第03讲 2.3圆与圆的位置关系（8大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第03讲 2.3圆与圆的位置关系 目录 题型一：重点考查判断圆与圆的位置关系 1 题型二：重点考查两圆的交点坐标 2 题型三：重点考查根据圆与圆的位置关系确定参数 4 题型四：重点考查相交圆的公共弦方程 5 题型五：重点考查两圆的公共弦长 6 题型六：重点考查圆的公切线条数 7 题型七：重点考查圆的公切线方程 8 题型八：重点考查圆的公切线长 10 题型一：重点考查判断圆与圆的位置关系 典型例题 例题1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 例题2．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 例题3．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）设，圆与圆的位置关系不可能是（    ） A．相切 B．相交 C．内切或内含 D．外切或相离 精练核心考点 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 3．（2024·广东广州·二模）若直线与圆相切，则圆与圆（    ） A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点 题型二：重点考查两圆的交点坐标 典型例题 例题1．（23-24高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 例题2．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为 . 例题3．（23-24高一上·辽宁鞍山·期末）已知⊙：和定点，由⊙外一点向⊙引切线，切点为，且满足． （1）求动点的轨迹方程； （2）求线段长的最小值； （3）若以为圆心所做的⊙与⊙有公共点，试求半径取最小值时的点坐标． 精练核心考点 1．（23-24高二上·江苏无锡·期末）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，若，则点的坐标为 ． 2．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）求满足下列条件的各圆的方程： （1）圆心为点，且经过点． （2）经过两点，且圆心C在直线上． （3）圆心在直线上，且过圆与圆的交点． 3．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知圆C：． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程． 题型三：重点考查根据圆与圆的位置关系确定参数 典型例题 例题1．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知点，圆，若圆C上存在点P使得，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于 例题3．（24-25高二·上海·随堂练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆M：相切． (1)求的“欧拉线”方程； (2)若圆与圆有公共点，求的范围． 精练核心考点 1．（2024·甘肃张掖·模拟预测）若圆上存在唯一点，使得，其中，则正数的值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）圆与圆外切，则实数 . 3．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是 ． 题型四：重点考查相交圆的公共弦方程 典型例题 例题1．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则直线AB的方程为 ． 例题3．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知点和圆Q：，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B， (1)求切线的长； (2)求直线的方程. 精练核心考点 1．（2024高三下·全国·专题练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·全国·阶段练习）若过点向圆作两条切线，切点分别为、，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知x轴平分的一个内角，，，的外接圆为圆M． (1)求的面积； (2)证明圆与圆M相交，并求圆N与圆M的公共弦所在直线的方程． 题型五：重点考查两圆的公共弦长 典型例题 例题1．（24-25高二·上海·课堂例题）若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 例题2．（24-25高二·上海·课堂例题）圆与圆相交所得公共弦长为 ． 例题3．（2024高二·全国）过点作圆的两条切线，切点分别为，求经过圆心和切点这三点的圆的方程及弦长． 精练核心考点 1．（2024·河北石家庄·二模）已知圆与圆交于A，B两点，则（     ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长． 3．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）已知，． (1)求两圆公共弦所在的直线方程； (2)求两圆的公共弦长． 题型六：重点考查圆的公切线条数 典型例题 例题1．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知圆 圆则两圆的公切线条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 例题2．