第01讲 3.1椭圆（12大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第01讲 3.1椭圆 目录 题型一：重点考查根据椭圆的定义求方程 1 题型二：重点考查椭圆上的点到焦点的距离及最值 2 题型三：重点考查椭圆中焦点三角形的周长问题 3 题型四：重点考查椭圆上的点到焦点和定点距离的和，差最值问题 4 题型五：重点考查根据方程表示椭圆求参数的范围 5 题型六：重点考查求椭圆的标准方程 5 题型七：重点考查轨迹方程之椭圆 7 题型八：重点考查椭圆中焦点三角形的面积问题 8 题型九：重点考查椭圆中焦点三角形的其他问题 9 题型十：重点考查椭圆中离心率（定值）问题 10 题型十一：重点考查椭圆中离心率（最值，范围）问题 12 题型一：重点考查根据椭圆的定义求方程 典型例题 例题1．（23-24高二上·上海嘉定·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ． 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆：，点M为圆上任意一点，，的中垂线交于点E．求点E的轨迹方程． 例题3．（23-24高二·全国·课后作业）已知A（－3，0），B（3，0），△ABC的周长为16，求顶点C的轨迹方程． 精练核心考点 1．（23-24高二·全国·课后作业）已知动点M到定点与的距离的和是，则点M的轨迹方程是 ． 2．（23-24高二下·上海闵行·期末）方程化简后为 ． 3．（2024高三·全国·专题练习）圆，圆心为，点，作圆上任意一点与点连线的中垂线，交于，求的轨迹的方程. 题型二：重点考查椭圆上的点到焦点的距离及最值 典型例题 例题1．（23-24高二上·广东清远·期末）椭圆上一点与它的一个焦点的距离等于4，则点与另一个焦点的距离等于（    ） A．2 B．6 C．8 D．16 例题2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左焦点为为上任意一点，则的最大值为（    ） A．5 B．9 C．10 D．18 精练核心考点 1．（23-24高二上·四川泸州·期中）设 P 是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若等于 4，则等于（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 2．（多选）（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知椭圆C：的左焦点为F，点P是C上任意一点，则的值可能是（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 题型三：重点考查椭圆中焦点三角形的周长问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 例题2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，点B为短轴的一个端点，则的周长为 ． 精练核心考点 1．（23-24高二下·广西桂林·期中）已知椭圆的两个焦点为上有一点，则的周长为（    ） A． B．20 C． D．16 2．（23-24高二上·吉林·期末）已知椭圆，为其左右两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 题型四：重点考查椭圆上的点到焦点和定点距离的和，差最值问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，点是该椭圆上的动点､点，则的最大值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 例题2．（23-24高二上·江苏无锡·期中）设F是椭圆上的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（　   ） A． B．3 C． D． 例题3．（21-22高二上·贵州遵义·期末）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为 . 精练核心考点 1．（23-24高二上·河南焦作·期中）已知椭圆的右焦点为，点，点是上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D． 2．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 . 3．（23-24高二上·陕西咸阳·期中）已知点，，分别是椭圆：的左，右焦点，P是椭圆C上的一动点，则的最小值是 . 题型五：重点考查根据方程表示椭圆求参数的范围 典型例题 例题1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二上·上海·课后作业）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 . 例题3．（2024·上海·模拟预测）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是 . 精练核心考点 1．（23-24高二下·浙江·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 2．（23-24高二下·山西长治·期末）若方程表示椭圆，则m的取值范围是 ． 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）若椭圆方程为，则实数k的取值范围为 ． 题型六：重点考查求椭圆的标准方程 典型例题 例题1．（24-25高二·上海·随堂练习）已知椭圆的中心在原点且过点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，求该椭圆的方程 ． 例题2．（23-24高二上·福建泉州·期中）若椭圆过点且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的方程为 ． 