第02讲 2.2直线与圆的位置关系（12大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第02讲 2.2直线与圆的位置关系 目录 题型一：重点考查点与圆的位置关系问题 1 题型二：重点考查直线与圆的位置关系问题 2 题型三：重点考查直线与圆相交时韦达定理应用 3 题型四：重点考查过圆上一点的圆的切线方程 6 题型五：重点考查过圆外一点的圆的切线方程 7 题型六：重点考查切线长问题 9 题型七：重点考查切点弦及其方程 10 题型八：重点考查已知切线求参数 11 题型九：重点考查圆的弦长及中点弦 12 题型十：重点考查根据圆的弦长求方程或参数 14 题型十一：重点考查直线与圆的实际应用 16 题型十二：重点考查直线与圆中的定点，定值问题 19 题型一：重点考查点与圆的位置关系问题 典型例题 例题1．（2024高二上·江苏·专题练习）已知点，圆的标准方程为，则点P（　 ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．与a的取值有关 例题2．（2024·陕西西安·三模）若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）若过点总可以作两条直线与圆相切，则实数k的取值范围是 ． 精练核心考点 1．（23-24高二上·全国·课后作业）点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定 2．（2024高二上·全国·专题练习）点在圆的内部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． 或 D．   3．（多选）（2024·广西·模拟预测）若点在圆的外部，则的取值可能为（    ） A． B．1 C．4 D．7 题型二：重点考查直线与圆的位置关系问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 例题2．（24-25高二上·上海·单元测试）直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆的位置关系是（    ） A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心 C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点 例题3．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆，直线与圆恰有一个公共点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 例题4．（24-25高二上·上海·课堂例题）直线与曲线有两个不同的交点，则实数b的取值范围是 ． 精练核心考点 1．（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 2．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 3．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B．1 C． D．3 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数k的取值范围是 ． 题型三：重点考查直线与圆相交时韦达定理应用 典型例题 例题1．（2024·湖北·模拟预测）直线与圆交于M、N两点，O为坐标原点，则（ ） A． B． C．1 D．2 例题2．（23-24高二上·云南红河·开学考试）已知圆经过点、，并且直线：平分圆． (1)求圆的方程； (2)过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，且，求k的值． 例题3．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线：与圆：相交于，不同两点. (1)求的范围； (2)设是圆上的一动点（异于，），为坐标原点，若，求面积的最大值. 例题4．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为的直线与曲线相交于两点，（异于原点）直线，的斜率分别为，，且， ①证明：直线过定点，并求出点的坐标； ②若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 精练核心考点 1．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，则 ， . 2．（23-24高二上·全国·期末）设为实数，直线和圆相交于，两点. (1)若，求的值； (2)若点在以为直径的圆外（其中为坐标原点），求实数的取值范围. 3．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)直线与圆交于两点，为坐标原点,设直线的斜率分别为，当时，求的取值范围． 4．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知动点与两定点，的距离的比为. (1)求动点的轨迹方程并说明是什么图形； (2)过点作直线l，l与点的轨迹相交于、两点，已知，若，求直线l的方程. 题型四：重点考查过圆上一点的圆的切线方程 典型例题 例题1．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·云南丽江·期中）已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 精练核心考点 1．（23-24高二上·北京·期中）已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为 . 2．（2024·河北邢台·一模）已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则 ，该直线的方程为 ． 题型五：重点考查过圆外一点的圆的切线方程 典型例题 例题1．（多选）（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆的方程为，点在圆内. (1)求实数的取值范围； (2)求过点且与圆相切的直线的方程. 例题3．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆过点，且圆心在直线上， (1)求圆的方程: (2)过作圆的切线，求切线方程 精练核心考点 1．（23-24高二上·广东·期末）已知圆，直线l过点． (1)若直线l的斜率为，求直线l被圆C所截得的弦长； (2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程． 2．（23-24高二上·安徽·期末）已知点，，动点M满足，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过点P作曲线C的两条切线，求这两条切线的方程． 3．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知圆C的圆心坐标为，与直线交于A，B两点，且． (1)求圆C的标准方程； (2)求过点的圆C的切线方程． 题型六：重点考查切线长问题 典型例题 例题1．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 例题2．（2024·辽宁·模拟预测）过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高二上·江苏南京·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 精练核心考点 1．（2024·浙江绍兴·二模）过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北·模拟预测）已知点为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二·上海·课堂例题）若从点引圆的切线，则切线长是 ． 题型七：重点考查切点弦及其方程 典型例题 例题1．（2024·全国·模拟预测）过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·全国·模拟预测）已知点是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点坐标分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）如图，过圆外一点向圆引切线.    (1)求过点P的圆的切线方程； (2)若切点为，，求过切点，的直线方程.    精练核心考点 1．（23-24高三下·海南·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为 . 3．（23-24高二上·安徽·期中）过直线上任意点作圆的两条切线，切点分别为，直线过定点 ；记线段的中点为，则点到直线的距离的最小值为 . 题型八：重点考查已知切线求参数 典型例题 例题1．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（23-24高二上·山东德州·阶段练习）已知点是圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是0 B．的最大值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 例题3．（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆与两条坐标都不相交，圆心在轴上，圆与直线及直线均相切． (1)求圆的方程． (2)若过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程． (3)已知实数、满足圆的方程，求的最大值和最小值． 精练核心考点 1．（23-24高二上·安徽六安·阶段练习）已知点为圆上任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点在圆上运动，则的最小值是 . 3．（23-24高二上·北京·期中）已知圆C：，直线m的倾斜角为且与圆C相切，则切线m的方程为 ． 题型九：重点考查圆的弦长及中点弦 典型例题 例题1．（24-25高三上·江西·开学考试）已知直线与圆交于两点，则线段的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·辽宁·模拟预测）已知圆关于直线对称，圆与轴交于两点，则 例题3．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知过点且斜率为k的直线l与圆C：相交于A，B两点. (1)求k的取值范围； (2)若为坐标原点，求 例题4．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点，线段的中点为. (1)若点的坐标为，求； (2)若线段的垂直平分线经过点，求直线的方程. 精练核心考点 1．（23-24高一下·重庆·期末）已知直线：与圆：交于，两点，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）过点的直线l与圆C：相交于A、B两点，则的最小值是 ． 3．（24-25高二上·上海·期中）若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为 ． 4．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，动点到的距离是它到的距离的倍． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若在C内有一点，则是否存在弦PQ被点G平分？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 题型十：重点考查根据圆的弦长求方程或参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·四川达州·期中）已知直线与圆交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆：，. (1)过点作圆的切线，求直线的方程 (2)过点作直线与圆相交，所得弦长不小于，求直线的斜率的取值范围. 例题3．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点．从①直线相切；②圆关于直线对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题． (1)求圆A的方程； (2)当时，求直线l的方程． 精练核心考点 1．（23-24高二下·安徽六安·期末）“”是“直线被圆截得的弦长为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 2．（2024·全国·模拟预测）已知圆截直线所得的弦长为，则 ． 3．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 题型十一：重点考查直线与圆的实际应用 典型例题 例题1．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（22-23高二上·浙江宁波·期末）如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于 m（精确到）．若建立如图2所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的标准方程是 ． （可用参考数据：．） 例题3．（23-24高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 精练核心考点 1．（多选）（23-24高二上·河北·阶段练习）某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（    ）    A．观测点之间的距离是 B．圆的方程为 C．小汽车行驶路线所在直线的方程为 D．小汽车会进入安全预警区 2．（16-17高二上·江苏宿迁·期中）河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m．一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻．近日水位暴涨了2.7m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：船身应该降低多少？（精确到0.1m,参考数据）    3．（23-24高二上·广东潮州·期中）某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（参考数据2.45，结果精确到0.1m）． 题型十二：重点考查直线与圆中的定点，定值问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知直线l过点，圆C：（C为圆心）． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程． (2)若直线l与圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，直线l与直线的交点为Q，判断是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由． 例题2．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，已知的方程为，点，过点A作的切线AP，P为切点. (1)求AP的长； (2)在x轴上是否存在点B（异于A点），满足对上任一点C，都有为定值？若存在，求B点的坐标；若不存在，请说明理由. 例题3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，已知圆与轴交于、两点，过点的直线与圆交于、两点，探究直线、交点是否在定直线上．若是，请求出该直线；若不是，请说明理由． 精练核心考点 1．（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆. (1)求圆的标准方程； (2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 2．（23-24高三上·江西吉安·期中）已知圆，点P为直线上的动点． (1)若从P到圆O的切线长为，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长； (2)若点，直线与圆O的另一个交点分别为，求证：直线经过定点． 3．