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是 ． 例题3．（2024·宁夏·一模）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为 ． 精练核心考点 1．（24-25高二上·上海·课后作业）圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 2．（23-24高三下·四川绵阳·开学考试）平面直角坐标系内，与点的距离为1且与圆相切的直线有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．0条 3．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是 ． 题型七：重点考查圆的公切线方程 典型例题 例题1．（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 例题3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 精练核心考点 1．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 2．（23-24高二上·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 3．（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：. (1)求圆M的一般方程； (2)求圆M与圆O的公切线方程. 题型八：重点考查圆的公切线长 典型例题 例题1．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 例题2．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，点位于轴上方，且两圆在点处的切线相互垂直. (1)求的值； (2)若直线与圆､圆分别切于两点，求的最大值. 精练核心考点 1．（2024·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 . 2．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 2.3圆与圆的位置关系 目录 题型一：重点考查判断圆与圆的位置关系 1 题型二：重点考查两圆的交点坐标 4 题型三：重点考查根据圆与圆的位置关系确定参数 9 题型四：重点考查相交圆的公共弦方程 12 题型五：重点考查两圆的公共弦长 15 题型六：重点考查圆的公切线条数 19 题型七：重点考查圆的公切线方程 21 题型八：重点考查圆的公切线长 26 题型一：重点考查判断圆与圆的位置关系 典型例题 例题1．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆：，圆：，则两圆的位置关系为（   ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】将圆的方程化为标准方程，得各自的半径，圆心，结合圆心距满足的条件即可判断. 【详解】由题意圆：即圆：的圆心，半径分别为， 圆：即圆：的圆心，半径分别为， 所以两圆的圆心距满足， 所以两圆的位置关系为相交. 故选：B. 例题2．（23-24高二上·浙江湖州·期末）已知圆：（，）与圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．外离 D．与m的取值有关 【答案】C 【分析】求出两圆心距离，判断其与两圆半径和的大小即可得答案. 【详解】圆：， 即，圆心，半径， 圆：， 即，圆心，半径， 所以当时， 所以圆与圆的位置关系是外离. 故选：C. 例题3．（23-24高一下·陕西咸阳·阶段练习）设，圆与圆的位置关系不可能是（    ） A．相切 B．相交 C．内切或内含 D．外切或相离 【答案】C 【分析】 根据圆与圆的位置关系求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为，且， 圆的圆心为，半径为， 圆心距为，，， 所以当，即时，两圆外切； 当， 即时，两圆外离； 当，即时，两圆相交 由于，所以两圆不可能：内切或内含. 故选：C 精练核心考点 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A．内含 B．外切 C．相交 D．外离 【答案】C 【分析】将两个圆化为圆的一般方程，得其圆心与半径，再根据圆心距与半径和差的关系判断两圆的位置关系即可. 【详解】圆，化为，圆心为，半径为； 圆，化为，圆心为，半径为． 则两圆心距离为， 因为，所以圆与圆相交． 故选：C． 2．（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】由直线平分圆求出，再判断两圆的位置关系即得. 【详解】由圆的面积被直线平分， 得圆的圆心在直线上，即，解得， 因此圆的圆心，半径， 而圆的圆心，半径， 显然，所以圆与圆外切. 故选：D 3．（2024·广东广州·二模）若直线与圆相切，则圆与圆（    ） A．外切 B．相交 C．内切 D．没有公共点 【答案】B 【分析】由直线与圆相切，得，则圆的圆心在圆上，两圆相交. 【详解】直线与圆相切， 则圆心到直线的距离等于圆的半径1， 即，得. 圆的圆心坐标为，半径为， 其圆心在圆上，所以两圆相交. 故选：B 题型二：重点考查两圆的交点坐标 典型例题 例题1．（23-24高二下·上海·期中）已知圆和圆，观察可得它们都经过坐标原点，除此之外，它们还相交于一点，这点的坐标是 ． 【答案】 【分析】将两圆方程联立解方程组即可求得该点坐标. 【详解】联立两圆方程，解得或， 即可得这点的坐标为. 故答案为： 例题2．