例题3．（23-24高二·全国·课堂例题）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 . 例题4．（2024高二上·全国·专题练习）分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距为4，且经过点； (2)求经过点和点的椭圆方程. 精练核心考点 1．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，，则椭圆的标准方程为 ． 3．（23-24高二上·福建厦门·期中）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为 ． 4．（2024高二上·全国·专题练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆有相同焦点，且过点； (2)经过点P，Q. 题型七：重点考查轨迹方程之椭圆 典型例题 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 ． 例题2．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知圆，圆，动圆与圆和圆均相切，且一个内切、一个外切.求动圆圆心的轨迹的方程. 精练核心考点 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知定点，动点满足.设点的轨迹为，则轨迹的方程为 . 2．（2024高二上·天津南开·专题练习）已知动圆与圆外切，同时与圆内切；则动圆圆心的轨迹方程为 . 3．（23-24高二上·广东汕尾·期末）在平面直角坐标系中，点，点是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆内切，记点P的轨迹为曲线E.则E的方程为 . 题型八：重点考查椭圆中焦点三角形的面积问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）设为椭圆的两个焦点，点在此椭圆上，且，则的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 例题2．（2024高二上·全国·专题练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于 . 例题3．（2024·全国·模拟预测）已知为椭圆上任意一点，为左、右焦点，为的内心，记的面积分别为，则的值为 ．    精练核心考点 1．（23-24高二上·重庆·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（    ） A．3 B． C．9 D． 3． （23-24高二上·河南开封·阶段练习）已知是曲线的两个焦点，是曲线上一点，且，则的面积等于 . 题型九：重点考查椭圆中焦点三角形的其他问题 典型例题 例题1．（多选）（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．若，则 C．满足为等腰三角形的点只有2个 D．的取值范围为 例题2．（多选）（23-24高二上·浙江台州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于和的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与直线的斜率之积为 C．存在点满足 D．若的面积为，则点的横坐标为 例题3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接PM并延长交轴于点，且 . 精练核心考点 1．（2024·河南驻马店·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上但不在坐标轴上，且是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（多选）（2024·江西宜春·三模）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的面积为2 D．的内切圆半径为 3．（多选）（23-24高三下·江西·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内任意一点，分别表示直线的斜率，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得 题型十：重点考查椭圆中离心率（定值）问题 典型例题 例题1．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线有公共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线在第一象限的交点为，且，则椭圆的离心率为 ． 精练核心考点 1．（2024·湖北武汉·三模）已知椭圆C： （）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·云南保山·期末）已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）设M，N，P是椭圆上的三个点，O为坐标原点，且四边形OMNP为正方形，则椭圆的离心率为 ； 题型十一：重点考查椭圆中离心率（最值，范围）问题 典型例题 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点.若使为直角三角形的点有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·广西桂林·期末）已知点是椭圆C：（）的左焦点，过原点作直线l交C于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以线段MN为直径的圆过原点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题3．