第05讲 拓展二：直线与双曲线的位置关系（14大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第05讲 拓展二：直线与双曲线的位置关系 目录 题型一：重点考查直线与双曲线位置关系 1 题型二：重点考查直线与双曲线交点坐标 2 题型三：重点考查双曲线的切线 3 题型四：重点考查根据直线与双曲线位置关系求参数 4 题型五：重点考查根据根与系数关系求参数 5 题型六：重点考查求双曲线中弦长 7 题型七：重点考查双曲线中焦半径与焦点弦问题 9 题型八：重点考查双曲线中四边形面积 10 题型九：重点考查双曲线中的中点弦问题 11 题型十：重点考查双曲线中参数范围及最值问题 13 题型十一：重点考查双曲线中定点问题 15 题型十二：重点考查双曲线中定值问题 17 题型十三：重点考查双曲线中定直线问题 19 题型十四：重点考查双曲线中向量问题 21 题型一：重点考查直线与双曲线位置关系 典型例题 例题1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 例题2．（23-24高二上·全国·单元测试）讨论直线与双曲线的公共点的个数． 精练核心考点 1．（23-24高二上·湖北咸宁·期末）曲线与直线的公共点的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）当取何值时，直线与双曲线相交？ 题型二：重点考查直线与双曲线交点坐标 典型例题 例题1．（23-24高二·江苏·假期作业）双曲线的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则B点坐标为 ，△AFB的面积为 . 例题2．（23-24高二上·全国·课后作业）求下列直线和双曲线的交点坐标： （1），；     （2），． 精练核心考点 1．（23-24高二·全国·课后作业）直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为 . 2．（23-24高二·全国·课堂例题）判断直线与双曲线是否有公共点．如果有，求出公共点的坐标． 题型三：重点考查双曲线的切线 典型例题 例题1．（23-24高三上·浙江·阶段练习）若直线与单位圆和曲线均相切，则直线的方程可以是 .（写出符合条件的一个方程即可） 例题2．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知双曲线E的两个焦点分别为，并且E经过点. (1)求双曲线E的方程； (2)过点的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程. 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）求双曲线在点处的切线方程． 2．（2024高三·全国·专题练习）设双曲线：上点．求双曲线在点处的切线的方程． 题型四：重点考查根据直线与双曲线位置关系求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·上海·阶段练习）如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（23-24高二上·河北保定·期末）已知点，直线上有且仅有一点满足，则可能是（   ） A．0 B．－1 C． D． 例题3．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是． (1)求双曲线的方程； (2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 精练核心考点 1．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 3．（23-24高二上·四川自贡·阶段练习）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两个不同的点． (1)求曲线的方程； (2)求实数的取值范围； 题型五：重点考查根据根与系数关系求参数 典型例题 例题1．（23-24高二上·河南信阳·期末）过点作直线l与双曲线交于点A，B，若P恰为AB的中点，则直线l的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 例题2．（23-24高二上·湖南永州·阶段练习）已知双曲线的离心率为，虚轴长为． (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆上，求m的值． 例题3．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知双曲线（，）中，离心率，实轴长为4 (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线：与双曲线交于，两点，且在双曲线存在点，使得，求的值. 精练核心考点 1．（23-24高三上·河北·阶段练习）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A，B两点，若，则这条直线可以是 （写出一个即可）． 2．（23-24高二上·黑龙江大兴安岭地·期中）已知双曲线的渐近线为，焦点到渐近线的距离是． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点A、B，且线段的中点在圆上，求实数的值． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知斜率为1的直线与双曲线相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3），求双曲线C的离心率. 题型六：重点考查求双曲线中弦长 典型例题 例题1．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的弦．则的长是 ． 例题2．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线E的离心率； (2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长． 例题3．（23-24高二·全国·课后作业）过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线. (1)求证：与双曲线有两个不同的交点； (2)求线段的中点的坐标和. 精练核心考点 1．（23-24高二下·上海黄浦·期末）双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2，过右焦点作垂直于轴的直线与双曲线的右支交于两点，则 ． 2．（23-24高二下·四川自贡·期末）设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点. (1)双曲线C的方程； (2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求. 3．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知双曲线的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长． 题型七：重点考查双曲线中焦半径与焦点弦问题 典型例题 例题1．（多选）（23-24高二上·广东中山·期末）过双曲线的左焦点作直线交于、两点，则（    ） A．若，则直线只有条 B．若，则直线有条 C．若，则直线有条 D．若，则直线有条 例题2．（23-24高二上·内蒙古包头·阶段练习）已知双曲线，，分别是双曲线的左、右焦点． (1)P为双曲线上一点，．求的面积；求的值． (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求弦长的值． 精练核心考点 1．（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知双曲线两个焦点分别是，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程; （2）过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的周长. 2．（2024高三·全国·专题练习）过双曲线的左焦点引直线交双曲线于A，B两点，|AB|=48，求直线方程． 题型八：重点考查双曲线中四边形面积 典型例题 例题1．（2024·全国·模拟预测）过双曲线的右焦点的直线与的右支交于两点，为原点，线段的中点与线段的中点重合，则四边形面积的取值范围是 ． 例题2．（23-24高二下·河南开封·期末）已知，是双曲线C：的左、右焦点，M，N是C上关于原点对称的两点，且，则四边形的面积是 ． 精练核心考点 1．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知双曲线C：1的左､右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于P，Q两点，当|PQ|最小时，四边形F1PF2Q的面积为 . 