（23-24高一下·云南昆明·期末）已知直线与圆相交于A，B两点 (1)若，求k (2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA，MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 2.2直线与圆的位置关系 目录 题型一：重点考查点与圆的位置关系问题 1 题型二：重点考查直线与圆的位置关系问题 3 题型三：重点考查直线与圆相交时韦达定理应用 7 题型四：重点考查过圆上一点的圆的切线方程 17 题型五：重点考查过圆外一点的圆的切线方程 19 题型六：重点考查切线长问题 23 题型七：重点考查切点弦及其方程 27 题型八：重点考查已知切线求参数 32 题型九：重点考查圆的弦长及中点弦 38 题型十：重点考查根据圆的弦长求方程或参数 44 题型十一：重点考查直线与圆的实际应用 48 题型十二：重点考查直线与圆中的定点，定值问题 55 题型一：重点考查点与圆的位置关系问题 典型例题 例题1．（2024高二上·江苏·专题练习）已知点，圆的标准方程为，则点P（　 ） A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．与a的取值有关 【答案】C 【分析】由点到圆心的距离和圆的半径比较大小即可得解. 【详解】∵， ∴点P在圆外. 故选：C． 例题2．（2024·陕西西安·三模）若过点可作圆的两条切线，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点在圆外即可求解. 【详解】圆，即圆，则，解得． 过点有两条切线，则点P在圆外，，即，解得． 故． 故选：C 例题3．（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）若过点总可以作两条直线与圆相切，则实数k的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据圆的半径大于0，点在圆外，得到不等式，求出答案. 【详解】变形为， 故，解得， 当点在圆外时，总可以作两条直线与圆相切， 故，解得或， 综上：或 故答案为：或. 精练核心考点 1．（23-24高二上·全国·课后作业）点与圆的位置关系是（    ） A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定 【答案】C 【分析】点到圆心的距离大于半径，点在圆外. 【详解】因为，所以点在圆外， 故选：C 2．（2024高二上·全国·专题练习）点在圆的内部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． 或 D．   【答案】A 【分析】由点在圆内得，求得a的取值范围. 【详解】点在圆的内部， 所以，化简得，解得， 故选:A 3．（多选）（2024·广西·模拟预测）若点在圆的外部，则的取值可能为（    ） A． B．1 C．4 D．7 【答案】BC 【分析】由圆，结合点在圆外列不等式组求参数范围. 【详解】由题设，在圆外， 则，解得. 故选：BC 题型二：重点考查直线与圆的位置关系问题 典型例题 例题1．（23-24高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相切 C．直线与圆相交 D．直线与圆相离 【答案】C 【分析】求出圆的圆心和半径，直线所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置即可. 【详解】圆的圆心，半径， 直线恒过定点， 显然， 因此点在圆内，直线与圆相交，ABD错误，C正确. 故选：C 例题2．（24-25高二上·上海·单元测试）直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆的位置关系是（    ） A．直线l过圆心 B．直线l与圆相交，但不过圆心 C．直线l与圆相切 D．直线l与圆无公共点 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出直线l的方程，再根据圆心到直线l的距离与半径的关系判断作答. 【详解】直线过原点，斜率为，倾斜角为， 依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，因此直线l的方程为：，即， 而圆的圆心为，半径为， 于是得圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆相切. 故选：C 例题3．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知圆，直线与圆恰有一个公共点，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】法一，直线与圆相切转化为圆心到直线的距离与半径相等，求参数即可；法二，直线过圆上定点，由相切性质得垂直关系，从而得斜率. 【详解】直线与圆恰有一个公共点， 直线与圆相切， 法一，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，解得. 法二，由直线过定点， 设直线，定点为， 由在圆上，直线与圆相切， 故点即为切点，故直线，即斜率. 故选：B. 例题4．（24-25高二上·上海·课堂例题）直线与曲线有两个不同的交点，则实数b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先判断曲线表示的曲线，再利用数形结合表示直线与曲线有两个交点时，参数的取值范围. 【详解】由可得，整理可得，其中， 所以曲线表示圆的下半圆， 如图所示．当直线与曲线相切时， 由图可知，，且有，解得． 当直线过点时，则有． 由图可知，当时，直线与曲线有两个不同的交点． 故答案为： 精练核心考点 1．（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据直线经过定点，定点在圆内部即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】直线恒过定点，将定点代入圆的方程， 发现，则定点在圆内部， 所以直线与圆必相交. 故选:B. 2．（23-24高二上·广东惠州·阶段练习）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定 【答案】B 【分析】判出直线恒过定点，再判定点与圆位置关系可得直线和圆位置关系. 【详解】由，所以直线恒过定点， 因为，所以点在圆的内部， 所以直线与圆相交. 故选：B. 3．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】求出圆心并将其代入直线即可得解. 【详解】由得， 则圆心坐标为，又因为圆关于直线对称， 故由圆的对称性可知：圆心在直线上， 则. 故选：D. 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）若直线与曲线恰有两个公共点，则实数k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先判断表示的曲线，再利用数形结合表示直线与圆的位置关系，求参数的取值范围. 【详解】根据题意得为恒过定点的直线， 由曲线，可得，所以曲线表示圆心为，半径为1的上半圆， 如图所示． 当直线与圆C相切时，有，解得（舍去）或． 把代入得，解得． 因为直线与曲线恰有两个公共点，由图可得， 即k的取值范围是． 故答案为： 题型三：重点考查直线与圆相交时韦达定理应用 典型例题 例题1．（2024·湖北·模拟预测）直线与圆交于M、N两点，O为坐标原点，则（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先联立方程，结合韦达定理可求出，根据向量数量积可求答案. 【详解】联立,得， 则，即，所以， 设，则：，， 故选：C 例题2．（23-24高二上·云南红河·开学考试）已知圆经过点、，并且直线：平分圆． (1)求圆的方程； (2)过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，且，求k的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）利用待定系数法即可得解； （2）联立直线与圆的方程得到，从而化简得到关于k的方程，解之即可得解. 【详解】（1）设圆C的标准方程为， 因为直线m：平分圆C的面积， 所以直线过圆心，即， 则，解得， 圆的方程为； （2）由题意直线的方程为， 联立，消去得， 设， 则，得， 故， 而， 所以 ， 故有，解得，满足， 所以. 例题3．