（多选）（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：（）的长轴顶点分别为，，左、右焦点分别为，，斜率为正的直线过点，交椭圆的上半部分于点．若椭圆上存在点，使得且，则椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（2024·河南濮阳·模拟预测）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·四川绵阳·模拟预测）加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 3.1椭圆 目录 题型一：重点考查根据椭圆的定义求方程 1 题型二：重点考查椭圆上的点到焦点的距离及最值 4 题型三：重点考查椭圆中焦点三角形的周长问题 6 题型四：重点考查椭圆上的点到焦点和定点距离的和，差最值问题 8 题型五：重点考查根据方程表示椭圆求参数的范围 12 题型六：重点考查求椭圆的标准方程 14 题型七：重点考查轨迹方程之椭圆 20 题型八：重点考查椭圆中焦点三角形的面积问题 24 题型九：重点考查椭圆中焦点三角形的其他问题 28 题型十：重点考查椭圆中离心率（定值）问题 35 题型十一：重点考查椭圆中离心率（最值，范围）问题 40 题型一：重点考查根据椭圆的定义求方程 典型例题 例题1．（23-24高二上·上海嘉定·期末）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据两圆位置关系得动圆圆心到两已知圆心距离和为定值，再根据椭圆的定义即得. 【详解】圆，即，圆心为，， 圆，即，圆心为，， 设动圆的圆心为，半径为， 由题意得，， 则， 所以动圆的圆心为的轨迹是以为焦点的椭圆， 可设方程为，则，， 所以，， 所以动圆圆心的轨迹方程为. 故答案为：. 例题2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆：，点M为圆上任意一点，，的中垂线交于点E．求点E的轨迹方程． 【答案】 【分析】作图分析，由中垂线性质可得，即有点M到两定点的距离之和为定值，结合椭圆的定义求解即可得. 【详解】，，的中垂线交于点E． 则有，， 所以E点在以，为焦点的椭圆上， 设该椭圆的方程为（），半焦距为， 由，得，由，得， 所以． 故点E的轨迹方程为． 例题3．（23-24高二·全国·课后作业）已知A（－3，0），B（3，0），△ABC的周长为16，求顶点C的轨迹方程． 【答案】 【分析】利用椭圆的定义进行求解即可, 【详解】因为△ABC的周长为16， 所以，设， 因此顶点C的轨迹是以A（－3，0），B（3，0）为焦点不与横轴相交的椭圆， 设， 所以， 所以顶点C的轨迹方程为. 精练核心考点 1．（23-24高二·全国·课后作业）已知动点M到定点与的距离的和是，则点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义直接写出该曲线的方程. 【详解】因为M到顶点和的距离的和为， 所以M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设方程为（）， 则，，所以，， M的轨迹方程为. 故答案为：. 2．（23-24高二下·上海闵行·期末）方程化简后为 ． 【答案】 【分析】运用方程的几何意义得出结果. 【详解】解：∵， 故令，， ∴， ∴方程表示的曲线是以，为焦点，长轴长的椭圆， 即，，， ∴方程为. 故答案为：. 3．（2024高三·全国·专题练习）圆，圆心为，点，作圆上任意一点与点连线的中垂线，交于，求的轨迹的方程. 【答案】 【分析】作图分析，由中垂线性质可得，即有点到两定点的距离之和为定值，结合椭圆的定义求解即可得. 【详解】连接，由中垂线性质，有， 其中，则， 所以， 故的轨迹为以两点为焦点，长轴长为4的椭圆， 其中，，故，，， 所以的方程为. 题型二：重点考查椭圆上的点到焦点的距离及最值 典型例题 例题1．（23-24高二上·广东清远·期末）椭圆上一点与它的一个焦点的距离等于4，则点与另一个焦点的距离等于（    ） A．2 B．6 C．8 D．16 【答案】D 【分析】根据椭圆定义即可求得. 【详解】椭圆中，所以， 由椭圆的定义可得， 又，所以，即点到另一个焦点的距离是16． 故选：D． 例题2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左焦点为为上任意一点，则的最大值为（    ） A．5 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【分析】由标准方程求得，设并利用两点间距离公式可得，结合二次函数性质可求得其最大值为9. 【详解】易知， 设，则，可得， 所以 ； 由二次函数性质可得当时，取得最大值为9. 故选：B 精练核心考点 1．（23-24高二上·四川泸州·期中）设 P 是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若等于 4，则等于（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】D 【分析】运用椭圆的定义，结合椭圆方程进行求解即可. 【详解】由， 因为P 是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点， 所以， 故选：D 2．（多选）（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知椭圆C：的左焦点为F，点P是C上任意一点，则的值可能是（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】ABC 【分析】根据求出的范围即可. 【详解】由题意可知，， 所以，即． 故选:ABC． 题型三：重点考查椭圆中焦点三角形的周长问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·上海·期末）已知椭圆的焦点为、，为该椭圆上任意一点（异于长轴端点），则的周长为（    ） A．