第03讲 3.3抛物线（8大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第03讲 3.3抛物线 目录 题型一：重点考查利用抛物线定义求动点轨迹 1 题型二：重点考查抛物线上点到定点的距离及最值 2 题型三：重点考查抛物线上点到定点和焦点的距离和最值 2 题型四：重点考查抛物线的焦半径公式 3 题型五：重点考查求抛物线的标准方程 4 题型六：重点考查轨迹方程之抛物线 5 题型七：重点考查抛物线的对称性及其应用 6 题型八：重点考查根据抛物线的对称性求参数 7 题型一：重点考查利用抛物线定义求动点轨迹 典型例题 例题1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·陕西西安·一模）平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为 . 精练核心考点 1．（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·西藏林芝·期末）若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ． 题型二：重点考查抛物线上点到定点的距离及最值 典型例题 例题1．（2024·湖南益阳·三模）已知是抛物线上一点，圆关于直线对称的圆为，是圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高三下·全国·阶段练习）抛物线上任意一点P到点的距离的最小值为 . 精练核心考点 1．（2024·山东潍坊·一模）已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 2．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线，圆：．若，则圆心到抛物线上任意一点距离的最小值是 ． 题型三：重点考查抛物线上点到定点和焦点的距离和最值 典型例题 例题1．（24-25高三上·广东·阶段练习）记抛物线的焦点为，点在上，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 例题2．（23-24高二上·全国·单元测试）已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，则的最小值为 ． 例题3．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点M（3，6），点Q在抛物线上，则的最小值为 ． 精练核心考点 1．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知是抛物线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为 . 3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线方程为，点，点在抛物线上，则的最小值为 . 题型四：重点考查抛物线的焦半径公式 典型例题 例题1．（2024·青海西宁·一模）已知是抛物线的焦点，点在上，且的纵坐标为3，则（    ） A． B． C．4 D．6 例题2．（2024·云南昆明·三模）已知点在抛物线的图象上，为的焦点，则（    ） A． B．2 C．3 D． 例题3．（23-24高二下·海南海口·期末）已知点关于轴的对称点在曲线：上，且点到点的距离为点到直线的距离的，则点的纵坐标 ． 精练核心考点 1．（2024·北京大兴·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与直线交于点A，点M在抛物线上，且满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（多选）（2024·黑龙江·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．（2024·河北沧州·模拟预测）抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标为 . 题型五：重点考查求抛物线的标准方程 典型例题 例题1．（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知抛物线与椭圆有公共的焦点，则 . 例题3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线C：上两点A，B且轴，，的面积为16，求抛物线C的方程． 精练核心考点 1．（24-25高二上·全国·课后作业）顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·新疆·二模）已知抛物线，点在抛物线上，则（    ） A．1或2 B．2 C．2或 D． 3．（23-24高二上·河南开封·期末）已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 题型六：重点考查轨迹方程之抛物线 典型例题 例题1．（23-24高三上·北京房山·期末）已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是 . 例题2．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ． 例题3．（23-24高二上·上海·课后作业）已知曲线和定点，点为曲线上任意一点，若，当点在曲线上运动时，求点的轨迹方程． 精练核心考点 1．