（23-24高二上·广东东莞·期中）已知直线：与圆：相交于，不同两点. (1)求的范围； (2)设是圆上的一动点（异于，），为坐标原点，若，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线与圆相交列出不等式，可得解； （2）直线与圆联立利用韦达定理可求得直线的方程，进而得解. 【详解】（1）∵直线与圆交于两点，∴， 解得. （2）设，， 将代入方程， 整理得， ∴，， ， 解得，由（1）知， 所以直线的方程为， 可知圆心在直线上， ∴是圆的直径，且， ∵是圆上的一动点（异于，）， ∴到直线的最大距离即为半径为1， ∴面积的最大值为. 例题4．（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知线段的端点的坐标是，端点的运动轨迹是曲线，线段的中点的轨迹方程是． (1)求曲线的方程； (2)已知斜率为的直线与曲线相交于两点，（异于原点）直线，的斜率分别为，，且， ①证明：直线过定点，并求出点的坐标； ②若，为垂足，证明：存在定点，使得为定值． 【答案】(1) (2)①证明见解析，；②证明见解析 【分析】（1）直接设点，由中点坐标代入即可得到轨迹方程； （2）先设直线然后联立，联立后得到韦达定理，再求斜率之积，代入韦达定理得到参数之间的关系，进而得到直线过定点，然后应用直角三角形斜边中线长是斜边一半求出定点坐标即可. 【详解】（1）设，，由中点坐标公式得． 因为点的轨迹方程是，所以， 整理得曲线的方程为． （2）①设直线的方程为，，，， 联立，得， 所以，即， 所以，， 所以， 所以且， 所以直线的方程为，即直线过定点． ②如图所示， 因为为定值，且于，所以为直角三角形，为斜边， 所以当点是的中点时，此时为定值． 因为，，所以由中点坐标公式得． 所以存在定点使得为定值． 【点睛】关键点睛：定点问题的解题关键是设出直线然后应用韦达定理求出参数之间的联系，定值问题关键在于求出斜边是定值，进而得到斜边中线也是定值，即可得到对应的点. 精练核心考点 1．（23-24高三下·辽宁·阶段练习）已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，则 ， . 【答案】 【分析】求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，利用垂径定理、勾股定理求出弦长，设，，联立直线与圆的方程，列出韦达定理，利用数量积的坐标表示计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以， 设，， 由，消去整理得，则，， 又，， 所以 . 故答案为：； 2．（23-24高二上·全国·期末）设为实数，直线和圆相交于，两点. (1)若，求的值； (2)若点在以为直径的圆外（其中为坐标原点），求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）将圆的方程转化为标准方程，可得圆心与半径，再根据垂径定理可得圆心到直线的距离，进而可得的值； （2）根据点在以为直径的圆外，可知，联立直线与圆的方程，结合韦达定理可得参数的取值范围. 【详解】（1）   将圆的方程化为标准方程， 圆心，半径， 由， 可知圆心到直线得距离为， 所以， 解得或； （2）   设，， 联立，得， 由，得， 且，， 因为点在以为直径的圆外，所以， 即， 即 ， 解得，所以的取值范围是. 3．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）已知圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)直线与圆交于两点，为坐标原点,设直线的斜率分别为，当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设圆的圆心坐标为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求得圆的方程； （2）联立方程组，得到，根据，求得，由，化简得到，结合韦达定理，求得，结合，求得，再代入不等式，求得或，进而求得的取值范围． 【详解】（1）由圆与圆关于直线对称． 设圆的圆心坐标为， 则，解得， 所以圆的方程为. （2）由直线的方程为， 联立方程组，整理得， 根据题意，可得，解得， 设，则， 因为直线的斜率分别为，且，可得，即， 即，即， 所以，可得， 因为，可得，解得， 将代入中，可得，解得或， 综上可得，实数的取值范围为． 4．（23-24高二上·广东深圳·阶段练习）已知动点与两定点，的距离的比为. (1)求动点的轨迹方程并说明是什么图形； (2)过点作直线l，l与点的轨迹相交于、两点，已知，若，求直线l的方程. 【答案】(1)方程为，轨迹为以为圆心，2为半径的圆 (2)或 【分析】（1）根据题意，列出方程，即可求解； （2）解法一：设直线：，利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式，得到的面积，列出方程求得的值，即可求解； 方法二：设直线：, 联立方程组，得到，结合，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：由动点与两定点，的距离的比为， 可得， 整理得， 即， 所以动点P是以为圆心，2为半径的圆. （2）解法一：由题意知的斜率一定存在且不等于0， 设直线：，即， 点Q到l的距离， 则弦长为， 因为，所以， 化简得，解得或，所以或， 所以直线的方程为或. 方法二：由题意知的斜率一定存在且不等于0， 设直线：, 且点，， 联立方程，整理得， 所以，即，且， 则， 因为，所以， 化简得，解得或，所以或， 所以直线的方程为或. 题型四：重点考查过圆上一点的圆的切线方程 典型例题 例题1．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知圆，过点作圆的切线，则该切线的一般式方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意点在圆上，故由直线的斜率可得切线的斜率，进而由点斜式化为一般式子即可得解. 【详解】因为圆的圆心坐标为，且点的坐标满足， 这表明点在圆上，所以直线的斜率为，过点的切线的斜率为， 所以该切线方程为，化为一般式得. 故选：B. 例题2．（23-24高二上·云南丽江·期中）已知圆，则圆在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先判断点P在圆上，再由垂直关系得出切线的斜率，利用点斜式即可得解. 【详解】因为点在圆上，又的圆心为 所以， 易知，直线PC与所求切线垂直，所以所求切线的斜率为：， 所以圆在点处的切线方程为，即． 故答案为： 精练核心考点 1．（23-24高二上·北京·期中）已知圆，过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】 【分析】先判断点P在圆上，再由垂直关系得出切线方程. 【详解】因为，所以点在圆上， 设切线的斜率为，则，. 则切线方程为. 故答案为： 2．（2024·河北邢台·一模）已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则 ，该直线的方程为 ． 【答案】 1 【分析】利用点在圆上求解参数解决第一空，利用得到的垂直关系求出需要求的斜率，结合直线上的已知点得到直线方程，求解第二空即可. 【详解】若过点恰好只有一条直线与圆E：相切， 则一定在圆上，可得， 解得(其它根舍去)，故，而易知圆心为，半径为， 又直线斜率为，设该直线的斜率为， 显然两直线必定垂直，故得，则直线方程为， 化简得直线方程为， 故答案为：1； 题型五：重点考查过圆外一点的圆的切线方程 典型例题 例题1．（多选）（23-24高二上·新疆阿克苏·期末）过点作圆的切线，所得切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果． 【详解】 由圆心为，半径为1，过点斜率存在时，设切线为， 则，可得，所以，即； 斜率不存在时，，显然与圆相切， 综上，切线方程为：或． 故选：AB． 例题2．（23-24高二上·山西太原·期末）已知圆的方程为，点在圆内. (1)求实数的取值范围； (2)求过点且与圆相切的直线的方程. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）利用点与圆的位置关系列出不等式，求解不等式即得. （2）按切线斜率存在与否分类求出切线方程. 【详解】（1）圆：的圆心，半径 由点在圆内，得，解得， 所以的取值范围为. （2）显然点在圆外，圆的切线经过点，圆心到直线的距离为2， 则直线是过点的圆的切线； 当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为， 由，解得，切线方程为，即， 所以圆的切线方程为或. 