（23-24高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为 . 【答案】（或） 【分析】先求出两圆的交点，利用直接法或者待定系数法可求圆的方程，或者利用圆系方程求解. 【详解】法一：由， 解得或者， 所以圆与圆的交点分别为， 则线段AB的垂直平分线的方程为. 由，解得， 所以所求圆的圆心坐标为，半径为， 所以所求圆的方程为. 法二：同法一求得， 设所求圆的方程为， 由，解得， 所以所求圆的方程为. 法三：设所求圆的方程为，其中， 化简可得，圆心坐标为. 又圆心在直线上， 所以，解得， 所以所求圆的方程为. 故答案为：（或） 例题3．（23-24高一上·辽宁鞍山·期末）已知⊙：和定点，由⊙外一点向⊙引切线，切点为，且满足． （1）求动点的轨迹方程； （2）求线段长的最小值； （3）若以为圆心所做的⊙与⊙有公共点，试求半径取最小值时的点坐标． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）圆的切线垂直于过切点的半径可得，由勾股定理得；由已知,可得，利用两点间的距离公式列出关系式，化简即可得动点的轨迹方程， （2）将动点的轨迹方程化为标准形式，可得圆心和半径，由此可得的长度，则点在圆内，可得，即可得线段长的最小值； （3）以为圆心的圆与圆有公共点，半径最小时为与圆相切得情形，而半径的最小值为直线与圆相交的交点即为所求. 【详解】（1）连接， 因为切点为，所以，由勾股定理可得， 因为， 所以 ， 所以 所以 化简可得． （2）方程，可化为， 则圆心，半径为， 所以， 所以点在圆内， 所以， 因为， 所以线段长的最小值； （3）⊙半径取最小值时，直线与圆相交的交点为所求， 因为，所以直线的方程为， 代入，可得， 解得， 所以当时，⊙半径取最小值， 此时 精练核心考点 1．（23-24高二上·江苏无锡·期末）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，若，则点的坐标为 ． 【答案】 【详解】 ，且两动直线相互垂直，即 所以 即点的坐标为 2．（23-24高二上·江苏泰州·阶段练习）求满足下列条件的各圆的方程： （1）圆心为点，且经过点． （2）经过两点，且圆心C在直线上． （3）圆心在直线上，且过圆与圆的交点． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）直接求出半径即可得出方程； （2）求出直线的中垂线方程，与直线联立可求得圆心坐标，再求出半径即可得出； （3）联立两圆方程，求出交点坐标，设出圆心，即可建立关系求出. 【详解】（1）可得半径为， 所以所求圆的方程为； （2）直线的斜率为，中点为， 则直线的中垂线方程为，即， 联立方程组可得，即圆心为， 半径， 故所求圆的方程为； （3）联立方程组解得或， 即交点坐标为， 因为圆心在直线上，则可设圆心为，则它到两个交点的距离相等， 即，解得，即圆心为， 则半径， 故所求圆的方程为. 3．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知圆C：． (1)求过点且与圆C相切的直线方程； (2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程． 【答案】(1)或 (2)． 【分析】（1）根据圆心到直线的距离即可求解， （2）联立两圆方程可得交点坐标，进而根据圆的性质利用几何法求解圆心坐标，进而可求解，或者利用圆系方程，代入圆心坐标即可求解. 【详解】（1）当直线有斜率时，设切线的斜率为k，则切线方程为， 即 ∵圆心到切线的距离等于半径2， ∴ 解得或． 因此，所求切线方程为，或． 当直线无斜率时，则，此时直线与圆不相切，不满足题意， 故切线方程为，或． （2）法一： 联立，解得或． ∴圆C与圆Q的交点为，， 线段AB的垂直平分线为，设所求圆的圆心为，半径为r． 由，解得，所以圆心为，． 因此，所求圆的方程为 法二：设经过圆C与圆Q交点的圆为：．（） 即 即 圆心代入直线，得． 因此，所求圆的方程为． 题型三：重点考查根据圆与圆的位置关系确定参数 典型例题 例题1．（23-24高三下·云南·阶段练习）已知点，圆，若圆C上存在点P使得，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点A为圆心，半径为2作圆，根据点既在圆上，也在圆上，根据两圆有公共点的条件列不等式即可求的取值范围. 【详解】由，则点P在圆上， 又有点P在圆C上，所以圆A和圆C有公共点（P)， 两圆半径分别为2、1， 所以， 所以. 故选：A． 例题2．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一个公共点，则实数a等于 【答案】或 【分析】由两圆的方程得到圆心和半径，再由“有且仅有一个公共点”得到“两圆相切”，进而得到圆心之间的距离与半径的关系，解得的值. 【详解】圆：圆心为，半径为1， 圆：，圆心为，半径为； 又因为圆与圆有且仅有一个公共点，所以两圆相切， 又由两圆的圆心距，则有或， 解得或． 故答案为：或. 例题3．（24-25高二·上海·随堂练习）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆M：相切． (1)求的“欧拉线”方程； (2)若圆与圆有公共点，求的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等腰三角形三线合一知的欧拉线即为的垂直平分线，根据与直线垂直得到斜率，结合过中点得到所求直线方程； （2）由直线与圆相切得到圆的圆心和半径，由两圆有公共点得到两圆的位置关系进而得到关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】（1）因为，所以是等腰三角形，由三线合一得：的外心、重心、垂心均在边的垂直平分线上， 设的欧拉线为，则过的中点，且与直线垂直， 由、可得：的中点，即， 由，得，故的方程为即； （2）因为与圆M：相切，故圆心，， 圆的圆心坐标为，半径， 则要想圆M与圆有公共点，则两圆外切、相交或内切， 只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值， 即，故，解得． 