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知 为坐标原点，等轴双曲线的右焦点为，点 在双曲线 上，由向双曲线的渐近线作垂线，垂足分别为、，则四边形的面积为 . 题型九：重点考查双曲线中的中点弦问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·河南·开学考试）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求的面积. 例题2．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线中，离心率为，且经过点． (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围； (3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 例题3．（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）已知，，动圆与圆和圆都外切，圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线C的方程； (2)若过点的直线交曲线C于A，B两点，点Q能否为线段的中点？为什么？ 精练核心考点 1．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 . 2．（23-24高二上·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线C：． (1)若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程． 3．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且线段的中点为，求直线的方程． 题型十：重点考查双曲线中参数范围及最值问题 典型例题 例题1．（2024·山东德州）已知，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的取值范围是 ． 例题2．（23-24高二下·上海松江·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，且经过点．点M，N在y轴上，（O为坐标原点），直线AM，AN分别交双曲线C于P，Q两点． (1)求双曲线C的方程． (2)求点O到直线PQ的距离的最大值． 精练核心考点 1．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知点是双曲线上任意一点. (1)求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)已知点，求的最小值. 2．（23-24高二上·上海奉贤·期末）已知双曲线. （1）求双曲线的两条渐近线的夹角的大小； （2）设定点A(a，0)(a>0)，求双曲线上的动点P到A的距离d的最小值. 3．（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知双曲线：（）与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的方程； (2)已知点，点，在双曲线的左支上，满足，证明：直线过定点； (3)在（2）的条件下，求点到直线距离的最大值. 题型十一：重点考查双曲线中定点问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C. (1)直线与圆相切于点Q，求的值； (2)求曲线C的方程； (3)过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 例题2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C． (1)证明：曲线C为双曲线的一支； (2)已知点，不经过点的直线与曲线C交于A，B两点，且．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由． 精练核心考点 1．（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，点在的渐近线上，且满足. (1)求的方程； (2)点为的左顶点，过的直线交于两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：线段的中点为定点. 2．（2024·贵州贵阳·一模）已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上. (1)求双曲线的方程； (2)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值； (3)过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点. 题型十二：重点考查双曲线中定值问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·甘肃·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知双曲线的右焦点，点分别在C的两条渐近线上，轴，（O为坐标原点）． (1)求双曲线C的方程； (2)过C上一点的直线与直线AF相交于点M，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值． 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，分别为有心二次曲线的左、右焦点，为曲线上任意一点，直线，分别交曲线于点（异于点），设，，求证：为定值． 2．（2024·新疆·一模）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，离心率为 2，  是上一点，且，的周长为 12. (1)求C的方程; (2)过的直线与C的右支交于A，B两点，过原点O作AB的垂线，并且与双曲线右支交于点P，证明： 为定值. 题型十三：重点考查双曲线中定直线问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程． (2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由． 例题2．（2024·河北·二模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于点，且的最小值为. (1)求的方程； (2)若均在的右支上且的外心落在轴上，求直线的方程. 精练核心考点 1．（23-24高二上·江西萍乡·期中）已知双曲线：的离心率为，其左、右顶点分别为，，右焦点为，为的左支上不同于的动点，当的纵坐标为时，线段的中点恰好在轴上． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点，连接交的右支于点，直线与直线相交于点，证明：当在的左支上运动时，点在定直线上． 2．（2024·贵州遵义·一模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，直线与的左、右两支分别交于，两点，四边形为矩形，且面积为． (1)求四边形的外接圆方程； (2)设，为的左、右顶点，直线过点与交于，两点（异于，），直线与交于点，证明：点在定直线上． 题型十四：重点考查双曲线中向量问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·海南海口·期末）已知双曲线的离心率为，且的右焦点到渐近线的距离为. (1)求的标准方程； (2)过点作直线与的右支相交于两点，为原点，证明：为锐角. 例题2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线，抛物线的焦点F是双曲线M的右顶点，且以F为圆心，以b为半径的圆与直线相切． (1)求双曲线M的标准方程； (2)已知直线与双曲线M交于A、B两点，且双曲线M是否存在上存在点P满足，若存在，求出m的值，若不存在请说明理由． 精练核心考点 1．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知双曲线的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程与准线方程； (2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 2．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点.已知直线与直线的斜率之积为8. (1)求点A的轨迹方程； (2)记的左、右焦点分别为、，过定点的直线交于、两点.