例题3．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知圆过点，且圆心在直线上， (1)求圆的方程: (2)过作圆的切线，求切线方程 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）根据给定条件，求出圆心的坐标及半径即可. （2）设出切线方程，借助点到直线距离公式计算即得. 【详解】（1）由圆过点，得点在线段的中垂线上，又点在直线上， 因此点，半径， 所以圆的方程方程为. （2）直线过点，而圆心到直线的距离为6，直线与圆相离， 因此过的圆的切线斜率存在，设方程为，即， 由，解得或，直线方程为或， 所以所求切线方程为或. 精练核心考点 1．（23-24高二上·广东·期末）已知圆，直线l过点． (1)若直线l的斜率为，求直线l被圆C所截得的弦长； (2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）由点斜式得方程并化简，直接由圆心到直线的距离结合弦长公式即可求解. （2）分直线斜率是否存在进行讨论，结合直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径列方程即可求解. 【详解】（1）由题意直线l的斜率为，过点，所以它的方程为，即， 圆的圆心坐标、半径分别为， 圆心到直线的距离为， 所以直线l被圆C所截得的弦长为. （2）若直线l的斜率不存在，此时它的方程为， 圆心到的距离为,即直线l与圆C相切，满足题意； 若直线l的斜率存在，此时设它的方程为， 若直线l与圆C相切，则圆心到的距离为， 解得，所以此时l的方程为，即； 综上所述，满足题意的l的方程为或. 2．（23-24高二上·安徽·期末）已知点，，动点M满足，记动点M的轨迹为曲线C． (1)求C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过点P作曲线C的两条切线，求这两条切线的方程． 【答案】(1)，C表示以为圆心，为半径的圆 (2)和 【分析】（1）设，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设切线方程为，根据点到直线的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】（1）解：设，由，可得，即， 整理得，即方程可化为， 所以曲线表示以为圆心，为半径的圆． （2）解：由题意，两切线的斜率均存在，设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，解得或， 所以两条切线方程为和． 3．（23-24高二上·辽宁大连·期末）已知圆C的圆心坐标为，与直线交于A，B两点，且． (1)求圆C的标准方程； (2)求过点的圆C的切线方程． 【答案】(1) (2)和． 【分析】（1）求出圆心C到直线的距离，然后利用勾股定理即得. （2）首先判断点P在圆外，然后讨论过点P的切线斜率存在时和过点P的直线斜率不存在两种情况，再利用圆心到直线的距离等于圆的半径可求. 【详解】（1）圆心C到直线的距离， 圆C的半径， 圆C的方程为． （2）点满足，所以点P在圆外． 当过点P的切线斜率存在时，设过点P的切线方程为， 即，由圆心到直线的距离等于圆的半径可得， 解得， 所以切线方程为； 当过点P的直线斜率不存在时，方程为， 易知直线与圆相切． 综上所述，过点P的切线方程为和． 题型六：重点考查切线长问题 典型例题 例题1．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可. 【详解】连接，则， 而的最小值为点C到直线l的距离， 所以. 故选：A. 例题2．（2024·辽宁·模拟预测）过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的切线的性质得出，结合勾股定理可得，即，然后设，将化为关于的一元二次方程，利用根的判别式大于等于0，求出的最大值，可得答案． 【详解】解：根据题意，圆的圆心为，半径. 若与圆相切于点，则，可得， 即，设，则， 可得，整理得， 关于的一元二次方程有实数解，所以，解得. 当，时，有最大值，即的最大值是. 故选：C. 例题3．（23-24高二上·江苏南京·期末）设是直线上的动点，过作圆的切线，则切线长的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意得当最小时，连线与直线垂直，由点到直线的距离公式和勾股定理可求得答案． 【详解】， 圆心，半径． 设切点为， 由题意可知，点到圆的切线长最小时，， 圆心到直线的距离， 切线长的最小值为：． 故答案为：． 精练核心考点 1．（2024·浙江绍兴·二模）过点作圆的切线，为切点，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，三角换元令，，，利用三角恒变换求出最大值. 【详解】根据题意，设圆的圆心为，则， ，令，，， 则，其中， 所以的最大值为. 故选：D. 2．（2024·湖北·模拟预测）已知点为直线上的一点，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分析可知，由勾股定理可得，当取小值时，，求出圆心到直线的距离，作为的最小值，结合勾股求解即可. 【详解】由题意可知，圆的圆心为，半径为， 由圆的几何性质可知，， 由勾股定理可得, 所以要使切线长取最小值，只需取最小值即可. 当直线与直线垂直时，取最小值， 则的最小值是. 故选：A. 3．（24-25高二·上海·课堂例题）若从点引圆的切线，则切线长是 ． 【答案】 【分析】由两点之间的距离公式可得，再根据勾股定理即可得解. 【详解】记圆，圆心为，半径， 则， 所以切线长为. 故答案为：3. 题型七：重点考查切点弦及其方程 典型例题 例题1．（2024·全国·模拟预测）过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，先利用两圆方程相减得到直线PQ的方程，再利用直线PQ过点求得t的值，进而得到直线PQ的方程. 【详解】圆C：的圆心为， 设，则以为直径的圆的方程为 与圆C的方程两式相减可得直线PQ的方程为 因为直线PQ过点，所以，解得． 所以直线PQ的方程为，即． 故选：C． 例题2．（2024·全国·模拟预测）已知点是直线上任意一点，过点作圆的两条切线，切点坐标分别为，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，，可得，当最小时，最小，数形结合可得当时最小，运算得解. 【详解】易知当最小时，不经过点， 此时①， ②， 由①②可得，即， 所以当最小时，最小， 又因为点是直线上任意一点， 所以当时，取得最小值，且， 所以. 故选：B．    例题3．（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）如图，过圆外一点向圆引切线.    (1)求过点P的圆的切线方程； (2)若切点为，，求过切点，的直线方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设出直线方程，利用直线和圆相切的性质可求切线方程； （2）求出切点坐标可得方程或者利用两圆的公共弦求出答案. 【详解】（1）设过点P的圆的切线方程为，的圆心为，半径为； 则，解得或， 故切线方程为或. （2）解法1：将切线方程与圆的方程联立成方程组，由可得， 由可得， 即和， 故过切点，的直线方程为，整理得. 解法2：因为O，，P，四点共圆， 所以，在以OP为直径的圆上，圆心为，半径为， 即方程为 与已知圆相减，得过切点，的直线方程为.    精练核心考点 1．（23-24高三下·海南·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，得到圆心为，半径为，从而得到，，再利用等面积法，即可求出结果. 【详解】因为，即，故圆心为，半径为， 又，所以，故切线长， 由，得到， 故选：C. 2．（23-24高二上·四川南充·阶段练习）已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据题意由四边形的面积与的面积关系，设可得，利用单调性即可求出的最小值为. 【详解】易知圆的圆心为，半径为，如图所示： 易知，设，则 由图可得，又， 可得，因为， 所以当时，的最小值为. 故答案为： 3．