精练核心考点 1．（2024·甘肃张掖·模拟预测）若圆上存在唯一点，使得，其中，则正数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，由因为，得到，根据题意，转化为两圆是外切或内切，结合圆与圆的位置关系，列出方程，即可求解. 【详解】由题得圆的圆心坐标为，半径为， 设，则，， 因为，可得， 化简得，故点在以为圆心，半径为的圆上， 又因为存在唯一的点也在圆上，所以两圆是外切或内切， 所以圆心距等于两圆半径相加，或者圆心距等于两圆半径差的绝对值， 即或， 解得或，因为是正数，所以. 故选：B. 2．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）圆与圆外切，则实数 . 【答案】±4 【分析】根据圆心距与半径之和的关系即可求解. 【详解】两圆的圆心为，，半径为1和4， 因为两圆外切，则，解得. 故答案为：±4 3．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是 ． 【答案】3或 【分析】由题意可得两圆内切，然后求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，由圆心距等于两半径的差列方程求解即可. 【详解】因为两圆有一条公切线，所以两圆内切． 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 而两圆圆心距，即， 解得的值为3或． 故答案为：3或 题型四：重点考查相交圆的公共弦方程 典型例题 例题1．（23-24高二下·山西太原·阶段练习）若过点向圆C：作两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出以为直径的圆的方程，再与已知圆的方程相减即得公共弦所在直线的方程. 【详解】过点向圆作两条切线，切点分别为、，则， 于是点、在以为直径的圆上，而，则的中点为，， 因此以为直径的圆方程为， 圆与圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为， 所以直线AB的方程为. 故选：A 例题2．（23-24高二上·吉林延边·期中）已知圆与圆相交于A，B两点，则直线AB的方程为 ． 【答案】 【分析】两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程. 【详解】由，得， 化简得， 所以直线AB的方程为. 故答案为： 例题3．（23-24高二上·广东茂名·期末）已知点和圆Q：，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B， (1)求切线的长； (2)求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得，，结合勾股定理即可得解. （2）将原问题转换为求以为直径的圆和已知圆的公共弦方程来求解即可. 【详解】（1）圆的圆心为，半径，， 因为 故 所以，的长都是. （2）因为，，所以A、B都在以为直径的圆上， 圆心为的中点，半径长为， 所以圆的方程为，即， 由得，故直线的方程为. 精练核心考点 1．（2024高三下·全国·专题练习）过点作曲线的两条切线，切点分别为，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得以为直径的圆的方程，结合两圆的公共弦方程的求法，即可求解. 【详解】由曲线，可化为，可得圆心，半径为， 因为分别切圆于，所以四点在以为直径的圆，半径为， 故圆的方程为：，即上， 两圆的方程相减，可得两圆公共弦所在直线的方程为， 即直线的方程为. 故选：A. 2．（23-24高三下·全国·阶段练习）若过点向圆作两条切线，切点分别为、，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依题意，点、也在以为直径的圆上，由两圆方程相减，得公共弦所在直线的方程. 【详解】过点向圆作两条切线，切点分别为、， 则点、在以为直径的圆上，，的中点为， 则以为直径的圆方程为， 圆与圆方程相减，得公共弦所在直线的方程为. 故选：B. 3．（23-24高二上·山东聊城·期末）已知x轴平分的一个内角，，，的外接圆为圆M． (1)求的面积； (2)证明圆与圆M相交，并求圆N与圆M的公共弦所在直线的方程． 【答案】(1)3 (2)证明见解析，． 【分析】 （1）判定三角形形状再求解面积即可. （2）找到圆心和半径求出圆的标准方程，用圆和圆的位置关系判断相交，两圆相减求出公共弦方程即可. 【详解】（1） 由题意知x轴平分，所以， 设，则，解得，所以， 所以，所以为直角三角形， 因为，，所以． 即的面积为3． （2） 由（1）知，所以M为AB的中点，半径长为， 所以圆M的方程为，半径． 将圆N的方程化为标准方程，得， 所以圆心，半径． 所以． 又，，所以， 故圆N与圆M相交． 因为，圆M的方程可化为， 两方程作差，得． 所以圆N与圆M的公共弦所在直线的方程为． 题型五：重点考查两圆的公共弦长 典型例题 例题1．（24-25高二·上海·课堂例题）若圆与相交于、两点，则公共弦的长是（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，即可判断两圆相交，再两圆方程作差得到公共弦方程，最后求出公共弦长即可. 【详解】圆，即， 所以圆心为，半径为， 圆，即， 所以圆心为，半径为， 所以两圆圆心距为， 所以两圆相交，两圆方程作差得到，即公共弦方程为， 又圆的圆心到的距离为， 所以公共弦的长为. 故选：B 例题2．