若、两点满足，求直线的方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 拓展二：直线与双曲线的位置关系 目录 题型一：重点考查直线与双曲线位置关系 1 题型二：重点考查直线与双曲线交点坐标 4 题型三：重点考查双曲线的切线 6 题型四：重点考查根据直线与双曲线位置关系求参数 9 题型五：重点考查根据根与系数关系求参数 12 题型六：重点考查求双曲线中弦长 17 题型七：重点考查双曲线中焦半径与焦点弦问题 21 题型八：重点考查双曲线中四边形面积 25 题型九：重点考查双曲线中的中点弦问题 28 题型十：重点考查双曲线中参数范围及最值问题 35 题型十一：重点考查双曲线中定点问题 42 题型十二：重点考查双曲线中定值问题 49 题型十三：重点考查双曲线中定直线问题 54 题型十四：重点考查双曲线中向量问题 61 题型一：重点考查直线与双曲线位置关系 典型例题 例题1．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线，双曲线，则（    ） A．直线与双曲线有且只有一个公共点 B．直线与双曲线的左支有两个公共点 C．直线与双曲线的右支有两个公共点 D．直线与双曲线的左右两支各有一个公共点 【答案】C 【分析】发现点在双曲线的右顶点的右边，联立直线与双曲线方程并画出图形即可得到答案. 【详解】在同一平面直角坐标系中分别画出与的图象如图所示： 由图可知直线过点，它在双曲线的右顶点的右边， 联立直线与双曲线方程得，解得或， 则直线与双曲线的右支有两个公共点. 故选：C. 例题2．（23-24高二上·全国·单元测试）讨论直线与双曲线的公共点的个数． 【答案】答案见解析 【分析】联立方程组得到，结合一元二次方程的性质，分类讨论，即可求解. 【详解】联立方程组，整理得， 当时，即时，具体为：当时，；当时，；此时直线与双曲线有一个交点； 当时，即时，可得， 由，即，可得且，此时直线与双曲线有两个交点； 由，即，可得，此时直线与双曲线只有一个交点； 由，即，可得或，此时直线与双曲线没有交点； 综上可得： 当时，直线与双曲线有两个公共点； 当或时，直线与双曲线有一个公共点； 当时，直线与双曲线没有公共点. 精练核心考点 1．（23-24高二上·湖北咸宁·期末）曲线与直线的公共点的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据以及分别得曲线为椭圆以及双曲线的一部分，根据直线与其关系即可求解. 【详解】当时，曲线的方程为，表示椭圆的上半部分含与轴的交点，此时曲线与的交点为(0,3),(4,0), 当时，曲线的方程为，表示双曲线在轴下方的部分， 其一条渐近线方程为：，故直线与无交点， 曲线与直线的公共点的个数为. 故选：B 2．（23-24高二上·全国·课后作业）当取何值时，直线与双曲线相交？ 【答案】 【分析】联立方程组得到，分和，分两种情况讨论，结合一元二次方程的性质，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，其渐近线方程为， 联立方程组，整理得， 若时，即，直线方程为， 此时直线与双曲线的渐近线平行，所以与双曲线只有一个交点； 若时，即，可得， 当时，即，解得且时， 此时直线与双曲线有两个交点； 当时，即，解得且时， 此时直线与双曲线相切，只有一个交点； 当时，即，解得或时， 此时直线与双曲线没有交点， 综上可得，实数的取值范围是. 题型二：重点考查直线与双曲线交点坐标 典型例题 例题1．（23-24高二·江苏·假期作业）双曲线的右顶点为A，右焦点为F，过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则B点坐标为 ，△AFB的面积为 . 【答案】 . / 【分析】首先表示过点于双曲线的渐近线平行的直线，并与双曲线方程联立，求得点的坐标，并根据几何关系表示的面积. 【详解】双曲线的右顶点，右焦点，渐近线方程为. 不妨设直线FB的方程为，代入双曲线方程整理，得， 解得，； 同理，若直线的方程为，则，； 所以. 所以.      故答案为：； 例题2．（23-24高二上·全国·课后作业）求下列直线和双曲线的交点坐标： （1），；     （2），． 【答案】（1）；（2）. 【分析】将直线方程与双曲线方程联立，消去y，解方程，解出交点坐标. 【详解】（1）由消去y，得：，解得：或， 由解得，；由解得，； 所以交点坐标为：； （2）由消去y，得：，解得：. 求得，； 所以交点坐标为. 精练核心考点 1．（23-24高二·全国·课后作业）直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为 . 【答案】 【分析】联立直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1方程求解 【详解】由，解得：， 所以直线y＝x＋4与双曲线x2－y2＝1的交点坐标为． 【点睛】本题考查了直线与曲线的交点问题，联立方程即可求解． 2．（23-24高二·全国·课堂例题）判断直线与双曲线是否有公共点．如果有，求出公共点的坐标． 【答案】有，坐标为 【分析】将直线方程与双曲线方程联立，消去一个未知数，通过一元二次方程的解的情况进行求解判断即可. 【详解】联立直线与双曲线的方程，可得方程组 消去y，可得，由此可解得．此时，． 因此直线与双曲线有一个公共点，且公共点的坐标为． 题型三：重点考查双曲线的切线 典型例题 例题1．（23-24高三上·浙江·阶段练习）若直线与单位圆和曲线均相切，则直线的方程可以是 .（写出符合条件的一个方程即可） 【答案】 【分析】由题意设直线方程为，利用直线与单位圆和曲线均相切，联立直线与曲线方程，消去变量后整理为关于的一元二次方程，利用判别式为0，求得关系，解出的值，可得直线方程. 【详解】解：由题可知，直线的斜率存在，设直线方程为， 单位圆的方程为： 所以 则，整理得： 所以 则，整理得： 所以，解得 则 则直线的方程为：. 故答案为：. 例题2．（23-24高二上·福建漳州·期末）已知双曲线E的两个焦点分别为，并且E经过点. (1)求双曲线E的方程； (2)过点的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的焦距及过点列出方程求解方程即可； （2）分直线斜率存在，不存在讨论，当斜率存在时，利用直线与双曲线方程组有且只有一解求斜率即可. 【详解】（1）由已知可设双曲线E的方程为， 则，解得， 所以双曲线E的方程为. （2）当直线l的斜率不存在时，显然不合题意， 所以可设直线l的方程为，如图，    联立，得（*）， ①当，即或时，方程（*）只有一解， 所以直线l与双曲线E有且仅有一个公共点， 此时，直线l的方程为； ②当，即时，要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点， 则，解得， 此时，直线l的方程为. 综上所述，直线l的方程为或. 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）求双曲线在点处的切线方程． 【答案】 【分析】根据仿射变换可解. 【详解】设变换，则， 可将双曲线变换为圆， 于是点可化为， 显然在圆上， 易得切线方程为，即， 双曲线在点处的切线方程为. 2．（2024高三·全国·专题练习）设双曲线：上点．求双曲线在点处的切线的方程． 【答案】. 【分析】将双曲线在某点的切线方程转化为曲线在某点的切线方程，利用导数求出在某点的切线斜率，进一步求出切线的方程. 【详解】由可得， 根据题目条件，可知求曲线在点P处的切线的方程， ∴曲线在点P处的切线斜率为 ∴曲线在点P处的切线方程为 化简得 ∴双曲线C在点P处的切线的方程为． 题型四：重点考查根据直线与双曲线位置关系求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·上海·阶段练习）如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设直线方程为，与双曲线联立消去得，，因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根，所以，即可求出答案. 【详解】依题意知，直线的斜率存在，设为，双曲线的中心为， 因为直线经过双曲线的中心，所以设直线方程为， 由，消去得，， 因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根， 所以，即，解得或， 所以直线l的斜率的取值范围是：. 故选：B. 例题2．（多选）（23-24高二上·河北保定·期末）已知点，直线上有且仅有一点满足，则可能是（   ） A．0 B．－1 C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，得到点的轨迹方程为，结合双曲线的几何性质，以及直线与双曲线的位置关系，逐项判定，即可求解. 