10 B．13 C．14 D．16 【答案】D 【分析】根据方程可得，结合椭圆的定义运算求解. 【详解】由题意可知：， 则， 所以的周长为. 故选：D. 例题2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知椭圆的左右焦点分别为，，点B为短轴的一个端点，则的周长为 ． 【答案】18 【分析】根据给定条件，求出椭圆的长半轴长及半焦距即可得解. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，则半焦距， 因此， 所以的周长为. 故答案为：18 精练核心考点 1．（23-24高二下·广西桂林·期中）已知椭圆的两个焦点为上有一点，则的周长为（    ） A． B．20 C． D．16 【答案】B 【分析】根据条件求得，，，进而得到周长为． 【详解】解：因为，，所以， 故的周长为． 故选：B． 2．（23-24高二上·吉林·期末）已知椭圆，为其左右两个焦点，过的直线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由椭圆定义求焦点相关三角形周长. 【详解】由题意，，而， 故的周长为. 故选：C 题型四：重点考查椭圆上的点到焦点和定点距离的和，差最值问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知椭圆的左､右焦点分别为，点是该椭圆上的动点､点，则的最大值是（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】 由椭圆定义得出，于是有，只要求得的最大值即可得，而，从而可得结论． 【详解】由题可知，， 所以， 而，即， 故，当且仅当是的延长线与椭圆的交点时等号成立， 故选：A. 例题2．（23-24高二上·江苏无锡·期中）设F是椭圆上的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（　   ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】， 设为该椭圆的左焦点，， 所以， 于是， 显然当三点共线，且与垂直时， 有最小值，最小值为， 故选：D    例题3．（21-22高二上·贵州遵义·期末）已知点是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则的最大值为 . 【答案】8 【分析】由题意得圆的圆心是椭圆的左焦点，，利用椭圆的定义，结合图像得到，然后由即可求出的最大值. 【详解】如图, 由，得，则， 则圆的圆心是椭圆的左焦点，椭圆的右焦点为， 由椭圆的定义得， 所以， 又， 所以， ， 故答案为：8 精练核心考点 1．（23-24高二上·河南焦作·期中）已知椭圆的右焦点为，点，点是上的动点，则的最小值为（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】若为椭圆左焦点且，由椭圆定义有，结合，即可求最小值. 【详解】若为椭圆左焦点且，则，故， 所以， 而，所以，仅当共线时取等号， 综上，的最小值为，取值条件为共线且在之间. 故选：B 2．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知为椭圆的右焦点，是椭圆上一动点，点为圆上一动点，则的最大值是 . 【答案】10 【分析】利用点与圆的位置关系，结合椭圆的定义，转化，利用数形结合，即可求的最大值. 【详解】设点为椭圆的左焦点，点为圆的圆心， 点为圆外的点，的最大值为,,即， 的最大值为， 如图，当四点共线时,“=”成立， ，,, 所以的最大值为. 故答案为：10 3．（23-24高二上·陕西咸阳·期中）已知点，，分别是椭圆：的左，右焦点，P是椭圆C上的一动点，则的最小值是 . 【答案】 【分析】利用椭圆的定义结合三角形三边关系计算即可. 【详解】由椭圆方程可知，椭圆长轴长， 则， 当且仅当P是线段与椭圆的交点时取得最小值. 故答案为：.    题型五：重点考查根据方程表示椭圆求参数的范围 典型例题 例题1．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程即可求解m的范围. 【详解】依题意，解得或 故选：D 例题2．（24-25高二上·上海·课后作业）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程列不等式求解范围. 【详解】因为椭圆的焦点在x轴上可得 , 所以. 故答案为：. 例题3．（2024·上海·模拟预测）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据方程表示椭圆列出不等式组得解. 【详解】因为方程表示的曲线是椭圆， 所以，解得且， 所以实数k的取值范围是. 故答案为： 精练核心考点 1．（23-24高二下·浙江·期中）若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】根据椭圆的标准方程可以列出不等式组，解得的范围即可． 【详解】方程表示椭圆， ，得，得且． 故选：D． 2．（23-24高二下·山西长治·期末）若方程表示椭圆，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】表示椭圆的条件是分母都大于0，且分母不相等. 【详解】由题意可知且. 故答案为： 3．（23-24高二下·上海·阶段练习）若椭圆方程为，则实数k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由表示椭圆方程的条件列出不等式组即可求解. 【详解】由题意，解得，且，所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 题型六：重点考查求椭圆的标准方程 典型例题 例题1．（24-25高二·上海·随堂练习）已知椭圆的中心在原点且过点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，求该椭圆的方程 ． 