（24-25高二·上海·课堂例题）圆与圆相交所得公共弦长为 ． 【答案】 【分析】两圆方程作差得公共弦所在直线方程，利用点到直线的距离公式可得到直线的距离，最后由即可得解. 【详解】记圆，圆， 两个方程作差可得，， 所以两圆公共弦所在直线方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为：. 例题3．（2024高二·全国）过点作圆的两条切线，切点分别为，求经过圆心和切点这三点的圆的方程及弦长． 【答案】， 【分析】先得到点四点共圆，为该圆直径，从而得到圆心和半径，得到圆的方程；直线为这两个圆的公共弦所在直线，两圆相减即可求得，利用点到直线距离公式求出圆心到直线的距离，由垂径定理求出的长. 【详解】由切线性质知． 四点共圆，且是直径． 由知． 所求圆的圆心． 故所求圆的方程为． 圆与圆的方程相减得到两圆公共弦（即所在直线方程为． 圆心到直线的距离， ． 精练核心考点 1．（2024·河北石家庄·二模）已知圆与圆交于A，B两点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，两圆方程相减即可得到直线的方程，再由弦长公式，即可得到结果. 【详解】因为圆与圆交于A，B两点， 则直线的方程即为两圆相减，可得， 且圆，半径为， 到直线的距离， 所以. 故选：C 2．（23-24高二上·四川泸州·期末）已知圆过点，且与直线相切于点． (1)求圆的标准方程； (2)求圆与圆的公共弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意首先得圆心在直线上，结合即可求解. （2）两圆相减首先得公共弦方程，由点到直线的距离公式、弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意设圆的圆心为，已知圆过点，且与直线相切于点， 所以圆心在直线即直线上， 所以， 又， 所以解得， 所以圆的标准方程. （2）由（1）得圆的标准方程. 又圆，两圆方程相减得公共弦方程为， 所以圆心到公共弦的距离为， 而圆的半径为， 所以圆与圆的公共弦长为. 3．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）已知，． (1)求两圆公共弦所在的直线方程； (2)求两圆的公共弦长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接两圆方程相减即可求解； （2）先求圆心到直线的距离，再结合圆的弦长公式即可求解. 【详解】（1）由题意两圆，方程相减得， ，整理得， 即两圆公共弦所在的直线方程为. （2）由（1）得两圆公共弦所在的直线方程为， 圆的圆心、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 题型六：重点考查圆的公切线条数 典型例题 例题1．（2024·内蒙古赤峰·三模）已知圆 圆则两圆的公切线条数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】确定两圆的位置关系后可得公切线条数． 【详解】圆标准方程为， 则已知两圆圆心分别为，半径分别为， 圆心距为， 因此两圆外切，它们有三条公切线， 故选：B． 例题2．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知圆与圆有且仅有一条公共切线，则实数的值是 ． 【答案】3或 【分析】由题意可得两圆内切，然后求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，由圆心距等于两半径的差列方程求解即可. 【详解】因为两圆有一条公切线，所以两圆内切． 圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 而两圆圆心距，即， 解得的值为3或． 故答案为：3或 例题3．（2024·宁夏·一模）若两圆和恰有三条公切线，则的最小值为 ． 【答案】10 【分析】根据两圆外切得到方程，求出，对不等式变形后，利用基本不等式求出最小值. 【详解】的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 两圆外切，则，即， 故， 又，故， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为10. 故答案为：10 精练核心考点 1．（24-25高二上·上海·课后作业）圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解． 【详解】解：圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B 2．（23-24高三下·四川绵阳·开学考试）平面直角坐标系内，与点的距离为1且与圆相切的直线有（    ） A．4条 B．3条 C．2条 D．0条 【答案】A 【分析】分析题意转化为公切线问题，利用圆与圆的位置关系求解即可. 【详解】由题意得与点的距离为1的直线始终与相切， 而该直线也与圆相切， 故这样的直线是圆与圆的公切线， 易知圆心距离为3，半径和为，显然，故两圆相离， 可得这样的直线共4条，故A正确， 故选：A 3．（23-24高二上·浙江嘉兴·期末）已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可得两圆相交，再根据两圆的位置关系求参即可. 【详解】圆：的圆心，半径， 圆：的圆心，半径， 因为与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条， 所以两圆相交，则， 即，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 题型七：重点考查圆的公切线方程 典型例题 例题1．