第04讲 拓展一：直线与椭圆的位置关系（14大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第04讲 拓展一：直线与椭圆的位置关系 目录 题型一：重点考查直线与椭圆位置关系 1 题型二：重点考查直线与椭圆交点坐标 2 题型三：重点考查椭圆的切线 4 题型四：重点考查根据直线与椭圆位置关系求参数 6 题型五：重点考查根据根与系数关系求参数 7 题型六：重点考查求椭圆中弦长 8 题型七：重点考查根据椭圆中弦长求参数 10 题型八：重点考查椭圆中四边形面积 12 题型九：重点考查椭圆中的中点弦问题 15 题型十：重点考查椭圆中参数范围及最值问题 18 题型十一：重点考查椭圆中定点问题 20 题型十二：重点考查椭圆中定值问题 22 题型十三：重点考查椭圆中定直线问题 24 题型十四：重点考查椭圆中向量问题 26 题型一：重点考查直线与椭圆位置关系 典型例题 例题1．（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 例题2．（2024高二·山东青岛·学业考试）若直线与圆没有公共点，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 例题3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动点在椭圆C：之外，作直线l：．证明：直线l与椭圆C有两个不同的公共点． 精练核心考点 1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）若直线与：没有交点，则过点、两点的直线与椭圆的交点个数是（     ） A．至多为 B． C． D． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）若直线 与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（    ） A．0或1 B．2 C．1 D．0或1或2 3．（2024高二·全国·专题练习）已知椭圆，直线，那么直线与椭圆位置关系（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定 题型二：重点考查直线与椭圆交点坐标 典型例题 例题1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二·全国·课堂例题）求直线和椭圆的公共点的坐标． 例题3．（23-24高二上·四川成都·期中）已知椭圆的标准方程为，且右顶点到两焦点，距离之和为，距离之差为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)过左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，求，两点的坐标． 精练核心考点 1．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与椭圆. (1)若它们有两个公共点，求的取值范围； (2)若它们只有一个公共点，求公共点的横坐标. 2．（23-24高二·江苏·假期作业）已知椭圆，直线，判断直线l与椭圆公共点个数，并求出公共点的坐标． 3．（23-24高二下·安徽安庆·阶段练习）平面直角坐标系中，椭圆C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，一个焦点F的坐标为，离心率为． （1）求椭圆C的标准方程： （2）若直线l经过焦点F，其倾斜角为，且交椭圆C于两点，求坐标． 题型三：重点考查椭圆的切线 典型例题 例题1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知分别是椭圆的左顶点､上顶点，且． (1)求点的坐标； (2)若直线与平行，且与相切，求的一般式方程． 例题3．（2024高三·全国·专题练习）求过椭圆上一点的切线方程． 精练核心考点 1．（23-24高二上·上海·期末）已知，若关于x的方程有两个不相等的实根，则b的取值范围是 . 2．（2024高三·全国·专题练习）椭圆上点P(1,1)处的切线方程是 ． 3．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆C：（）与x轴分别交于、点，N在椭圆上，直线，的斜率之积是． (1)求椭圆C的方程； (2)求点N到直线l：的最大距离． 题型四：重点考查根据直线与椭圆位置关系求参数 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·安徽·期中）若直线过点且与椭圆仅有1个交点，则直线的斜率为 ． 例题3．（23-24高二上·山西朔州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点到，两点的距离之和为4 (1)写出点轨迹的方程； (2)若直线与轨迹有两个交点，求的取值范围. 精练核心考点 1．（24-25高二下·上海·期中）椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则 ． 2．（2024高二上·江苏·专题练习）直线 (k∈R)与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则m的取值范围是 ． 3．（2024高三·全国·专题练习）椭圆，直线l的方程为，直线l与椭圆相切，求m的值. 题型五：重点考查根据根与系数关系求参数 典型例题 例题1．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆，过点且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于，两点.若，则的值为 . 例题3．（23-24高二下·宁夏中卫·阶段练习）已知点在椭圆上，且长轴长为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆相交于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求点的坐标. 精练核心考点 1．（23-24高二上·天津和平·期中）已知直线与椭圆相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为1，则k的值为 . 2．（23-24高二上·天津·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求中点坐标及的长. 3．（23-24高二·全国·课后作业）已知斜率为2的直线l与椭圆交于A、B两点且，求直线l的方程． 题型六：重点考查求椭圆中弦长 典型例题 例题1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024高二上·全国·专题练习）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A，B两点，求： (1)直线的方程； (2)弦长. 例题3．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知椭圆G：．过点作圆的切线l交椭圆G于A，B两点．将表示为m的函数，并求的最大值． 精练核心考点 1．（23-24高二下·上海·期中）已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 . 2．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知点，是椭圆：的左右焦点，且椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点且斜率为2，与椭圆交于两点，求线段的值． 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆C：的一个焦点坐标为，离心率， (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，椭圆C与直线相交于两个不同的点A、B，线段AB的中点为M．若直线OM的斜率为，求线段AB的长． 题型七：重点考查根据椭圆中弦长求参数 典型例题 例题1．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于两点，若弦的长为，则直线的斜率为 . 例题2．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点． (1)当为椭圆的上顶点时，求的大小； (2)直线与椭圆交于，若，求的值. 例题3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是离心率为的椭圆：（）上任意一点，是椭圆的右焦点，且的最小值是1. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于，两点，若，求直线的方程. 精练核心考点 1．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，． (1)求的离心率； (2)若射线交椭圆于点，且，求的值． 2．（23-24高三下·湖南·开学考试）已知椭圆的右顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于另一点，若，求直线的方程． 3．（2024·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上运动，且，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设直线与曲线交于，两点，且，求实数的值. 题型八：重点考查椭圆中四边形面积 典型例题 例题1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，椭圆的动弦过椭圆的右焦点，当垂直轴时，椭圆在，处的两条切线的交点为． (1)求点的坐标； (2)若直线的斜率为，过点作轴的垂线，点为上一点，且点的纵坐标为，直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最小值． 