【详解】由点，且点满足， 根据双曲线的定义，可得点是以为焦点的双曲线的右支，且， 所以双曲线的方程为， 又由直线，可得， 联立方程组，解得，所以直线过定点， 由双曲线的渐近线方程为， 当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支相切，只有一个公共点，符合题意，所以A正确； 当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支只有一个公共点，符合题意，所以B正确； 当时，直线的方程为，此时直线与双曲线的右支没有公共点，不符合题意，所以C不正确； 当时，直线的方程为，联立方程组，其中， 可得，此时，且易知方程有两个正根， 所以直线与双曲线有两个公共点，不符合题意，所以D不正确. 故选：AB. 例题3．（23-24高二上·上海·阶段练习）已知点在双曲线上，且双曲线的一条渐近线的方程是． (1)求双曲线的方程； (2)若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由渐近线公式，以及代入点的坐标，即可求解双曲线方程； （2）直线方程与双曲线方程联立，根据交点个数，求实数的取值范围. 【详解】（1）由条件可知，，且，解得：，， 所以双曲线方程为； （2）设直线的方程为， 联立，， 时，，得； 当时，时，，得，满足条件， 综上可知，或. 精练核心考点 1．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分析可得直线与渐近线平行，结合平行关系运算求解. 【详解】双曲线可得，，， 所以双曲线的渐近线方程为，右焦点为， 因为直线与只有一个交点，所以直线与双曲线的渐近线平行， 所以，解得. 故选：B. 2．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线与双曲线有且仅有一个公共点，则实数的取值为 ． 【答案】或 【分析】联立直线与双曲线的方程组，通过消元，利用方程解的个数，求出的值即可 【详解】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为； 由，消去整理得． 当即时，此时直线与双曲线的渐近线平行， 此时直线与双曲线相交于一点，符合题意； 当即时，由，解得， 此时直线双曲线相切于一个公共点，符合题意， 综上所述：符合题意的的所有取值为或， 故答案为：或. 3．（23-24高二上·四川自贡·阶段练习）已知两定点，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于两个不同的点． (1)求曲线的方程； (2)求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先根据双曲线的定义判断出曲线是双曲线的左支，和已知，则可求得，曲线的方程可得； （2）设出，的坐标，把直线方程与双曲线方程联立消去，进而根据直线与双曲线左支交于两点，，联立不等式求得的范围； 【详解】（1）由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支， 且，则， 故曲线的方程为． （2）设，，，，由题意建立方程组， 消去，得， 又已知直线与双曲线左支交于两点，，有， 解得． 所以的取值范围是． 题型五：重点考查根据根与系数关系求参数 典型例题 例题1．（23-24高二上·河南信阳·期末）过点作直线l与双曲线交于点A，B，若P恰为AB的中点，则直线l的条数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合一元二次方程根的判别式进行判断即可. 【详解】设直线l：，由， 得，（※） 设，，则，由，即，得，此时，（※）式为，由于，所以直线l与双曲线无公共点，这样的直线不存在. 故选：A 例题2．（23-24高二上·湖南永州·阶段练习）已知双曲线的离心率为，虚轴长为． (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线与双曲线C交于不同的两点A、B，且线段AB的中点在圆上，求m的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由，求出，由此求出双曲线方程． （2）联立与双曲线方程，由韦达定理得到两根之和，进而求出AB中点坐标，代入圆方程求出m的值． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴所求双曲线方程为 ； （2）由， 消y得，， 故，， ∴AB中点为， 代入中可得， ∴． 例题3．（23-24高二上·四川泸州·期中）已知双曲线（，）中，离心率，实轴长为4 (1)求双曲线的标准方程； (2)已知直线：与双曲线交于，两点，且在双曲线存在点，使得，求的值. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据离心率以及实轴长即可求解的值，进而可求双曲线方程， （2）联立直线与曲线的方程，得韦达定理，进而结合向量满足的关系即可代入求值. 【详解】（1）因为双曲线的离心率，实轴长为4， ，解得， 因为 所以双曲线的标准方程为 （2）将直线与曲线联立 得， 设，，则，， 设，由得， 即 ，又因为，解得， 所以或. 精练核心考点 1．（23-24高三上·河北·阶段练习）过双曲线的右焦点作直线交双曲线于A，B两点，若，则这条直线可以是 （写出一个即可）． 【答案】（任选一个即可）. 【分析】利用韦达定理表示弦长即可求解. 【详解】设直线方程为，， 联立得， 因为直线交双曲线于A，B两点，所以， 所以 所以， 即解得， 所以这条直线为: . 即， 故答案为: （任选一个即可）. 2．（23-24高二上·黑龙江大兴安岭地·期中）已知双曲线的渐近线为，焦点到渐近线的距离是． (1)求双曲线的方程； (2)已知直线与双曲线交于不同的两点A、B，且线段的中点在圆上，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由渐近线为可得，根据焦点到渐近线的距离是，求出c，利用双曲线中即可求得双曲线方程； （2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算． 【详解】（1）解：由题知，， 设右焦点，取一条渐近线， 则焦点到渐近线的距离， ，从而， 所以双曲线的方程为. （2）解：设，， 由，得， 则，， 所以， 则中点坐标为， 代入圆，得， 所以． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知斜率为1的直线与双曲线相交于B、D两点，且BD的中点为M（1，3），求双曲线C的离心率. 【答案】2． 【分析】由题可求直线的方程，代入双曲线可得，设，根据韦达定理及中点坐标公式可得，结合及离心率公式即可求解. 【详解】由题设知：即l的方程为y＝x+2，代入双曲线，并化简得：，（*） 设，则，， 由M（1，3）为BD的中点，知，故，即． 故c＝2a，∴e＝2． 题型六：重点考查求双曲线中弦长 典型例题 例题1．（23-24高二上·江苏连云港·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的弦．则的长是 ． 【答案】25 【分析】 设，，求出双曲线的焦点坐标，利用点斜式求出直线方程，将直线的方程代入双曲线的方程，利用韦达定理求得，，再根据弦长公式即可得解. 【详解】设，，双曲线的左焦点为， 则直线的方程为，由得，， ，，则． 故答案为：25. 例题2．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为． (1)求双曲线E的离心率； (2)设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据左顶点与渐近线的方程求得即可得到离心率； （2）求出交点纵坐标代入弦长公式求解. 【详解】（1）由题意知，且，     ， 所以双曲线的离心率． （2）由（1）知双曲线方程为， 将即代入，得，    不妨设， 所以． 例题3．（23-24高二·全国·课后作业）过双曲线的左焦点，作倾斜角为的直线. (1)求证：与双曲线有两个不同的交点； (2)求线段的中点的坐标和. 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】（1）由双曲线方程可得，进而得到方程；将与双曲线联立，由可得结论； （2）由（1）可得韦达定理的形式，将代入方程即可求得点坐标；利用弦长公式可求得. 【详解】（1）由双曲线方程知：，则， 由得：，则， 与双曲线有两个不同的交点. （2）设，， 由（1）得：，，； ； . 精练核心考点 1．（23-24高二下·上海黄浦·期末）双曲线的左、右焦点分别为，已知焦距为8，离心率为2，过右焦点作垂直于轴的直线与双曲线的右支交于两点，则 ． 【答案】12 【分析】根据双曲线的焦距和离心率求得双曲线方程，根据题意可令，即可求得答案. 【详解】由题意双曲线，则半焦距， 又离心率为2，则，故， 则双曲线方程为， 过右焦点作垂直于轴的直线与双曲线的右支交于两点， 则令，故， 故， 故答案为：12. 2．（23-24高二下·四川自贡·期末）设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点. (1)双曲线C的方程； (2)若直线l：与双曲线C相交于A､B两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标，即可得到，再根据为等腰直角三角形，即可求出，最后根据，求出，即可求出双曲线方程； （2）设，联立直线与双曲线方程，消元列出韦达定理，利用弦长公式计算可得； 【详解】（1）解：抛物线的焦点为， 所以，即，，又点，，是等腰直角三角形的三个顶点， 所以，即，又，所以， 所以双曲线方程为. （2）解：依题意设，， 由消去整理得， 由，所以，， 所以 . 3．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知双曲线的渐近线方程为，且过点． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据双曲线渐近线斜率、双曲线过点可构造方程求得，由此可得双曲线方程； （2）由双曲线方程可得焦点坐标，由此可得方程，与双曲线方程联立后，利用弦长公式可求得结果. 【详解】（1）由双曲线方程知：渐近线斜率，又渐近线方程为，； 双曲线过点，； 由得：，双曲线的方程为：； （2）由（1）得：双曲线的焦点坐标为； 若直线过双曲线的左焦点，则， 由得：； 设，，则， ； 由双曲线对称性可知：当过双曲线右焦点时，； 综上所述：. 题型七：重点考查双曲线中焦半径与焦点弦问题 典型例题 例题1．（多选）（23-24高二上·广东中山·期末）过双曲线的左焦点作直线交于、两点，则（    ） A．若，则直线只有条 B．若，则直线有条 C．若，则直线有条 D．若，则直线有条 【答案】ABD 【分析】先由双曲线方程得到焦点坐标和渐近线方程，再对直线的斜率进行讨论，利用弦长公式即可判断. 【详解】因为双曲线的左焦点的坐标为， 该双曲线的渐近线方程为， 若直线的斜率不存在，则的方程为，代入双曲线，得，此时； 若直线的斜率存在，可设的方程为， 可设、，由联立可得， 为使与双曲线有两个不同的交点，则，可得， 由韦达定理可得，所以. A选项，由可得，无解，因此若，则的方程只有，A正确； B选项，由，可得，解得， 因此，若，则的方程为，B正确； C选项，由，可得，解得， 因此，若，则的方程为，C正确； D选项，由，可得，解得或， 因此，若，则的方程为或，D正确. 故选：ABD. 例题2．（23-24高二上·内蒙古包头·阶段练习）已知双曲线，，分别是双曲线的左、右焦点． (1)P为双曲线上一点，．求的面积；求的值． (2)过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求弦长的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意可知，由余弦定理结合焦点三角形的性质可得， 联立两式即可求得，进而即可求解. （2）求出直线的方程，联立直线方程和双曲线方程，根据弦长公式即可求解. 【详解】（1）不妨设点在第二象限，如图所示：    根据题意得， 又因为， 所以， 由余弦定理结合焦点三角形的性质可得， 所以， 解得， 所以由三角形面积公式可知， 而. （2）由（1）可知双曲线的右焦点，且由题意直线的斜率为， 则直线的方程为， 联立，得， 设，则由韦达定理， 所以由弦长公式有 . 精练核心考点 1．（23-24高二上·黑龙江大庆·阶段练习）已知双曲线两个焦点分别是，点在双曲线上. （1）求双曲线的标准方程; （2）过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的周长. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由轴可得，结合焦点坐标可得，从而得到的值，得到所求标准方程；（2）根据双曲线渐近线倾斜角可知均在双曲线右支上，根据双曲线定义可知所求周长等于，将直线方程代入双曲线方程，利用弦长公式求得，代入得到结果. 【详解】（1），    轴    且 又，即，解得：     双曲线的标准方程为： （2）由（1）知，双曲线渐近线为，倾斜角为 直线过且倾斜角为    均在双曲线的右支上 ，     设直线方程为： 代入双曲线方程得：     的周长为： 【点睛】本题考查双曲线标准方程的求解、双曲线中的三角形周长的求解问题；关键是能够利用双曲线的定义将问题转化为弦长的求解，利用弦长公式求得结果. 2．（2024高三·全国·专题练习）过双曲线的左焦点引直线交双曲线于A，B两点，|AB|=48，求直线方程． 【答案】或或或 【分析】由题意，明确双曲线的三个参数，求得左焦点坐标，分别讨论直线斜率存在与不存在的情况，联立方程，由韦达定理，结合弦长公式，可得答案. 【详解】由双曲线方程，可得，则， 故双曲线左焦点的坐标为， 当过左焦点的直线斜率不存在时，可得方程为，代入， 可得，解得，易知，不符合题意； 当过左焦点的直线斜率存在时，可设方程为， 联立方程可得，消去可得， 由题意，，解得， 设，则， 即， 由，则，，两边分别平方可得：，整理可得：，，解得或，即或， 故直线方程为或或或. 题型八：重点考查双曲线中四边形面积 典型例题 例题1．（2024·全国·模拟预测）过双曲线的右焦点的直线与的右支交于两点，为原点，线段的中点与线段的中点重合，则四边形面积的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意设直线的方程为，将其与双曲线方程联立化简得，结合韦达定理、弦长公式可用表示出，由点到直线的距离公式可得三角形边上的高，从而可得三角形面积表达式，进一步可得（平行）四边形面积表达式，进一步即可求解. 【详解】 由题意得． 因为点在的右支上， 所以设直线的方程为． 与联立，得，， 设，则， 所以． 易知点到直线的距离． 由线段的中点与线段的中点重合，得四边形是平行四边形， 其面积． 由，得， 所以，所以． 故答案为：. 例题2．（23-24高二下·河南开封·期末）已知，是双曲线C：的左、右焦点，M，N是C上关于原点对称的两点，且，则四边形的面积是 ． 【答案】72 【分析】判断四边形为矩形，设，，可得，结合双曲线定义可得，化简得，即可求得四边形的面积. 【详解】由可知 ， 因为M，N是C上关于原点对称的两点，且，所以四边形为矩形， 设，，由双曲线的定义可得， 所以，又因为， 所以，所以， 所以四边形的面积, 故答案为：72 精练核心考点 1．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知双曲线C：1的左､右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于P，Q两点，当|PQ|最小时，四边形F1PF2Q的面积为 . 【答案】 【分析】联立直线y=x+m与双曲线的方程，运用判别式大于0和韦达定理，由弦长公式求得|PQ|，求出|PQ|的最小值，再由四边形F1PF2Q为平行四边形，结合点到直线的距离公式，计算四边形F1PF2Q的面积即可. 【详解】由，可得， 则， 设P，Q的横坐标分别为x1，x2， 可得， 则 ， 当且仅当m=0时，|PQ|取得最小值4， 当|PQ|最小时，四边形F1PF2Q为平行四边形， 由F2（3，0）到直线y=x的距离为， 所以四边形F1PF2Q的面积为. 故答案为：12. 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系.属于中档题.根据题意先确定的取值.是解本题的关键. 2．（23-24高二上·山东青岛·期末）已知 为坐标原点，等轴双曲线的右焦点为，点 在双曲线 上，由向双曲线的渐近线作垂线，垂足分别为、，则四边形的面积为 . 【答案】/ 【分析】求出双曲线的方程，可求得双曲线的两条渐近线方程，分析可知四边形为矩形，然后利用点到直线的距离公式以及矩形的面积公式可求得结果. 【详解】因为双曲线为等轴双曲线，则，，可得， 所以，双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为， 则双曲线的两条渐近线互相垂直，则，，， 所以，四边形为矩形， 设点，则，不妨设点为直线上的点， 则，，所以，. 故答案为：. 题型九：重点考查双曲线中的中点弦问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·河南·开学考试）已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为. (1)求的方程； (2)若直线交双曲线于两点，是坐标原点，若是弦的中点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用焦点到渐近线的距离求出，结合渐近线方程即可求出双曲线方程； （2）利用点差法求出直线的斜率，然后联立直线与双曲线的方程，求出弦长和点到直线的距离，即可求出的面积. 【详解】（1）由双曲线的一条渐近线方程为，所以， 故到渐近线的距离， 所以，又，所以， 故的方程为. （2）设点，因为是弦的中点，则 由于，所以两式相减得， 所以，即直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 联立消去并整理，得， 所以，且， 所以. 点到直线的距离为， 所以的面积为.    例题2．