（23-24高二上·安徽·期中）过直线上任意点作圆的两条切线，切点分别为，直线过定点 ；记线段的中点为，则点到直线的距离的最小值为 . 【答案】 【分析】设，则可得以为直径的圆的方程为，结合点在直线上，也在圆上化简可得，从而可得直线的方程，进而可求得直线过的定点，设，则由可求出点的轨迹方程，从而可求出点到直线的距离的最小值. 【详解】设，因为是直线上一点， 所以，以为直径的圆的方程为， 即，所以，即直线的方程为， 又直线的方程为，故直线过定点. 设，直线过定点为，则， 由，得， 整理得点的轨迹方程为， 因为点到直线的距离， 所以直线与圆相离， 所以点到直线的距离的最小值为. 故答案为：， 题型八：重点考查已知切线求参数 典型例题 例题1．（23-24高二上·广东佛山·阶段练习）直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】曲线表示的是一个以原点为圆心，3为半径的左半圆，直线的斜率为1，作出图形，由图形确定直线与曲线有两个公共点时的条件. 【详解】方程，即，表示的是一个以原点为圆心，3为半径的左半圆， 直线的斜率为1，连接和，    要使直线与该半圆有两个交点，直线必在以上的半圆内平移，直到直线与半圆相切（不含相切），则可求出直线的两个临界位置对应的的值. 当直线与重合时，， 当直线与半圆相切时，圆心到的距离3，即， 解得或（舍去）. 所以的取值范围是）. 故选：D 例题2．（多选）（23-24高二上·山东德州·阶段练习）已知点是圆上一动点，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值是0 B．的最大值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AD 【分析】由可看成与原点间的连线的斜率，设，结合直线与圆有交点，求得 的值，可判定A正确，B不正确；由表示点到原点的距离，结合圆的性质，可判定C错误；设，结合直线与圆有公共点，列出不等式，求得的范围，可判定D正确. 【详解】由圆，可化为， 可得圆心坐标为，半径， 当时，可看成与原点间的连线的斜率， 设，即，所以直线与圆M有交点， 由，解得， 所以的最小值为，无最大值，所以A正确，B不正确； 由表示点到原点的距离， 又由，所以的最大值为， 即的最大值为，所以C错误； 设，可得， 当直线与圆有公共点时，则，解得， 所以的最小值为，所以D正确. 故选：AD. 例题3．（23-24高二上·广东广州·期中）已知圆与两条坐标都不相交，圆心在轴上，圆与直线及直线均相切． (1)求圆的方程． (2)若过点的直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程． (3)已知实数、满足圆的方程，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)或 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）由题意设出圆心坐标，根据相切的性质，求得半径并建立方程，解得圆心，可得答案； （2）利用分类讨论思想，分情况设出直线，利用弦长公式，建立方程，可得答案； （3）根据斜率的两点公式，将问题转化为求斜率的最值问题，利用相切的性质，可得答案. 【详解】（1）由圆的圆心在轴上，则可设， 由圆与直线，则圆的半径， 点到直线的距离， 由圆与直线，则，整理可得，解得或， 由圆与两坐标轴都相交，舍去，则，即， 圆的方程为. （2）设点到直线的距离为，根据圆的弦长公式可得， 当直线的斜率不存在时，可设，点到直线的距离为， 所以符合题意； 当直线的斜率存在时，可得，整理可得， 点到直线的距离为，令， 整理可得，解得，所以直线， 综上直线的方程为或. （3）由，则等价于点与连线的斜率， 可设直线方程为，整理可得， 点到直线的距离为， 令，解得，所以的最大值为，最小值为. 精练核心考点 1．（23-24高二上·安徽六安·阶段练习）已知点为圆上任意一点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由目标式的几何意义，求出直线与圆相切时直线的斜率，数形结合确定目标式的范围. 【详解】由题设，的几何意义是圆上点与原点所在直线的斜率，如下图示， 令直线，若直线与圆相切时，有， 所以，由图知：. 故选：A 2．（23-24高二下·河南南阳·期末）已知点在圆上运动，则的最小值是 . 【答案】 【分析】确定圆心和圆的半径，再根据的几何意义数形结合即可得到的最小值的情况进而求解即可. 【详解】由得， 故圆的圆心为，半径为1，当时，， 当时，， 如图可知，故此时的最小值是直线斜率的最大值的倒数， 令，即，则圆心到该直线的距离满足， 两边平方整理得，解得，故此时的最小值是， 又，故的最小值为. 故答案为：. 3．（23-24高二上·北京·期中）已知圆C：，直线m的倾斜角为且与圆C相切，则切线m的方程为 ． 【答案】或 【分析】根据已知条件，先设出直线m的方程，再结合点到直线的距离公式，即可求解． 【详解】由直线m的倾斜角为，设直线m的方程为，即， 而圆C：的圆心，半径， 由直线m与圆C相切，得，解得或， 所以切线m的方程为或. 故答案为：或. 题型九：重点考查圆的弦长及中点弦 典型例题 例题1．（24-25高三上·江西·开学考试）已知直线与圆交于两点，则线段的长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由圆的方程可得圆心坐标及半径的值，再由直线的方程可得直线恒过定点，代入弦长公式可得当最小时弦长最大，当最大时弦长最小，求出的最大最小值，进而求出弦长的最小最大值. 【详解】圆可得圆心，半径， 因为直线，恒过直线和的交点， 即，解得：，，即直线恒过定点， 因为，所以定点在圆内， 设圆心到直线的距离为，则弦长， 当时，弦长最大，这时过的最长弦长为圆的直径， 当最大时，这时， 所以弦长的最小值为， 所以弦长的范围为， 故选：B. 例题2．（2024·辽宁·模拟预测）已知圆关于直线对称，圆与轴交于两点，则 【答案】 【分析】先根据圆关于直线对称，得到直线经过圆心，求出圆心，再运用弦长公式求解即可. 【详解】圆0，即，圆心， 因为圆关于直线对称，所以，解得， 所以圆，圆心，半径，则圆心到轴的距离， 所以． 故答案为：. 例题3．（23-24高二上·福建莆田·期中）已知过点且斜率为k的直线l与圆C：相交于A，B两点. (1)求k的取值范围； (2)若为坐标原点，求 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线和曲线的位置关系根据一元二次方程的判别式求出的取值范围． （2）利用一元二次方程根和系数关系的应用和向量的数量积的应用求出，即可由圆的弦长公式求解． 【详解】（1）设过点且斜率为的直线的方程为：， 则：， 整理得：， 直线与圆交于，两点， ， 所以：， 解得：． （2）直线与圆交于,，,两点， ， 由于：， 则：，所以：， 故 解得：或． 由于，所以， 直线的方程为：， 圆心到直线的距离， 圆的半径为 所以． 例题4．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点，线段的中点为. (1)若点的坐标为，求； (2)若线段的垂直平分线经过点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求的直线方程，再求圆心到直线的距离，在根据勾股定理计算弦长； （2）先考虑直线的斜率不存在的情况，当直线的斜率存在时，计算出点坐标，再计算出的中垂线方程，把点代入中垂线方程即可求解. 【详解】（1）因为，，所以直线的方程为， 圆的方程可化为：，则圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离为，根据勾股定理可知：； （2）设的中点为， 当直线的斜率不存在时，由（1）可知，的坐标为， 则的中点的坐标为，，所以与不垂直，不合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立，得， 故，， 则 ， 所以的坐标为， 的中点的坐标为， 所以的中垂线方程为， 由于的中垂线经过点， 把代入的中垂线方程，得， 整理得：， 把代入联立后的一元二次方程得：， 此时，所以复合题意， 所以直线的方程为，即. 精练核心考点 1．（23-24高一下·重庆·期末）已知直线：与圆：交于，两点，则线段长度的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求得直线恒过的定点，找出弦长取得最值的状态，即可求出的取值范围. 【详解】圆C：可化为， 则圆心，半径为， 由可得， 联立，解得， 直线l：恒过定点， 点在圆C内， 的最大值为， 当直线时，取得最小值，此时， ， 故线段AB长度的取值范围是. 