例题2．（2024·湖南衡阳·三模）在直角坐标系xoy中，动圆M与圆外切，同时与圆内切，记圆心M的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)已知三点T，P，Q在E上，且直线TP与TQ的斜率之积为； （i）求证：P，O，Q三点共线； （ii）若，直线TQ交x轴于点A，交y轴于点B，求四边形OPAB面积的最大值． 例题3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆经过点，且焦距为2． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的左、右焦点分别为，，若，，，四点都在椭圆上，直线与交于点，且直线，分别过点，． ①若直线和的斜率存在且分别为，，求证：为定值； ②求四边形面积的最大值． 精练核心考点 1．（24-25高三上·江西·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为，焦距长为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； (3)直线与椭圆交于两点，且关于原点的对称点分别为，若是一个与无关的常数，则当四边形面积最大时，求直线的方程. 2．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知椭圆经过点和点，椭圆的焦距为2. (1)求椭圆的方程； (2)和是椭圆上异于的两点，四边形是平行四边形，直线分别交轴于点和点是椭圆的右焦点，求四边形面积的最小值. 3．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，A，B点的坐标分别为和，设的面积为S，内切圆半径为r，当时，记顶点M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)已知点E，F，P，Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A，记EF，PQ的斜率分别为，. （i）设EF的中点为G，PQ的中点为H，证明：存在唯一常数，使得当时，； （ii）若，当最大时，求四边形EPFQ的面积. 题型九：重点考查椭圆中的中点弦问题 典型例题 例题1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆，平行于轴的直线与交于点，平行于轴的直线与交于点，直线与直线在第一象限交于点，且，，，，若过点的直线与交于点，且点为的中点，则的方程为 ． 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，以OA，OB为邻边作平行四边形，点P恰好在C上．若线段AB的中点M在直线上，则直线l的方程为 ． 例题4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知动点满足：． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于A，B两点，且为线段AB的中点，求直线的方程．      精练核心考点 1．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为 . 2．（23-24高二下·上海·期中）直线过点，且与曲线交于两点，若，则直线的方程为 . 3．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标 ，求直线的方程. 4．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知焦点在轴上的椭圆，离心率为. (1)求实数的值； (2)过点的直线与椭圆相交于两点，线段中点为.若直线的斜率为（为原点），求直线的方程. 题型十：重点考查椭圆中参数范围及最值问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·北京西城·期末）已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点. (1)求椭圆的离心率； (2)记线段与椭圆的交点为，求的取值范围. 例题2．（23-24高三上·天津南开·期末）设椭圆经过点，且其左焦点坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值. 例题3．（23-24高二上·河南驻马店·阶段练习）已知椭圆：的上顶点到焦点的距离为2，离心率为. (1)求，的值； (2)若是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，求面积的最大值. 精练核心考点 1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左顶点，左焦点，过的右焦点做轴的垂线，为垂线上一点，当椭圆的离心率为时，最大值为 . 2．（2024·广东梅州·二模）已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程： (2)求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值． 3．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的右焦点为，且过点. (1)求C的方程； (2)若过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值. 题型十一：重点考查椭圆中定点问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）设椭圆过两点，O为坐标原点 (1)求椭圆E的方程; (2)设E的右顶点为D，若直线与椭圆E交于A，B两点(A，B不是左右顶点)且满足，证明:直线l过定点，并求该定点坐标. 例题2．（2024·黑龙江大庆）已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点 ，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标． 精练核心考点 1．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知经过圆上点的切线方程是. （1）类比上述性质，直接写出经过椭圆上一点的切线方程； （2）已知椭圆，P为直线上的动点，过P作椭圆E的两条切线，切点分别为A､B，求证：直线过定点. 2．（23-24高二上·四川资阳·期末）已知椭圆C：右焦点，A，B是分别是椭圆C的左､右顶点，P为椭圆的上顶点，三角形PAB的面积. （1）求椭圆C的方程； （2）直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的两点M，N，点Q(2，0)，若∠MQO=∠NQO(O是坐标原点)，判断直线l是否过定点，如果是，求该定点的坐标；如果不是，说明理由. 题型十二：重点考查椭圆中定值问题 典型例题 例题1．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值. 例题2．（2023·江西·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上，，若的周长为6，面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由． 精练核心考点 1．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知椭圆. (1)若直线与椭圆相交于两点，椭圆内一点是线段的中点，求直线的方程； (2)已知分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的一个动点，求直线的斜率与直线的斜率之积. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知是椭圆上关于原点对称的两个点，点在椭圆上．当和斜率存在时，求证：为定值． 题型十三：重点考查椭圆中定直线问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知动圆过定点，且在定圆的内部与其内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程． (2)当过点的动直线与圆心的轨迹相交于两不同点时，在线段上取点，满足，则点是否在某条定直线上？若在，求该直线的方程；若不在，请说明理由． 例题2．（23-24高二上·陕西汉中·期中）已知椭圆C：（，）过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l：与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，证明：△MAB的内心在一条定直线上． 精练核心考点 1．（23-24高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点在椭圆C上，且，直线过点且与椭圆C交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知，，若直线，交于点D，探究：点D是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 2．（2024·北京海淀·模拟预测）已知曲线． (1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围． (2)设，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 题型十四：重点考查椭圆中向量问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为． (1)求椭圆和其“准圆”的方程； (2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围． 例题2．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若，求直线的方程． 精练核心考点 1．（23-24高二下·江苏南通·期末）已知椭圆的左焦点，右顶点． (1)求的方程 (2)设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：． 2．（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 拓展一：直线与椭圆的位置关系 目录 题型一：重点考查直线与椭圆位置关系 1 题型二：重点考查直线与椭圆交点坐标 4 题型三：重点考查椭圆的切线 8 题型四：重点考查根据直线与椭圆位置关系求参数 12 题型五：重点考查根据根与系数关系求参数 15 题型六：重点考查求椭圆中弦长 19 题型七：重点考查根据椭圆中弦长求参数 24 题型八：重点考查椭圆中四边形面积 31 题型九：重点考查椭圆中的中点弦问题 45 题型十：重点考查椭圆中参数范围及最值问题 53 题型十一：重点考查椭圆中定点问题 60 题型十二：重点考查椭圆中定值问题 64 题型十三：重点考查椭圆中定直线问题 68 题型十四：重点考查椭圆中向量问题 75 题型一：重点考查直线与椭圆位置关系 典型例题 例题1．（23-24高二上·陕西西安·期末）若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（    ） A．0或1 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由直线与圆相离得，则点在椭圆的内部，由此即可得解. 【详解】由题意直线与圆相离，所以圆心到直线的距离，即， 而，即点在椭圆的内部， 所以过点的直线与椭圆的交点个数是2. 故选：D. 例题2．（2024高二·山东青岛·学业考试）若直线与圆没有公共点，则过点的一条直线与椭圆的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【答案】C 【分析】 根据直线与圆没有公共点，利用圆心到直线的距离大于半径，得到，再判断点与椭圆的位置关系即可得出答案. 【详解】 圆的圆心，半径为， 因为直线与圆没有公共点， 所以圆心到直线的距离大于半径，得，即， 所以，则点在椭圆内部， 所以过点的直线与椭圆必有2个公共点. 故选：C. 例题3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知动点在椭圆C：之外，作直线l：．证明：直线l与椭圆C有两个不同的公共点． 【答案】证明见解析 【分析】直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后由判别式可证，证明过程中注意有. 【详解】由消去得，，（*） ， 因为在椭圆之外，所以，即， 所以，方程（*）有两个不等的实根，即直线与椭圆有两个不同的公共点； 精练核心考点 1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）若直线与：没有交点，则过点、两点的直线与椭圆的交点个数是（     ） A．至多为 B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线与圆相离得到点位置后判断. 【详解】直线与：没有交点， 所以直线与：相离， 所以，得， 故点在以原点为圆心，2为半径的圆内，所以 ，即在椭圆内部， 而易知在椭圆外， 所以过点、两点的直线与该椭圆必有2个交点． 故选：B 2．（23-24高二上·四川成都·期中）若直线 与圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点的个数为（    ） A．0或1 B．2 C．1 D．0或1或2 【答案】B 【分析】由直线与圆的位置关系，可得不等式，根据点与椭圆的位置，可得答案. 【详解】由，可知圆心，半径为，由题意，则，即， 由，则点在椭圆内，于是过点的直线与椭圆必有两个交点. 故选：B. 3．（2024高二·全国·专题练习）已知椭圆，直线，那么直线与椭圆位置关系（　　） A．相交 B．相离 C．相切 D．不确定 【答案】A 【分析】求得直线恒过点，由点在椭圆内部，则直线与椭圆相交． 【详解】由，则， 则直线，恒过定点， 由，则点，在椭圆1内部， ∴直线与椭圆相交． 故选：A 题型二：重点考查直线与椭圆交点坐标 典型例题 例题1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知直线，椭圆．若直线l与椭圆C交于A，B两点，则线段AB的中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线方程与椭圆方程，消y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理可得，进而得出中点的横坐标，代入直线方程求出中点的纵坐标即可. 【详解】由题意知， ，消去y，得， 则，， 所以A、B两点中点的横坐标为：， 所以中点的纵坐标为：， 即线段AB的中点的坐标为. 故选：B 例题2．（23-24高二·全国·课堂例题）求直线和椭圆的公共点的坐标． 【答案】， 【分析】联立直线与椭圆方程，求出方程组的解，即可得到交点坐标. 【详解】直线和椭圆的公共点的坐标就是方程组的解， 消去得，即，解得、， 所以解这个方程组得或， 因此，所求公共点的坐标为，． 例题3．（23-24高二上·四川成都·期中）已知椭圆的标准方程为，且右顶点到两焦点，距离之和为，距离之差为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)过左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点，求，两点的坐标． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】（1）根据椭圆的几何性质，列出的方程组，求解即可； （2）写出直线的方程，联立椭圆方程，求解即可. 【详解】（1）∵右顶点到两焦点，的距离分别为a＋c，a－c， ∴，， 解得，c＝1，∴， ∴椭圆C的标准方程为； （2）由（1）可知左焦点的坐标为，∴直线l的方程为y＝x＋1， 联立直线l与椭圆C的方程得，整理得， 解得或0，即A，B两点的坐标分别为，． 精练核心考点 1．（2024高二上·全国·专题练习）已知直线与椭圆. (1)若它们有两个公共点，求的取值范围； (2)若它们只有一个公共点，求公共点的横坐标. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意，联立方程组，结合，即可求解； （2）根据题意，结合，求得的值，代入方程，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，联立方程组，整理得到， 由，解得， 所以实数的取值范围为. （2）解：由（1）中，令，解得或， 当时，可得，解得； 当时，可得，解得， 所以公共点的横坐标为或. 2．（23-24高二·江苏·假期作业）已知椭圆，直线，判断直线l与椭圆公共点个数，并求出公共点的坐标． 【答案】公共点有1个，公共点坐标为 【分析】直线方程与椭圆方程联立求解即可. 【详解】由得， 即，解得， 所以直线l与椭圆有一个公共点，且公共点坐标为.    3．（23-24高二下·安徽安庆·阶段练习）平面直角坐标系中，椭圆C的中心是坐标原点，对称轴为坐标轴，一个焦点F的坐标为，离心率为． （1）求椭圆C的标准方程： （2）若直线l经过焦点F，其倾斜角为，且交椭圆C于两点，求坐标． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由，离心率求得，再有关系求得，得椭圆方程； （2）写出直线方程，与椭圆联立，解方程组可得交点坐标． 【详解】解：（1）设椭圆标准方程为， 设，其中①，又②， 由①②解得椭圆C的标准方程为：； （2）由题意直线l的方程为， 与椭圆C方程联立，得，解得，， 所以． 题型三：重点考查椭圆的切线 典型例题 例题1．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线的距离的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出与l：平行的直线，当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值，联立与椭圆方程，由根的判别式等于0求出的方程，从而求出答案. 【详解】设与l：平行的直线为：， 当与椭圆相切时，两平行线间距离即为椭圆上任意一点到直线l的距离最值， 联立与可得，， 由，可得， 当时，直线：，此时两平行线距离为， 当时，直线：，此时两平行线距离为， 故椭圆上任意一点到直线l的距离最大值为. 故选：A 例题2．（23-24高二上·贵州六盘水·阶段练习）已知分别是椭圆的左顶点､上顶点，且． (1)求点的坐标； (2)若直线与平行，且与相切，求的一般式方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据椭圆的顶点可得，求得即可得解； （2）根据直线得平行设，联立得，再利用即可得解. 【详解】（1）由题意得， 得，又，所以， 所以． （2）由题意得．因为与平行，所以的斜率为2． 设，联立得． 因为与相切，所以， 得， 故的一般式方程为或． 例题3．（2024高三·全国·专题练习）求过椭圆上一点的切线方程． 【答案】 【分析】令，利用伸缩变换求得椭圆和点M在新坐标系下的方程和坐标，然后由圆的切线方程和伸缩变换公式可得. 【详解】令，则椭圆在新坐标系下的方程是：，点在新坐标系下的坐标是：， 设过圆上的点的切线方程为（易得斜率必存在）， 即代入 整理得 由题意可知，，整理得 即，所以切线方程为，即： 过椭圆上一点的切线的方程是：，即：． 精练核心考点 1．（23-24高二上·上海·期末）已知，若关于x的方程有两个不相等的实根，则b的取值范围是 . 【答案】 【分析】方程有两个不相等的实根等价于与有两个交点，利用数形结合即可求. 【详解】由题意，表示交点在轴上的椭圆的上半部分，且左顶点为， 表示斜率为1的一组平行线，    若直线与椭圆相切时，由得， 所以，解得（负根舍去）， 当两图象有两个交点时，根据图象， 纵截距的取值范围为：. 故答案为： 2．（2024高三·全国·专题练习）椭圆上点P(1,1)处的切线方程是 ． 【答案】 【分析】由导数的几何意义即可求得切线方程. 【详解】∵椭圆， ∴y>0时，，∴， ∴x＝1时，，即切线斜率， ∴椭圆上点P(1,1)处的切线方程是， 即． 故答案为：． 3．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）已知椭圆C：（）与x轴分别交于、点，N在椭圆上，直线，的斜率之积是． (1)求椭圆C的方程； (2)求点N到直线l：的最大距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据斜率之积建立方程，化简后得到椭圆方程； （2）设直线，根据几何性质，可知当点N既在椭圆C上又在直线上时，此时点Ｎ到直线l距离最大，设出直线：，联立椭圆方程，由求出，利用两平行线间距离公式求出最大距离. 【详解】（1）由题意，设，则，， 因为直线，的斜率之积是，所以． 整理得椭圆方程为； （2）由（1）中结论可得，椭圆方程为， 设直线，则当点N既在椭圆C上又在直线上时，此时点Ｎ到直线l有最大距离， 设直线：，联立方程 ，得，则， 解得或， 因为要求点到直线l的最大距离，所以直线为， 故最大距离为． 题型四：重点考查根据直线与椭圆位置关系求参数 典型例题 例题1．（2024高三·全国·专题练习）若直线与椭圆总有公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由直线过定点，结合点与椭圆的位置关系列出不等式，即可得到结果. 【详解】直线恒过点(0,1)，只需该点落在椭圆内或椭圆上，即，解得， 又. 故选：D 例题2．（23-24高二上·安徽·期中）若直线过点且与椭圆仅有1个交点，则直线的斜率为 ． 【答案】 【分析】设直线，联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程.根据已知有，列出方程，求解即可得出答案. 【详解】由已知可设直线， 联立， 化简得. 因为直线与椭圆相切， 所以有， 解得． 故答案为：． 例题3．（23-24高二上·山西朔州·阶段练习）在平面直角坐标系中，点到，两点的距离之和为4 (1)写出点轨迹的方程； (2)若直线与轨迹有两个交点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用定义法求椭圆方程即可； （2）利用椭圆与直线位置关系的判断方法即可. 【详解】（1）由椭圆定义可知，轨迹是以，为焦点，长半轴长为2的椭圆， 故，，，其方程为. （2）联立得， 因为有两个交点，所以， 解得，所以的取值范围为. 精练核心考点 1．（24-25高二下·上海·期中）椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，则 ． 【答案】6 【分析】联立椭圆与直线方程，得到两根之和，根据弦中点得到方程，求出. 【详解】联立可得． 设弦的两个端点为，，则由根与系数的关系可得，， 由中点坐标公式可得，，解得. 故答案为：6． 2．（2024高二上·江苏·专题练习）直线 (k∈R)与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得直线过的定点坐标，再根据直线与椭圆总有公共点，由点P在椭圆上或在椭圆的内部求解. 【详解】直线，即，直线恒过定点， 直线与椭圆总有公共点等价于点在椭圆内或在椭圆上． 所以，即，又，故m∈． 故答案为：. 3．（2024高三·全国·专题练习）椭圆，直线l的方程为，直线l与椭圆相切，求m的值. 【答案】. 【分析】联立方程组，根据直线与椭圆相切，结合，列出方程，即可求解. 【详解】联立方程组，整理得， 因为直线与椭圆相切，可得，可得， 解得. 所以的值为. 题型五：重点考查根据根与系数关系求参数 典型例题 例题1．（23-24高二上·重庆·期末）已知椭圆，是椭圆的一条弦的中点，点在直线上，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出直线的方程，与椭圆的方程联立结合韦达定理求出的关系计算即得. 【详解】依题意，直线的斜率，直线的方程为，即， 由消去并整理得：， 则，即， 设，则，而弦的中点为，即， 于是，解得，此时 所以椭圆的离心率. 故选：A 例题2．（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆，过点且斜率为的直线与轴相交于点，与椭圆相交于，两点.若，则的值为 . 【答案】 【分析】设直线，，联立，消去，利用韦达定理以及的坐标关系列方程求解即可. 【详解】设直线，，则， 联立，消去得， ， ， 又，， ， 即， ，解得. 故答案为： 例题3．（23-24高二下·宁夏中卫·阶段练习）已知点在椭圆上，且长轴长为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与椭圆相交于、两点，点关于轴的对称点为，直线与轴相交于点，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由长轴长为4得，再将代入解方程可得的值，写出椭圆方程； （2）设直线方程为，联立直线和椭圆方程，利用两点坐标表示出直线，结合韦达定理计算可得点坐标. 【详解】（1）因为长轴长为4，所以， 将代入解方程得， 解得，所以椭圆C的方程为； （2）易知直线斜率存在且不为0， 设直线方程为： 则，联立得： ， ，，， 直线的方程为：，令，得 ， 即. 精练核心考点 1．（23-24高二上·天津和平·期中）已知直线与椭圆相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为1，则k的值为 . 【答案】/-0.5 【分析】代入消元得关于一元二次方程，再用韦达定理即可. 【详解】设，把代入得，，因为AB中点的横坐标为1，所以，解得. 故答案为：. 2．（23-24高二上·天津·期中）经过椭圆的左焦点作倾斜角为的直线，直线与椭圆相交于两点，求中点坐标及的长. 【答案】， 【分析】设直线方程与椭圆联立，利用韦达定理、中点坐标公式、弦长公式计算即可. 【详解】由可知，故可得直线的方程为：， 设 与椭圆方程联立， 故， 所以， 则中点坐标， 弦长. 3．（23-24高二·全国·课后作业）已知斜率为2的直线l与椭圆交于A、B两点且，求直线l的方程． 【答案】 【分析】联立直线与椭圆方程，根据韦达定理以及弦长公式即可求得结果. 【详解】设直线方程：，， 联立，消去得：， 由韦达定理得：，， 则， 解得：满足 故直线l的方程为：. 题型六：重点考查求椭圆中弦长 典型例题 例题1．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知椭圆，过原点且倾斜角为的直线交椭圆于两点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依题写出直线的点斜式方程,与椭圆方程联立，求出两交点坐标，利用两点距离公式计算即得. 【详解】依题意，可得直线的方程为：，代入中，整理解得：， 当，；当时，，故有, 则. 故选：D. 例题2．（2024高二上·全国·专题练习）已知斜率为2的直线经过椭圆的右焦点，与椭圆相交于A，B两点，求： (1)直线的方程； (2)弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出椭圆右焦点，利用点斜式求出直线方程； （2）法一：联立直线与椭圆方程，得到两交点坐标，利用两点间距离公式求出答案； 法二：联立直线与椭圆方程，消去，得到两根之和与两根之积，利用弦长公式求出答案； 法三：联立直线与椭圆方程，消去，得到两根之和与两根之积，利用弦长公式求出答案； 【详解】（1）∵直线过椭圆的右焦点，且斜率为2， ∴直线的方程为，即. （2）法一：联立 解得或， 不妨设，， ∴. 法二：联立，消去得，， 设点， 则，， ∴ 法三：联立，消去得，， 设点， 则由根与系数的关系得， 所以. 例题3．（23-24高二下·上海静安·阶段练习）已知椭圆G：．过点作圆的切线l交椭圆G于A，B两点．将表示为m的函数，并求的最大值． 【答案】，，最大值为2 【分析】由题意知，，当时，直接得出，当时，联立直线与椭圆的方程，由韦达定理可得，，利用弦长公式，再利用基本不等式即可得出． 【详解】由题意知，， 当时，切线的方程为，点，的坐标分别为，，此时； 当时，同理可得； 当时，设切线方程为， 由得， 设，两点两点坐标分别为，，则 ，，， 又由于圆相切，得，即， ∴， 由于当时，， ∴，， ∵， 当且仅当时，， ∴的最大值为2． 【点睛】关键点点睛：本题的关键是采用设线法，根据相切得到，再利用弦长公式得到的表达式，最后基本不等式即可求出最值. 精练核心考点 1．（23-24高二下·上海·期中）已知点、分别椭圆的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于、两点，则弦的长为 . 【答案】/ 【分析】首先得到右焦点坐标，即可得到直线的方程，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，再由两点间的距离公式计算可得. 【详解】椭圆的右焦点， 因为直线的倾斜角为且过点， 所以直线，设，， 联立，消去得， 所以，， 所以，， 所以，， 所以. 故答案为： 2．（23-24高二上·重庆长寿·期末）已知点，是椭圆：的左右焦点，且椭圆的短轴长为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)若直线过点且斜率为2，与椭圆交于两点，求线段的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据短轴长和离心率，结合，求出，，得到椭圆方程； （2）求出直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，根据弦长公式求出答案. 【详解】（1）由题意得，解得， 又，故，解得， 故椭圆方程为； （2）由题意得，， 可得直线方程为， 联立与得， 设，故， 故. 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆C：的一个焦点坐标为，离心率， (1)求椭圆C的方程； (2)设O为坐标原点，椭圆C与直线相交于两个不同的点A、B，线段AB的中点为M．若直线OM的斜率为，求线段AB的长． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）根据焦点坐标和离心率的值可求，进而可得，从而求得椭圆的方程. （2）将直线方程与椭圆方程联立，再由韦达定理可得的坐标，从而由直线OM斜率为解得，代入弦长公式计算可得线段的长. 【详解】（1）椭圆C的一个焦点坐标为，，又， 解得，则，所以椭圆C的方程是． （2）设， 由，消去y并整理得， 则，，， 则， 所以线段AB的中点， 直线OM斜率为，即，解得， ， 所以， 所以线段AB的长为． 题型七：重点考查根据椭圆中弦长求参数 典型例题 例题1．（23-24高二上·上海宝山·阶段练习）过椭圆的左焦点引直线交椭圆于两点，若弦的长为，则直线的斜率为 . 【答案】 【分析】先将椭圆方程化为标准方程，然后求出，从而可求出左焦点的坐标，设直线为，代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式列方程可求出，从而可求出直线的斜率. 【详解】椭圆，即，则，，，左焦点为， 设直线为，， 由，得， 整理得， 因为， 所以， 所以， ，解得， 所以直线为斜率为， 故答案为：. 例题2．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一点． (1)当为椭圆的上顶点时，求的大小； (2)直线与椭圆交于，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得，，即可求出的大小； （2）联立直线与椭圆的方程，由韦达定理求出，，再由弦长公式求解即可. 【详解】（1）由题意可得，，， 所以，，所以 （2）设，，联立， 可得， 所以，， 所以 ，解得. 例题3．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知是离心率为的椭圆：（）上任意一点，是椭圆的右焦点，且的最小值是1. (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆相交于，两点，若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由离心率得到，，设，，表达出，结合最小值得到方程，求出，得到椭圆方程； （2）当过点的直线的斜率为0时不合要求，当过点的直线的斜率不为0时，设出方程，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由弦长公式列出方程，求出直线方程. 【详解】（1）由题意得，，故， 又，故， 设，，则，即， ， 故当时，取得最小值，最小值为， 故， 则，椭圆方程为； （2）当过点的直线的斜率为0时，，不合要求， 当过点的直线的斜率不为0时，设为，    联立得， 恒成立， 设，则， 故， 故，解得， 故直线的方程为. 精练核心考点 1．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，． (1)求的离心率； (2)若射线交椭圆于点，且，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先得到，即，从而得到，求出离心率； （2）变形得到椭圆方程为，直线为，两方程联立，求出，由弦长公式列出方程，求出，求出. 【详解】（1）令，依题意可得上顶点，左，右焦点分别为， 所以， 又， 所以，即，即， 所以， 所以离心率； （2）由（1）可得，则椭圆方程为， 直线的方程为， 联立，整理可得， 解得或， 则，即， 所以，所以， 解得，所以． 2．（23-24高三下·湖南·开学考试）已知椭圆的右顶点为，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)过点的直线与椭圆交于另一点，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助右顶点坐标及离心率计算即可得椭圆方程； （2）设出直线方程联立曲线计算可表示出点坐标，借助两点间距离公式计算即可得直线的方程. 【详解】（1）由题意可得，．因为，所以， 则，故椭圆的方程为； （2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为． 联立，得， 易知．设，则， 所以，， 因为， 所以， 即，解得， 所以直线的方程为，即． 3．（2024·陕西宝鸡·一模）在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上运动，且，动点满足. (1)求动点的轨迹的方程； (2)设直线与曲线交于，两点，且，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相关点法求轨迹方程,求出结果即可； （2）将直线方程与椭圆联立，结合韦达定理，表示出，求实数的值即可. 【详解】（1）设，，， ，， ，即， ，， 动点的轨迹的方程. （2）设， 联立,可得：， 由得，化简得, 又因为，，， 所以， 即， 化简得，满足， 所以. 题型八：重点考查椭圆中四边形面积 典型例题 例题1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆：的离心率为，椭圆的动弦过椭圆的右焦点，当垂直轴时，椭圆在，处的两条切线的交点为． (1)求点的坐标； (2)若直线的斜率为，过点作轴的垂线，点为上一点，且点的纵坐标为，直线与椭圆交于，两点，求四边形面积的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的几何意义，求得椭圆的方程，从而得，将代入椭圆方程，求出点的坐标，再设椭圆在点处的切线方程为，将其与椭圆方程联立，利用判别式为0，求出的值，即可求得的坐标； （2）设直线的方程为，将其与椭圆方程联立，利用弦长公式表示出，结合（1）中所得写出的坐标，并求出直线的方程，再利用弦长公式求得，然后化简运算为定值，且，即可根据基本不等式求解最值． 【详解】（1）解：由题意知，，解得，，， 所以椭圆的方程为，， 将代入椭圆方程得， 不妨取， 设椭圆在点处的切线方程为， 联立，得， 所以， 整理得，解得， 所以在点处的切线方程为， 由椭圆的对称性知，点在轴上， 令，则， 即点的坐标为,． （2）根据题意可设直线的方程为，,，,， 联立，得， 所以，，， 所以， 因为轴，且点的纵坐标为，所以,， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 同理可得，， 所以， 故为定值． 故,当且仅当时等号成立， 由于故，即, 故，当且仅当时等号成立， 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值， 例题2．（2024·湖南衡阳·三模）在直角坐标系xoy中，动圆M与圆外切，同时与圆内切，记圆心M的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)已知三点T，P，Q在E上，且直线TP与TQ的斜率之积为； （i）求证：P，O，Q三点共线； （ii）若，直线TQ交x轴于点A，交y轴于点B，求四边形OPAB面积的最大值． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【分析】（1）由已知，动圆圆心M满足，所以圆心的轨迹为以为焦点的椭圆（不含左顶点），即可得到轨迹E的方程； （2）（i）设，，，设出直线的方程，与E的方程联立，消元后，利用韦达定理和直线TP与TQ的斜率之积为可得，进而得到，则P，O，Q三点共线； （ii）由（i）可知，可得，则，再由点在上可得，进而得到四边形OPAB面积的最大值. 【详解】（1）圆，圆， 设圆的半径为， 由已知得，，从而， 故圆心的轨迹为以为焦点的椭圆（不含左顶点）， 又， 从而轨迹的方程为. （2） （i）设，，，直线的斜率为， 由直线TP与TQ的斜率之积为，则存在且， 则，只需证且. 联立，消得， 整理得：， ， ， 以代得， 故.                                            又， ，        故三点共线.                   （ii）由（i）知，则， 的方程：，从而，      则，            由，当且仅当取等号， 故，即四边形面积的最大值为. 【点睛】关键点点睛: （2）（i）直曲联立消元后，用表示出，再由直线TP与TQ的斜率之积为，TQ的斜率即为，代表示出，得，得到三点共线；（2）（ii）由表示出四边形的面积后，利用得到面积的最大值. 例题3．（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·期中）已知椭圆经过点，且焦距为2． (1)求椭圆的方程； (2)椭圆的左、右焦点分别为，，若，，，四点都在椭圆上，直线与交于点，且直线，分别过点，． ①若直线和的斜率存在且分别为，，求证：为定值； ②求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）依题意可得，解得、，即可求出椭圆方程； （2）①由，关于对称，设的方程，，，，利用直线的斜率公式，即可求得为定值；②分类讨论，当所在直线与轴垂直时，求得点坐标，即可求得四边形面积，当所在直线斜率存在时，设直线方程为，代入椭圆方程，利用韦达定理求得，利用两平行线之间的关系求得，根据平行四边形的面积公式，利用二次函数的性质，即可求得四边形面积的最大值． 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）①因为，，，四点都在椭圆上，直线与交于点， 所以四边形为平行四边形， 又直线，的斜率均存在， 所以设的方程，，，， 显然， 椭圆的方程，则，， 所以， 又，， ， 为定值； ②由（1）可知：椭圆的左焦点，右焦点， 当所在直线与轴垂直时，则所在直线方程为，代入，得，则，，所以，， 平行四边形的面积； 当所在直线斜率存在时，设直线方程为， 联立，得． 显然，设，，则，， ， 两条平行线间的距离， 平行四边形的面积 ， 由，，， 设，由在上单调递减， ， ， 综上，平行四边形面积的最大值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 精练核心考点 1．（24-25高三上·江西·开学考试）已知椭圆的左､右焦点分别为，长轴长为，焦距长为. (1)求椭圆的方程； (2)已知点，点为椭圆上一点，求周长的最大值； (3)直线与椭圆交于两点，且关于原点的对称点分别为，若是一个与无关的常数，则当四边形面积最大时，求直线的方程. 【答案】(1). (2). (3)或. 【分析】（1）由椭圆的性质及已知条件可得的值，从而得椭圆的标准方程； （2）根据，则当且仅当为的延长线与椭圆相交时取等号，即可求的周长最大值； （3）直线方程与椭圆方程联立，由韦达定理得根与系数的关系，，从而可表示出，由是一个与无关的常数，可求出的值，表示出四边形面积，求出当四边形面积最大时的值，即可求解直线的方程． 【详解】（1）由题意得，， 所以， 所以， 所以椭圆的方程为； （2）依题意，, 如图①所示， 所以,且. 因为, 当且仅当为的延长线与椭圆相交时取等号， 所以的周长最大值为. （3）设，如图②所示， 由得，， 所以，， 所以 ， 因为 ， 所以， 因为与无关， 所以，即，， 此时，， 所以， ， 由题意可知，四边形为平行四边形， 因为点到直线的距离， 所以 ， 所以， 因为， 所以，四边形面积最大， 故直线的方程为或. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了根据直线与圆锥曲线的位置关系求四边形的面积最大值，解题的关键在于联立直线与椭圆方程，通过韦达定理得，，并计算 ，以及点到直线的距离，由是一个与无关的常数，求出的值，然后表示四边形的面积，计算量较大. 2．（23-24高二下·河北唐山·期末）已知椭圆经过点和点，椭圆的焦距为2. (1)求椭圆的方程； (2)和是椭圆上异于的两点，四边形是平行四边形，直线分别交轴于点和点是椭圆的右焦点，求四边形面积的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）题目告诉了椭圆焦距和顶点，即知道了，再由，即可求解； （2）由对称性可设，则，通过表示直线的方程，求得的坐标，从而表示出面积，再根据点Ｐ在椭圆上，得到与的关系以及的范围，即可求解. 【详解】（1）由已知，所以，所以椭圆的方程为. （2）如图所示， 因为四边形是平行四边形， 所以线段与线段的中点重合，所以关于原点对称. 设，则且，， 所以直线的方程为， 令，得，即. 又，直线的方程为， 令，得，即. 四边形面积为， ①， 因为点在椭圆上， 所以且， 所以②， 将②代入①得， 所以当时，. 所以四边形面积的最小值为. 3．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，A，B点的坐标分别为和，设的面积为S，内切圆半径为r，当时，记顶点M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)已知点E，F，P，Q在C上，且直线EF与PQ相交于点A，记EF，PQ的斜率分别为，. （i）设EF的中点为G，PQ的中点为H，证明：存在唯一常数，使得当时，； （ii）若，当最大时，求四边形EPFQ的面积. 【答案】(1) (2)（i）证明见详解（ii） 【分析】（1）根据已知条件，结合椭圆的定义与性质可得其标准方程. （2）（i）（方法一）根据直线的点斜式，设直线EF、PQ方程，分别与椭圆联立，用，表示出点G、H.利用向量垂直即数量积为零，可计算出，从而得证. （方法二）设点E，F，G，通过点差法用，表示，.利用直线垂直即斜率之积为-1，可以计算出. （ii）根据弦长公式用，表示出，利用换元法求出最大时，，对应的值，从而计算出四边形EPFQ的面积. 【详解】（1）由A，B点的坐标分别为和，可知. 由内切圆半径为r，及，可得， 所以.由椭圆定义可知，动点M在以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆上，又M不能在直线AB上，所以曲线C的方程为：． （2）（i）（法一）设，，， 根据点斜式，设直线EF的方程为， 联立，得，所以， 根据EF的中点为G可得，， 所以.同理可得，. 由，得，又， 所以，即， 所以存在唯一常数，即时，使得成立． （法二）设，，，当EF的斜率为零，则G与A重合. 因为，所以H在x轴上，又H为PQ的中点，所以轴，显然与PQ过A矛盾，故.同理可得. 由，在椭圆上，得， 两式作差可得， 根据EF的中点为G可得，，， 所以，又， 所以，所以.同理可得. 因为，所以，即，即. 所以存在唯一常数，即当时，使得成立． （ii）由(i)知，，根据弦长公式可得， 同理可得，. 所以， 根据，消去可得，. 令，则 当且仅当，即，即时等号成立.由椭圆的对称性， 不妨设，则，，. 设直线EF和PQ的夹角为，则，可得 所以四边形EPFQ的面积为． 【点睛】方法点睛： 1.利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为，； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 2.中点弦问题常用“点差法”，即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，化简式中含有，，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借助中点公式即可求得斜率.再借助韦达定理即可解决中点问题. 题型九：重点考查椭圆中的中点弦问题 典型例题 例题1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆，过点作倾斜角为的直线与交于，两点，当为线段的中点时，直线（为坐标原点）的斜率为，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点差法可得，由，，可得，可求椭圆的离心率. 【详解】设，所以， 两式相减得，即， 又，所以，整理得， 又，，所以，所以， 所以椭圆的离心率. 故选：D. 例题2．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆，平行于轴的直线与交于点，平行于轴的直线与交于点，直线与直线在第一象限交于点，且，，，，若过点的直线与交于点，且点为的中点，则的方程为 ． 【答案】 【分析】设，根据已知条件求出，根据点坐标，即可求出、，由此即可确定椭圆的方程，方法一：利用点差法求出直线斜率，即可求出的方程；方法二：点斜式设出直线方程，直曲联立得，利用韦达定理表示出，结合即可求出进而求出的方程. 【详解】设，由，，，， 得，， 所以，所以，，代入的方程得， 解得，故的方程为． 解法一  易知的斜率存在且不为0，设， 则，，两式相减得， 由点为的中点得，， 则的斜率为，所以的方程为，即． 解法二  易知的斜率存在且不为，设的方程为， 代入的方程并整理得，需满足， 设，因为点为的中点，所以， 解得，所以的方程为，即． 故答案为： 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，以OA，OB为邻边作平行四边形，点P恰好在C上．若线段AB的中点M在直线上，则直线l的方程为 ． 【答案】 【分析】设，，，利用点差法得到，根据平行四边形的性质及点P在椭圆上得到，解方程组即可求解. 【详解】设，，， 则，两式相减，得， 故，得①． 在平行四边形中，M为线段AB的中点，所以M为线段OP的中点， 所以，又P在椭圆C上，所以②． 由①②，得，故直线l的方程为， 即，经检验，该直线满足题意. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：通过点差法求得是本题的解题关键. 例题4．（23-24高二上·福建福州·期末）已知动点满足：． (1)求动点的轨迹方程； (2)若过点的直线和曲线相交于A，B两点，且为线段AB的中点，求直线的方程． 【答案】(1)的方程是： (2) 【分析】（1）根据椭圆的定义即可判断点的轨迹，并求解方程； （2）先利用点差法求得直线l的斜率，进而求得直线l的方程. 【详解】（1）设，，，因为， 所以，且， 所以点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆. 设椭圆C的方程为，记，则，， 所以，，所以，所以的标准方程为. （2）设点，则， 作差得，除以得， 又由点是AB的中点，则有，所以， 变形可得，所以直线的方程是即， 经检验符合题意，故直线的方程为.      精练核心考点 1．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】点差法求出直线的斜率，点斜式得直线方程. 【详解】设点，点为弦的中点，有， 将两点代入椭圆方程，得， 两式作差得，整理得 得直线的斜率为，直线的方程为，即. 经检验符合题意.A 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海·期中）直线过点，且与曲线交于两点，若，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由题意知为直线的中点，设出坐标，由点差法求出直线的斜率，根据点斜式可得方程. 【详解】由题意知为直线的中点，设， 则，则， 所以， 即，则直线的方程为， 故答案为：. 3．（23-24高二下·江西南昌·阶段练习）已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4．若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点. (1)求椭圆的标准方程； (2)若线段中点的纵坐标 ，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意求出、、的值，即可求出椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，由韦达定理及中点公式求出直线斜率，即可求解． 【详解】（1）由题意可知，得，解得． 所以椭圆的方程为． （2）由题意可知直线斜率存在， 设，设，，，， 联立方程组， 消得， 因为， 设中点坐标为,， 所以，所以， 所以或， 当，中点坐标为,直线方程为：，即． 当，中点坐标为,直线方程为：，即. 4．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知焦点在轴上的椭圆，离心率为. (1)求实数的值； (2)过点的直线与椭圆相交于两点，线段中点为.若直线的斜率为（为原点），求直线的方程. 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）结合题意可得，进而求得，从而求解； （2）设直线的方程为，设，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，进而得到，进而根据斜率公式建立方程求解即可. 【详解】（1）由题意得，， 所以，，，即. （2）由（1）知，椭圆方程为， 当直线的斜率不存在时，不符合题意，所以直线的斜率存在， 设直线的方程为，设，， 联立，整理得， 所以，即或， ，则， 所以，，即， 所以，解得，符合题意， 所以直线的方程为，即. 题型十：重点考查椭圆中参数范围及最值问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·北京西城·期末）已知椭圆的一个焦点为，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆的圆心为为此圆上一点. (1)求椭圆的离心率； (2)记线段与椭圆的交点为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据四边形面积得到，结合焦点坐标，求出，得到离心率； （2），设，得到，结合，求出的取值范围，得到的取值范围. 【详解】（1）由题意得，且，即， 解得， 所以椭圆的离心率. （2）由题意，得. 设，则. 所以，. 因为， 所以当时，；当时，. 所以的取值范围为. 例题2．（23-24高三上·天津南开·期末）设椭圆经过点，且其左焦点坐标为. (1)求椭圆的方程； (2)对角线互相垂直的四边形的四个顶点都在上，且两条对角线均过的右焦点，求的最小值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据焦点坐标和椭圆所过点，利用椭圆的定义可求方程； （2）设出直线方程，联立，结合韦达定理表示出，利用二次函数可得答案. 【详解】（1）因为椭圆的左焦点坐标为， 所以右焦点坐标为. 又椭圆经过点， 所以. 所以椭圆的方程为. （2）①当直线中有一条直线的斜率不存在时，. ②当直线的斜率存在且不为0时， 设直线的方程， 由，得， 则， . 设直线的方程为，同理得， 所以， 设，则， 则， 所以时，有最小值. 综上，的最小值是. 例题3．（23-24高二上·河南驻马店·阶段练习）已知椭圆：的上顶点到焦点的距离为2，离心率为. (1)求，的值； (2)若是椭圆长轴上的一个动点，过点作斜率为1的直线交椭圆于A，B两点，求面积的最大值. 【答案】(1),. (2)1 【分析】（1）根据椭圆的关系以及离心率的公式求解； （2）根据弦长公式和点到直线的距离公式表示出面积，进而利用基本不等式求最大值. 【详解】（1）椭圆的上顶点到焦点的距离为， 又因为离心率，解得， 所以，即. （2）由（1）可得椭圆方程为， 设，， 若，则直线方程为， 联立直线和椭圆方程，化简得， 从而有， 所以 ， 点到直线的距离， 所以， ， 当且仅当，即，满足， 所以此时三角形有最大面积为1. 精练核心考点 1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左顶点，左焦点，过的右焦点做轴的垂线，为垂线上一点，当椭圆的离心率为时，最大值为 . 【答案】/0.5 【分析】如图，由题意，设右焦点为，，根据正弦定理可得，结合基本不等式计算即可求解. 【详解】如图，，设椭圆的右焦点为，轴，则， 在中，由正弦定理，得，即， 在中，，所以， 由，得， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为： 2．（2024·广东梅州·二模）已知椭圆C：（）的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程： (2)求椭圆C上的点到直线l：的距离的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由椭圆的离心率可得，的关系，设椭圆的方程，将点的坐标代入椭圆的方程，可得参数的值，即可得，的值，求出椭圆的方程； （2）设与平行的直线的方程，与椭圆的方程联立，由判别式为0，可得参数的值，进而求出两条直线的距离，即求出椭圆上的点到直线的最大距离． 【详解】（1）由椭圆的离心率为，可得， 可得，设椭圆的方程为：，， 又因为椭圆经过点，所以， 解得， 所以椭圆的方程为：； （2）设与直线平行的直线的方程为， 联立，整理可得：， ，可得，则， 所以直线到直线的距离． 所以椭圆上的点到直线的距离的最大值为． 3．（23-24高二上·江苏徐州·期末）已知椭圆的右焦点为，且过点. (1)求C的方程； (2)若过点的直线与交于两点，为坐标原点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据给定条件，结合，代入点的坐标，列式计算得解. （2）设出直线l的方程，与椭圆的方程联立，借助韦达定理结合均值不等式计算作答. 【详解】（1） 椭圆的右焦点为， 则椭圆的半焦距为， 由于，则椭圆的方程变为：， 将点的坐标代入，，解得：或（舍去）， 得， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线l的斜率不为0，则设直线l的方程为， ，， 由消去x并整理得：， ，， 的面积， ， 设，， ， 因为，当且仅当，时取得“=”， 于是得，， 所以面积的最大值为1. 题型十一：重点考查椭圆中定点问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）设椭圆过两点，O为坐标原点 (1)求椭圆E的方程; (2)设E的右顶点为D，若直线与椭圆E交于A，B两点(A，B不是左右顶点)且满足，证明:直线l过定点，并求该定点坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）将椭圆上的两点代入椭圆方程中，再解方程即可； （2）先将转化为，再直线与椭圆联立，建立方程后进一步化简直线方程即可获得解决. 【详解】（1）因为椭圆E: （a，b>0）过两点， 所以，解得，得，所以椭圆E的方程为. （2）由（1）知，设 由可知，，所以，   即： 所以  （※） 联立直线和椭圆方程，消去y，得： 由所以   代入方程※，可得，即得 所以，所以， 所以，直线l 的方程为 所以，过定点或，根据题意，舍去 所以，直线过定点 例题2．（2024·黑龙江大庆）已知焦点在轴上的椭圆：，短轴长为，椭圆左顶点到左焦点的距离为． （1）求椭圆的标准方程； （2）如图，已知点，点是椭圆的右顶点，直线与椭圆交于不同的两点 ，两点都在轴上方，且．证明直线过定点，并求出该定点坐标． 【答案】（1）；（2）证明见解析，. 【分析】（1）利用已知和的关系，列方程组可得椭圆的标准方程； （2）直线斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立， 可得，利用根与系数的关系代入化简，可得直线所过定点． 【详解】（1）由得， 所以椭圆的标准方程为. （2）当直线斜率不存在时，直线与椭圆交于不同的两点分布在轴两侧，不合题意. 所以直线斜率存在，设直线的方程为. 设、， 由得， 所以，.   因为， 所以， 即，整理得 化简得， 所以直线的方程为， 所以直线过定点. 精练核心考点 1．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知经过圆上点的切线方程是. （1）类比上述性质，直接写出经过椭圆上一点的切线方程； （2）已知椭圆，P为直线上的动点，过P作椭圆E的两条切线，切点分别为A､B，求证：直线过定点. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据已知直接类比求解即可； （2）根据（1），根据题意，得到方程组，根据方程组的特征求出A､B两点坐标特征，最后可以求出直线过定点. 【详解】（1）类比上述性质知：切线方程为. （2）设切点为，点， 由（1）的结论的直线方程：，直线方程：， 通过点，∴有，∴A，B满足方程：， ∴直线恒过点：，即直线恒过点. 2．（23-24高二上·四川资阳·期末）已知椭圆C：右焦点，A，B是分别是椭圆C的左､右顶点，P为椭圆的上顶点，三角形PAB的面积. （1）求椭圆C的方程； （2）直线l：y=kx+m与椭圆交于不同的两点M，N，点Q(2，0)，若∠MQO=∠NQO(O是坐标原点)，判断直线l是否过定点，如果是，求该定点的坐标；如果不是，说明理由. 【答案】（1）；（2）过定点，定点为. 【解析】（1）由题意知：c=1，，，三角形PAB的面积，结合a，b，c的关系，即可求得的值，即可得答案； （2）联立直线与椭圆C的方程，可得关于x的一元二次方程，设，可得的表达式，根据∠MQO=∠NQO，可得，化简整理，可得，代入直线方程，即可求得定点坐标. 【详解】（1）由题意知：c=1，，， 则，又， 代入可得， 所以椭圆方程为. （2）联立方程组得， 设， ，解得， 可得 由∠MQO=∠NQO，可得， 即， 即， 所以，即， 所以，解得，满足， 所以直线方程为，所以直线恒过定点. 【点睛】解题的关键根据∠MQO=∠NQO，得到，通分化简，结合韦达定理求解，考查分析理解，计算化简的能力，属基础题. 题型十二：重点考查椭圆中定值问题 典型例题 例题1．（23-24高三上·陕西汉中·阶段练习）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且其离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)已知与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，求证：（为坐标原点）为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由抛物线的焦点得椭圆焦点，即可结合离心率求解, （2）联立直线与椭圆的方程，根据跟与系数的关系，结合斜率公式即可求解. 【详解】（1）∵抛物线的焦点为， ∴椭圆的半焦距为， 又，得，. ∴椭圆的方程为 （2）证明：由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为， 联立，得. ，即， 设，， 则，， ∴， ∴. ∴为定值    例题2．（2023·江西·二模）已知椭圆的左、右焦点分别为 ，点在椭圆上，，若的周长为6，面积为． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，试判断是否为定值？请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值，理由见解析 【分析】（1）根据题意得到，再解方程组即可得到答案。 （2）首先直线的方程为，与椭圆联立得到，，根据得到，同理可得，再计算即可。 【详解】（1）设椭圆C的焦距为2c，因为的周长为6，面积为， 所以，由①得：，将此式代入②得：， 所以，所以或 当时，，，所以不满足题意； 当时，，，所以满足题意． 所以椭圆C的方程为. （2）由题可得直线斜率存在，由（1）知，设直线的方程为， 则联立，消去，整理得：， 设，则，， 又，则， 由可得，所以，同理可得， 所以 所以为定值． 精练核心考点 1．（23-24高二上·山东青岛·期中）已知椭圆. (1)若直线与椭圆相交于两点，椭圆内一点是线段的中点，求直线的方程； (2)已知分别为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的一个动点，求直线的斜率与直线的斜率之积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，利用“点差法”即可求出直线的斜率，从而可得出直线的方程；（2）设，则，直接计算直线与直线的斜率之积，得出定值即可. 【详解】（1）设， 由题意得，两式相减得， 即， 所以直线的斜率. 因为点是线段的中点，则， 所以， 所以直线的方程为，即. （2）设，则，所以， ∵，所以 所以直线与直线的斜率之积为定值. 2．（2024高三·全国·专题练习）已知是椭圆上关于原点对称的两个点，点在椭圆上．当和斜率存在时，求证：为定值． 【答案】证明见解析 【分析】设，，则，利用直线的斜率公式以及点在椭圆上，化简可得定值． 【详解】设，，则，，， 点A和点P在椭圆上，则有， 作差得， ， ． 题型十三：重点考查椭圆中定直线问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·湖北恩施·期末）已知动圆过定点，且在定圆的内部与其内切． (1)求动圆圆心的轨迹方程． (2)当过点的动直线与圆心的轨迹相交于两不同点时，在线段上取点，满足，则点是否在某条定直线上？若在，求该直线的方程；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点在定直线上． 【分析】（1）根据椭圆的定义求得轨迹方程； （2）设点，由均不为零，记，则且，由椭圆方程说明点在椭圆外，得出，用坐标表示出该等式，然后求得，并利用点在椭圆上消去各参数得出关于的方程，从而得出结论． 【详解】（1）设动圆和定圆切于点． 由题意可得动点到定点和定圆圆心的距离之和恰好等于定圆的半径，即． 由椭圆定义可得动圆圆心的轨迹方程为． （2）点在定直线上．理由如下． 设点． 由题设知均不为零，记，则且， 因为四点共线，将点代入轨迹方程得，所以点在椭圆外，又点在线段上，所以， 于是①，②． 又点在椭圆上，所以 ③-④得，代入①②有， 即点在定直线上． 例题2．（23-24高二上·陕西汉中·期中）已知椭圆C：（，）过点，且离心率为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l：与椭圆C交y轴右侧于不同的两点A，B，证明：△MAB的内心在一条定直线上． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意建立关于，的方程组，再求解即可得到椭圆C的标准方程； （2）设，，联立直线和椭圆C的标准方程，得到关于的一元二次方程，再根据韦达定理证明，进而即可得出结论． 【详解】（1）依题意有，解得， 所以椭圆C的标准方程为． （2）设，， 联立，消整理得， 则，解得， 可得，， 所以， 所以， 所以， 又， 所以恒成立，则的平分线总垂直于x轴， 所以的内心在定直线上．    精练核心考点 1．（23-24高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点在椭圆C上，且，直线过点且与椭圆C交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知，，若直线，交于点D，探究：点D是否在某定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)点D在直线上． 【分析】 （1）利用两点距离公式可计算焦点坐标，待定系数法计算椭圆方程即可； （2）由题意先确定M、N位置，设直线与、坐标，联立直线与椭圆方程利用韦达定理得出、纵坐标关系式，再利用点、坐标表示直线、，法一、求出D点横坐标化简计算即可；法二、直接利用直线、方程作比计算为定值，计算即可. 【详解】（1）设，，， 则， 则，解得（舍去）， 则，① 代入点得，② 联立①②，解得，， 故椭圆C的标准方程为； （2） 依题意，，， 设直线，联立， 整理得， ； 设，， 则，， 所以. 可设直线，直线， 法一：联立 得 ， 故点D在直线上． 法二：故， 解得， 故点D在直线上． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 2．（2024·北京海淀·模拟预测）已知曲线． (1)若曲线C是椭圆，求m的取值范围． (2)设，曲线C与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M，N．设直线AN与直线BM相交于点G．试问点G是否在定直线上？若是，求出该直线方程；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)在定直线上，理由见详解. 【分析】（1）由椭圆的标准方程计算即可； （2）由对称性分析该定直线为平行于横轴的直线，将直线MN与椭圆联立消，设直线AN、BM的方程解出G纵坐标，结合韦达定理化简计算即可. 【详解】（1）因为曲线C是椭圆，所以，解得；. （2）是在定直线上，理由如下： 当时，此时椭圆，设点与直线l联立得， ，且， 所以 易知，则， 两式作商得是定值， 故G在定直线上.    题型十四：重点考查椭圆中向量问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为． (1)求椭圆和其“准圆”的方程； (2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围． 【答案】(1)椭圆的方程为，其“准圆”方程为； (2). 【分析】（1）根据已知求椭圆方程中的参数，即得椭圆方程，再由“准圆”定义写出对应“准圆”的方程； （2）设，写出，坐标，应用向量数量积的坐标表示得，结合是椭圆上及其有界性，即可求范围. 【详解】（1）由题意知，且，可得， 故椭圆的方程为，其“准圆”方程为． （2）由题意，设，则有， 不妨设，，所以，， 所以，又，则， 所以的取值范围是．    例题2．（23-24高二上·陕西西安·期末）已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2． (1)求椭圆的标准方程； (2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，，若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件写出关于的方程组，即可求椭圆方程； （2）首先直线与椭圆方程联立，利用韦达定理表示，即可求参数. 【详解】（1）由题意得，，，， ，， 椭圆的标准方程为． （2）依题意，知，设，． 联立消去，可得． ，即，， ，． ，． ， ， 整理，得， 解得或（舍去）． 直线的方程为． 精练核心考点 1．（23-24高二下·江苏南通·期末）已知椭圆的左焦点，右顶点． (1)求的方程 (2)设为上一点（异于左、右顶点），为线段的中点，为坐标原点，直线与直线交于点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意，求得a，c的值，根据a，b，c的关系，求得的值，即可得答案. （2）设点 ，即可得M点坐标及直线OM的方程，与直线l联立，可得N点坐标，即可得坐标，结合数量积公式，即可得证 【详解】（1）设椭圆的半焦距为． 因为椭圆的左焦点，右顶点， 所以，． 所以， 故C的方程为：； （2）设点，且， 因为为线段的中点，所以， 所以直线的方程为：， 令，得，所以点， 此时，，， 所以 ， 所以，所以． 2．（23-24高二上·江苏南京·期中）在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为． (1)求椭圆的标准方程； (2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）根据题意得到关于的方程，解之即可求出结果; （2）联立直线的方程与椭圆方程，结合韦达定理以及平面向量数量积的坐标运算即可求出结果. 【详解】（1）因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以． 又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而． 所以椭圆的标准方程． （2）因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为． 联立直线的方程与椭圆方程， 消去，得，其中． 设，，则，． 因为，所以 ． 因此的值是． 学科网（北京）股份有限公司 $$