)若，求线段的中点到轴的距离． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）写出直线的方程，与抛物线联立，求出，的值，进而得出，则由求出的面积； （2）因为是焦点弦，所以能求出值，设出直线方程与抛物线联立，解出直线方程，把中点横坐标代入求出纵坐标即为所求. 【详解】（1）因为抛物线，焦点为，直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 联立得，则，，， 则， 又 所以，. （2）因为直线经过点且与交于点，设，， 因为，所以直线斜率一定存在，设方程为， 组成方程组，则有， 则，，， 因为，所以，则， 当时，直线方程为，且， 所以中点纵坐标为，此时中点到轴的距离为， 根据对称性，当时，中点到轴的距离也为， 所以线段的中点到轴的距离为. 2．（23-24高二上·陕西渭南·期末）已知抛物线的焦点在轴的正半轴上，点在物物线内，若抛物线上一动点到两点距离之和的最小值为4． (1)求抛物线的焦点坐标和准线方程； (2)直线过抛物线的焦点且倾斜角为，并与抛物线相交于两点，求弦的长度． 【答案】(1)，； (2)16. 【分析】（1）设出抛物线方程，由已知结合抛物线定义求解即得. （2）求出直线的方程，与抛物线方程联立，利用抛物线定义求出弦长. 【详解】（1）依题意，设抛物线的方程为，则焦点，准线方程为， 过点作准线的垂线，垂足为，令抛物线上动点到准线的距离为， 则，于是，当且仅当点是线段与抛物线的交点时取等号， 因此，解得， 所以抛物线：的焦点，准线方程为. （2）由（1）知，直线的方程为， 由消去并整理得，，设， 因此，所以. 题型六：重点考查抛物线中点弦问题 典型例题 例题1．（2024·贵州黔南·二模）已知抛物线：（）的焦点为，过焦点作直线交抛物线于两点，为抛物线上的动点，且的最小值为1. (1)抛物线的方程； (2)若直线交抛物线的准线于点，求线段的中点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，结合抛物线的定义分析可知，即可得方程； （2）由题意可得直线过点和，求直线的方程，与抛物线联立，结合韦达定理求中点坐标. 【详解】（1）由题意可知：抛物线的焦点，准线为， 设，则，当且仅当时，等号成立， 可得，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由题意可知：直线与抛物线必相交（斜率不为0）， 设，线段的中点， 且直线过点和， 则直线的方程，即， 联立方程，消去x得， 则，可知， 将代入可得， 所以线段的中点的坐标为. 例题2．（23-24高二上·河北邢台·阶段练习）设抛物线的焦点为，点在上，，已知. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为，所以，即轴，因为抛物线的通径长为，代入即可得解； （2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，然后利用点差法结合条件可得斜率进而即得, 【详解】（1） 因为， 所以，即轴. 令，可得， ，， 所以，得， 故抛物线的方程为. （2）如图，易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则 两式相减得，整理得. 因为的中点为， 所以， 所以直线的方程为，即. 由直线过点，必和抛物线有两个交点， 所以直线的方程为. 精练核心考点 1．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）已知抛物线的焦点为，是抛物线上的点，且． (1)求抛物线的方程 (2)已知直线交抛物线于，两点，且的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助抛物线焦点弦的性质即可得； （2）设出点的坐标，借助点差法，结合中点公式即可得. 【详解】（1）因为， 所以， 故抛物线C的方程为； （2）易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，，， 则，两式相减得， 整理得， 因为的中点为，故， 所以， 所以直线的方程为，即. 2．（23-24高二上·青海西宁·期末）已知抛物线C：的焦点为F，过F作垂直于轴的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，的面积为2. (1)求抛物线C的标准方程； (2)若直线l与抛物线C交于P，Q两点，是线段PQ的中点，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形面积求得得抛物线方程； （2）设，代入抛物线方程相减，利用中点坐标求得直线的斜率，进而可得直线方程． 【详解】（1）由题可得，代入抛物线方程得，， ∴， ∴的面积， ∴， ∴所求抛物线的标准方程为； （2）易知直线不与轴垂直，设所求方程为：， 设，由，在抛物线上得：, 两式相减化简得：， 又∵，，代入上式解得：. 故所求直线的方程为：. 即. 题型七：重点考查抛物线中范围及最值 典型例题 例题1．（2024·内蒙古·三模）已知为坐标原点，是抛物线的焦点，是上一点，且. (1)求的方程； (2)是上两点（异于点），以为直径的圆过点为的中点，求直线斜率的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先由条件求得点的横坐标，再根据焦半径公式，即可求解； （2）首先联立直线与抛物线方程，利用，结合坐标运算，求得点的坐标，再表示直线的斜率，即可求解. 【详解】（1）由抛物线的定义可知. 因为，所以. 因为，所以，解得，故的方程为. （2）由题意知AB斜率不为0，设， 联立方程得，， 则 因为以为直径的圆过点，所以，则， 即， 解得，所以. 又，所以 当时，， 当时，. 故直线斜率的最大值为. 例题2．（23-24高二下·上海·阶段练习）已知过点的动直线与抛物线相交于、两点． (1)当直线的斜率是时，．求抛物线的方程； (2)对（1）中的抛物线，当直线的斜率变化时，设线段的中垂线在轴上的截距为，求的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】 （1）利用直线的点斜式方程求出直线，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理及向量关系转化为坐标关系即可求解； （2）根据（1）的结论，利用直线的点斜式方程求出直线，将直线的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理及判别式，结合中点坐标公式及直线的截距的定义即可求解. 【详解】（1） 如图所示 设， 当直线的斜率是时，的方程为，即， 由，消化简整理，得， 所以，① 又．，② 由①②和得，，， 则抛物线的方程为； （2） 设，的中点坐标为， 由，消去化简整理，得， 所以， 所以，， 所以线段的中垂线方程为， 所以线段的中垂线在轴上的截距为， 由得或，可得， 所以的取值范围为． 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知在抛物线上存在两个不同的点M，N关于直线对称，求k的取值范围． 【答案】或． 【分析】解法一，设MN的方程为，联立抛物线方程可得判别式大于0，继而表示出MN中点的坐标，代入，可得，结合判别式大于0，即可得答案； 解法二，设点，，结合关于直线对称可得，结合MN的中点在l上，得出，再结合MN的中点必在抛物线包含的曲线内，可得不等式，求得答案. 【详解】解法一：由题意知，设，是曲线上关于直线l对称的两点， 则MN的方程可设为． 代入得，∴，① 设MN中点的坐标为，则，． ∵点在直线上，∴．∴,②． 将②代入①，得, ∴，即．∴或． 解法二：设点，关于直线对称． 由题意可知， 则，∴，即． 又MN的中点在l上，∴． ∵MN的中点必在抛物线的内部，∴，即， ∴，即或． 2．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知抛物线，过的直线交抛物线C于A，B两点，O是坐标原点，． (1)求抛物线C的方程； (2)若F点是抛物线C的焦点，求的最小值． 【答案】(1) (2)10 【分析】（1）设直线的方程为，，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系，结合可求出的值，从而可求出抛物线方程； （2）由（1）知，，而，化简后可求出其最小值. 【详解】（1）由题意知，直线的斜率不为零，设直线的方程为， 联立抛物线的方程得：， 恒成立， 设，，所以，． 又， 即，所以，即， 所以抛物线C的方程为． （2）由（1）知：，，， 所以 ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为10． 题型八：重点考查抛物线中的定点问题 典型例题 例题1．（24-25高二下·上海·单元测试）已知直线：与抛物线Γ：交于点A，B． (1)若直线的倾斜角为45°，且过抛物线Γ的焦点F，求直线的方程； (2)若，且，证明：直线l过定点． 【答案】(1)； (2)直线l过定点，证明见解析. 【分析】（1）根据直线的倾斜角为45°可以确定直线的斜率为1，抛物线Γ：的焦点为，根据点斜式可求得直线的方程； （2）设，，联立消去，根据韦达定理可知的值，在求出，在用向量乘法运算法则可求解. 【详解】（1）焦点F(2,0)，斜率，故直线的方程为； （2）设，，联立消去x， 整理得，由可知且， 根据韦达定理可知，， 由，即，得， 即，直线：， 故直线过定点. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知抛物线的焦点与椭圆的上顶点重合，点是直线上任意一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为． (1)求抛物线的方程． (2)证明直线过定点，并且求出定点坐标． 【答案】(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据椭圆的顶点计算求参得出抛物线方程； （2）根据导数求出切线斜率再分别表示切线应用同构或待定系数法求解即可. 【详解】（1）由题意椭圆的上顶点为， ，∴，∴． （2）法一（同构法）． 设点，，． 由，∴直线的斜率为，∴ 即 同理可得 ∵点，代入得 ∵点，代入得 ∴点、都满足关系 ∴① 又点，∴，代入①得 故直线恒过定点． 法二（配极原则）． 设定点为，由题目可知点所在直线是点对应的极线，∴由配极原则可得 即 对比的系数可得 ∴直线恒过定点． 精练核心考点 1．（2024·山东聊城·一模）已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且经过点，动直线不经过点、与相交于、两点，且直线和的斜率之积等于3. (1)求的标准方程； (2)证明：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，定点坐标为 【分析】 （1）结合抛物线性质设出抛物线方程，代入点坐标计算即可得； （2）设出、两点坐标，由直线和的斜率之积等于3，可得，联立曲线与直线方程，可得，，即可得，即可得直线过定点及顶点坐标. 【详解】（1）由抛物线关于轴对称，故可设， 由在抛物线上，故，解得， 故； （2）设、，， 同理可得，即有， 联立直线方程与抛物线方程，有， 即，， ，， 即有，化简得， 此时，则有解， 则，即直线过定点.    2．（23-24高二下·黑龙江大兴安岭地·开学考试）已知抛物线的焦点为为上一点且纵坐标为4，轴于点，且． (1)求的值； (2)已知点是抛物线上不同的两点，且满足．证明：直线恒过定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）设点，由抛物线定义可得，即可求出答案. （2）设直线，，联立方程组，得，根据，可得，代入直线方程即可. 【详解】（1）显然点，由抛物线定义可知，，而，解得， 所以抛物线方程为：. （2）点在抛物线上，设直线，点， 由消去x得，，， ， 整理得，将代入直线，得， 即，所以直线恒过定点.    题型九：重点考查抛物线中的定值问题 典型例题 例题1．（2023·陕西榆林·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：的焦点为F，位于第一象限的点A（点A的横坐标和纵坐标都为整数）在抛物线C上，且，． (1)求p的值及点A的坐标； (2)点B与A关于坐标原点对称，过点B的直线l（不经过点A）与抛物线C相交于M，N两点，直线AM，AN与x轴分别相交于点P，Q，求的值． 【答案】(1)，点的坐标为； (2)32. 【分析】（1）设，利用给定条件，结合抛物线的定义列出方程组求解. （2）求出点的坐标，设出直线的方程并与抛物线方程联立，设，求出直线的方程及点的横坐标，再结合韦达定理计算得解. 【详解】（1）设，则，由，得，即， 抛物线C：的焦点，准线方程为， 由，得，把代入，得， 由是整数得，，，又， 所以，点的坐标为. （2）由（1）得，抛物线的焦点，设， 直线不重直于坐标轴，且不过点，设直线的方程为， 由消去得，，即， 则，直线的斜率，同理直线斜率， 直线方程，令，得点的横坐标， 同理点的横坐标， 则， 所以的值为32.    【点睛】结论点睛：点是抛物线上的两点，则直线斜率；点是抛物线上的两点，则直线斜率. 例题2．（22-23高二下·四川内江·阶段练习）已知抛物线的准线与轴的交点为 . (1)求的方程，若经点的直线与有且只有一个公共点时，求直线的方程. (2)若过点的直线与抛物线交于，两点.求证： 为定值. 【答案】(1)，直线的方程为或或 (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线的准线求参数，即可写出抛物线方程，再分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立、消元，根据求出，即可得到直线方程； （2）设直线的方程为，，，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，表示出，，再代入韦达定理计算可得. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，依题意，解得， 所以抛物线， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，由， 消去整理得，则，解得或， 所以直线的方程为或， 综上可得直线的方程为或或. （2）依题意直线的斜率存在，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，. ∴. ∴为定值. 精练核心考点 1．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为是上在第一象限内的点，且直线的倾斜角为，点到的距离为． (1)求的方程； (2)设直线与交于两点，是线段上一点（异于两点），是上一点，且轴．若平行四边形的三个顶点均在上，与交于点，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线定义得到，再根据条件得到，代入抛物线方程得到方程，即可求出结果； （2）设直线的方程为，，根据条件得到，从而有直线的方程为，得到直线过点，又由题设知的中点坐标为，得到为的中点，即可解决问题. 