【答案】或 【分析】分焦点在轴上和在轴上两种情况分别设椭圆的方程，根据长轴长是短轴长的3倍，得，再由点在椭圆上代入，解出、，得到椭圆方程. 【详解】若焦点在轴上，设，则由题意， 解得，∴． 若焦点在轴上，设，则由题意， 解得，∴． 故答案为：或. 例题2．（23-24高二上·福建泉州·期中）若椭圆过点且与椭圆有相同的焦点，则椭圆的方程为 ． 【答案】 【分析】本题有两种方法：法一是设共焦点的椭圆方程系，直接代入(3，2)即可求得；法二是求出椭圆的焦点，利用定义求出长轴长，进而求出椭圆标准方程． 【详解】法1：因为椭圆与椭圆共焦点，所以设椭圆， 因为椭圆过点，所以，即， 解得或（舍去）， 所以椭圆的方程为． 故答案为：． 法2：因为椭圆的焦点为，椭圆过点， 所以 所以，而，所以，所以椭圆的方程为． 故答案为：． 例题3．（23-24高二·全国·课堂例题）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】方法一：由题意得椭圆的焦点坐标为，，由椭圆定义得，求出即可； 方法二：设所求椭圆的标准方程为，由题中条件，列出方程组求解即可； 方法三： 由条件设所求椭圆的标准方程为，将点P的坐标代入，求解即可. 【详解】方法一：由题意得. 因此所求椭圆的焦点坐标为，. 由椭圆定义得， 即，所以. 故所求椭圆的标准方程为. 方法二：因为所求椭圆与椭圆的焦点相同，所以其焦点在x轴上，且. 设所求椭圆的标准方程为，则①. 又点在所求椭圆上，所以，即②. 由①②得，，故所求椭圆的标准方程为. 方法三： 由条件设所求椭圆的标准方程为. 将点P的坐标代入，得，解得或（舍去）. 故所求椭圆的标准方程为. 故答案为：. 例题4．（2024高二上·全国·专题练习）分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距为4，且经过点； (2)求经过点和点的椭圆方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）讨论焦点位置，求出，可得结果； （2）方法一： 讨论焦点位置，结合题中所给条件经过点和点，求出，可得结果； 方法二：设所求椭圆的方程为（，，），结合题中所给条件经过点和点，代入求解即可. 【详解】（1）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 依题意得，，则， 故椭圆的标准方程为. 当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 依题意得，，则， 故椭圆的标准方程为. （2）方法一：①当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）. 依题意有，解得，故所求椭圆的标准方程为. ②当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）. 依题意有，解得 因为，所以无解.所以所求椭圆的标准方程为. 方法二：设所求椭圆的方程为（，，）. 依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为. 精练核心考点 1．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）已知椭圆过点，且椭圆的短轴长为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆上的点结合短轴长度求解参数，得到椭圆方程即可. 【详解】由题意可得，解得，故椭圆的方程为. 故选：B 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】可设椭圆方程，再利用待定系数法来求解即可. 【详解】根据题意，可设椭圆的标准方程为， 代入两点得：，解得：， 所以椭圆的标准方程为， 故答案为：. 3．（23-24高二上·福建厦门·期中）过点且与椭圆有相同焦点的椭圆方程为 ． 【答案】 【分析】由椭圆方程可得焦点坐标，假设所求椭圆方程，代入点即可构造方程求得，由此可得椭圆方程. 【详解】将椭圆的方程化为标准方程可得：，焦点坐标为， 可设所求椭圆方程为：， 代入点坐标可得：，即， 解得：或（舍），所求椭圆方程为：. 故答案为：. 4．（2024高二上·全国·专题练习）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)与椭圆有相同焦点，且过点； (2)经过点P，Q. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设所求椭圆的标准方程为，将点代入求解； （2）法一：分焦点在x或y轴设椭圆方程求解； 法二：设椭圆的方程为进行求解. 【详解】（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为. 又椭圆过点，将代入方程得， 解得或 (舍去). 故所求椭圆的标准方程为. （2）法一：①当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为. 依题意，有，解得 由知不符合题意，故舍去； ②当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为. 依题意，有，解得， 所以所求椭圆的标准方程为. 法二：设椭圆的方程为. 则解得， 所以所求椭圆的方程为， 故椭圆的标准方程为. 题型七：重点考查轨迹方程之椭圆 典型例题 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点到定点的距离与它到定直线的距离的比是常数，点的轨迹为曲线，则曲线的方程为 ． 【答案】 【分析】利用两点距离公式及点到直线距离，作商化简计算即可. 【详解】根据题意可得，化简得， 曲线的方程为． 故答案为：. 例题2．（23-24高二下·江苏南京·阶段练习）已知动圆与圆，圆均相切，则动圆圆心的轨迹方程是 ． 