故选：A. 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）过点的直线l与圆C：相交于A、B两点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用垂径定理很快就可以找到最小弦长的直线，再利用勾股定理进行求解即可. 【详解】因为圆C：，圆心，半径 所以当过点的直线l垂直于时，弦长取最小值， 即. 故答案为：. 3．（24-25高二上·上海·期中）若圆与直线相交于A、B两点，则弦的长为 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得圆心坐标和半径，结合圆的弦长公式，即可求解. 【详解】由圆，可化为，可得圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长. 故答案为：. 4．（23-24高二上·安徽芜湖·期中）在平面直角坐标系中，动点到的距离是它到的距离的倍． (1)求点M的轨迹方程C； (2)若在C内有一点，则是否存在弦PQ被点G平分？若存在，求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，． 【分析】（1）根据题意，设，由两点间距离公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由圆的弦长公式，代入计算，即可求得，当G，C，M三点共线，且C在GM中间位置时，面积最大，结合三角形的面积公式代入计算，即可求解. 【详解】（1）设，，，， ，轨迹C是以为圆心，为半径的圆． （2）对于，满足，故在圆C内， 当时，存在弦PQ被点G平分； ，， 则， 当G，C，M三点共线，且C在GM中间位置时，面积最大， 面积最大为． 题型十：重点考查根据圆的弦长求方程或参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·四川达州·期中）已知直线与圆交于两点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用弦长公式得圆心到直线的距离为1，再利用点到直线的距离公式得到方程，解出即可. 【详解】圆的圆心， 所以圆心到直线的距离为，则， 而，所以，解得：. 故选：A. 例题2．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知圆：，. (1)过点作圆的切线，求直线的方程 (2)过点作直线与圆相交，所得弦长不小于，求直线的斜率的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用直线与圆相切的条件构造方程求解即可； （2）运用垂径定理和勾股定理，结合点到直线距离求解即可. 【详解】（1）点在圆上，设直线方程为， 因为相切，所以，解得， 所以直线的方程为. （2）由（1）的，设直线与圆交于，两点， 所以，即，即，即， 即，即，两边平方得到， 即，解得或者. 则求直线的斜率的取值范围为或者. 例题3．（23-24高二上·青海西宁·期中）已知以点为圆心的圆与______，过点的动直线l与圆A相交于M，N两点．从①直线相切；②圆关于直线对称．这2个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题． (1)求圆A的方程； (2)当时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）选①：根据圆的切线性质进行求解即可；选②：根据圆与圆的对称性进行求解即可； （2）利用圆的垂径定理，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】（1）选①：因为圆A与直线相切， 所以圆A的半径为， 因此圆A的方程为； 选②：因为圆A与圆关于直线对称， 所以两个圆的半径相等，因此圆A的半径为， 所以圆A的方程为. （2）两种选择圆A的方程都是， 当过点的动直线l不存在斜率时，直线方程为， 把代入中，得， 显然，符合题意， 当过点的动直线l存在斜率时，设为， 直线方程为， 圆心到该直线的距离为：， 因为，所以有， 即方程为： 综上所述：直线l的方程为或. 精练核心考点 1．（23-24高二下·安徽六安·期末）“”是“直线被圆截得的弦长为”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．即不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先证明直线被圆截得的弦长为当且仅当或，然后根据充分条件和必要条件的定义即可判断. 【详解】要使直线被圆截得的弦长为， 当且仅当圆心到直线的距离. 此即，即，即或，即或. 显然，“”是“或”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2024·全国·模拟预测）已知圆截直线所得的弦长为，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，得圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理列式求解. 【详解】由题知圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为，故， 得． 故答案为：. 3．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知圆关于直线对称，且过点． (1)求证：圆与直线相切； (2)若直线过点与圆交于两点，且，求此时直线的方程． 【答案】(1)证明见解析 (2)或． 【分析】（1）根据圆心在直线以及点在圆上，即可求解，，进而根据点到直线的距离公式求解圆心到直线的距离，与半径比较即可求解， （2）利用圆的弦长公式可得，结合圆心到直线的距离即可求解斜率，进而可得直线方程. 【详解】（1）圆化为标准方程，即， 则因为圆关于直线对称，所以，所以， 因为圆C过点，所以，所以， 得，所以圆方程为， 圆心坐标为，半径为， 故点C到直线的距离为， 所以C与直线相切， （2）设直线方程为，即， 设圆心到直线l的距离为， 所以， 得，所以， 所以直线l的方程为或． 即或． 题型十一：重点考查直线与圆的实际应用 典型例题 例题1．（23-24高二上·江苏扬州·开学考试）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，写出轮船沿直线返港时直线的方程及暗礁分布的圆形区域的边界的方程，由轮船沿直线返港不会有触礁危险可得直线与相离，进而可求得结果. 【详解】以小岛中心为原点O，东西方向为x轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系，则设轮船所在位置为点B，港口所在位置为点A，如图所示，    则，（），暗礁分布的圆形区域的边界的方程为， 所以轮船沿直线返港时直线的方程为，即， 又因为轮船沿直线返港不会有触礁危险， 所以直线与相离， 即圆心O到直线的距离（），解得. 故选：A. 例题2．（22-23高二上·浙江宁波·期末）如图1，某圆拱形桥一孔圆拱的平面示意图，已知圆拱跨度，拱高，建造时每间隔需要用一根支柱支撑，则支柱的高度等于 m（精确到）．若建立如图2所示的平面直角坐标系，则圆拱所在圆的标准方程是 ． （可用参考数据：．） 【答案】 3.32 【分析】设拱形所在圆的圆心为H，半径为r，由题意圆心H在y轴上，由可求得，圆心，可得圆的方程；由题意设，代入圆的方程可求支柱的高度． 【详解】设拱形所在圆的圆心为H，半径为r，由题意圆心H在y轴上，如图， 则， 则圆的标准方程为：． 由题意设，代入圆的方程得， 解得，即，则. 故答案为：3.32；. 例题3．（23-24高二上·湖北武汉·期末）为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．    (1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程； (2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），有，化简并整理即可求解. （2）直线截距式方程为，结合点到直线的距离公式列出不等式求解即可. 【详解】（1）根据已知条件设且，， 由，有， ， ， ， 整理有，它是以为圆心，8为半径的圆． 所以曲线的方程为：． （2）   ，过的直线不过坐标原点且不与坐标轴垂直， 所以直线截距式方程为， 化为一般式方程为， 根据题意，且，解得， 所以综上可知的取值范围为． 