（23-24高三下·四川巴中·阶段练习）曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 易知，设上一点，利用点关于直线对称的问题求出方程，结合圆与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式计算即可求解. 【详解】， 所以曲线是圆心为原点，半径为1的圆在x轴上方的部分， 又与的图形关于直线对称， 设上一点，该点关于直线对称的对称点为， 则的中点在直线上，且直线的斜率与直线的斜率之积为， 所以，解得，即， 代入方程，得，即（只是该圆的一部分），如图， 易知与的公切线，所以，结合图，设， 所以点到直线的距离为，解得， 所以与的公切线为. 故选：B 例题2．（23-24高二上·广东深圳·期末）写出与圆和都相切的一条直线的方程 . 【答案】或（写一条即可） 【分析】结合图形可得其中一条公切线方程，然后利用过两圆心的直线可求出另一条公切线所过点P，设出切线方程，根据圆心到切线距离等于半径即可求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 化为标准方程得，圆心为，半径， 如图，易知两圆的公切线有两条，其中一条为， 直线的斜率为，直线方程为， 联立解得， 易知另一条公切线的斜率存在，设方程为，即， 则，解得， 则公切线的方程为，即. 故答案为：或（写一条即可） 例题3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值； （2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值. 【详解】（1）由题意，圆：，可化为： 圆：，可化为：， 可得圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆相外切时，可得， 即， 解得， 所以时，两圆外切； （2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆内切时，可得， 即， 解得， 因为， 可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，即 则圆心到切线的距离等于圆的半径， 即，解得， 当时，直线与圆：相交，舍去， 故所求公切线方程为，即． 精练核心考点 1．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【详解】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 2．（23-24高二上·河南郑州·期末）写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出圆与圆外切，两圆相减求出两圆内公切线方程，再设两圆的外公切线所在直线方程，根据点到直线距离公式列出方程，求出答案. 【详解】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，故圆与圆外切， 将与相减得， 即两圆内公切线方程为， 两圆圆心所在直线方程为，即， 由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行， 设为，圆心到的距离为，解得， 故两圆的外公切线所在直线方程为和. 故答案为：（或之一也可以） 3．（23-24高二下·四川成都·开学考试）已知圆M经过，两点，且与x轴相切，圆O：. (1)求圆M的一般方程； (2)求圆M与圆O的公切线方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）通过求圆心和半径来求得圆的标准方程，再转化为一般方程. （2）利用公共切线斜率与圆心连线斜率相等，再利用圆心到直线距离等于半径求解即可. 【详解】（1）由题意设圆心为， ，得， 故圆心为，， 圆M的标准方程为：， 圆M的一般方程为：. （2） 由于圆M和圆O的半径均为2， 公切线与OM平行，则，设公切线方程为， 则，得或， 故公切线方程为或. 题型八：重点考查圆的公切线长 典型例题 例题1．（2024·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 故答案为： 例题2．（23-24高二上·河南·阶段练习）已知圆与圆相交于两点，点位于轴上方，且两圆在点处的切线相互垂直. (1)求的值； (2)若直线与圆､圆分别切于两点，求的最大值. 【答案】(1) (2)最大值为3 【分析】（1）根据切线的性质构造直角三角形，结合勾股定理求解； （2）平移公切线构造直角三角形，由勾股定理结合基本不等式求解的最大值. 【详解】（1）如图，由题意可知与圆相切，与圆相切， 且， 故， 即. （2）作于点H，连接PQ， 在中，， 其中， 故， 又，当且仅当时取等号， 故， 即的最大值为3. 精练核心考点 1．（2024·全国·模拟预测）圆与圆的公切线长为 . 【答案】4 【分析】先由圆心距与两圆半径和差关系判断两圆位置关系，再由几何性质利用勾股定理求解公切线长. 【详解】由题可得，由圆， 则圆心为，半径为， 由圆， 则圆的圆心为，半径为. 则两圆心的距离， 因为，所以圆与圆相交. 如图，设切点为，作于点， 所以圆与圆的公切线长为. 故答案为：.    2．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 【答案】(1)两圆相交，理由见解析； (2)，4. 【分析】（1）根据两圆方程得出圆心和半径，计算出圆心距，利用两圆相交的必要条件即可判断，相交时，将两圆的一般式方程左右分别相减，整理即得公共弦方程； （2）利用两圆外切的必要条件得出关于参数的方程，求出值，继而运用外公切线的计算公式即得.(外公切线计算公式初中已知) 【详解】（1）由圆与圆，可知两圆圆心分别为，半径为， 因,时，，因为，故两圆相交． 用圆的两边减去圆的两边即得两圆公共弦所在直线的方程为：． （2）若两圆外切，则，即，解得． 此时，，所以外公切线长为： 学科网（北京）股份有限公司 $$