（23-24高二上·上海·期末）已知双曲线中，离心率为，且经过点． (1)求双曲线方程； (2)若直线与双曲线左支有两个交点，求的取值范围； (3)过点是否能作直线与双曲线交于、两点，且使得是的中点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、、的值，即可得出双曲线的方程； （2）将直线的方程与双曲线的方程联立，根据已知条件结合韦达定理、判别式可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）利用点差法求出直线的方程，再将直线的方程与双曲线的方程联立，计算，即可得出结论. 【详解】（1）解：因为双曲线中，离心率为，且经过点， 则，解得，所以，双曲线的方程为. （2）解：设直线交双曲线于点、， 联立可得， 因为直线与双曲线左支有两个交点，则， 解得，故实数的取值范围是. （3）解：若直线轴，则直线与双曲线相切，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在， 设点、，因为为线段的中点，则， 将点、的坐标代入双曲线的方程可得， 作差可得，即， 即，所以，直线的斜率为， 所以，直线的方程为，即， 联立可得，则， 因此，不存在满足题设条件的直线. 例题3．（23-24高二上·四川遂宁·阶段练习）已知，，动圆与圆和圆都外切，圆心的轨迹为曲线． (1)求曲线C的方程； (2)若过点的直线交曲线C于A，B两点，点Q能否为线段的中点？为什么？ 【答案】(1) (2)能，理由见解析 【分析】（1）画出图形，由圆的外切、圆心坐标、圆的半径以及双曲线的定义即可得解. （2）画出图形，中点弦问题用到中点坐标公式以及点差法来做稍微方便一些. 【详解】（1）如图所示：    由题意，的圆心分别为，， 且动圆与两定圆分别外切与两点，所以，，解得， 所以圆心的轨迹是以为焦点，为实轴顶点的双曲线但不包括实轴顶点， 所以曲线C的方程为，（且）. （2）如图所示：    过点的直线交曲线C于A，B两点，点Q能为线段的为中点，理由如下： 由题意设点在双曲线上，且点为弦的中点， 所以， 又因为，所以， 即，， 存在过点且斜率为的直线：，即， 且联立， 消去并整理得，,两根均小于，满足题意， 综上所述：存在过点且斜率为的直线交曲线C于A，B两点，且点Q为线段的中点. 精练核心考点 1．（23-24高二下·甘肃白银·期末）已知双曲线，过点的直线与相交于两点，且为线段的中点，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】因为为线段的中点，所以由点差法可以得到直线的斜率，进而可以得到直线方程. 【详解】设，则两式相减得， 即，所以 因为为线段的中点， 所以， 所以，即 由点斜式方程可得直线的方程为：， 即，经检验适合题意. 故答案为： 2．（23-24高二上·湖北孝感·阶段练习）已知双曲线C：． (1)若直线与双曲线C有公共点，求实数k的取值范围； (2)若直线l与双曲线C交于A，B两点，且A，B关于点对称，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由直线与双曲线相交的性质求解； （2）由点差法求解直线方程． 【详解】（1）双曲线C的渐近线方程为，要使直线与双曲线C有公共点，则有，即实数k的取值范围为． （2）设点，．∵点恰好为线段AB的中点， ∴，． 由，两式相减可得， ， 即，∴， ∴直线l的斜率， ∴直线l的方程为， 即． 3．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知双曲线的右焦点为，虚轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且线段的中点为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求出，即可得双曲线的方程； （2）将点坐标代入双曲线方程后做差，再将中点坐标代入可得斜率，进而可得直线方程. 【详解】（1）双曲线的右焦点为，虚轴长为， ，解得， 双曲线的方程为； （2）线段的中点为， , 点都在双曲线上， ，即， ． 直线的方程为，即． 联立，消去得，该方程有解， 故直线的方程为. 题型十：重点考查双曲线中参数范围及最值问题 典型例题 例题1．（2024·山东德州）已知，是双曲线的两个焦点，是双曲线上任意一点，过作平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的取值范围是 ． 【答案】 【分析】延长交于点，由角平分线性质可知，，即可列出等式，确定点的轨迹，转化圆周上的点到直线的距离的取值范围． 【详解】解：如图，延长交于点，连接，因为为的平分线，且，所以为的中点，为的垂直平分线，所以，在中，、分别为、的中点，所以，设点坐标为，所以，圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以点到直线的距离的取值范围是 故答案为： 例题2．（23-24高二下·上海松江·期末）已知双曲线的一条渐近线方程为，点. (1)若，为坐标原点，过点且斜率为的直线与双曲线交于两点，求的面积； (2)若点是双曲线上任意一点，当且仅当为双曲线的顶点时，取得最小值，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据渐近线方程得到，求出双曲线方程，写出直线的方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，利用弦长公式求出答案； （2）由，得到或，表达出，根据对称轴为得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）由题意得：，所以，所以双曲线的标准方程为， 直线的方程为，设，， 联立方程组，消去整理得， 则， 所以， 所以的面积为 （2）因为，所以，所以或， 所以， 对称轴为， 由题意，，， 所以实数的取值范围为 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知双曲线的离心率为，且经过点．点M，N在y轴上，（O为坐标原点），直线AM，AN分别交双曲线C于P，Q两点． (1)求双曲线C的方程． (2)求点O到直线PQ的距离的最大值． 【答案】(1)； (2)3. 【分析】（1）根据给定条件，结合双曲线方程列出方程组并求解即得. （2）方法一，设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理，结合点的纵坐标和为0求出直线过的定点，即可求出最大值；方法二，利用平移齐次法，结合求出直线过的定点，即可求出最大值. 【详解】（1）依题意，，解得，所以双曲线C的方程为. （2）解法一（常规设点设线法）：依题意，点M，N在y轴上，且关于原点对称，直线PQ的斜率存在， 设直线PQ的方程为，点， 由，消去y得，则， 由，得且，则，， 直线AP的方程为，令，得，同理得， 由，得，即， 整理得， 展开得， 于是， 化简得，即， 当时，，此时直线PQ：，恒过定点，不符合题意， 则，直线PQ的方程为，恒过定点， 设点O到直线PQ的距离为d，则，当且仅当时取等号， 所以点O到直线PQ的距离的最大值为3． 解法二（平移齐次化法）：由得O为MN的中点， 由中线斜率推论得，即， 将点平移到原点，可得方程，整理得， 设平移后的直线，由， 得，整理得， 由韦达定理得，解得， 则直线恒过点，平移回去后得定点， 设点O到直线PQ的距离为d，则，当且仅当时取等号， 所以点O到直线PQ的距离的最大值为3. 精练核心考点 1．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知点是双曲线上任意一点. (1)求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； (2)已知点，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据点到直线的距离公式即可化简求解， （2）根据两点间的距离公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由已知可得，所以双曲线的渐近线方程为， 点到直线，即直线的距离， 点到直线，即直线的距离， 所以点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为 ， 又在双曲线上，所以，所以，所以是一个常数； （2）因为，所以，解得或， 所以， 当时，的最小值为，所以的最小值为. 2．（23-24高二上·上海奉贤·期末）已知双曲线. （1）求双曲线的两条渐近线的夹角的大小； （2）设定点A(a，0)(a>0)，求双曲线上的动点P到A的距离d的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）求出双曲线的两条渐近线方程，从而得到答案. （2）设，则，然后由二次函数的性质讨论可得答案. 【详解】（1）双曲线C的两条渐近线方程是， 则它们的夹角是； （2）设为双曲线上任意一点，则 ， 二次函数的对称轴，定义域为 当，即时，当时， 当，即时，当时， 综上所述 3．