【答案】或 【分析】相切分两种情况讨论，再由动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数，且大于两个定点的距离，故轨迹为椭圆，根据条件计算得到答案． 【详解】由题意可知，共有两种情况，设动圆半径为，， 动圆与圆内切，与圆内切，所以 所以，此时动圆圆心的轨迹是椭圆，， 所以动圆圆心的轨迹方程为； 动圆与圆外切，与圆内切，所以， 所以，此时动圆圆心的轨迹为椭圆，， 动圆圆心的轨迹方程为， 故答案为：或． 例题3．（2024高三·全国·专题练习）已知圆，圆，动圆与圆和圆均相切，且一个内切、一个外切.求动圆圆心的轨迹的方程. 【答案】 【分析】根据圆与圆和圆的位置关系，列出等式，根据椭圆定义得到圆心的轨迹的方程. 【详解】设点的坐标为，圆的半径为. 由已知条件，，得. ①当动圆与圆外切，与圆内切时，， 从而. ②当动圆与圆内切，与圆外切时，， 从而. 综上可知，圆心的轨迹是以为焦点，6为长轴长的椭圆. 联立与， 两式作差得，， 所以圆与圆交于点与， 所以动圆圆心的轨迹的方程为. 精练核心考点 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知定点，动点满足.设点的轨迹为，则轨迹的方程为 . 【答案】 【分析】设，利用平面向量数量积的坐标表示计算化简即可. 【详解】设动点，则. 又， . 化简得，即， 动点的轨迹的方程为. 故答案为：. 2．（2024高二上·天津南开·专题练习）已知动圆与圆外切，同时与圆内切；则动圆圆心的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】结合圆与圆的位置关系与椭圆定义即可得. 【详解】由，即，半径为， ，即，半径为， 有， 故圆与圆为内含关系， 设动圆半径为，由动圆与圆外切，故， 由动圆与圆内切，故， 又圆与圆为内含关系，故点在圆内部，故， 有， 故动圆圆心的轨迹为以、为焦点，为长轴长的椭圆， 则半长轴长为，半短轴长为， 故动圆圆心的轨迹方程为. 故答案为：. 3．（23-24高二上·广东汕尾·期末）在平面直角坐标系中，点，点是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆内切，记点P的轨迹为曲线E.则E的方程为 . 【答案】 【分析】由两圆内切，可得圆心距等于大圆半径减小圆半径，而在圆内，所以以PF为直径的圆为小圆，列出方程求解即可，可借助椭圆定义解题，亦可直接化简有关方程. 【详解】法一：设的中点为，依题意以为直径的圆内切于圆， 所以，即， 设，又， 所以， 所以点的轨迹是以为焦点，4为长轴长的椭圆， 设的方程为，则， 所以的轨迹方程. 法二：设，则的中点为， 依题意得，即. 整理得， 化简得点的轨迹方程. 故答案为：. 题型八：重点考查椭圆中焦点三角形的面积问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·云南保山·阶段练习）设为椭圆的两个焦点，点在此椭圆上，且，则的面积为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】C 【分析】设，利用向量数量积的坐标表示与椭圆方程联立求出点坐标，代入三角形面积公式即可求解. 【详解】设，则满足，取， 因为，所以，即， 联立，解得， 则的面积， 故选：C 例题2．（2024高二上·全国·专题练习）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，是坐标原点，且，则的面积等于 . 【答案】 【分析】设出点的坐标，根据已知建立方程组，求出点的纵坐标即可求出面积. 【详解】椭圆的半焦距，则，设点， 于是，消去得， 所以的面积. 故答案为： 例题3．（2024·全国·模拟预测）已知为椭圆上任意一点，为左、右焦点，为的内心，记的面积分别为，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】不妨设，且的内切圆半径为，由，取得，再结合椭圆的定义即可求解． 【详解】由椭圆，可得，则，所以, 如图所示，不妨设，且的内切圆半径为， 可得， 又由， 可得，即， 又由， 所以． 故答案为：    精练核心考点 1．（23-24高二上·重庆·期末）若点在椭圆上，，分别是椭圆的两焦点，且，则面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在使用余弦定理后用椭圆的基本定义化简即可计算出结果. 【详解】首先我们需要确定椭圆的基本参数，对于椭圆 故. 根据椭圆的定义，对于椭圆上的任意一点 有： ……①，……② 由题知……③ 在中使用余弦定理有： ……④ 将①②③代入④式得到：……⑤ 现在我们可以计算三角形的面积： 因此， 的面积是 . 故选：B. 2．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）设，是椭圆C：的两个焦点，点P是C上的一点，且，则的面积为（    ） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】由题设可得，应用余弦定理、椭圆定义求得，最后应用三角形面积公式求面积. 【详解】由题设，，可得， ， 由，，则，即， 所以的面积. 故选：B 3．（23-24高二上·河南开封·阶段练习）已知是曲线的两个焦点，是曲线上一点，且，则的面积等于 . 【答案】 【分析】根据椭圆的方程得到的值，由椭圆的定义可知的值，从而求得、的值，再由勾股定理得到，由此得解. 【详解】由椭圆的方程可得：，， 所以，则， 因为，又由椭圆的定义知， 所以，， 则在中，有，则， 所以. 故答案为：. 题型九：重点考查椭圆中焦点三角形的其他问题 典型例题 例题1．（多选）（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线与该椭圆相交于，两点，且，点在该椭圆上，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得 B．若，则 C．满足为等腰三角形的点只有2个 D．