精练核心考点 1．（多选）（23-24高二上·河北·阶段练习）某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（    ）    A．观测点之间的距离是 B．圆的方程为 C．小汽车行驶路线所在直线的方程为 D．小汽车会进入安全预警区 【答案】BD 【分析】根据两点距离公式计算判断A，设圆C的方程，将三点的坐标代入求解判断B，代入点斜式直线方程计算判断C，利用直线与圆的位置关系判断D. 【详解】由题意，得，所以， 即观测点之间的距离是，故A错误； 设圆的方程为，因为圆经过三点， 所以，解得， 所以圆的方程为，故B正确； 小汽车行驶路线所在直线的斜率为，又点的坐标是， 所以小汽车行驶路线所在直线的方程为，故C错误； 圆化成标准方程为，圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线与圆相交，即小汽车会进入安全预警区，故D正确. 故选：BD. 2．（16-17高二上·江苏宿迁·期中）河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面9m，拱圈内水面宽22m．一条船在水面以上部分高6.5m，船顶部宽4m，可以通行无阻．近日水位暴涨了2.7m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞．试问：船身应该降低多少？（精确到0.1m,参考数据）    【答案】0.4m 【分析】建立坐标系，确定圆的方程，再令，即可求得通过桥洞，船身至少应该降低多少． 【详解】以正常水位时河道中央为原点，过点垂直于水面的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示， 如图所示，则，，三点的坐标分别为，，，   又圆心在轴上，故可设， 因为，所以，解得，则 所以圆拱桥所在圆的方程为， 当时，， ，因为水位暴涨了， 所以船身要降低，才能顺利地通过桥洞． 3．（23-24高二上·广东潮州·期中）某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（参考数据2.45，结果精确到0.1m）． 【答案】5.4m 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点的横坐标即可求出支柱的长. 【详解】 以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为．                       设圆拱所在的圆的方程是． 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得．                             故圆拱所在的圆的方程是．                          将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为5.4m． 题型十二：重点考查直线与圆中的定点，定值问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·陕西榆林·阶段练习）已知直线l过点，圆C：（C为圆心）． (1)若直线l与圆C相切，求直线l的方程． (2)若直线l与圆C交于M，N两点，P为线段MN的中点，直线l与直线的交点为Q，判断是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)或． (2)为定值2． 【分析】（1）考虑直线斜率不存在和存在两种情况，设出直线方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，求出直线方程； （2）设直线l的方程为，与直线联立求出点坐标，根据垂径定理得到直线CP与直线l垂直，表达出直线CP的方程，与直线l联立得到点坐标，计算出. 【详解】（1）若直线l的斜率不存在，即直l的方程为，符合题意； 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以，解得． 故直线l的方程为或． （2）因为直线l与圆C相交，所以直线l的斜率存在， 设直线l的方程为． 联立，解得，即． 因为P为线段MN的中点，所以直线CP与直线l垂直， 故直线CP方程为， 联立，解得，即． 则 ． 故为定值2． 例题2．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，已知的方程为，点，过点A作的切线AP，P为切点. (1)求AP的长； (2)在x轴上是否存在点B（异于A点），满足对上任一点C，都有为定值？若存在，求B点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)4； (2)存在点B，为定值. 【分析】（1）利用勾股定理求出切线长. （2）设出点、点坐标，根据题意列出等式化简，转化为恒成立问题求解即可. 【详解】（1）依题意，，且，而， 所以. （2）设，则， 假设存在这样的点，使得为常数，且，则， 即，将代入消去, 得对恒成立， ，而，解得， 所以存在点B ，使得对于上任一点，都有为定值. 例题3．（2024高三·全国·专题练习）如图所示，已知圆与轴交于、两点，过点的直线与圆交于、两点，探究直线、交点是否在定直线上．若是，请求出该直线；若不是，请说明理由． 【答案】是，在定直线上． 【分析】根据题意设出，，，，构造出构曲线系方程，对比系数得出，再联立、直线方程即可得到定直线. 【详解】设，，，， 构造曲线系方程， 由于曲线系方程也可表示圆的方程，故上式应可化简为， 对比得的系数为；的系数为； 由此两式解得 故将、直线方程进行联立可得， 解得， 故在定直线上． 精练核心考点 1．（23-24高二上·广东广州·期末）已知圆心在直线上，并且经过点，与直线相切的圆. (1)求圆的标准方程； (2)对于圆上的任意一点，是否存在定点（不同于原点）使得恒为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用点在圆上以及相切，根据点到直线的距离公式以及点点距离公式，求出圆的半径和圆心，即可求圆的标准方程； （2）设，定点，不同时为，根据为常数），可得，进而整理可得，即可得的坐标． 【详解】（1）圆心在直线，故设圆心为，半径为， 则，解得， 所以圆的方程为 （2）设，且，即， 设定点，,不同时为，为常数）． 则, 两边平方，整理得 代入后得恒成立 化简得 所以，解得或(舍去） 即． 【点睛】方法点睛：解析几何中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 2．（23-24高三上·江西吉安·期中）已知圆，点P为直线上的动点． (1)若从P到圆O的切线长为，求P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长； (2)若点，直线与圆O的另一个交点分别为，求证：直线经过定点． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）设出P点的坐标，根据切线长与几何关系即可求出P点的坐标以及两条切线所夹劣弧长. （2）根据题意求出坐标，证明直线与点三点共线即可. 【详解】（1） 根据题意，设， 设两切点为，则，， 由题意可知，即， 解得，所以点P坐标为． 在中，易得， 所以， 所以两条切线所夹劣弧长为. （2） 设， 依题意，直线经过点， 可以设， 和圆联立，得到， 代入消元得到，， 因为直线经过点，所以是方程的两个根， 所以有， 代入直线方程得，． 同理，设，联立方程有， 代入消元得到， 因为直线经过点，所以是方程的两个根， ， 代入得到． 若，则，此时， 显然三点在直线上，即直线经过定点， 若则， 所以有， 所以，所以三点共线， 即直线经过定点． 综上所述，直线经过定点． 3．（23-24高一下·云南昆明·期末）已知直线与圆相交于A，B两点 (1)若，求k (2)在x轴上是否存在点M，使得当k变化时，总有直线MA，MB的斜率之和为0，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由垂径定理列式求得； （2）设，联立直线方程与圆的方程，利用根与系数的关系结合斜率的和为0列式求得值，则点的坐标可求. 【详解】（1）由圆，得，圆心坐标为，半径为2， 到的距离为， 由点到直线的距离公式可得:，解得； （2）设， 联立，得， ， ， 设存在点满足题意，即， ， ， 即，解得. 存在点符合题意. 学科网（北京）股份有限公司 $$