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）在平面直角坐标系xOy中，动圆M与圆N：相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程． 3．（23-24高二·全国·课后作业）动点P（x，y）到y轴的距离比到点（2，0）的距离小2，求点P的轨迹方程． 题型七：重点考查抛物线的对称性及其应用 典型例题 例题1．（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 例题2．（2024·全国·模拟预测）已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若（为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）定义：既是中心对称，也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下是方程所表示的曲线中不是“尚美曲线”的是（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（2024·山东·二模）已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（    ）． A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 2．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二上·全国·专题练习）已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，则 . 题型八：重点考查根据抛物线的对称性求参数 典型例题 例题1．（2024·全国·模拟预测）如图，某种地砖ABCD的图案由一个正方形和4条抛物线构成，体现了数学的对称美．，，，，，已知正方形ABCD的面积为64，连接，的焦点，，线段分别交，于点G，H，则的值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 . 精练核心考点 1．（23-24高二上·河南周口·阶段练习）已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则 ． 2．（2024·陕西·模拟预测）已知直线过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于，两点，若使的直线有且仅有1条，则 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 3.3抛物线 目录 题型一：重点考查利用抛物线定义求动点轨迹 1 题型二：重点考查抛物线上点到定点的距离及最值 3 题型三：重点考查抛物线上点到定点和焦点的距离和最值 5 题型四：重点考查抛物线的焦半径公式 9 题型五：重点考查求抛物线的标准方程 11 题型六：重点考查轨迹方程之抛物线 13 题型七：重点考查抛物线的对称性及其应用 16 题型八：重点考查根据抛物线的对称性求参数 20 题型一：重点考查利用抛物线定义求动点轨迹 典型例题 例题1．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·期末）点到直线的距离比到点的距离大2，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意点到直线的距离和到点的距离相等，可得点的轨迹为抛物线，即可得解. 【详解】根据题意，设点，且点在的下方， 故点到直线的距离和到点的距离相等， 所以点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线， 所以的轨迹方程为， 故选：D. 例题2．（2024·陕西西安·一模）平面上动点M到定点的距离比M到轴的距离大3，则动点M满足的方程为 . 【答案】或 【分析】考虑和两种情况，时确定轨迹为抛物线，根据题意得到，得到答案. 【详解】动点M到定点的距离比M到轴的距离大3， 当时，动点M到定点的距离等于到的距离，轨迹为抛物线， 设抛物线方程为，则，即，所以； 当时，满足条件. 综上所述：动点M的轨迹方程为：时，；时，. 故答案为：或 精练核心考点 1．（23-24高二上·北京延庆·期末）到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义即可得解. 【详解】因为动点到定点的距离比到轴的距离大， 所以动点到定点的距离等于到的距离， 所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程是. 故选：B. 2．（23-24高三上·西藏林芝·期末）若动点到点的距离和动点到直线的距离相等，则点的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】结合抛物线定义即可解题. 【详解】由抛物线定义知，点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 所以点的轨迹方程为：. 故答案为：. 题型二：重点考查抛物线上点到定点的距离及最值 典型例题 例题1．（2024·湖南益阳·三模）已知是抛物线上一点，圆关于直线对称的圆为，是圆上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称性求出圆的方程，设，求出的最小值，即可求出的最小值. 【详解】圆圆心为，半径，设， 则由对称性可知：，解得，则， 所以圆， 设，则， 所以当，即时，， 所以的最小值是. 故选：A 例题2．（23-24高三下·全国·阶段练习）抛物线上任意一点P到点的距离的最小值为 . 【答案】 【分析】设（），则，将代入化简可求出其最小值 【详解】设（），则，显然， 则，当时取等号， 所以所求的最小值为. 故答案为： 精练核心考点 1．（2024·山东潍坊·一模）已知抛物线上点的纵坐标为1，则到的焦点的距离为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】 首先求出抛物线的准线方程，再根据抛物线的定义计算可得. 【详解】抛物线的准线方程为， 又点在抛物线上且纵坐标为，所以点到的焦点的距离为. 故选：B 2．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线，圆：．若，则圆心到抛物线上任意一点距离的最小值是 ． 【答案】3 【分析】设为抛物线上任意一点，则，根据即可求解. 【详解】设为抛物线上任意一点， 圆的圆心, 则， 因为，且在单调递增， 所以当时，. 故答案为：. 题型三：重点考查抛物线上点到定点和焦点的距离和最值 典型例题 例题1．（24-25高三上·广东·阶段练习）记抛物线的焦点为，点在上，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】由抛物线的定义即可求解. 【详解】过点作的垂线，垂足为，则， 则，如图所示. 所以的最小值为. 故选：B． 例题2．（23-24高二上·全国·单元测试）已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】作出图形，延长交准线于点，利用抛物线的定义结合点为线段与抛物线的交点时，可求得的最小值. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 延长交准线于点，如图所示． 根据抛物线的定义知，， 所以， 当且仅当点为线段与抛物线的交点时，等号成立．    故答案为：. 例题3．（23-24高二下·河南南阳·阶段练习）已知抛物线的焦点为F，点M（3，6），点Q在抛物线上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义可求出结果. 【详解】抛物线的准线方程为， 过作准线的垂线，垂足为，则， 所以.当且仅当与准线垂直时，取等号. 所以的最小值为.    故答案为：. 精练核心考点 1．（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）已知是抛物线上任意一点，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作，利用定义将转化为，然后结合图形可得. 【详解】易知，抛物线的焦点为，准线为， 作，垂足为C， 由抛物线定义可知，， 则由图可知，的最小值为点B到准线l的距离，即. 故选：D    2．（24-25高二上·上海·课后作业）已知抛物线，的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C：上，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，再根据三点共线求最小距离. 【详解】如图，过点向准线作垂线，垂足为，则， 当垂直于抛物线的准线时，最小， 此时线段与圆的交点为，因为准线方程为，， 半径为，所以的最小值为. 故答案为：8. 3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知抛物线方程为，点，点在抛物线上，则的最小值为 . 【答案】3 【分析】利用抛物线定义将所求距离转化为，然后利用三点共线求解最小值即可. 【详解】由题知点为焦点，由抛物线定义知就是点到准线的距离，如图， 设点在准线的射影为D，则， 此时三点共线，即当点纵坐标为时，的值最小， 最小值为. 故答案为：3 题型四：重点考查抛物线的焦半径公式 典型例题 例题1．（2024·青海西宁·一模）已知是抛物线的焦点，点在上，且的纵坐标为3，则（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】利用抛物线的标准方程和抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】由，得，解得. 所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为， 又因为的纵坐标为3，点在上， 所以. 故选：C. 例题2．（2024·云南昆明·三模）已知点在抛物线的图象上，为的焦点，则（    ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】先根据点在抛物线上求出p，再根据抛物线的定义求出焦半径即可. 【详解】将代入，即， 所以， 所以. 故选：B. 例题3．（23-24高二下·海南海口·期末）已知点关于轴的对称点在曲线：上，且点到点的距离为点到直线的距离的，则点的纵坐标 ． 【答案】 【分析】根据抛物线定义及距离关系式可得，即求出点的纵坐标. 【详解】因为曲线的方程为，即， 所以由题意及抛物线的对称性知，点在抛物线上，且在轴的下方， 点为此抛物线的焦点． 由抛物线的定义可知，可得， 解得或（舍去）， 所以点的横坐标为，代入抛物线得，所以 故答案为： 精练核心考点 1．（2024·北京大兴·三模）已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为的直线与直线交于点A，点M在抛物线上，且满足，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由题意先求出过F且斜率为的直线方程，进而可求出点，接着结合点M在抛物线上且可求出，从而根据焦半径公式即可得解. 【详解】由题意可得，故过F且斜率为的直线方程为， 令，则由题， 因为，所以垂直于直线，故， 又M在抛物线上，所以由， 所以. 故选：C. 2．（多选）（2024·黑龙江·模拟预测）已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】AC 【分析】利用抛物线的定义来求焦半径，即可得到答案. 【详解】由点在抛物线上，可得点横坐标， 因为，由抛物线定义得，解得或， 故选：. 3．（2024·河北沧州·模拟预测）抛物线上与焦点的距离等于3的点的横坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，由抛物线的焦半径公式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为抛物线，所以，所以. 设点的横坐标为，则有3，所以. 故答案为： 题型五：重点考查求抛物线的标准方程 典型例题 例题1．（23-24高二上·广东广州·期末）已知抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据焦点坐标直接写出抛物线方程. 【详解】因为抛物线的焦点是，则抛物线的标准方程是. 故选：B 例题2．（23-24高二上·广东汕尾·期末）已知抛物线与椭圆有公共的焦点，则 . 【答案】2 【分析】根据椭圆的方程求出椭圆的焦点即可求解. 【详解】由知椭圆焦点在轴上，，故椭圆的焦点为，所以，解得. 故答案为：2. 例题3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线C：上两点A，B且轴，，的面积为16，求抛物线C的方程． 【答案】 【分析】先根据对称性设点，再结合面积公式求参，进而得出，得出抛物线方程. 【详解】不妨设点A在第一象限且，则，可得， 轴，且，即为等腰直角三角形， 则OA的斜率为1，即，由的面积为16，可得， 解得，所以，所以抛物线C的方程为． 精练核心考点 1．（24-25高二上·全国·课后作业）顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由抛物线的标准方程中参数的几何意义即可列式求解. 【详解】设抛物线方程为或， 依题意知，∴. ∴抛物线方程为. 故选：C. 2．（2024·新疆·二模）已知抛物线，点在抛物线上，则（    ） A．1或2 B．2 C．2或 D． 【答案】C 【分析】将点代入抛物线方程，即可求解. 【详解】因为点在抛物线上，所以， 整理得，解得或． 故选：C 3．（23-24高二上·河南开封·期末）已知抛物线C关于x轴对称，且焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与轴的交点坐标，从而得到抛物线的焦点坐标，得到答案. 【详解】直线与轴的交点为，所以抛物线的焦点为， 故，解得，抛物线的标准方程为． 故选：D． 题型六：重点考查轨迹方程之抛物线 典型例题 例题1．（23-24高三上·北京房山·期末）已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是 . 【答案】或 【分析】设出点的坐标，利用已知列出方程化简即得. 【详解】设点，依题意，，即，整理得， 所以的轨迹方程是或. 故答案为：或 例题2．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）若动点到点的距离比它到直线的距离大1，则的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】将直线方程向左平移1个单位，可知动点到点的距离与它到直线的距离相等，结合抛物线定义即可求得抛物线的标准方程. 【详解】将化为， 动点到点的距离比它到直线的距离大1， 则动点到点的距离与它到直线的距离相等， 由抛物线定义可知动点的轨迹为抛物线， 该抛物线以为焦点，以为准线，开口向右， 设， 所以，解得， 所以抛物线方程为， 故答案为：. 例题3．（23-24高二上·上海·课后作业）已知曲线和定点，点为曲线上任意一点，若，当点在曲线上运动时，求点的轨迹方程． 【答案】 【分析】设出点和点，由，得到这两个坐标的关系，再根据点在抛物线上，满足抛物线方程，即可得，的关系，亦即轨迹方程． 【详解】设点的坐标，点的坐标为， 又， 所以，， ，， ， ， ， 点在抛物线上，，， 整理得， 所以点的轨迹方程为． 精练核心考点 1．（23-24高二下·甘肃白银·期中）若圆与轴相切且与圆外切，则圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆心坐标为，依题意可得，化简整理即可得解. 【详解】设圆心坐标为，依题意可得，化简得， 即圆的圆心的轨迹方程为. 故选：C 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）在平面直角坐标系xOy中，动圆M与圆N：相内切，且与直线相切，记动圆圆心M的轨迹为曲线C．求曲线C的方程． 【答案】． 【分析】设动圆圆心，半径为r，根据题意列方程化简可得曲线C的方程． 【详解】解：设动圆圆心，半径为r， 依题意，，， 消去r，得， 化简得， 所以曲线C的方程为． 3．（23-24高二·全国·课后作业）动点P（x，y）到y轴的距离比到点（2，0）的距离小2，求点P的轨迹方程． 【答案】或 【分析】根据题意列方程可求出结果. 【详解】依题意可得， 两边平方得，即， 当时，； 当时，. 所以点P的轨迹方程为：或. 题型七：重点考查抛物线的对称性及其应用 典型例题 例题1．（23-24高二下·福建厦门·期末）等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】正三角形的另外两个顶点关于轴对称，设另外两个顶点坐标分别是，把顶点代入抛物线方程化简即可求解. 【详解】设正三角形得边长为， 由图可知正三角形的另外两个顶点关于轴对称，可设另外两个顶点坐标分别是， 把顶点代入抛物线方程得解得， 所以正三角形的边长为. 故选：D. 例题2．（2024·全国·模拟预测）已知过抛物线的焦点的直线垂直于轴，且与抛物线交于，两点，点在轴上，且．若（为坐标原点），则的准线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意设，，讨论点的坐标为或者，即可根据，求出p的值，即可求得答案. 【详解】由抛物线的方程，得， 由抛物线的对称性，不妨设，， 当点的坐标为时，，， 因为，所以，则（不合题意，舍去）； 当点的坐标为时，， 因为，所以，则， 所以抛物线的准线方程为， 故选：A． 例题3．（23-24高二上·浙江嘉兴·期中）定义：既是中心对称，也是轴对称的曲线称为“尚美曲线”，下是方程所表示的曲线中不是“尚美曲线”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆、椭圆、双曲线、抛物线的性质，根据条件，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】选项A，表示圆心在原点，半径为2的圆，由圆的性质知，的对称中心为，对称轴为轴，轴，即既是中心对称，也是轴对称，所以选项A错误； 选项B，由椭圆的性质知，的对称中心为，对称轴为轴，轴，即既是中心对称，也是轴对称，所以选项B错误； 选项C，由双曲线的性质知，的对称中心为，对称轴为轴，轴，即既是中心对称，也是轴对称，所以选项C错误； 选项D，由，得到，由抛物线性质知，关于轴对称，无对称中心，所以选项D正确. 故选：D. 精练核心考点 1．（2024·山东·二模）已知点在抛物线上，若点到抛物线对称轴的距离是4，到准线的距离是5，则的值是（    ）． A．2或4 B．4或6 C．6或8 D．2或8 【答案】D 【分析】由点的纵坐标及点在抛物线上得到点的横坐标，再由到准线的距离得到的值. 【详解】 如图所示，因为点到抛物线对称轴的距离是4，所以点的纵坐标为， 因为点在抛物线上，所以由得横坐标为， 又因为到准线的距离为5，即，解得或． 故选：D. 2．（23-24高二上·浙江温州·期中）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设另外两个顶点的坐标分别为，由图形的对称性可以得到方程，解此方程得到的值，即可得到答案. 【详解】由题意，依据抛物线的对称性，及等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 可设另外两个顶点的坐标分别为， ，解得， 故这个等边三角形的边长为. 故选：A. 3．（2024高二上·全国·专题练习）已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，则 . 【答案】 【分析】利用抛物线的对称性得到，从而得解. 【详解】因为抛物线关于轴对称，直线与轴垂直， 故，即. 故答案为：. 题型八：重点考查根据抛物线的对称性求参数 典型例题 例题1．（2024·全国·模拟预测）如图，某种地砖ABCD的图案由一个正方形和4条抛物线构成，体现了数学的对称美．，，，，，已知正方形ABCD的面积为64，连接，的焦点，，线段分别交，于点G，H，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正方形的面积可得点的坐标，进而可得抛物线方程，根据直线与抛物线方程联立可得交点，进而根据焦半径公式以及对称性即可求解. 【详解】由正方形ABCD的面积为64，得正方形ABCD的边长为8， 根据对称性可得，，，， 将代入，得，所以抛物线的方程为． 故， 故，，设，直线的方程为， 联立，得，解得或（舍）， 故，． 由对称性可知，． 故选:B． 例题2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为 . 【答案】6 【分析】设等边三角形边长为a，根据抛物线的对称性以及等边三角形的对称性，表示出顶点A的坐标，代入抛物线方程，即可求得答案. 【详解】由题意可知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线上， 则另两个顶点关于x轴对称，不妨设如图示： 设等边三角形边长为a，则A点横坐标为， 则，代入得， 解得（舍）， 故等边三角形的边长为6， 故答案为：6 精练核心考点 1．（23-24高二上·河南周口·阶段练习）已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则 ． 【答案】2 【分析】利用两点间距离公式，结合抛物线对称性求得，再求出长即可求解. 【详解】设抛物线上的点，即有，，    由是正三角形，得，则，即， 整理得，而，，， 因此，由抛物线对称性得点关于轴对称，即垂直于轴，且，不妨令， 则，而，于是，即， 因此，所以. 故答案为：2 2．（2024·陕西·模拟预测）已知直线过抛物线：（）的焦点，且与抛物线交于，两点，若使的直线有且仅有1条，则 . 【答案】1 【分析】根据通径公式，即可求解. 【详解】焦点弦中，通径最短，所以若使的直线有且仅有1条，则就是通径，即，. 故答案为：1 学科网（北京）股份有限公司 $$