（23-24高三下·湖南·阶段练习）已知双曲线：（）与双曲线有相同的渐近线. (1)求双曲线的方程； (2)已知点，点，在双曲线的左支上，满足，证明：直线过定点； (3)在（2）的条件下，求点到直线距离的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据双曲线与双曲线有相同的渐近线方程求出可得答案； （2）可设其方程为，与双曲线方程联立，设，，由韦达定理代入的坐标运算可得答案； （3）设点在直线上的投影为，当与点重合，即直线直线时，点到直线距离的最值. 【详解】（1）双曲线与双曲线有相同的渐近线方程， 所以，即，又，从而， 所以双曲线的方程为； （2）显然直线不与轴平行，可设其方程为， 由，得， 设，，则由韦达定理可得，， 因为，所以， 即， 整理得，即， 而显然直线不经过点，所以，， 故直线经过定点，得证. （3）设点在直线上的投影为，由（2）知直线经过定点， 所以当与点重合，即直线直线时，点到直线距离的最大值， 此时，所以点到直线距离的最大值为. 题型十一：重点考查双曲线中定点问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·浙江杭州·期中）已知动圆P过点，并且与圆外切，设动圆的圆心P的轨迹为C. (1)直线与圆相切于点Q，求的值； (2)求曲线C的方程； (3)过点的直线与曲线C交于E，F两点，设直线，点，直线交于点M，证明直线经过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)，； (3)证明见解析，定点 【分析】（1）利用直线与圆相切的几何性质，结合勾股定理，即可求解； （2）由圆与圆的位置关系，构造双曲线的定义，即可求解； （3）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，并联立直线与双曲线方程，利用韦达定理表示，即可求解定点. 【详解】（1）由直线与圆的位置关系可知，， 所以点； （2）由题意可知，设动圆半径为，，，， 即， 所以点是以为焦点的双曲线的右支，，，则， 所以曲线的方程为，； （3）当直线的斜率不存在时，，， 直线，当，得，即，直线， 此时直线过点， 当直线的斜率存在时，设直线，，， 直线，当时，， ， 联立，得， ，，， 下面证明直线经过点，即证，， 把，代入整理得， 即， 所以直线经过点， 综上可知，直线经过定点，定点坐标为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 例题2．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C． (1)证明：曲线C为双曲线的一支； (2)已知点，不经过点的直线与曲线C交于A，B两点，且．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)直线恒过定点，， 【分析】（1）根据题意利用圆与圆的位置关系结合双曲线的定义，即可证明结论； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程，可得根与系数的关系式，根据数量积的坐标运算求出的表达式，化简，即可求得t的值，即可求得答案. 【详解】（1）证明：由题意知圆M：的圆心为，圆N：的圆心为 如图，设圆E的圆心为，半径为r， 由题可得圆M半径为3，圆N半径为1，则，， 所以， 由双曲线定义可知，E的轨迹是以，为焦点、实轴长为4的双曲线的右支 又，，所以动圆的圆心E的轨迹方程为，， 即曲线的方程为.    （2）设直线的方程为， 联立，消去得，    由题意直线与曲线有两个交点，则，, 设，，其中，， 由韦达定理得：，， 又点，所以，， 因为，所以， 则 ， 即，解得（舍去）， 当，直线的方程为，， 故直线恒过点，． 精练核心考点 1．（2024·浙江·模拟预测）已知双曲线的左右焦点分别为，点在的渐近线上，且满足. (1)求的方程； (2)点为的左顶点，过的直线交于两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：线段的中点为定点. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，借助向量垂直的坐标表示及双曲线渐近线方程求出即可得解. （2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，借助韦达定理及向量共线的坐标表示求出的中点纵坐标即可得解. 【详解】（1）设，，由，得， 解得，即，而曲线的渐近线方程为， 由点在的渐近线上，得，即，因此， 所以的方程为. （2）由（1）知，设直线为， 由消去y得：， 则， ，由三点共线，得，同理， 因此 ， 所以的中点为定点. 2．（2024·贵州贵阳·一模）已知双曲线的方程为，虚轴长为2，点在上. (1)求双曲线的方程； (2)过原点的直线与交于两点，已知直线和直线的斜率存在，证明：直线和直线的斜率之积为定值； (3)过点的直线交双曲线于两点，直线与轴的交点分别为，求证：的中点为定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据虚轴长和点坐标联立方程组可得，，可求得双曲线的方程为； （2）设出两点坐标，写出斜率表达式，联立双曲线方程化简计算可得证明； （3）设直线的方程为，求出直线与轴的交点分别为的坐标，联立直线和双曲线方程利用韦达定理化简即可得出证明. 【详解】（1）因为虚轴长，所以. 又因为点在双曲线上，所以， 解得. 故双曲线的方程为. （2）证明：如下图所示： 设，则 所以 因为在双曲线上，所以，可得； 于是， 所以直线和直线的斜率之积为定值，定值是. （3）证明：设，直线的方程为，如下图所示： 联立，消去整理可得① 则 所以② ③ 直线的方程为，令，得点的横坐标为； 同理可得点的横坐标为； 所以 将①②③式代入上式，并化简得到 所以的中点的横坐标为， 故的中点是定点. 题型十二：重点考查双曲线中定值问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·甘肃·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合双曲线渐近线求出即可得双曲线的方程. （2）按直线的斜率是否存在进行分类讨论，与双曲线渐近线方程联立求出，并求出原点O到直线l的距离，再计算推理即得. 【详解】（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为， 焦点F到渐近线的距离为， 由实轴长是虚轴长的倍，得， 所以双曲线的标准方程为. （2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 当直线的斜率不存在时，的方程为，，， 当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且， 由消去y得， 由，得， 由，得，不妨设与的交点为，则点的横坐标， 同理得点的横坐标，则， 而原点到直线的距离，因此， 所以的面积为定值，且定值为. 【点睛】易错点点睛：第二问中注意讨论直线l的斜率存在与不存在两种情况，以及由动直线l与双曲线C恰有1个公共点，直曲联立后由得到参数的关系. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）如图，已知双曲线的右焦点，点分别在C的两条渐近线上，轴，（O为坐标原点）． (1)求双曲线C的方程； (2)过C上一点的直线与直线AF相交于点M，与直线相交于点，证明点在上移动时，恒为定值，并求此定值． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）由渐近线方程和已知平行关系可得直线BF的方程，与直线OB方程联立解得B坐标，再求得A坐标，利用垂直得等量关系即可. （2）本题虽为证明实质为计算的值．分别用坐标表示直线与AF的交点及直线与直线的交点为，并利用化简，即可得到定值. 【详解】（1）由题意知，直线OB方程为，直线OA的方程为， 因为，所以直线BF的方程为，与直线OB方程联立， 解得，把代入直线OA的方程得，所以 又因为ABOB，所以，解得， 故双曲线C的方程为 （2）由（1）知，则直线的方程为， 即 因为直线AF的方程为，所以直线与AF的交点 ， 直线与直线的交点为 ，因为， 则 因为是C上一点，则，代入上式得 ，所求定值为 精练核心考点 1．（2024高三·全国·专题练习）已知，分别为有心二次曲线的左、右焦点，为曲线上任意一点，直线，分别交曲线于点（异于点），设，，求证：为定值． 【答案】证明见解析 【分析】 将，代入曲线方程,，然后结合定比分点公式化简整理求. 【详解】 设，，． 因为，所以， 将，代入曲线方程，得， ，得． 两边同除以，并整理得， 所以，即． 又，即， 两式相加，得． 同理， 所以为定值． 定比分点公式：若，则称点M为AB的定比分点，若，，则. 2．（2024·新疆·一模）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，离心率为 2，  是上一点，且，的周长为 12. (1)求C的方程; (2)过的直线与C的右支交于A，B两点，过原点O作AB的垂线，并且与双曲线右支交于点P，证明： 为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，得到，设，求得，联立求得的值，即可求解； （2）设直线的方程为，联立方程组，利用弦长公式求得，再直线的方程为，联立方程组，求得，进而化简，即可得到答案. 【详解】（1）因为双曲线的离心率为，可得，即， 又因为，设，可得，所以， 则， 所以， 将代入上式，可得，所以，则， 所以双曲线的方程为. （2）由（1）得，因为直线与双曲线的右支相交，所以直线的斜率不为， 设直线的方程为，且， 联立方程组，整理得， 则，且， 可得或， 且， 过点与垂直，所以，因为，所以， 设直线的方程为， 联立方程组，可得的，解得， 因为与双曲线的右支的交点为，所以，可得 所以， 所以. 题型十三：重点考查双曲线中定直线问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·广西贵港·期中）已知双曲线的右焦点到的一条渐近线的距离为． (1)求的方程． (2)设的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与相交于，两点，直线与直线相交于点．试问点是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是，定直线 【分析】（1）由题意列式求出，即得答案； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程，可得根与系数的关系，写出直线和直线的的方程，联立化简可求出点P横坐标，即可得结论. 【详解】（1）根据对称性，到的一条渐近线的距离，则． 由，知，得，则， 故的方程为． （2）点在定直线上． 依题可设直线的方程为，，， 联立方程组，整理得，必有， 则，，则． 直线的方程为，直线的方程为， 整理得，解得． 故点在定直线上． 例题2．（2024·河北·二模）已知双曲线的右焦点为，过点的直线交双曲线于点，且的最小值为. (1)求的方程； (2)若均在的右支上且的外心落在轴上，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）分别求出均位于双曲线的右支时或分别位于双曲线的左､右支时的最小值，再根据题意进行取舍，进而求出曲线的方程即可； （2）先讨论斜率不存在时，不符合题意；当直线的斜率存在时，直线与双曲线联立，解出的取值范围，由的外心落在轴上，可得，则，最后解出的值，进而解出直线的方程. 【详解】（1）当均位于的右支时，， 当分别位于的左､右支时，， 因为，且，所以（舍）， 所以，即， 所以双曲线的方程为. （2） 由曲线的方程为，可得， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，解得， 则， 此时，为等腰三角形，边上中垂线为轴， 若外心的横坐标，则，但此时，， 由，则不符合题意； 当直线的斜率存在时，设，联立消去可得， 由题意知恒成立， 设，则， 由于位于双曲线的右支，所以，即， 解得或， . 设的中点， 则在的中垂线上，设直线的斜率为，则， 所以，显然，则，可得， 由，则， 又因为， 可得:， 整理得， ， 即，由，则，满足， 所以直线方程为，即或. 【点睛】关键点点睛：由一元二次方程的判别式大于得出直线斜率的取值范围，再由题意结合图象得到关于的高次方程，结合的取值范围降次得到的值. 精练核心考点 1．（23-24高二上·江西萍乡·期中）已知双曲线：的离心率为，其左、右顶点分别为，，右焦点为，为的左支上不同于的动点，当的纵坐标为时，线段的中点恰好在轴上． (1)求双曲线的标准方程； (2)若点，连接交的右支于点，直线与直线相交于点，证明：当在的左支上运动时，点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】根据离心率公式和点的坐标即可求出双曲线的标准方程； 设点，，，分别根据韦达定理，两直线的交点坐标，即可求出． 【详解】（1）由离心率，，得， 当的纵坐标为时，线段的中点恰好在轴上， 则轴为的左焦点， 故，代入:的方程得：， 故双曲线的标准方程； （2）设点，，，其中，， 由题意知，直线的斜率存在且不为，设：， 代入，得，， 则，， 则， 由题意知，直线：，直线：相交于点， 所以， 即， 解得， 故当在的左支上运动时，点在直线上． 2．（2024·贵州遵义·一模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，直线与的左、右两支分别交于，两点，四边形为矩形，且面积为． (1)求四边形的外接圆方程； (2)设，为的左、右顶点，直线过点与交于，两点（异于，），直线与交于点，证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依题意可得，且，由求出点，再根据矩形面积及求出、、，即可得到双曲线方程及、点坐标，再求出线段的中点及线段长，最后求出外接圆的方程； （2）设直线为，，，联立消元、列出韦达定理，表示出与的方程，联立求出，即可得证. 【详解】（1）由双曲线的左、右焦点分别为，， 直线与的左、右两支分别交于，两点，且四边形为矩形， 所以，且， 由，解得或， 即，则，又，， 解得，，， 所以双曲线的方程为， 所以，，，， 所以的中点为，又， 所以矩形的外接圆的方程为. （2）由（1）知，， 依题意知直线的斜率不为零，设直线为，，， 由，得. 当且， 所以，， 所以， 直线的方程为，直线的方程为， 联立两方程可得，所以， ， 所以， 解得， 故点在定直线上. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 题型十四：重点考查双曲线中向量问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·海南海口·期末）已知双曲线的离心率为，且的右焦点到渐近线的距离为. (1)求的标准方程； (2)过点作直线与的右支相交于两点，为原点，证明：为锐角. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用双曲线的性质及点到直线的距离计算即可； （2）设直线的方程及坐标，利用韦达定理及向量的数量积公式证明的余弦值为正即可. 【详解】（1）设，则， 易知的渐近线方程为， 由对称性知焦点到两条渐近线的距离相同，即， 又， 则双曲线方程为：； （2）由上知，不妨设的方程为及， 显然，异号， 则，， 联立，整理得， 则， 易知， 而异号，则， 所以，即， 即为锐角，得证. 例题2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线，抛物线的焦点F是双曲线M的右顶点，且以F为圆心，以b为半径的圆与直线相切． (1)求双曲线M的标准方程； (2)已知直线与双曲线M交于A、B两点，且双曲线M是否存在上存在点P满足，若存在，求出m的值，若不存在请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由题意得，由此可得，而为抛物线焦点到直线的距离，由点到直线的距离公式即可得解. （2）将直线与双曲线方程联立，由，解得或，结合韦达定理以及，求得参数，并注意检验，由此即可得解. 【详解】（1）因为抛物线的焦点是双曲线M的一个顶点，即，， 所以双曲线M的方程是． （2）设，联立方程得消去y得， ∵，解得或（*）， 由韦达定理， ∵，∴即， 所以，解得， 不满足（*）式，所以不存在m符合题意． 精练核心考点 1．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知双曲线的离心率为，实轴长为2. (1)求双曲线的标准方程与准线方程； (2)设直线与双曲线交于两点，是否存在满足（其中为坐标原点）若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意得出即可得双曲线方程及准线方程； （2）联立直线与双曲线方程，由根与系数的关系及数量积运算求出，不满足知不存在. 【详解】（1）因为，所以，， 所以， 故所求双曲线方程为，准线方程为 （2）如图，    设， 由，消元可得，， 当，即时， ，， 所以， 所以，解得， 此时不满足， 故不存在，使得成立. 2．（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）在平面直角坐标系中，存在两定点，与一动点.已知直线与直线的斜率之积为8. (1)求点A的轨迹方程； (2)记的左、右焦点分别为、，过定点的直线交于、两点.若、两点满足，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据直线与直线的斜率之积为8，列出方程化简即可. （2）由题意设出直线方程，并与双曲线方程联立，然后结合以及韦达定理即可列出关于的方程，注意验证是否满足即可. 【详解】（1）设，由题意，化简可得. 所以点A的轨迹方程为. （2） 由题设易知直线的斜率存在，设过定点的直线方程为， 将其与联立有： ，消去y得：， 因交于、两点，则， 解得：. 设，则由韦达定理有：． 又，则， 同理， 又因为，所以. 又 ， 所以， 即，解得，此时，， 则直线的方程为：或. 学科网（北京）股份有限公司 $$