第01讲 2.1圆的方程（12大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第01讲 2.1圆的方程 目录 题型一：重点考查由圆心（半径）求圆的方程 1 题型二：重点考查根据三点求圆的方程 2 题型三：重点考查二元二次方程表示的曲线与圆的关系 3 题型四：重点考查求圆的一般方程 4 题型五：重点考查圆过定点问题 5 题型六：重点考查圆的对称性的应用 6 题型七：重点考查定点到圆上的最值（范围）问题 7 题型八：重点考查圆上的点到定直线上的最值（范围）问题 8 题型九：重点考查过圆内定点的弦长的最值（范围）问题 9 题型十：重点考查圆的弧长，面积，圆心角的计算问题 10 题型一：重点考查由圆心（半径）求圆的方程 典型例题 例题1．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（     ）． A． B． C． D． 例题3．（24-25高二上·全国·假期作业）写出下列圆的标准方程： (1)圆心为，半径是； (2)圆心为，且经过点. 精练核心考点 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·四川德阳·期末）过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海·随堂练习）某圆的圆心为），且过点，则圆的标准方程是 ． 题型二：重点考查根据三点求圆的方程 典型例题 例题1．（多选）（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知三个顶点的坐标分别是，则外接圆的方程是 . 例题3．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）过三点的圆的方程为 ． 精练核心考点 1．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·广东佛山·二模）在平面直角坐标系中，已知，，，则的外接圆的标准方程为 ． 题型三：重点考查二元二次方程表示的曲线与圆的关系 典型例题 例题1．（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例题2．（2024高三·全国·专题练习）若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圆，则实数t的取值范围是（    ） A．{t|－1＜t＜} B．{t|－＜t＜1} C．{t|－1＜t＜} D．{t|1＜t＜2} 例题3．（23-24高二上·江西吉安·期末）若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围是 ． 精练核心考点 1．（23-24高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 题型四：重点考查求圆的一般方程 典型例题 例题1．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 例题2．（23-24高二上·全国·课后作业）过直线和圆的交点且过原点的圆的方程是 ． 例题3．（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为 . 精练核心考点 1．（22-23高三上·天津南开·阶段练习）在平面直角坐标系中，经过直线与两坐标轴的交点及点的圆的方程为 ． 2．（23-24高二·全国·课后作业）已知圆C经过两点，，且圆心在直线上，则圆C的一般方程为 . 3．（23-24高二·全国·课后作业）已知圆C经过两点，，且圆心在直线上，则圆C的一般方程为 ；若直线l的方程（），圆心C到直线l的距离是1，则m的值是 ． 题型五：重点考查圆过定点问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高三上·上海徐汇·期末）已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为 （其坐标与无关） 例题3．（23-24高一·全国·课后作业）已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上. （1）求半径最小时的圆的方程； （2）求证：动圆恒过一个异于点的定点. 精练核心考点 1．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 3．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 题型六：重点考查圆的对称性的应用 典型例题 例题1．（2024·宁夏银川·三模）如图，设，是圆上的两个动点，且M、P点都不在坐标轴上，点M关于原点的对称点为，点M关于x轴的对称点为，若直线，与y轴分别相交于和则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 例题2．（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 例题3．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)点P在圆C上运动，求的取值范围． 精练核心考点 1．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 2．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知圆C:关于直线对称，求圆心C坐标为 ． 3．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）圆 关于直线对称的圆的方程为 . 题型七：重点考查定点到圆上的最值（范围）问题 典型例题 例题1．（2024·陕西铜川·三模）已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 例题2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）光线从点射到轴上，经轴反射后经过圆上的点，则该光线从点A到点的路线长的最小值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 例题3．（24-25高二上·上海·课后作业）若点是圆上任意一点，则的最大值是 ． 精练核心考点 1．（2024高三下·浙江杭州·专题练习）已知点A为曲线上的动点，B为圆上的动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 2．（23-24高二下·广西桂林·开学考试）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（    ） A．4 B．8 C．32 D．64 3．（23-24高二上·吉林·阶段练习）.已知是圆上的一点，则的最小值是 题型八：重点考查圆上的点到定直线上的最值（范围）问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知两点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 例题2．（23-24高一下·浙江宁波·期末）实数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．7 C． D． 例题3．（23-24高二上·青海海东·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是 . 精练核心考点 1．（2024·辽宁·模拟预测）已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知M，N是圆C：上的两个点，且，P为的中点，Q为直线：上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·北京平谷·模拟预测）设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 题型九：重点考查过圆内定点的弦长的最值（范围）问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·北京大兴·期末）过点且被圆截得的弦长最大的直线方程为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）过点的直线l被圆C：截得的弦长最短，则直线l的斜率是（    ） A．1 B．2 C． D． 例题3．（23-24高二上·广东广州·期中）圆C与直线相切于点，且经过点. (1)求圆C的方程； (2)已知直线， ①证明：直线与圆C相交； ②求直线被圆C截得的弦长最短时的方程. 精练核心考点 1．（23-24高二上·山东·期中）已知圆，直线过点，则直线被圆所截得的弦长的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 2．（23-24高二上·天津·期中）直线l过点且被圆C：截得的弦长最短，则直线l的方程为 . 3．（2024·江西景德镇·模拟预测）已知圆：，直线：，若当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为 . 题型十：重点考查圆的弧长，面积，圆心角的计算问题 典型例题 例题1．（23-24高二·全国·课后作业）的图象和圆在轴上方所围成的图形的面积是（　　） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·河南·阶段练习）圆的面积为 ． 精练核心考点 1．（23-24高二上·江苏泰州·期中）若圆的方程为，则圆的最小周长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）如果圆的方程为，那么当圆面积最大时，该圆的方程为 ，最大面积为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 2.1圆的方程 目录 题型一：重点考查由圆心（半径）求圆的方程 1 题型二：重点考查根据三点求圆的方程 3 题型三：重点考查二元二次方程表示的曲线与圆的关系 6 题型四：重点考查求圆的一般方程 9 题型五：重点考查圆过定点问题 12 题型六：重点考查圆的对称性的应用 15 题型七：重点考查定点到圆上的最值（范围）问题 18 题型八：重点考查圆上的点到定直线上的最值（范围）问题 21 题型九：重点考查过圆内定点的弦长的最值（范围）问题 24 题型十：重点考查圆的弧长，面积，圆心角的计算问题 27 题型一：重点考查由圆心（半径）求圆的方程 典型例题 例题1．（23-24高二上·江西赣州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用中点坐标公式及圆心与直径的位置关系即可求解. 【详解】， 线段的中点为， 以线段为直径的圆的圆心坐标为， 故选：D． 例题2．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）圆心在轴上，半径为，且过点的圆的方程为（     ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆心为，则圆的方程为，再根据圆过点，求出的值，即可得解. 【详解】依题意设圆心为，则圆的方程为， 又，解得，所以圆的方程为. 故选：D 例题3．（24-25高二上·全国·假期作业）写出下列圆的标准方程： (1)圆心为，半径是； (2)圆心为，且经过点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆心和半径，直接写出圆的标准方程； （2）先求出圆的半径，可得圆的标准方程． 【详解】（1）圆心在，半径长是， 故圆的标准方程为． （2）圆心在，且经过点， 故半径为， 故圆的标准方程为． 精练核心考点 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程得解. 【详解】因为圆心为，半径为5， 所以圆的标准方程为， 故选：C 2．（23-24高三下·四川德阳·期末）过圆外一点，以为直径的圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知求出所求圆的圆心和半径，即可求得答案. 【详解】由圆可知，， 故以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 故选：D 3．（24-25高二下·上海·随堂练习）某圆的圆心为），且过点，则圆的标准方程是 ． 【答案】 【分析】根据题意求出圆的半径，即可得解. 【详解】由题意半径， 所以圆的标准方程为． 故答案为：. 题型二：重点考查根据三点求圆的方程 典型例题 例题1．（多选）（23-24高二上·新疆巴音郭楞·期末）过四点中的三点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】分四种情况讨论，利用待定系数法求出圆的方程即可. 【详解】设圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为， 当圆过三点时， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：ABC. 【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法： （1）几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理． 如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上； ②圆心在任意弦的中垂线上； ③两圆相切时，切点与两圆心三点共线； （2）待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式． 例题2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知三个顶点的坐标分别是，则外接圆的方程是 . 【答案】（或） 【分析】解法一：待定系数法，设出圆的一般形式，将点的坐标代入，解方程组即可求解； 解法二：几何法，根据得的外接圆是以线段为直径的圆.然后确定圆心和半径，即可求解. 【详解】解法一：设的外接圆方程为，其中. 由题意得解得满足， 所以外接圆的方程为. 解法二：依题意，直线的斜率，直线的斜率， 则，即.因此的外接圆是以线段为直径的圆. 线段的中点为，半径， 所以外接圆的方程是. 故答案为：（或） 例题3．（23-24高二下·湖南邵阳·期中）过三点的圆的方程为 ． 【答案】(或者写成) 【分析】待定系数法求出圆的方程. 【详解】设圆的方程为， 将代入得， ，解得， 故圆的方程为. 故答案为： 精练核心考点 1．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直角梯形，且，，，，则过其中三点的圆的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接将点的坐标代入检验即可逐一判断各个选项. 【详解】对于A，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故A不符合题意； 对于B，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故B不符合题意； 对于C，，，的坐标都满足圆的方程， 的坐标不满足圆的方程， 即圆过四个点中的三个点，故C符合题意； 对于D，，的坐标都不满足圆的方程， 即圆不可能过四个点中的三个点，故D不符合题意. 故选：C. 2．（2024·广东佛山·二模）在平面直角坐标系中，已知，，，则的外接圆的标准方程为 ． 【答案】； 【分析】利用待定系数法，结合配方法即可得解. 【详解】依题意，设的外接圆的一般方程为， 则，解得， 所以所求圆的一般方程为， 则其标准方程为. 故答案为：. 题型三：重点考查二元二次方程表示的曲线与圆的关系 典型例题 例题1．（23-24高二上·福建厦门·期中）若，则方程表示的圆的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程表示圆的条件求出参数的取值范围，即可判断. 【详解】若方程表示圆， 则， 解得， 又，所以或， 即程表示的圆的个数为. 故选：B 例题2．（2024高三·全国·专题练习）若方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示圆，则实数t的取值范围是（    ） A．{t|－1＜t＜} B．{t|－＜t＜1} C．{t|－1＜t＜} D．{t|1＜t＜2} 【答案】B 【详解】 由D2＋E2－4F＞0，得7t2－6t－1＜0，解得－＜t＜1. 例题3．（23-24高二上·江西吉安·期末）若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据圆的一般方程中得到不等式，求出答案. 【详解】∵二元二次方程表示圆， ∴，故，解得． 故答案为： 精练核心考点 1．（23-24高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二元二次方程表示圆的充要条件，列出不等式求解即得. 【详解】依题意，，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B 2．（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示圆的条件可得结果. 【详解】因为方程表示一个圆， 所以， 即，所以或， 故选：C. 3．（多选）（23-24高二上·陕西宝鸡·期中）若方程表示的曲线为圆，则实数的值可以为（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】AD 【分析】先将方程合理转化，后结合二元二次方程表示圆的条件求解即可. 【详解】方程，即， 若方程表示圆，则，解得或， 结合选项可知AD正确，BC错误. 故选：AD 题型四：重点考查求圆的一般方程 典型例题 例题1．（23-24高二下·湖南长沙·阶段练习）过圆和的交点，且圆心在直线上的圆的方程为（   ） A． B．． C． D． 【答案】A 【分析】设所求圆的方程为，求出圆心坐标代入直线，求得，即可求得答案. 【详解】由题意设所求圆的方程为， 即， 圆心坐标为，代入中， 即，解得， 将代入中，即， 满足， 故所求圆的方程为， 故选：A 例题2．（23-24高二上·全国·课后作业）过直线和圆的交点且过原点的圆的方程是 ． 【答案】 【分析】 先将所求圆的方程设为，再根据所求圆过原点，将代入方程解出，即可得到圆的方程. 【详解】设所求圆的方程为， 因为过直线和圆的交点的圆过原点， 所以可得，解得， 将代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：． 故答案为：. 例题3．（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为 . 【答案】 【分析】方法一：设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程组，求出答案； 方法二：求出线段AB的垂直平分线方程，联立求出圆心坐标，进而计算出半径，写出圆的标准方程，化为一般方程. 【详解】方法一：设所求圆的标准方程为， 由题意得:， 解得： 故所求圆的方程为， 即. 方法二：线段的中点坐标为，即， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 由几何性质可知：线段的垂直平分线与的交点为圆心， 联立， 得交点坐标， 又点到点的距离，即半径为， 所以圆的方程为， 即. 故答案为： 精练核心考点 1．（22-23高三上·天津南开·阶段练习）在平面直角坐标系中，经过直线与两坐标轴的交点及点的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线的方程求出直线与坐标轴的交点，利用待定系数法及点在圆上即可求解. 【详解】令，得，解得， 所以直线与轴的交点为, 令，得，解得， 所以直线与轴的交点为, 设圆的方程为,则 因为，，三点都在圆上， 所以,解得 故所求圆的方程为 故答案为：. 2．（23-24高二·全国·课后作业）已知圆C经过两点，，且圆心在直线上，则圆C的一般方程为 . 【答案】 【分析】将点的坐标代入到圆的方程中，即可求出圆的方程. 【详解】设圆C的一般方程为， 由题意可得，解得， 即圆C的一般方程为. 3．（23-24高二·全国·课后作业）已知圆C经过两点，，且圆心在直线上，则圆C的一般方程为 ；若直线l的方程（），圆心C到直线l的距离是1，则m的值是 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合待定系数法与以及点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】设圆C的方程为， 由条件，得，解得， 因此圆的一般方程为， 故圆心，因此圆心到直线l的距离，解得． 故答案为：；. 题型五：重点考查圆过定点问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 例题2．（23-24高三上·上海徐汇·期末）已知二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为，则圆经过定点的坐标为 （其坐标与无关） 【答案】和 【分析】设出的图象与坐标轴的三个交点坐标，再设出圆的一般方程，把三点坐标代入圆方程，求出系数，得圆的方程（含有），分析此方程可得圆所过定点． 【详解】二次函数的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为，易知，满足，，，，设圆方程为，则 ， ①－②得，，∴，从而， 代入③得， ∴圆方程为， 整理得， 由得或． ∴圆过定点和． 【点睛】本题考查圆的一般方程，考查韦达定理，圆过定点问题，想办法求出含有参数的圆的方程，然后按参数整理后得，只要让此关于的多项式中各项系数（包括常数项）均为0，就可解得定点． 例题3．（23-24高一·全国·课后作业）已知动圆经过坐标原点，且圆心在直线上. （1）求半径最小时的圆的方程； （2）求证：动圆恒过一个异于点的定点. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）设出圆心坐标，表示出半径，利用二次函数的性质可得半径的最小值，进而可得此时圆的方程； （2）设定点坐标，，表示出圆的方程，当为变量时，，能使该等式恒成立，即且，解方程组可得定点坐标． 【详解】（1）因为圆心在直线上， 所以设圆心的坐标为. 又因为动圆经过坐标原点， 所以动圆的半径，所以半径的最小值为. 并且此时圆的方程为：. （2）设定点坐标，，因为圆的方程为： 所以， 即， 因为当为变量时，，却能使该等式恒成立， 所以只可能且 即解方程组可得：，或者，（舍去） 所以圆恒过一定点，. 精练核心考点 1．（23-24高二上·河北沧州·期末）已知点为直线上任意一点，为坐标原点．则以为直径的圆除过定点外还过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设垂直于直线，可知圆恒过垂足；两条直线方程联立可求得点坐标. 【详解】设垂直于直线，垂足为，则直线方程为：， 由圆的性质可知：以为直径的圆恒过点， 由得：，以为直径的圆恒过定点. 故选：D. 2．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【答案】（0，－2）和（0，1） 【详解】 解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 3．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得. 【详解】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 题型六：重点考查圆的对称性的应用 典型例题 例题1．（2024·宁夏银川·三模）如图，设，是圆上的两个动点，且M、P点都不在坐标轴上，点M关于原点的对称点为，点M关于x轴的对称点为，若直线，与y轴分别相交于和则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】求出的方程得出，求出的方程得出，再利用、点在圆上可得. 【详解】依题意，，，显然，， 的方程为，令，得， 的方程为，令，得， 所以． 故选：D 例题2．（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据圆上的任意两点关于直径对称即可求解. 【详解】若曲线上相异两点P、Q关于直线对称， 则圆心在直线上，故代入解得， 故选：D． 例题3．（23-24高二上·山东济南·期末）已知圆心为C的圆经过，两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)点P在圆C上运动，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆的对称性先确定圆心，再求半径即可； （2）设P坐标，利用两点距离公式及点在圆上消元转化为函数求值域求范围即可. 【详解】（1）圆经过，两点，得圆心在的中垂线上， 又圆心C在直线上，联立直线方程有，得， 即圆心坐标为， 又， 故圆C的标准方程为． （2）设，易知， 则（*）， 因为点P在圆C上运动，则， 故（*）式可化简为，， 由得的取值范围为． 精练核心考点 1．（23-24高二上·北京丰台·期中）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根据圆的对称性得出圆心在直线上，求出圆心坐标代入直线方程计算并检验即可. 【详解】由题意可知，， 且圆心在直线上，代入直线方程得（舍去） 或. 故选：C 2．（23-24高二上·重庆黔江·阶段练习）已知圆C:关于直线对称，求圆心C坐标为 ． 【答案】 【分析】求出的范围，由直线过圆心可得答案. 【详解】由已知得，解得或， 圆C:，圆心为， 若圆C关于直线对称，则， 解得，所以圆心坐标为 故答案为：. 3．（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）圆 关于直线对称的圆的方程为 . 【答案】 【分析】先求出圆心的对称点，然后求解对称圆的方程即可. 【详解】圆的圆心为， 则关于对称的点设为：，故. 与的中点为：， 中点在直线上，所以. 解得：，所以对称圆的圆心为：. 所以圆 关于直线对称的圆的方程为： . 故答案为：. 题型七：重点考查定点到圆上的最值（范围）问题 典型例题 例题1．（2024·陕西铜川·三模）已知圆经过点，则其圆心到原点的距离的最大值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】由题意及圆的定义得圆心所在的轨迹方程，然后利用点与圆的位置关系求解最大值即可. 【详解】由圆经过点，可得， 即，故圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又，所以圆心到原点的距离的最大值为. 故选：C 例题2．（2024·辽宁葫芦岛·一模）光线从点射到轴上，经轴反射后经过圆上的点，则该光线从点A到点的路线长的最小值是（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】A 【分析】求出点关于x轴的对称点，则最短路径的长为减去圆的半径，计算求得结果 【详解】由题意可得圆心，半径点关于x轴的对称点， 所以， 该光线从点A到点的路线长的最小值为， 故选：A 例题3．（24-25高二上·上海·课后作业）若点是圆上任意一点，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】将圆化为标准方程，根据目标式的几何意义求解． 【详解】解：圆化为标准方程为：， 记圆心为，半径为， 令， 则， 得为点到原点的距离，其最大值为：， 则的最大值为：， 故答案为： 精练核心考点 1．（2024高三下·浙江杭州·专题练习）已知点A为曲线上的动点，B为圆上的动点，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】数形结合分析可得，当时能够取得的最小值，根据点到圆心的距离减去半径求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 由对勾函数的性质,可知，当且仅当时取等号， 结合图象可知当A点运动到时能使点A到圆心的距离最小，最小值为4， 从而的最小值为. 故选：A 2．（23-24高二下·广西桂林·开学考试）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（    ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】D 【分析】首先根据已知条件得到直线恒过定点，直线恒过定点，且，根据交点得到点在以为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值. 【详解】由题知：直线恒过定点. 直线化简为：，当时，，直线恒过点. 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则. 当时，，，，则. 综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且. 因为直线与直线交于点， 所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为， 且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径， 因为表示圆上的点到原点距离的平方，设， 则，所以的最大值为64. 故选：D. 3．（23-24高二上·吉林·阶段练习）.已知是圆上的一点，则的最小值是 【答案】 【分析】即求圆上动点到点的距离的最小值，求出点到圆心的距离即可得出. 【详解】表示圆上的动点到点的距离， 由可化为，则圆心为，半径为， 点到圆心的距离为， 所以点到点的距离的最小值为， 即的最小值是. 故答案为：. 题型八：重点考查圆上的点到定直线上的最值（范围）问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知两点，，点P是圆上任意一点，则面积的最小值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】求出直线的方程，利用点到直线的距离，结合圆的性质求出点到直线距离的最小值即可求得最小值. 【详解】两点，，则，直线方程为， 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 因此点到直线距离的最小值为， 所以面积的最小值是. 故选：D 例题2．（23-24高一下·浙江宁波·期末）实数满足，则的最小值为（    ） A．3 B．7 C． D． 【答案】A 【分析】化简可得，表示为圆上点到直线距离的倍，运用几何法求解即可. 【详解】化简可得，即在圆上， 则表示为圆上点到直线距离的倍， 圆心到直线距离为， 则的最小值为. 故选：A 例题3．（23-24高二上·青海海东·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式计算即得. 【详解】设点，由，得，整理得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 点到直线：的距离为， 所以点到直线最大距离为. 故答案为： 精练核心考点 1．（2024·辽宁·模拟预测）已知点在圆上，点在直线上，点为中点，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂径定理可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 设圆心为，半径为，则，， 所以由垂径定理可得，故点在以为圆心，为半径的圆上， 因为点到直线的距离， 所以的最小值为， 故选：A 2．（2024·河北邯郸·模拟预测）已知M，N是圆C：上的两个点，且，P为的中点，Q为直线：上的一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据弦长得出点P的轨迹，利用直线与圆的位置关系即可解决. 【详解】圆C的标准方程：，圆心C，半径为2， 由，可得， 所以点P在以C为圆心，为半径的圆上， 又点C到直线：的距离， 所以的最小值为. 故选：B. 3．（2024·北京平谷·模拟预测）设点，动直线l：，作于点M，则点M到坐标原点O距离的最小值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线的垂直关系可得点M的轨迹是以为圆心，半径的圆，即可得. 【详解】由以及可得直线的方程为， 联立，消去整理可得； 所以可知点M的轨迹是以为圆心，半径的圆； 因此. 故选：C 题型九：重点考查过圆内定点的弦长的最值（范围）问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·北京大兴·期末）过点且被圆截得的弦长最大的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的性质可知所求直线即为过圆心的直线，结合直线的截距式方程求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心为， 显然圆的最大弦长为直径，所求直线即为过圆心的直线， 可得直线方程为，即. 故选：B. 例题2．（23-24高二上·云南昆明·阶段练习）过点的直线l被圆C：截得的弦长最短，则直线l的斜率是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的性质及弦长公式计算即可. 【详解】由圆，可得圆心坐标为， 根据圆的性质可知：当时，此时弦长最短， 因为，所以直线l的斜率为. 故选:D． 例题3．（23-24高二上·广东广州·期中）圆C与直线相切于点，且经过点. (1)求圆C的方程； (2)已知直线， ①证明：直线与圆C相交； ②求直线被圆C截得的弦长最短时的方程. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据切线性质可知：圆心C在直线上，结合圆的定义求圆心和半径，即可得方程； （2）①根据直线的方程可知：直线过定点，结合点与圆C的位置关系分析证明；②根据圆的性质可知：当时，直线被圆C截得的弦长最短，根据垂直关系求直线方程. 【详解】（1）设与直线垂直的直线方程为， 代入可得：，解得， 可知：圆C的圆心C在直线上， 设，因为， 即，解得， 则，且圆C的半径， 所以圆C的方程为. （2）①对于直线，即， 令，解得，即直线过定点， 且，可知点在圆C内， 所以直线与圆C相交； ②当时，直线被圆C截得的弦长最短， 此时，可知直线的斜率， 所以直线的方程为，即. 精练核心考点 1．（23-24高二上·山东·期中）已知圆，直线过点，则直线被圆所截得的弦长的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理，过圆内一点的最短的弦，应垂直于该定点和圆心的连线，再结合弦长公式进行求解即可. 【详解】过点的直线被圆所截得的弦长的最小， 即点为弦的中点 所以若要弦长最小，只要圆心到直线的距离即为圆心到定点的距离， 圆心到直线距离的最大值为，所以弦长的最小值为. 故选：D 2．（23-24高二上·天津·期中）直线l过点且被圆C：截得的弦长最短，则直线l的方程为 . 【答案】 【分析】当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，利用直线的点斜式方程即可得解. 【详解】由圆的方程知圆心，半径为， 当圆被直线截得的弦最短时，圆心与的连线垂直于弦， 由圆心与的连线斜率为，所以直线l的斜率为1， 直线l的方程为即. 故答案为：. 3．（2024·江西景德镇·模拟预测）已知圆：，直线：，若当的值发生变化时，直线被圆所截的弦长的最小值为 . 【答案】 【分析】首先求出直线过定点，再判断点在圆内，则弦长最小值为与垂直的弦，再根据弦长公式计算可得. 【详解】解：因为直线：恒过定点， 圆：的圆心，半径， 所以，所以点在圆内，所以直线被圆所截的弦长的最小值为. 故答案为： 题型十：重点考查圆的弧长，面积，圆心角的计算问题 典型例题 例题1．（23-24高二·全国·课后作业）的图象和圆在轴上方所围成的图形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在平面直角坐标系中分别作出图象和圆的图形，即可求解. 【详解】的图象和圆在轴上方所围成的图形，如图所示： 由上得：所求面积是圆面积的， 又圆的半径为， 所以的图象和圆在轴上方所围成的图形的面积是， 故选：D. 例题2．（23-24高二上·河南·阶段练习）圆的面积为 ． 【答案】 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，可得圆的半径，由此可得圆的面积. 【详解】圆的方程可化为，所以圆的半径，则圆的面积为. 故答案为：. 精练核心考点 1．（23-24高二上·江苏泰州·期中）若圆的方程为，则圆的最小周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的方程求出圆的半径的最小值，即可求得答案. 【详解】因为圆的方程为， 故 ，时取等号， 故圆的半径的最小值为 ， 则圆的最小周长为， 故选：D. 2．（23-24高二上·全国·课后作业）如果圆的方程为，那么当圆面积最大时，该圆的方程为 ，最大面积为 ． 【答案】 【分析】设圆的半径为，将圆的方程化为标准方程，可得.即可得出半径的最大值，以及的取值，代入圆的方程以及根据圆的面积公式，即可得出答案. 【详解】设圆的半径为， 将圆的方程化为标准方程可得，. 因为， 当最大时，圆的面积最大. 所以，当时，半径最大为1， 此时圆的方程为，面积为. 故答案为：；. 学科网（北京）股份有限公司 $$