【详解】（1）根据抛物线的定义，得，过点作轴，垂足为，则， 又，所以，代入，得， 整理得，解得（舍去）或， 故的方程为． （2）设，显然，与轴不平行， 设直线的方程为，， 联立得，则，且， 因为四边形为平行四边形，所以， 即，所以，得到， 又，即， 由点在上，得，解得， 所以直线的方程为，即， 所以直线过点， 又将代入，得，所以的中点坐标为，即为的中点， 所以，故为定值． 2．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）已知直线过抛物线的焦点，交抛物线于两点. (1)若，求直线的方程． (2)若过点和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点，直线的斜率是否为定值?若是，请求出定值，若不是，说明理由． 【答案】(1)或 (2)直线的斜率为定值0，理由见解析 【分析】（1）分斜率是否存在进行讨论，斜率存在时设，联立抛物线方程结合韦达定理、焦点弦弦长公式可得关于的方程，解方程并检验此时是否满足即可； （2）首先得，又，从而由即可判断. 【详解】（1）由题意知，抛物线焦点， 当直线斜率不存在时，联立与抛物线，解得，此时，不满足题意， 当直线斜率存在时，设， 由，得，注意， 由韦达定理知，，由抛物线的弦长公式，解得， 经验证，此时满足，所以，直线的方程为或． （2） 设，则直线与准线的交点为， 由（1）知，则，从而． 所以，直线的斜率为定值0． 题型十：重点考查抛物线定直线问题 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，已知抛物线，过点作两条直线分别交抛物线于点、和点、，直线、交于点．证明：点在定直线上． 【答案】证明见解析 【分析】设直线的方程，然后与抛物线联立方程组，消元，然后根据韦达定理即可求解. 【详解】证明：法一（常规证法） 由题意，设点，，，． 直线的方程为，直线的方程为． 由得， ∵恒成立，由韦达定理得，， 同理有，， ∴， ∴① 同理可得 ∵，∴，同理∵，∴， ∴， 即② 联立①②得 整理得 化简得，即点在直线上． 法二（参数方程）． 设，，，，（，）， 则， ∴， 同理可得， ∵，且，， ∴ 化简得，同理可得． 由整理得 即，∴点在直线上． 【点睛】本题考查了抛物线中的定直线问题，求直线方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 例题2．（2024·广西·模拟预测）已知F为抛物线的焦点，直线与C交于A，B两点且. （1）求C的方程. （2）若直线与C交于M，N两点，且与相交于点T，证明：点T在定直线上. 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）解：设，，直线方程与抛物线方程联立方程组消去后应用韦达定理得，利用焦半径公式及韦达定理的结果可求得得抛物线方程； （2）设，，，把两点坐标代入抛物线方程相减琍，同理可得，然后求得交点的横坐标为常数即证（由．化为坐标表示后相加即可得）． 【详解】（1）解：设，，由，得， 则， 从而， 解得，故的方程为. （2）证明：设，，，. 因为，所以. 根据得，则， 同理得. 又两式相加得， 即，由于，所以. 故点在定直线上. 【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交求抛物线的方程，点在定直线上等问题，解题方法一是应用韦达定理得出交点的坐标之和，利用焦半径公式求解，二是把交点坐标代入抛物线方程相减同弦中点坐标与弦所在直线斜率之间的关系． 精练核心考点 1．（2024·广东肇庆·三模）设抛物线的焦点为，过点的动直线与抛物线交于，两点，当在上时，直线的斜率为. （1）求抛物线的方程； （2）在线段上取点，满足，，证明：点总在定直线上. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）利用直线的斜率列方程，化简求得，由此求得抛物线方程. （2）设直线的方程为，联立直线的方程和抛物线方程，化简写出根与系数关系.利用向量的坐标运算建立中的关系式，由此求得点所在定直线方程. 【详解】（1）由题意，得，则，解得， 故抛物线的方程为. （2）证明：设，，， 直线的方程为. 由得， ，. 由，，得，， 故，化简得. 又，故， 化简得， 即，则或. 当点在定直线上时，直线与抛物线只有一个交点，与题意不符. 故点在定直线上. 【点睛】在解析几何中的向量运算，可用来建立方程，通过化简方程来进行解题. 2．（2024·湖南郴州）已知抛物线的焦点为，过点的直线分别交抛物线于两点． （1）若以为直径的圆的方程为，求抛物线的标准方程； （2）过点分别作抛物线的切线，证明：的交点在定直线上． 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据抛物线的定义可求圆心到准线的距离为，从而可求抛物线的方程． （2）设，利用导数求出两点处的切线方程，从而可求的交点的坐标，再联立直线和抛物线的方程可得，从而可得的交点的纵坐标为定值，故的交点在定直线上． 【详解】（1）设中点为，到准线的距离为，到准线的距离为， 到准线的距离为，则且. 由抛物线的定义可知，，所以， 由梯形中位线可得，所以，可得， 所以抛物线的标准方程为. （2）证明：设，由，得，则， 所以直线的方程为， 直线的方程为， 联立得，解得， 即直线的交点坐标为. 因为过焦点， 由题可知直线的斜率存在，故可设直线方程为， 代入抛物线中，得， 所以，故，所以的交点在定直线上． 【点睛】关键点点睛：抛物线中过焦点的弦长问题要注意利用定义转化为到准线的距离问题，对于焦点在轴上的抛物线的切线问题，可以利用导数来求切线方程，从而简化运算． 题型十一：重点考查抛物线中向量问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·全国·单元测试）已知抛物线的焦点是． (1)若过原点作两条直线交曲线于两点，且，求证：直线过定点； (2)若过曲线上一点作两条直线交曲线于两点，且，求的面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意的斜率均存在，且不为零，不妨设直线，则直线，联立抛物线方程可表示出坐标，进一步表示出直线方程即可得解； （2）将已知点坐标代入抛物线方程求得参数即得抛物线方程，，设，由题意可知直线的斜率存在，则可设直线的方程为，联立抛物线方程，结合、韦达定理可得关系，进一步结合判别式大于0可得的范围，将的面积表示成的函数，结合的范围即可求解. 【详解】（1） 因为是两直线与抛物线的交点，所以的斜率均存在，且不为零， 故可设直线，则直线． 由，所以． 同理得． 则， 则直线的方程为， 所以直线过定点． （2） 因为点在曲线上， 所以将点的坐标代入曲线的方程可得，解得，即，则． 设， 由题意可知直线的斜率存在，则可设直线的方程为． 则由得，则． 所以 ， 得或，满足． 而点到的距离， 则． 所以． 所以的面积的取值范围为． 例题2．（2024·山西太原·二模）已知抛物线C：（）的焦点为F，过点且斜率为1的直线经过点F． (1)求抛物线C的方程； (2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点M时，满足？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在； 【分析】（1）根据点斜式求解直线方程，即可求解焦点坐标，进而可得， （2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，结合向量垂直的坐标运算，即可求解. 【详解】（1）由题意过点且斜率为1的直线方程为，即，令，则， ∴点F的坐标为，∴， ∴．抛物线C的方程为． （2）由（1）得抛物线C：，假设存在定点， 设直线AB的方程为（），，， 由，得， ∴，，， ∵，∴， ∴ ， ∴或（舍去）， 当时，点M的坐标为，满足，， ∴存在定点． 精练核心考点 1．（2024·浙江丽水·二模）已知抛物线，点在抛物线上，且在轴上方，和在轴下方（在左侧），关于轴对称，直线交轴于点，延长线段交轴于点，连接. (1)证明：为定值（为坐标原点）； (2)若点的横坐标为，且，求的内切圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件作出图形，设出直线的方程，与抛物线联立，利用韦达定理及直线的点斜式方程即可求解； （2）根据（1）的结论及向量的数量积的坐标表示，进而得出直线的方程，利用直线的斜率公式及直线的点斜式方程，结合角平分线的性质及圆的标准方程即可求解. 【详解】（1）设直线的方程为，则， 由，消去，得， ， 所以， 直线的方程为，化简得， 令，得，所以 因此. （2）因为点的横坐标为，由（1）可知，， 设交抛物线于，，如图所示 又由（1）知，，同理可得，得， 又， ， 又， 则， 故结合，得. 所以直线的方程为 又， 则， 所以直线的方程为， 设圆心, 因为为的平分线，故点到直线和直线的距离相等， 所以，因为，解得， 故圆的半径， 因此圆的方程为. 2．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知A，B，C是抛物线上三点，且，，垂足为D. (1)当C的坐标为时，求点D的轨迹方程； (2)当C的坐标为时，是否存在点Q，使得为定值，若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)（除去原点） (2)存在， 【分析】（1）设直线的方程为，与抛物线联立，由得直线过定点，再利用求出轨迹方程； （2）同（1）的方法，先求出直线恒过，再利用直角三角形和圆的意义，求出定点和定值. 【详解】（1）设，，直线的方程为. 联立得，则，①， 因为，所以，即， 所以②， 由①②得：,整理得， 因为，所以，直线恒过定点， 设点，则，即，整理得， 所以点的运动轨迹为以为圆心，半径为2的圆（原点除外）. （2）由（1）因为， 所以，，， 则 ③， 将①代入③得：， 得，或者. 当时，直线过. 当时，直线过，此时在上，不合题意. 所以直线恒过. 因为为定点，所以为定值， 在中取中点，连接，， 所以为定值. 此时的坐标为， 故存在点，使得为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $$