第02讲 3.2双曲线（11大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第02讲 3.2双曲线 目录 题型一：重点考查利用双曲线的定义求方程 1 题型二：重点考查利用定义求点到焦点的距离 3 题型三：重点考查双曲线中的焦点三角形问题 4 题型四：重点考查双曲线中线段和，差最值问题 5 题型五：重点考查根据方程表示双曲线求参数 6 题型六：重点考查双曲线的标准方程 7 题型七：重点考查轨迹方程之双曲线 9 题型八：重点考查求共焦点的双曲线方程 11 题型九：重点考查双曲线中离心率（定值）问题 12 题型十：重点考查双曲线中离心率（最值，范围）问题 13 题型十一：重点考查双曲线中渐近线问题 14 题型一：重点考查利用双曲线的定义求方程 典型例题 例题1．（2024·河南濮阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知圆：，圆：． (1)求经过点以及圆与圆交点的圆的方程； (2)若动圆和圆、圆均外切，求点的轨迹方程. 精练核心考点 1．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 3．（2024高三·全国·专题练习）已知动点M到点，的距离之差的绝对值为，求动点M的轨迹C的方程. 题型二：重点考查利用定义求点到焦点的距离 典型例题 例题1．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦点，若，则（    ） A．1或5 B．6 C．7 D．8 例题2．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）若点P是双曲线上一点，，分别为C的左、右焦点，，则 . 例题3．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知分别是双曲线的左右焦点，点在该双曲线上，若，则 . 精练核心考点 1．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（    ） A．9 B．9或1 C．1 D．6 2．（23-24高二上·内蒙古·期中）双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（    ） A．15 B．3 C．3或15 D．5或12 3． （23-24高二上·陕西西安·期末）双曲线右支上的一点P到右焦点的距离为12，则P点到左焦点的距离为 . 题型三：重点考查双曲线中的焦点三角形问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·甘肃白银·期末）设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（    ） A．1 B． C． D．2 例题3．（23-24高三上·青海西宁·期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，O为坐标原点，P是C右支上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 例题4．（24-25高二·上海·随堂练习）已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 精练核心考点 1．（2024·天津南开·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·辽宁抚顺·三模）过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线交于两点．若，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，则的面积等于（    ） A．24 B．12 C． D． 4．（23-24高三上·河北·期末）已知双曲线的离心率为2，左､右顶点分别为，右焦点为，是上位于第一象限的两点，，若，则（    ） A． B． C． D． 题型四：重点考查双曲线中线段和，差最值问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 例题2．（2024·江西鹰潭）已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．9 例题3．（23-24高二上·全国·假期作业）设圆与两圆中的一个内切，另一个外切． (1)求的圆心轨迹的方程； (2)已知点，且为上动点．求的最大值． 精练核心考点 1．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 2．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 3．（2024高二上·全国·专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为 ． 题型五：重点考查根据方程表示双曲线求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题2．（2024高三下·全国·专题练习）双曲线方程为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 例题3．（23-24高一下·四川成都·开学考试）方程表示双曲线的必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024高二·全国·专题练习）若曲线表示双曲线，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海·期中）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 题型六：重点考查双曲线的标准方程 典型例题 例题1．（2024高二·全国）中，为动点，B、C为定点，，，且满足条件，则点的轨迹方程是（    ）． A． B． C．的左支 D．的右支 例题2．（24-25高二上·全国·课后作业）经过点的双曲线的标准方程为 ． 例题3．（24-25高二·上海·假期作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)与双曲线有公共的渐近线，且过点． 例题4．（23-24高二上·全国·单元测试）分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过两点； (2)与双曲线有公共的渐近线,且过点． 精练核心考点 1．（23-24高二下·广西·阶段练习）以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为 ． 2．（2024高二·全国·专题练习）求焦点在x轴上，且经过点与的双曲线的标准方程为 ． 3．（2024高二·全国·专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为. 4．（24-25高二·上海·随堂练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，，经过点； (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程． 题型七：重点考查轨迹方程之双曲线 典型例题 例题1．（24-25高二上·上海·课堂例题）过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知，，对于平面内一动点，轴于点，且.求点的轨迹的方程. 精练核心考点 1．（24-25高二上·全国·课后作业）相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为 . 3．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.求C的方程. 题型八：重点考查求共焦点的双曲线方程 典型例题 例题1．（23-24高二上·天津·期中）与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二·全国·课后作业）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为 . 例题3．（23-24高二·江苏·假期作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)过点P，Q且焦点在坐标轴上． 精练核心考点 1．（23-24高二·全国·课后作业）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ． 2．（23-24高二·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点. 3．（23-24高二上·陕西延安·阶段练习）根据下列条件求双曲线的标准方程． (1)双曲线经过点，，焦点在x轴上； (2)经过点，且与双曲线有相同的焦点． 题型九：重点考查双曲线中离心率（定值）问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·天津·期中）已知双曲线为坐标原点为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 例题2．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）设，是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 例题3．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，设为线段的中点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（23-24高二下·河南·期中）在平面直角坐标系xOy中，为双曲线的左、右焦点，为右支上异于顶点的一点，直线PM平分，且，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（    ）. A． B． C． D． 3．（2024·天津河西·二模）已知双曲线C：的左、右焦点为、，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 题型十：重点考查双曲线中离心率（最值，范围）问题 典型例题 例题1．（2024·四川南充·三模）已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，若，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题3．（多选）（23-24高二上·云南丽江·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线交于，两点，其中点在第一象限，，，则双曲线的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（2024·陕西商洛·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，若上存在点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·宁夏银川·二模）已知双曲线，点的坐标为，若上存在点使得成立，则的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型十一：重点考查双曲线中渐近线问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的两焦点为为其渐近线上一点，满足：，则此双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 例题3．（2024·西藏拉萨·二模）已知双曲线与有相同的渐近线，且直线过双曲线的焦点，则双曲线的标准方程为 . 精练核心考点 1．（2024·河北·模拟预测）双曲线的两焦点分别为，过的直线与其一支交于，两点，点在第四象限.以为圆心，的实轴长为半径的圆与线段分别交于M，N两点，且，则的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东济南·三模）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津和平·二模）已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 3.2双曲线 目录 题型一：重点考查利用双曲线的定义求方程 1 题型二：重点考查利用定义求点到焦点的距离 5 题型三：重点考查双曲线中的焦点三角形问题 7 题型四：重点考查双曲线中线段和，差最值问题 13 题型五：重点考查根据方程表示双曲线求参数 17 题型六：重点考查双曲线的标准方程 19 题型七：重点考查轨迹方程之双曲线 25 题型八：重点考查求共焦点的双曲线方程 29 题型九：重点考查双曲线中离心率（定值）问题 33 题型十：重点考查双曲线中离心率（最值，范围）问题 38 题型十一：重点考查双曲线中渐近线问题 42 题型一：重点考查利用双曲线的定义求方程 典型例题 例题1．（2024·河南濮阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，点F的坐标为，以线段FP为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两圆外切和内切两种情况，根据两圆位置关系结合双曲线的定义分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径， 设，以线段FP为直径的圆的圆心为M，半径为， 若圆与圆外切，则，， 可得； 若圆与圆内切，则，， 可得； 综上所述：， 可知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线，且，则， 所以动点P的轨迹方程为. 故选：B. 例题2．（23-24高二上·四川凉山·期末）已知点，，动点满足条件，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义可判断动点的轨迹形状，利用待定系数法即可求得轨迹方程. 【详解】因为，，所以，动点满足， 由双曲线的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支， 设双曲线方程为，则有，，， 所以动点的轨迹方程为. 故选：D. 例题3．（23-24高二上·湖北·阶段练习）已知圆：，圆：． (1)求经过点以及圆与圆交点的圆的方程； (2)若动圆和圆、圆均外切，求点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出所求圆的方程，根据点坐标求得所求圆的方程. （2）根据双曲线的定义求得点的轨迹方程. 【详解】（1）设所求圆方程为：，， 将代入上面方程， 得， 解得，所以该圆方程为：， 化简为：. （2）由题圆：，圆心，半径， 圆：，圆心，半径， 又因为圆和圆，圆均外切，令，圆的半径为， 则，，所以， 所以点在以，为左右焦点，以2为实轴长的双曲线靠近点的一支上， 且，所以，， ， 所以点坐标满足如下关系： ，解得． 所以点的轨迹方程为：． 精练核心考点 1．（23-24高二下·云南玉溪·期末）已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆与圆的位置关系以及双曲线的定义即可求解. 【详解】设动圆的半径为r， 则，， 则， 根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支． 故选：C． 2．（23-24高二上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知圆，圆，若动圆M与圆均外切，则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】由题可得，然后根据双曲线的定义即得. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径， 设动圆的半径为，由动圆与圆，都外切，得， 则，因此点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 设方程为，则， 所以M的轨迹方程为. 故答案为：. 3．（2024高三·全国·专题练习）已知动点M到点，的距离之差的绝对值为，求动点M的轨迹C的方程. 【答案】 【分析】 由双曲线的定义得动点的轨迹方程. 【详解】由题意可知，点M的轨迹C是以，为焦点的双曲线，设双曲线的方程为，（，） 则，，所以，，， 所以动点M的轨迹C的方程为. 题型二：重点考查利用定义求点到焦点的距离 典型例题 例题1．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）设是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线方程为分别是双曲线的左、右焦点，若，则（    ） A．1或5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用双曲线的渐近线方程求出，再利用双曲线的定义，即可求解. 【详解】由题意，双曲线的一条渐近线方程为， 可得，解得， 又是双曲线上一点，分别是双曲线的左、右焦点,，， 可得点在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，则. 故答案为：C. 例题2．（23-24高二上·福建厦门·阶段练习）若点P是双曲线上一点，，分别为C的左、右焦点，，则 . 【答案】5或13 【分析】根据双曲线的定义分析求解. 【详解】设双曲线的半焦距为，则， 因为， 解得或， 经检验均符合题意； 所以或13. 故答案为：5或13. 例题3．（23-24高二上·黑龙江牡丹江·期中）已知分别是双曲线的左右焦点，点在该双曲线上，若，则 . 【答案】3或7/7或3 【分析】根据双曲线的定义及双曲线上的点到焦点的距离范围进行求解即可 【详解】由双曲线定义知：，而，即 3或7. 又点在该双曲线上时要满足：或者 所以或. 故答案为：3或7 精练核心考点 1．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）双曲线：的两个焦点分别是与，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则等于（    ） A．9 B．9或1 C．1 D．6 【答案】A 【分析】根据焦距，可得值，根据的关系，可得值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案. 【详解】因为，所以， 所以，解得， 根据双曲线定义可得， 所以，解得或， 当时，不合题意，故舍去， 当时，，满足题意， 综上，. 故选：A 2．（23-24高二上·内蒙古·期中）双曲线上的点到左焦点的距离为9，则到右焦点的距离为（    ） A．15 B．3 C．3或15 D．5或12 【答案】A 【分析】利用双曲线的定义即可得解. 【详解】设的左,右焦点分别为，则. 因为，所以，则点在左支上， 所以，故. 故选：A. 3．（23-24高二上·陕西西安·期末）双曲线右支上的一点P到右焦点的距离为12，则P点到左焦点的距离为 . 【答案】20 【分析】根据条件，利用双曲线的定义即可求出结果. 【详解】因为双曲线方程为，所以， 又双曲线右支上的一点P到右焦点的距离为12，所以P点到左焦点的距离为， 故答案为：. 题型三：重点考查双曲线中的焦点三角形问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·福建福州·期末）已知分别为双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线的左支交于两点，若，则双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义、已知条件求出、，设，由余弦定理、求出可得答案. 【详解】如图，由于， 有4，可得， 又由，可得，设， 在中，由余弦定理有. 在中，由余弦定理有. 又由，有， 可得，解得，所以双曲线的焦距为. 故选：B. 例题2．（23-24高二下·甘肃白银·期末）设双曲线的左，右焦点分别为,过的直线分别交双曲线左右两支于点，连接,若,则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】利用双曲线的几何定义，结合图中等腰直角三角形，能求解出的长，从而问题可求解. 【详解】 结合题意可知,设，则， 结合双曲线的定义可得，则， 又由双曲线的定义可得，则，解得， 所以，，， 在中，则余弦定理得： ， 所以，则，即. 故选：B. 例题3．（23-24高三上·青海西宁·期末）已知，分别为双曲线：的左、右焦点，O为坐标原点，P是C右支上一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的性质列方程得到再结合余弦二倍角公式解出即可. 【详解】由题可知，O为的中点，且，所以. 由解得 则，. 故选：B. 例题4．（24-25高二·上海·随堂练习）已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 【答案】 4 【分析】根据双曲线的计算的，设点，结合，计算得到点P到x轴的距离；由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得，利用双曲线的定义得，计算的值． 【详解】由已知得双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 则右焦点的横坐标为，设点， 则，所以，点P到x轴的距离为4， 由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得， 由双曲线的定义，得， 所以． 故答案为： 精练核心考点 1．（2024·天津南开·二模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，由双曲线的定义可得，再由三角形的余弦定理，可得，，即可判断出所求双曲线的可能方程． 【详解】因为， 由双曲线的定义可知， 可得， 由于过的直线斜率为， 所以在等腰三角形中，，则， 由余弦定理得：， 化简得，可得，即，， 可得，， 所以此双曲线的标准方程可能为：. 故选：C 2．（2024·辽宁抚顺·三模）过双曲线的左焦点作倾斜角为的直线交于两点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义，结合焦点三角形以及余弦定理即可求解. 【详解】设双曲线的右焦点为,连接, 由题意可得， 设 由余弦定理可得, 即，解得， 所以，故． 故选：D 3．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）双曲线的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为1，则的面积等于（    ） A．24 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】根据切线长定理以及双曲线的定义可判断轴，进而根据锐角三角函数以及诱导公式可得的长度，即可求解面积. 【详解】由双曲线的，，， 设圆与三角形三边相切于点, 则， 又， 所以， 因此轴，因此,， , 所以, 因此,故三角形的面积为． 故选：C 4．（23-24高三上·河北·期末）已知双曲线的离心率为2，左､右顶点分别为，右焦点为，是上位于第一象限的两点，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意，，余弦定理得，得，由，求，最后由求值即可. 【详解】设双曲线的焦距为，左焦点为，离心率， 则， 由余弦定理得，所以， 又，所以， 设，则，， 所以，所以， ， 故选：D． 【点睛】思路点睛： 双曲线与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理余弦定理和，中利用余弦定理得，可求得，点坐标满足双曲线方程，可得，可求，利用计算即可． 题型四：重点考查双曲线中线段和，差最值问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在轴上，左焦点为，焦距为4，点的坐标为，为双曲线右支上一动点，则的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的定义和三点共线取得最值的性质，可得最大值． 【详解】由题意可设双曲线的方程为， 则，即，得到，所以， 由双曲线的定义可得， 则， 当三点共线时，取得等号，则的最大值为， 故选：C． 例题2．（2024·江西鹰潭）已知双曲线的一条渐近线方程为，左焦点为F，点P在双曲线右支上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为（    ） A． B．8 C． D．9 【答案】B 【分析】根据双曲线的渐近线方程，结合双曲线的定义，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】由，所以有， 设圆的圆心为，半径为， 设该双曲线另一个焦点为，所以， 求的最小值转化为求的最小值， 因此当点依次共线时，有最小值， 即， 故选：B 例题3．（23-24高二上·全国·假期作业）设圆与两圆中的一个内切，另一个外切． (1)求的圆心轨迹的方程； (2)已知点，且为上动点．求的最大值． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）两圆的圆心分别为，，半径为2，设圆的半径为．由题意得或，两式相减得或，即． 则圆的圆心轨迹为双曲线，其中，， 圆的圆心轨迹的方程为． （2）由（1）知为双曲线的一个焦点，如图，连接并延长交双曲线于一点，此时为的最大值． 又， 的最大值为2． 精练核心考点 1．（23-24高二上·江苏苏州·阶段练习）已知双曲线的下焦点为，，是双曲线上支上的动点，则的最大值是（    ） A．不存在 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义以及三点共线来确定正确答案.. 【详解】依题意，下焦点，设上焦点， 双曲线的渐近线方程为，直线的斜率为， 所以延长时，与双曲线没有交点，， 设延长，交双曲线上支于， 依题意，是双曲线上支上的动点， 根据双曲线的定义可知， ，当在点时等号成立，则， 所以，所以， 所以，所以的最大值不存在. 故选：A 2．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知点，点P是双曲线左支上的动点，点为双曲线右焦点，N是圆的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，及，当且仅当三点共线时取等号，再结合双曲线的定义可得． 【详解】由已知，是双曲线的左焦点，它也是圆的圆心，， 圆半径为， ，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号， ，当且仅当三点共线时取等号， 所以，又由双曲线的定义，， 所以，即的最小值为， 故答案为：． 3．（2024高二上·全国·专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交双曲线左支于，两点，则的最小值为 ． 【答案】22 【分析】由双曲线的定义可得，，据此，再由两点的位置特征可得是双曲线的通径时，最小，从而可得答案. 【详解】根据双曲线，得，， 由双曲线的定义可得： ①， ②， ①+②可得：， 由于过双曲线的左焦点的直线交双曲线的左支于，两点， 可得，即有． 则，当是双曲线的通径时最小， 故. 故答案为：22 题型五：重点考查根据方程表示双曲线求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意对方程变形，然后列出关于的不等式组，可求得答案. 【详解】由，得， 因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得. 故选：A. 例题2．（2024高三下·全国·专题练习）双曲线方程为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据双曲线的标准方程，列出不等式，结合不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【详解】由方程表示双曲线，可得， 当时，可得，解得或； 当时，可得，解得， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：D. 例题3．（23-24高一下·四川成都·开学考试）方程表示双曲线的必要不充分条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线方程，求解的范围，然后根据集合关系，推出选项． 【详解】如果方程表示双曲线，则，解得：， 则方程表示双曲线的必要不充分条件所对应的集合必须真包含． 只有选项C满足题意． 故选：． 精练核心考点 1．（23-24高二上·江苏宿迁·期末）“”是“方程表示双曲线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出方程表示双曲线的充要条件，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】方程表示双曲线，则，解得或， 当时，方程表示双曲线， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A 2．（2024高二·全国·专题练习）若曲线表示双曲线，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线方程的特征得到不等式，求出答案. 【详解】根据题意，若曲线表示双曲线，则有， 解得. 故选：C 3．（23-24高二下·上海·期中）若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将双曲线方程化为焦点在轴上的标准方程，利用且求解. 【详解】将双曲线方程化为焦点在轴上的标准方程为 则，解得：. 故答案为： 题型六：重点考查双曲线的标准方程 典型例题 例题1．（2024高二·全国）中，为动点，B、C为定点，，，且满足条件，则点的轨迹方程是（    ）． A． B． C．的左支 D．的右支 【答案】D 【分析】由正弦定理把整理成：，即，且，所以动点的轨迹是双曲线的右支，设其方程为，由双曲线的焦距，实轴长，表示出，即可求得动点的轨迹方程. 【详解】由正弦定理， 得：，，， 代入整理得：， 即， 当时，三点不能构成，故； 所以动点的轨迹是双曲线的右支， 设双曲线方程为：， 由题得，双曲线的焦距，实轴长， 故=， 所以动点的轨迹方程是：的右支. 故选：D． 例题2．（24-25高二上·全国·课后作业）经过点的双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由待定系数法即可联立方程求解. 【详解】设双曲线的标准方程为， 代入点的坐标可得解得 所以双曲线的标准方程为． 故答案为： 例题3．（24-25高二·上海·假期作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)与双曲线有公共的渐近线，且过点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可； （2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可； （3）设双曲线的方程，代入点的坐标，联立解参数即可. 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得．故所求双曲线的标准方程为． （2）法一： ∵双曲线1的焦点在轴上， ∴设所求双曲线的标准方程为， ∴，即① ∵双曲线经过点，∴．② 由①②得，故双曲线的标准方程为． 法二： 设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设所求双曲线的方程为. 将点代入双曲线方程得，解得， 因此，所求双曲线的标准方程为. 例题4．（23-24高二上·全国·单元测试）分别求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)经过两点； (2)与双曲线有公共的渐近线,且过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设双曲线的方程,代入点的坐标,联立解参数即可. （2）设双曲线的方程,代入点的坐标,联立解参数即可. 【详解】（1）可设双曲线的方程为， 则有解得 则双曲线的标准方程为. （2）设所求双曲线的方程为. 将点代入双曲线方程得,解得， 因此，所求双曲线的标准方程为. 精练核心考点 1．（23-24高二下·广西·阶段练习）以椭圆的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为 ． 【答案】 【分析】首先得到椭圆的焦点坐标与长轴上的顶点坐标，再设所求双曲线方程为，即可得到，，从而求出，即可得到双曲线方程. 【详解】椭圆的焦点为，长轴上的顶点为， 设所求双曲线方程为， 所以，，所以， 所以双曲线方程为. 故答案为： 2．（2024高二·全国·专题练习）求焦点在x轴上，且经过点与的双曲线的标准方程为 ． 【答案】 【分析】设出双曲线方程，代入点的坐标，待定系数法求出标准方程. 【详解】设双曲线的标准方程为（，）， 因为点，在双曲线上， 所以有，解得 所以双曲线的标准方程为． 故答案为： 3．（2024高二·全国·专题练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为. 【答案】(1) (2) 【分析】结合题意，利用待定系数法即可求取双曲线的标准方程. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）椭圆的两个焦点为、， 故该双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为， 令，即有，解得， 故有，解得， 故双曲线的标准方程为. 4．（24-25高二·上海·随堂练习）求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，，经过点； (2)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为，可设双曲线的标准方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，得，即可求得双曲线的标准方程； （2）由已知，求得，设出双曲线标准方程，点在双曲线上，联立，解出，，即可得到双曲线的标准方程. 【详解】（1）因为，且双曲线的焦点在x轴上， 可设双曲线的标准方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为； （2）在椭圆中，， 所以椭圆的焦点坐标为，， 设双曲线标准方程为，， 因为双曲线与椭圆有相同焦点， 所以， 点代入双曲线方程，可得， 联立，解得，， 所以双曲线标准方程为． 题型七：重点考查轨迹方程之双曲线 典型例题 例题1．（24-25高二上·上海·课堂例题）过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点的坐标，结合两圆外切的性质探求出点的轨迹特征，进而求出方程. 【详解】由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为， 设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图， 由圆O与圆C外切，得，又，， 则， 因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，， 所以双曲线方程：． 故选：C 例题2．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】设，根据斜率得到，化简即可. 【详解】设，由题意可知，， 整理可得动点的轨迹方程为. 故答案为：. 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知，，对于平面内一动点，轴于点，且.求点的轨迹的方程. 【答案】答案见解析 【分析】根据距离公式表示，，，由，即可得到，再分、两种情况讨论. 【详解】设，则， 从而，，， 由，有， 若，化简整理得； 若，化简整理得. 综上可得点的轨迹的方程为（）或（） 精练核心考点 1．（24-25高二上·全国·课后作业）相距1600m的两个哨所，听到远处传来的炮弹爆炸声，已知当时的声音速度是，在哨所听到的爆炸声的时间比在哨所听到时迟．若以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴，则爆炸点所在曲线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据速度、时间、位移之间的关系，结合双曲线的定义进行求解即可. 【详解】以所在直线为轴，的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，则， 设为曲线上任一点， 则， 所以点的轨迹为双曲线的右支，且，， ， 点的轨迹方程为． 故选：B 2．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）已知圆与圆和圆均外切，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】根据两圆外切时半径与圆心的关系得出，即可得出，根据双曲线的定义得出点的轨迹为双曲线的上支，设出其方程为，根据双曲线的定义列式解出与，即可得出答案. 【详解】当圆与圆均外切时，， 所以， 则点的轨迹为双曲线的上支，设轨迹方程为， 则， 则， 所以轨迹方程为. 故答案为：. 3．（2024高三·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知点、，的内切圆与直线相切于点，记点M的轨迹为C.求C的方程. 【答案】 【分析】根据三角形内切圆的性质，可得双曲线的定义，即可求解双曲线方程. 【详解】因为点、，的内切圆与直线相切于点， 所以， 因此根据双曲线的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的双曲线的右支， 设点的轨迹C的方程为，焦距为， 所以，， 所以，，， 所以点的轨迹方程C为. 题型八：重点考查求共焦点的双曲线方程 典型例题 例题1．（23-24高二上·天津·期中）与椭圆C：共焦点且过点的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆方程先求解出焦点坐标，然后根据定义求解出的值，结合可求的值，则双曲线方程可求. 【详解】因为椭圆的焦点坐标为，即，所以， 记，所以， 所以，所以， 所以双曲线的标准方程为， 故选：C. 例题2．（23-24高二·全国·课后作业）与椭圆共焦点且过点的双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】由椭圆的标准方程可知，椭圆的焦点在轴上并求出焦点，由此可设双曲线的标准方程为，将点代入，即可求出结果. 【详解】∵椭圆的焦点为， ∴所求双曲线的焦点为， 设双曲线方程为，把代入，得，解得或（舍）， ∴双曲线的标准方程为． 故答案为：. 例题3．（23-24高二·江苏·假期作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)过点P，Q且焦点在坐标轴上． 【答案】(1)． (2) (3) 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可； （2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可； （3）设出双曲线的标准方程，代入两个经过的点求解即可. 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得． 故所求双曲线的标准方程为． （2）法一：∵双曲线1的焦点在轴上，∴设所求双曲线的标准方程为， ∴，即．　① ∵双曲线经过点，∴．② 由①②得，故双曲线的标准方程为． 法二：设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）设双曲线的方程为． ∵点在双曲线上， ∴，解得， 故双曲线的标准方程为． 精练核心考点 1．（23-24高二·全国·课后作业）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为 ． 【答案】 【分析】设双曲线方程为，将点代入，解得，即可求解． 【详解】解：设双曲线方程为，将点代入， 即，解得或（舍去）， 故所求双曲线方程为． 故答案为： 2．（23-24高二·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线有相同的焦点，且经过点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分焦点在轴，设出双曲线方程，利用待定系数法带入点求解； （2）根据相同焦点设出所求方程，代入点求解. 【详解】（1）当焦点在x轴上时，设所求标准方程为， 把点A的坐标代入，可得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求标准方程为， 把A点的坐标代入，可得， 故所求双曲线的标准方程为. （2）设所求双曲线的方程为， 因为双曲线过点， 所以，解得或 (舍去). 所以双曲线的标准方程为. 3．（23-24高二上·陕西延安·阶段练习）根据下列条件求双曲线的标准方程． (1)双曲线经过点，，焦点在x轴上； (2)经过点，且与双曲线有相同的焦点． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，将点代入双曲线的方程，计算作答. （2）由已知设所求双曲线的方程为，再将点代入求解作答. 【详解】（1）因双曲线的焦点在轴上，且，则设所求双曲线的方程为， 而双曲线过点，则有，解得， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）所求双曲线与双曲线有相同的焦点，则设所求双曲线的方程为， 而此双曲线过点，于是有，解得或（舍去）， 所以所求双曲线的标准方程为. 题型九：重点考查双曲线中离心率（定值）问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·天津·期中）已知双曲线为坐标原点为其左、右焦点，点在的渐近线上，，且，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】首先求，，，再根据，结合余弦定理，即可求解. 【详解】由题意，不妨设点在上，焦点到直线的距离， ，，，则，， ，所以, 即，得， 所以双曲线的离心率. 故选：A 例题2．（23-24高二下·江苏南京·开学考试）设，是双曲线的左、右焦点，是双曲线上一点，若，且的最小内角为，则双曲线的离心率为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的定义结合余弦定理计算可得离心率. 【详解】由题意,设由双曲线的定义得，又， 求得而， 所以在中余弦定理得, 所以，即. 所以 ， 故双曲线C的离心率为. 故选： 例题3．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，设为线段的中点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为为线段的中点，所以这是一个中点弦问题，采用点差法运算即可. 【详解】如图: , 由 可得点 的坐标为 , 则直线 斜率为 , 直线 斜率为 , 另一方面, 设 , 则 两式相减得 , 整理得 , 即 , 故    故选： 精练核心考点 1．（23-24高二下·河南·期中）在平面直角坐标系xOy中，为双曲线的左、右焦点，为右支上异于顶点的一点，直线PM平分，且，则的离心率为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】由题意得，设与交于点，可得，且，继而可得，，利用双曲线定义可得，由离心率公式计算即可. 【详解】由，得， 设与交于点，如图，    由直线PM平分，且， 可得为等腰三角形，则为的中点， 则，且， 所以，， 所以，即， 所以. 故选：B. 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为若双曲线右支上存在点，使得，且，则双曲线的离心率（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义以及三角形的面公式可以得到为直角三角形，进而由勾股定理可以求解. 【详解】由双曲线的定义可知得 因为，， 设，则， ， ， 为直角三角形 ， ，即， ， 故选：D 3．（2024·天津河西·二模）已知双曲线C：的左、右焦点为、，O为坐标原点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且，则双曲线C的离心率为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】利用余弦定理构建齐次方程，求解离心率即可. 【详解】 由题意得，设一条渐近线的方程为， 所以，由勾股定理得， 因为垂直于渐近线，所以， 因为，所以，而， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 化简得，所以，故，则B正确. 故选：B 题型十：重点考查双曲线中离心率（最值，范围）问题 典型例题 例题1．（2024·四川南充·三模）已知点F是双曲线的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若，则该双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的对称性，转化为直角三角形中，根据正切函数单调性计算即可. 【详解】如图， 由双曲线的对称性知，， 所以， 令，可得， 故在中，，， 所以， 解得，又， 所以， 故选：B 例题2．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，若，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线的定义及性质将转化为关于双曲线基本量的不等式，分类求出离心率的取值范围，即可得解. 【详解】由题意，不妨设点在的右支上，由双曲线的定义可得， 即， 由，可得，即， 又由的最小值为（当点P为双曲线右顶点时取得最小值），可得，即． 当，即时，显然成立； 当，即时，，可得． 综上可知，双曲线的离心率的取值范围为． 故选：D. 例题3．（多选）（23-24高二上·云南丽江·期中）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线交于，两点，其中点在第一象限，，，则双曲线的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用已知条件得出，，进而得出， 然后分“点在双曲线一支上”和“点在双曲线左右两支上”两种情况讨论，建立齐次式和借助余弦定理求离心率即可. 【详解】因为，所以，即，所以． 因为，所以，所以，所以，所以， 所以． 若在双曲线的同一支时，知轴，所以，所以，得，，所以； 若分别在双曲线的左、右两支，则，，则，解得，所以， 故选：BD． 精练核心考点 1．（2024·陕西商洛·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，若上存在点，使得，则的离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线定义和，得到，结合，得到不等式，又双曲线的离心率大于1，得到答案. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以离心率，又双曲线的离心率大于1，所以． 故选：D． 2．（24-25高三上·湖北武汉·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点，若的周长为，则双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线定义及焦点三角形周长、焦点弦的性质有，即可求离心率范围. 【详解】 根据双曲线定义知：的周长为，而， 所以，而的周长为， 所以，即，所以，解得， 双曲线离心率的取值范围是. 故选：D 3．（2024·宁夏银川·二模）已知双曲线，点的坐标为，若上存在点使得成立，则的离心率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，根据和点P在双曲线上，消去x得，由判别式大于0求解可得. 【详解】设，则， 由双曲线方程可得，则， 化简整理得关于的一元二次不等式：有解， 所以，即， 所以，解得（舍去）或. 故选：D 题型十一：重点考查双曲线中渐近线问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知双曲线的两焦点为为其渐近线上一点，满足：，则此双曲线的渐近线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题上的条件把用表示出来，在借助余弦定理求出，最后求出，即为其中一条渐近线的斜率，有对称性得到另外一条渐近线的斜率，从而得到正确答案. 【详解】由为双曲线渐近线上一点，， 又，设，则，由， 即，解得 又在中，为斜边中线，因此， 在中，由余弦定理可求得，则为锐角， 则，即其中一条渐近线的斜率， 因此双曲线的渐近线的方程为. 故选:C． 例题2．（23-24高二下·安徽六安·期末）已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据左焦点到渐近线的距离，结合双曲线的关系即可求出双曲线的离心率. 【详解】根据双曲线的几何性质可知，左焦点， 其到渐近线的距离为， 因为，所以. 故选：C． 例题3．（2024·西藏拉萨·二模）已知双曲线与有相同的渐近线，且直线过双曲线的焦点，则双曲线的标准方程为 . 【答案】 【分析】抓住共渐近线即渐近线斜率一样，焦点与有关，结合可解. 【详解】设双曲线的半焦距为，直线过双曲线的焦点，所以双曲线的右焦点为， 所以.因为的渐近线方程为，所以. 结合，解得，所以双曲线的标准方程为. 故答案为：. 精练核心考点 1．（2024·河北·模拟预测）双曲线的两焦点分别为，过的直线与其一支交于，两点，点在第四象限.以为圆心，的实轴长为半径的圆与线段分别交于M，N两点，且，则的渐近线方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，则，由已知结合双曲线定义，在中由勾股定理求得，在中，利用勾股定理得，进而可求答案． 【详解】解：如图，由题意得：， 设，则， 所以，， 由双曲线的定义得：， 所以，，则， 因为，在中，， 即，解得， 所以，， 在中，， 即， 可得， 所以， 所以，即， 故双曲线的渐近线方程为． 故选：C． 2．（2024·山东济南·三模）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设双曲线的方程为，进而待定系数求解即可. 【详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线，故可设双曲线的方程为， 又因为过点，所以，解得， 所以，双曲线的标准方程是． 故选：A． 3．（2024·天津和平·二模）已知抛物线：的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知，，从而可得直线方程，再联立抛物线方程求出的横坐标，再根据导数的几何意义及直线平行的性质，求出渐近线（其中一条）的斜率，即可得解． 【详解】抛物线：的焦点为，依题意可得， 直线方程为，即， 联立，可得，解得或， 又线段与在第一象限的交点为点，的横坐标为， 由，所以， 在点处的切线斜率为， 又在点处的切线平行于的一条渐近线， 双曲线的一条渐近线的斜率为， 双曲线的渐近线方程为． 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $$