第2章 02-第2课时 圆的一般方程（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（苏教版）

该高中数学课件聚焦“圆的一般方程”，涵盖方程表示圆的条件、圆心半径计算及轨迹问题等核心知识点。课堂导入从圆的标准方程过渡，通过基础题组搭建学习支架，衔接前后知识脉络，为应用与轨迹问题学习奠定基础。 其亮点在于题组设计层次分明，通过轨迹问题（如动点满足距离关系求轨迹）培养数学思维与眼光，以规范解析过程强化数学语言表达。学生能提升抽象与推理能力，教师可借助分层资源实施差异化教学，提高课堂效率。

第2章 圆与方程 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 2.1　圆的方程 第2课时　圆的一般方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　对圆的一般方程的理解 1.[2026重庆巴南清华中学月考]若方程x2+y2-2ax+2ay+2a2+a+1=0表示圆,则实数a的取值范围是(　　　) A.(-1,+∞)　　　    B.(-∞,-1] C.(-∞,-1)　　　    D.[-1,+∞)     C     解析    解法一:若方程表示圆,则(-2a)2+(2a)2-4(2a2+a+1)>0,解得a<-1. 解法二:方程x2+y2-2ax+2ay+2a2+a+1=0可变形为(x-a)2+(y+a)2=-a-1, 若此方程表示圆,则-a-1>0,解得a<-1. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026江苏淮安涟水第一中学月考]已知圆x2+y2+4x-2ay+3a2-a+1=0的圆心在第二象限内,则实数a的取 值范围为 (　　　) A.(0,+∞)　　　    B. 　　　    C. 　　　    D.      B     解析　将圆的方程x2+y2+4x-2ay+3a2-a+1=0化为标准方程,为(x+2)2+(y-a)2=-2a2+a+3,则圆心坐标为(-2,a), 依题意, 解得0<a< . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏常州高级中学期中]已知圆C:x2+y2+2x+my+3=0关于直线2x-y+4=0对称,则圆C的半径为  (　　　) A. 　　　    B.2　　　    C.2 　　　    D.4     A     解析　易得圆C:x2+y2+2x+my+3=0的圆心为 . 因为圆C关于直线2x-y+4=0对称,所以圆心 在直线2x-y+4=0上,所以-2+ +4=0,解得m=-4,故圆C: x2+y2+2x-4y+3=0,其半径为 × = . 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026江苏靖江斜桥中学月考]若点P(1,2)在圆x2+y2-x+y+k=0外,则实数k的取值范围为___________. 　-6<k<      解析　因为点P(1,2)在圆x2+y2-x+y+k=0外,所以 (点拨:注意圆成立的前提条件),解得-6 <k< . 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　圆的一般方程及其应用 5.[教材习题改编]过点A(-1,0),B(4,0),C(3,2)的圆的一般方程为 (　　　) A.x2+y2+3x+2=0　　     B.x2+y2-3x-4=0 C.x2+y2+2x+1=0　　　    D.x2+y2-2x-3=0     B     解析　由题意设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,且D2+E2-4F>0, 因为圆过点A(-1,0),B(4,0),C(3,2), 所以  解得 所以所求圆的一般方程为x2+y2-3x-4=0. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025湖北部分省级示范高中期中]与圆x2+y2-4x+6y+3=0同圆心,且过(1,-1)的圆的方程是 (　　　) A.x2+y2-4x+6y-8=0　　　    B.x2+y2+4x-6y+8=0 C.x2+y2+4x-6y-8=0　　　    D.x2+y2-4x+6y+8=0     D     解析　设所求圆的方程为x2+y2-4x+6y+m=0,m≠3且(-4)2+62-4m>0,即m≠3且m<13,由该圆过点(1,-1),得12 +(-1)2-4×1+6×(-1)+m=0,解得m=8,所以所求圆的方程为x2+y2-4x+6y+8=0. 方法技巧　与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)同圆心且不重合的圆的方程可设为x2+y2+Dx+Ey+λ=0, D2+E2-4λ>0,λ≠F. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026湖北武汉外国语学校阶段性诊断]已知圆C的圆心在直线3x-y-1=0上,且过点A(-2,3),B(2,5),则圆C 的一般方程为_______________________.     x2+y2-2x-4y-5=0     解析　设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),则圆心为 , 由题意得  解得  故圆C的一般方程为x2+y2-2x-4y-5=0. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025江苏扬州教学质量调研]在平面直角坐标系xOy中,已知△ABC的三个顶点A(5,1),B(7,-3),C(2,-8), 若直线y=2x+b过△ABC的外接圆的圆心,则b=_______;若点(2,m)在△ABC的外接圆内,则m的取值范围为 ______________.     (-8,2)     　-7     解析　设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0, 则  解得  所以△ABC的外接圆的方程为x2+y2-4x+6y-12=0,所以圆心为(2,-3),由点(2,-3)在直线y=2x+b上,得-3=2×2 +b,解得b=-7, 因为点(2,m)在△ABC的外接圆内,所以22+m2-4×2+6m-12<0,解得-8<m<2,所以m的取值范围为(-8,2). 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　与圆有关的动点的轨迹问题 9.[2026江苏淮安淮阴中学月考]若两定点A(-1,0),B(1,0),动点P满足 PA=PB,则动点P的轨迹所围成区 域的面积为 (　　　) A.2π　　　    B.4π　　　    C.4 π　　　    D.8π     D     解析　设P(x,y),已知A(-1,0),B(1,0), PA=PB,则 · = ,两边平方整理得(x +3)2+y2=8, ∴点P的轨迹是以(-3,0)为圆心,2 为半径的圆, ∴点P的轨迹所围成区域的面积为π·(2 )2=8π. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026广东东莞东华高级中学检测]已知圆C:x2+y2+6x-4y+9=0,A是圆C上一动点,点B(3,0),M为线段AB 的中点,则动点M的轨迹方程为__________________.     x2+y2-2y=0     解析　设M(x,y), ∵M为线段AB的中点,B(3,0), ∴A(2x-3,2y), 又A是圆C上一动点, 所以(2x-3)2+4y2+6(2x-3)-8y+9=0,整理得x2+y2-2y=0, 即动点M的轨迹方程为x2+y2-2y=0. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026湖北荆州沙市中学月考]在平面直角坐标系xOy中,曲线C:x2+y2=9,A(-2,1),B,D在曲线C上,且AB ⊥AD,BD的中点为M,则M的轨迹方程为______________________.     x2+y2+2x-y-2=0     第1讲　描述运动的基本概念 解析　曲线C:x2+y2=9是以原点O为圆心,3为半径的圆,点A(-2,1)在圆内, 设M(x,y),如图所示,   连接OM,OB,AM,易得OM⊥BD,因为AB⊥AD,M为BD的中点,所以AM= BD,所以OB2=OM2+BM2=OM2+ AM2, 所以9=x2+y2+(x+2)2+(y-1)2,化简得x2+y2+2x-y-2=0, 即M的轨迹方程为x2+y2+2x-y-2=0. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2026江苏徐州第三中学检测]从①过点C(2,0),②圆E恒被直线mx-y-m=0(m∈R)平分,③与y轴相切这 三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答. 已知圆E经过点A(0,0),B(1,1),且_______. (1)求圆E的一般方程; (2)设P是圆E上的动点,求线段AP的中点M的轨迹方程. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)选条件①. 设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 则 解得  故圆E的一般方程为x2+y2-2x=0. 选条件②. 因为圆E恒被直线mx-y-m=0(m∈R)平分,所以直线mx-y-m=0恒过圆心, 又方程mx-y-m=0可写成m(x-1)-y=0,所以直线mx-y-m=0过定点(1,0),即圆心坐标为(1,0), 又圆E经过点A(0,0),所以圆的半径r=1,所以圆E的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0. 选条件③. 第1讲　描述运动的基本概念 设圆E的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, 由题意可得  解得  则圆E的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0. (2)设M(x,y). 因为M为线段AP的中点,所以P(2x,2y), 因为P是圆E上的动点,所以(2x)2+(2y)2-2×2x=0,即x2+y2-x=0, 所以M的轨迹方程为x2+y2-x=0. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 2.1　圆的方程 第2课时　圆的一般方程 第1讲　描述运动的基本概念 题组　圆的方程及其应用 1.[多选题][2026江苏连云港高级中学月考]已知圆C:x2+y2+6x-4y+8=0,则 (　　　　) A.圆C的面积是25π B.圆C关于直线x+3y-3=0对称 C.点(-1,4)在圆C外 D.圆心到直线3x-4y-8=0的距离大于半径     BCD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵x2+y2+6x-4y+8=0,∴(x+3)2+(y-2)2=5,即圆C是圆心为(-3,2),半径r= 的圆, ∴圆C的面积为πr2=π( )2=5π,故A错误; ∵-3+3×2-3=0,∴圆心(-3,2)在直线x+3y-3=0上, ∴圆C关于直线x+3y-3=0对称,故B正确; 设点(-1,4)到圆心的距离为d,则d= =2 > , ∴点(-1,4)在圆C外,故C正确; 设圆心到直线3x-4y-8=0的距离为d1,则d1= = =5> ,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026北京清华大学附属中学开学考试]已知☉C:x2+y2-4x+4y+6=0,点A(1,1),O是坐标原点.若点B在☉C 上,则△OAB面积的最大值为 (　　　) A.3 　　　    B.3 C.2 　　　    D.2     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　方程x2+y2-4x+4y+6=0可化为(x-2)2+(y+2)2=2, 则圆心为C(2,-2),半径r= , 因为A(1,1),O(0,0),所以OA= ,OC=2 , 又kOA= =1,kOC= =-1, 所以kOA·kOC=-1,所以OA⊥OC, 要使△OAB的面积最大,则点B为OC的延长线与圆C的交点,如图, 此时OB=OC+r=3 , 则△OAB面积的最大值为 × ×3 =3.   第1讲　描述运动的基本概念 3.[2026江苏常州高级中学期中]过点P(-3,0)作直线2x+(λ+1)y+2λ=0(λ∈R)的垂线,垂足为M,已知点N(3, 2),则当λ变化时,MN的取值范围是 (　　　) A.[0,5+ ]　　　    B.[5- ,5+ ] C.[5,5+ ]　　　    D.[5- ,5]     B     解析　方程2x+(λ+1)y+2λ=0(λ∈R)可化为(2x+y)+λ(y+2)=0, 由 得 故直线经过定点(1,-2),记为Q. 易知△PQM为直角三角形,斜边为PQ,M在以PQ为直径的圆上运动, 可得圆心为PQ的中点(-1,-1)(设为H),半径r= PQ= , 则MN的最大值为NH+r= + =5+ ,最小值为NH-r= - =5- , 故MN的取值范围为[5- ,5+ ]. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[多选题][2026江苏宿迁沭阳南湖高级中学阶段测试]已知点A(1,0),B(-2,0),动点P满足 =2,则下面结 论正确的为 (　　　　) A.点P的轨迹方程为(x+3)2+y2=4 B.△PAB面积的最大值为4 C.点P到点A的距离的最大值为6 D. · 的最大值为18     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设点P(x,y),已知A(1,0),B(-2,0),且 =2,则 =2, 两边同时平方,可得 =4,即(x-1)2+y2=4[(x+2)2+y2], 整理可得(x+3)2+y2=4,所以点P的轨迹是圆心为(-3,0),半径r=2的圆,A正确; 易得AB=1-(-2)=3, 因为点P在圆(x+3)2+y2=4上,所以点P到x轴的距离最大就是圆的半径2, 所以△PAB面积的最大值为 ×3×2=3,B错误; 设圆(x+3)2+y2=4的圆心为C, 则C(-3,0), 又点A(1,0),所以AC=1-(-3)=4, 第1讲　描述运动的基本概念 因为点P在圆上,所以点P到点A的距离的最大值为AC+r=4+2=6,C正确; 易得 =(1-x,-y), =(-2-x,-y), 所以 · =(1-x)(-2-x)+(-y)(-y)=x2+x-2+y2, 因为(x+3)2+y2=4即y2=4-(x+3)2, 所以 · =x2+x-2+4-(x+3)2=x2+x+2-x2-6x-9=-5x-7, 因为点P在圆(x+3)2+y2=4上, 所以-5≤x≤-1, 当x=-5时, · 取得最大值,最大值为-5×(-5)-7=25-7=18,D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025河北唐山期中]已知圆C:x2+y2-2x=0内有点M ,则以M为中点的圆C的弦所在的直线方程为 _______________.     x+y-2=0     解析　圆C:x2+y2-2x=0即(x-1)2+y2=1,则圆心为C(1,0), 所以直线MC的斜率为 =1, 则以M为中点的圆C的弦所在直线的斜率为-1, 所以所求直线的方程为y- =-1× ,即x+y-2=0. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025江苏苏州张家港期中]在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=x2+mx-1的图象与坐标轴分别交于点 A,B,C,记△ABC的外接圆为圆T.①当m= 时,圆T的一般方程是___________________;②圆T恒过的两个定点 是____________________.     x2+y2+ -1=0         (0,1),(0,-1)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　①当m= 时,易知二次函数y=x2+ x-1的图象与两坐标轴交于点(-2,0), ,(0,-1),设圆T的一般 方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),令y=0,得x2+Dx+F=0,由题意可得,这与x2+ x-1=0是同一个方程, 故D= ,F=-1.令x=0,得y2+Ey+F=0,由题意可得,-1为此方程的一个根,将y=-1代入此方程得E=0,所以圆T 的一般方程为x2+y2+ -1=0. ②易知y=x2+mx-1的图象与y轴的交点为(0,-1), 设所求圆的一般方程为x2+y2+Hx+My+N=0(H2+M2-4N>0), 令y=0,得x2+Hx+N=0,由题意可得,这与x2+mx-1=0是同一个方程,故H=m,N=-1. 令x=0,得y2+My+N=0,由题意可得,-1为此方程的一个根,将y=-1代入此方程得M=0,所以圆T的一般方程为 x2+y2+mx-1=0, 当x=0时,y=1或y=-1,故圆T恒过定点(0,1),(0,-1). 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025江苏无锡市北高级中学期中]如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的 北偏东45°方向,且距O岛40 千米处,B岛在O岛的正东方向,且距O岛20千米处.以O为坐标原点,O的正 东方向为x轴的正方向,建立平面直角坐标系,圆C经过O,A,B三点. (1)求圆C的方程; (2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船在O岛的南偏西30°方向,且距O岛40千米的M处,正沿着北偏东45° 方向行驶,若不改变方向,则该船有没有触礁的危险?请说明理由.   第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)由题意得A(40,40),B(20,0), 设过O,A,B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0), 则 解得  所以圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0. (2)该船有触礁的危险.理由:由题意得M(-20,-20 ),且该船的航线所在直线(记为l)的斜率为1, 故直线l:x-y+20-20 =0, 由(1)知圆心C(10,30),半径r=10 , 所以圆心C到直线l的距离d= =10 <10 ,所以该船有触礁的危险. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　利用新定义考查与圆有关的最值问题 8.[2026上海曹杨二中月考]对给定的两点A(x1,y1)和B(x2,y2),用以下方式定义“直角距离”:d(A,B)=|x1-x2| +|y1-y2|.已知M(3,5),点N在圆C:x2+y2+2x+4y=0上运动,若点P满足d(M,P)=2,则PN的最大值为___________.      +      第1讲　描述运动的基本概念 解析　设P(x,y),则d(M,P)=|x-3|+|y-5|=2,可得点P的轨迹是一个正方形,易知该正方形的4个顶点分别为 (3,7),(5,5),(3,3),(1,5),分别设为A,B,D,E,如图所示,   其中点P离圆C较远时,点P在线段AB上, 因为点N在圆C:x2+y2+2x+4y=0,即(x+1)2+(y+2)2=5上运动, 所以PN的最大值为点P到圆心的距离加圆的半径. 易知C(-1,-2),半径r= ,AC= = ,BC= = , 所以(PN)max=AC+r= + . 第1讲　描述运动的基本概念 $