的取值范围为 【答案】AD 【分析】求出椭圆方程，利用动点的位置变化，研究的取值范围判断A；根据椭圆的几何性质及余弦定理求解判断B；分类讨论，借助方程组求动点坐标判断C；利用三角形不等式求解判断D. 【详解】由椭圆的左右焦点分别为、，得， 将代入，则，解得，不妨令，， 由，则，即，将其代入，可得， 化简得，由，解得，则椭圆， 对于A，当点为椭圆的上（或下）顶点时，最大，如图： 由椭圆，则，，在中，， 由对称性得，因此的取值范围为，A正确； 对于B，如图： 设，，则，， 在中，由余弦定理得，即，整理得， 因此，B错误； 对于C，设，，则，， 当时，为等腰三角形，此时的坐标为或， 当时，为等腰三角形，此时，设， 则，消去得， 由，则方程有解，C错误； 对于D，显然，当且仅当点为椭圆长轴端点时取等号， 因此，D正确. 故选：AD 例题2．（多选）（23-24高二上·浙江台州·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，，左、右顶点分别是，，点是椭圆上异于和的任意一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线与直线的斜率之积为 C．存在点满足 D．若的面积为，则点的横坐标为 【答案】ABD 【分析】根据椭圆的定义判断A，计算出和的斜率计算B，根据圆的直径所对圆周角为判断C，由三角形面积公式判断D. 【详解】A选项中，因为椭圆方程为，则，所以， 由椭圆的定义知，，所以，A正确； B选项中，椭圆的左、右顶点分别是，，设， 因为点是椭圆上异于和的任意一点，所以将代入到椭圆方程得：，且，， 所以， 因为，所以， 所以，B正确； C选项中，由椭圆方程知，，，， 若，则点在以线段为直径的圆上， 以线段为直径的圆的方程为的圆在椭圆内， 所以椭圆上不存在满足，C错误； D选项中，，所以， 所以代入到知，，D正确. 故选：ABD 例题3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，若的内心为，连接PM并延长交轴于点，且 . 【答案】/ 【分析】连接，则由角平分线定理得，再结合等比性质和椭圆的定义可求得结果. 【详解】如图，连接，在和中， 因为为的内心，平分，平分， 因为， 所以利用角平分线定理可得， 所以由比例的等比性质可得，得， 因为，所以，所以. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆定义的应用，考查解平分线定理的应用，解题的关键是根据题意利用角平分线定理得，考查数形结合的思想，属于较难题. 精练核心考点 1．（2024·河南驻马店·二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上但不在坐标轴上，且是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】，设，由是等腰三角形，利用余弦定理求出，可求的值. 【详解】依题意得，设， 不妨设点在第一象限，若，有， 故或， 解得或，又9，所以. 若，有，同理可得. 此时，，不符合点在第一象限， 所以. 故选：B. 2．（多选）（2024·江西宜春·三模）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的面积为2 D．的内切圆半径为 【答案】ACD 【分析】根据已知求出P点坐标，根据两点间距离公式分布求出，在中利用余弦定理可判定A，利用向量数量积公式可判定B，三角形面积公式可判定C，根据等面积法可判定D. 【详解】法1：由题意得，，则，． 由对称性可设（，），，，， 由，解得，又，， 所以，， 所以． 由椭圆的定义得， 在中，由余弦定理，得， 即， 解得，故A正确； ，故B错误； 的面积为，故C正确； 设的内切圆半径为r，由的面积相等，得， 即，解得，故D正确． 故选：ACD． 法2：设，，．易知，， 由极化恒等式，得，故B错误； 由中线长定理得，由椭圆定义得， 所以，所以， 所以，故A正确； 由，得，所以，故C正确； 设的内切圆半径为r，由的面积相等，得， 即，解得，故D正确． 故选：ACD． 3．（多选）（23-24高三下·江西·阶段练习）设分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上第一象限内任意一点，分别表示直线的斜率，则（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．存在点，使得 D．存在点，使得 【答案】ABD 【分析】利用椭圆的性质以及坐标运算逐一确定选项中的范围，进而判断存在性. 【详解】由已知得： 对于A，由为椭圆上第一象限内任意一点可得，，A正确； 对于B，由，得以为直径的圆与椭圆有4个交点，因而存在点使得，B正确； 对于C，由为椭圆上第一象限内任意一点可得， 又由可得，解得，与矛盾，C错误； 对于D，由已知， 因为， 而，所以，所以存在点，使得，D正确． 故选：ABD． 题型十：重点考查椭圆中离心率（定值）问题 典型例题 例题1．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为，椭圆与直线交于两点，线段的中点为，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，由点差法求解离心率即可. 【详解】设，则， 则，两式相减可得， ，即， 即，，故. 故选：B 例题2．（23-24高三上·江苏南京·期中）已知直线与椭圆交于两点，线段的中点为，则的离心率可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，代入椭圆方程，相减后得到，结合及直线斜率为，求出离心率的范围即可. 【详解】设， 则，则，故， 因为线段的中点为 所以， 故， 又，则，即， 因为，即， 故椭圆的离心率， 故椭圆离心率范围为. 故选：D. 例题3．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知椭圆与双曲线有公共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线在第一象限的交点为，且，则椭圆的离心率为 ． 【答案】/ 【分析】设椭圆，双曲线，，根据条件建立方程，从而得到，再利用离心率的计算公式，即可求解. 【详解】不妨设椭圆，双曲线，， 由题知，，则，得， 所以椭圆的离心率为， 故答案为：. 精练核心考点 1．（2024·湖北武汉·三模）已知椭圆C： （）的左、右焦点分别为，，P为C上一点，满足，以C的短轴为直径作圆O，截直线的弦长为，则C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取弦的中点D，连接，求出，结合椭圆定义即可求解． 【详解】如图，取弦的中点D，连接，则，即，因为， 所以，因为O为的中点，所以D是的中点，所以， 因为，所以OD垂直平分弦，因为，， 所以，所以， 由椭圆定义可得，， 所以，解得，， 所以离心率为， 故选：A． 2．（23-24高二下·云南保山·期末）已知点是椭圆上的一点，左､右焦点分别为点，点在的平分线上，为坐标原点，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，与轴的交点为，，结合平行线性质，三角形面积公式可得，根据勾股定理可得关系，化简求离心率. 【详解】设，，与轴的交点为，． 由且，得①， 又， 所以，故②， 联立①②消去得：，又， 所以， 因，所以有， 所以，故， 所以， 解得离心率， 故选：C． 3．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）设M，N，P是椭圆上的三个点，O为坐标原点，且四边形OMNP为正方形，则椭圆的离心率为 ； 【答案】/ 【分析】根据四边形OMNP为正方形，设出点的坐标，代入椭圆的方程中，再结合点的坐标特点，得到与的关系，最后结合的关系，求椭圆的解离心率即可. 【详解】 因为四边形OMNP为正方形，结合图形可知，可设， 则，则，的坐标为， 所以，所以， 所以椭圆的离心率. 故答案为：. 题型十一：重点考查椭圆中离心率（最值，范围）问题 典型例题 例题1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点.若使为直角三角形的点有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析题意得到，进而构建齐次不等式，求解离心率范围即可. 【详解】当轴时，有两个点满足为直角三角形； 当轴时，有两个点满足为直角三角形. 使为直角三角形的点有且只有4个， 以原点为圆心，为半径的圆与椭圆无交点，， ，又，解得. 故选：A. 例题2．（23-24高二下·广西桂林·期末）已知点是椭圆C：（）的左焦点，过原点作直线l交C于A，B两点，M，N分别是，的中点，若存在以线段MN为直径的圆过原点，则C的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令椭圆右焦点为，根据给定条件，判断四边形为矩形，再利用椭圆定义结合均值不等式求解作答. 【详解】令椭圆右焦点为，半焦距为c，连接，因为分别是、的中点，O为的中点， 则，由以为直径的圆过原点，得， 则有，又点A，B关于原点O对称，即四边形为平行四边形，且是矩形， 于是，有，， 因此，当且仅当时取等号， 即有，，则，而，解得. 故选：A. 例题3．（多选）（2024·全国·模拟预测）已知椭圆：（）的长轴顶点分别为，，左、右焦点分别为，，斜率为正的直线过点，交椭圆的上半部分于点．若椭圆上存在点，使得且，则椭圆的离心率可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】如图，由椭圆的对称性可知，根据相似三角形的性质和焦点弦的性质可得，，对化简计算即可求解. 【详解】如图，延长交椭圆于点．由椭圆的对称性，可知．    因为，所以． 设直线的倾斜角为．由焦点弦的推导公式，得，， 所以，即， 所以．因为直线的斜率为正， 所以，所以， 解得． 故选：ABC． 精练核心考点 1．（2024·河南濮阳·模拟预测）点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于两点，若是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴可设，代入椭圆方程可求得圆的半径，根据为锐角三角形，可构造关于的齐次不等式，进而配凑出离心率，解不等式即可求得结果. 【详解】圆与轴相切于焦点，轴，可设， 在椭圆上，，解得：，圆的半径为； 作轴，垂足为， ，， 为锐角三角形，，， ，即，解得：， 即椭圆离心率的取值范围为. 故选：D. 2．（23-24高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）已知椭圆上一点关于原点的对称点为点，为其右焦点，若，设，且，则该椭圆离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为，根据，得到四边形为为矩形，再由，结合椭圆的定义得到，然后由求解. 【详解】设椭圆的左焦点为， 因为，所以四边形为为矩形，所以， 因为， 所以，，则， 由椭圆的定义得， 所以， 因为，所以， 所以， 其中 ， 所以， 所以. 故选：A 3．（2024·四川绵阳·模拟预测）加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆，若直线上存在点，过可作的两条互相垂直的切线，则椭圆离心率的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先通过椭圆的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解。 【详解】由题可知，点在椭圆的蒙日圆上，又因为点在直线上，所以，问题转化为直线和蒙日圆有公共点. 由椭圆方程可知：，如图当长方形的边与椭圆的轴平行时，长方形的边长分别为和， 其对角线长为，因此蒙日圆半径为，所以蒙日圆方程为，因此，需满足圆心到直线的距离不大于半径， 即，所以，所以椭圆离心率，所以. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$