2.1 圆的方程课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版择性必修第一册

该高中数学课件聚焦“圆与方程”，系统讲解圆的标准方程、一般方程、点与圆位置关系等核心知识，从定义出发，通过方程转化、几何性质分析构建知识脉络，为学生提供递进式学习支架。 其亮点在于融合直观想象与逻辑推理，通过典例详解、变式题及高考真题，如利用几何性质法求圆方程、阿波罗尼斯圆情境题，培养数学思维与应用意识。学生能提升运算与分析能力，教师可借助丰富题型优化教学。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第二章 圆与方程 2.1 圆的方程 本节主要学习圆的标准方程和一般方程，理解二者之间的相互转化，会依据圆心、半径等条件求解圆的方程，夯实解析几何基础，提升代数运算与几何分析能力。 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括103张PPT。 2.版权：本课件归知识店铺（苍穹精品工作室),原创不易，严禁侵权，侵权必究。 3.课件版权归本知识店铺。 返回目录 3 教材帮 新知课丨必备知识解读 知识点1 圆的标准方程 1 圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合是圆，其中定点就是圆心，定长就是 半径.（确定圆的两要素：圆心（定位）、半径（定形）） . . . . 教材帮 返回目录 4 2 圆的标准方程 方程,当 时，该方程不表示圆，只表 示一个定点叫作以点为圆心， 为半径的圆的标准方程. . . 教材帮 返回目录 5 3 几种特殊位置的圆的标准方程 已知圆的圆心为,半径为（其中,,都是常数， ）. 条件 方程形式 单位圆圆心在原点， 过原点 圆心在原点即, 圆心在轴上即,半径为, 圆心在轴上即,半径为, 圆心在轴上且过原点即,半径 圆心在轴上且过原点即,半径 与轴相切圆心,半径 教材帮 返回目录 6 条件 方程形式 与轴相切圆心,半径 与坐标轴相切，半径为 （表示四个圆的方程） 续表 教材帮 返回目录 学思用·典例详解 例1-1 圆 的圆心坐标和半径分别为( ) C A.，4 B.，4 C.，2 D. ，2 【解析】圆的圆心坐标为，半径 . 点评 若圆的标准方程为 ，则 （1）圆的半径不是，而是 ； （2）圆心不是,而是 . 因为化为标准形式是 . 教材帮 返回目录 8 例1-2 [教材改编P56 例1](2026·广东省佛山市期中)以 为圆心，且经过点 的圆的方程是________________________. 【解析】由题意知，圆心是，圆的半径 , 所以圆的方程为 ． 教材帮 返回目录 9 知识点2 圆的一般方程 1 圆的一般方程的概念 方程 叫作圆的一般方程. 教材帮 返回目录 10 2 对方程 的说明 将方程变形为 ，则#1 方程 条件 图形 不表示任何图形 表示一个点 表示以为圆心，以 为 半径的圆 教材帮 返回目录 11 知识剖析 关于圆的一般方程的几点说明 （1）在圆的一般方程中，系数，， 没有明显的几何意义，但在配方后，它 们的几何意义是：,表示圆心， 表示圆的半径. （2）圆的一般方程中有三个系数，这说明确定一个圆需要三个独立条件.#1.1.1.3 教材帮 返回目录 12 3 圆的一般方程的形式特点 （一般地，二元二次方程 表示圆的充要条件是: ,, ） （1）, 项的系数均为1； （2）没有 项； （3） . . . 教材帮 返回目录 13 学思用·典例详解 例2-3 已知圆的方程为，圆心坐标为 ，则圆的半径为___. 4 【解析】由圆的一般方程可得圆的标准方程为 ，可得圆心坐 标为，由题意可得，可得半径 ． 教材帮 返回目录 14 例2-4 ［教材改编P60 T3（1）］已知圆的一条直径的两个端点为， ，则 该圆的一般方程为__________________________. 【解析】因为直径的两个端点为，，所以圆心坐标为 ，半径 ，所以该圆的方程为 ,化为一 般方程为 . 教材帮 返回目录 15 拓展 若已知圆的直径的两个端点为, ,则该圆的方程为 ，我们一般称该方程为圆的直径式方程，设圆 上任一点,我们可以利用 证明该结论.（此处链接教材P62【习题 2.1】 ） 故此题还可利用此公式快速求解，即该圆的方程为 ,化简得 . 教材帮 返回目录 16 知识点3 点与圆的位置关系 点与圆有三种位置关系：点在圆上，点在圆内，点在圆外. 设点的坐标为,圆的标准方程为 ,一般 方程为,则判断点与圆 的位置关系 有下列两种方法： 位置关系 判断方法 几何法 代数法 点在圆 上 或 点在圆 内 或 点在圆 外 或 教材帮 返回目录 17 学思用·典例详解 例3-5 判断点，，与圆 的位置关系. 【解析】设半径为,由题知圆心为, . 因为 , 所以点 在圆上; 因为,所以点 在圆外； 因为,所以点 在圆内. 点评 在实际解题时，可灵活运用几何法或代数法求解. 教材帮 返回目录 18 释疑惑 重难拓展 知识点4 轨迹和轨迹方程 1 轨迹和轨迹方程的定义 平面上一动点，按照一定规则运动，形成的曲线叫作动点 的轨迹.在坐标系 中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程. 特别提醒 “轨迹”与“轨迹方程”有区别.“轨迹”是图形,要指出形状、位置、大小（范围） 等特征;“轨迹方程”是方程,不仅要给出方程,还要指出变量的取值范围. 教材帮 返回目录 19 2 直接法求轨迹方程的步骤 教材帮 返回目录 20 学思用·典例详解 例4-6 ［教材改编P58例4］已知点与两个定点,的距离的比值为 ，求 点 的轨迹. 【解析】设点的坐标为，由题意知 ，由两点间的距离公式，得 . 化简得 , 配方得 . 故所求点的轨迹是圆心为，半径为 的圆. 教材帮 返回目录 21 拓展 平面上到两个定点距离之比为且 的点的轨迹是圆，该圆又被称 为阿波罗尼斯圆. 教材帮 返回目录 22 知识点5 圆的参数方程 教材深挖：该知识点是对教材第62页【习题2.1】第15题的挖掘.#1 圆的标准方程 图形 参数方程 参数 的几何意义 为参数 绕点 逆时针旋转到 的位置时转 过的角度， 为参数 教材帮 返回目录 23 学思用·典例详解 例5-7 参数方程 表示圆心为________，半径为___的圆，化为标准方 程为______________________. 1 【解析】 从参数方程中可以看出，圆心为,半径 ，所以圆的标准 方程为 . 参数方程变形为 平方相加,得到标准方程 ， 所以圆心坐标为,半径 . 教材帮 返回目录 24 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 二元二次方程与圆的关系 例8 [教材改编P61练习T4]下列方程是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径长. （1） ; 【解析】中与 的系数不相同，故原方程不表示圆. （2） ; 【解析】中含有 项，故原方程不表示圆. （3） ; 【解析】, 原方程不表示圆. 方法帮 返回目录 25 （4） ； 【解析】 , 方程能表示圆，圆心坐标为 ，即,半径 . 方程可化为，它表示以 为圆心， 为半径的圆． （5） . 【解析】，，，， 方程表 示点 ,不表示圆． 方法帮 返回目录 26 例9 ［教材改编P61练习T8］若方程 表示圆， 则实数 的取值范围是( ) A A. B. C. D. 【解析】 方程 可化为 ,若它表示圆，则需满足，故 . 方程 表示圆， 则（（））（（））（（）），解得 . . . . . . 方法帮 返回目录 27 判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征， （与的系数相等且不为0，没有 项） 当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆.此时有两种途径：一是看 是否大于零；二是直接配方变形为标准方程的形式，看方程等号右端 是否为大于零的常数． 方法帮 返回目录 28 【学会了吗丨变式题】 1.若方程表示圆，则 的取值范围为( ) D A. B. C. D. 【解析】方程 表示圆，则满足 ， 解得或 ，故选D． . . 方法帮 返回目录 29 题型2 求圆的方程 例10 [教材改编P61习题2.1 T7]求圆心在直线上,且过点 , 的圆的方程. 方法帮 返回目录 30 【解析】 （待定系数法） 设所求圆的标准方程为 ， 则解得 故所求圆的标准方程为 . （待定系数法） 设所求圆的方程为 ， 则圆心为 . 圆心在直线上，圆过, 两点， 方法帮 返回目录 31 解得 故所求圆的方程为 . 方法帮 返回目录 （几何性质法） 设点 为圆心， 点在直线 上， 可设点的坐标为 .（用一个字母表示，减少参数个数） 连接, . 该圆经过,两点， , , 解得 , 圆心为，半径 . 故所求圆的标准方程为 . . . 方法帮 返回目录 33 图2.1-1 （几何性质法） 如图2.1-1，连接，则线段 的 中点的坐标为 , 直线的斜率 , 弦的垂直平分线的斜率 ， 弦的垂直平分线的方程为 ，即 . 又圆心是直线与直线 的交点， 由得 圆心坐标为 , 圆的半径 , 故所求圆的标准方程为 . 方法帮 返回目录 34 求圆的方程的常用方法 （1）直接代入法：已知圆心坐标和半径，直接代入圆的标准方程. （2）待定系数法： ①根据题意，设所求的圆的标准方程为 或设圆的一般方程 为，其中 ； ②根据已知条件，建立关于,,或,, 的方程组； ③解方程组，求出,,或,, 的值，并把它们代入所设的方程中，就得到所求的 圆的方程.#1.1.2.3 方法帮 返回目录 35 （3）几何性质法：如果在求解圆的方程这类问题时能够结合圆的有关几何性质来考 虑，可以使解答过程简捷、直观，计算简单，这就是我们所说的“数形结合”思想.常 用的几何性质有：圆心与切点的连线垂直于圆的切线；圆心到切线的距离等于半径； 直径所对的圆周角是直角；圆的半径、半弦长、弦心距满足勾股定理等. （4）定义法：先判断轨迹是圆，然后写出圆的方程.#1.1.4 方法帮 返回目录 36 【学会了吗丨变式题】 2.圆过点和，且两坐标轴被圆截得的弦长相等,求圆 的方程. 方法帮 返回目录 37 图 D 2.1-1 【答案】如图 ，因为两坐标轴被圆 截得的弦长相等， 所以由圆的性质得，圆心到两个坐标轴的距离相等，由角平分线 性质得，圆心在直线或 上. 又圆过点和 , 则圆心在线段 的垂直平分线上，（弦的垂直平分线过圆心是 求圆的方程时常用的几何性质之一） 设直线的斜率为，其垂直平分线的斜率为 ,则 ，所以 ， 又线段的中点为 , 所以的垂直平分线方程为，即 . . . 方法帮 返回目录 38 由得或 所以圆心的坐标为或 . 当圆心坐标为时， ；同理，当圆心坐标为 时， . 故圆的方程为或 . 方法帮 返回目录 题型3 点与圆的位置关系 1 判断点与圆的位置关系 例11 ［教材改编P61习题2.1 T5］已知，，， ，判断这 四点是否在同一个圆上. 方法帮 返回目录 40 【解析】 线段，的斜率分别是,，得，则 , ,三点不共线，设过,,三点的圆的方程为 . 因为,, 三点在圆上， 所以解得 所以过,,三点的圆的方程为，将点的坐标 代入 方程， 得 ， 即点在圆上，故，，， 四点在同一个圆上. 方法帮 返回目录 41 因为，所以，（利用斜率之积为 ， 判断两条直线垂直） 所以是过，， 三点的圆的直径; 因为 , 所以是过,, 三点的圆的直径. 综上，，，， 四点在同一个圆上． 名师点评 解决四点是否共圆问题，一般可先求过其中三点的圆的方程，然后把第四 个点的坐标代入，若满足方程，则四点共圆，若不满足方程，则四点不共圆. 方法帮 返回目录 42 2 由点与圆的位置关系求参数的取值范围 例12 [教材改编P61 T9]已知圆的标准方程为 ． （1）若点在圆上，求半径 ; 【解析】 点在圆上，，即.又 ， . （2）若点与有一点在圆内，另一点在圆外，求 的取值范围． 【解析】易知圆心的坐标为 ， ， ，又 ， 点在圆外，点在圆内， . 方法帮 返回目录 43 判断点与圆的位置关系的三种方法 （1）利用点与圆心的距离与半径 的大小关系来判断； （2）把点代入圆的标准方程，通过比较与 的大小关 系来判断； （3）把点代入圆的一般方程，通过比较 与0的大 小关系来判断. 方法帮 返回目录 44 【学会了吗丨变式题】 3.(2026·天津市静海区第六中学质检)若点在圆 的外部，则 的取值范围为( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意得 （不要遗漏圆的一般方程 中 这一隐含条件） 解得.故的取值范围为 ，故选C. 方法帮 返回目录 45 题型4 与圆有关的对称问题 1 圆的对称性 例13 已知圆 上存在两点关于直线 对称，则 的最小值是________. 方法帮 返回目录 46 【解析】圆 上存在两点关于直线 对称， 则直线过圆心 ，（弦的中垂线必过圆心） 可得，即 ， ，当且仅当 ， 即 时取等号． 16 方法帮 返回目录 47 2 圆关于点对称 例14 如图2.1-2,已知线段的中点的坐标是，端点在圆 上 运动，则线段的端点 的轨迹方程为______________________． 图2.1-2 方法帮 返回目录 48 【解析】设点坐标是，点的坐标是，由于点的坐标是且点 是 线段的中点，所以，，于是有 ， . 因为点在圆上运动，所以点的坐标满足方程 ， 即 , 把①代入②，得，整理，得 .所以 点的轨迹方程为 . （【另解】本题实质是求圆关于点 对称的圆的方程，所以还 可以先求出圆心关于点 的对称点，即所求圆的圆心，再由半径不变求得 轨迹方程） 方法帮 返回目录 49 名师点评 （1）求已知圆关于某点对称的圆,只需确定所求圆的圆心位置,其半径与已 知圆相等. （2）两圆关于点对称,则对称点为两圆圆心连线的中点. 方法帮 返回目录 50 3 圆关于直线对称 例15 [教材改编P62 T11]圆关于直线 对称的 圆的方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】圆，则圆心，半径.设圆心 关 于直线对称的点为 ， 则解得 （两圆心连线的中点必在直线 上） 圆关于直线对称的圆的方程为 ． . . 方法帮 返回目录 51 （1）圆是轴对称图形,关于直径所在的直线对称. （2）若圆上两点关于某直线对称，则该直线必过圆心. （3）若两圆关于某点（或某条直线）对称,则两圆圆心关于该点（或该直线）对称, 且两圆的半径相同. 方法帮 返回目录 52 【学会了吗丨变式题】 4.(2026·福建省莆田市期中)已知圆与圆关于直线 对称， 则圆 的标准方程为( ) C A. B. C. D. 【解析】由题意知，圆的圆心为，半径 . 设圆心关于直线对称的点为 , 则解得 故所求圆的标准方程为 . 方法帮 返回目录 53 题型5 求动点的轨迹或轨迹方程 例16 (2026·福建省同安第一中学月考)已知圆上一定点,点 为 圆内一点，, 为圆上的动点. （1）求线段 中点的轨迹方程； 【解析】 （代入法） 设的中点为，由中点坐标公式可知点 的坐 标为 . 因为点在圆 上， 所以 . 当时，，此时,, 三点重合，应舍去. 故线段中点的轨迹方程为 . 方法帮 返回目录 54 图2.1-3 （定义法） 设的中点为 ，如图2.1-3，连 接，由圆的垂径定理知， ， 在中，取中点，则,连接 ,则 ,（直角三角形中，斜边上的中线等于斜边长 度的一半） 得动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆（除去 点）， 所以线段中点的轨迹方程为 . 方法帮 返回目录 55 （2）若 ，求线段 中点的轨迹方程. 图2.1-4 【解析】（直接法） 若设为坐标原点， 的中点为 ,连接,, ,如图2.1-4所示. 在中， . 又，所以 ，所以 . 故线段中点的轨迹方程为 . 方法帮 返回目录 56 方法帮 返回目录 57 求轨迹方程的常用方法 （1）直接法也叫直译法，即根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用有 关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式等）进行整理、化简.这种求轨 迹方程的方法不需要特殊的技巧. （2）代入法也称相关点法,如果动点依赖于另一动点，而 又按某个规 律运动，则可先用,表示，，再把,代入它满足的条件便得到动点 的轨迹方程. （3）定义法，通过分析已知条件，找到其中隐含的圆，利用定义求解. 方法帮 返回目录 58 【学会了吗丨变式题】 5.(2026·湖北省武汉市期中)已知圆经过，， 三点． （1）求圆 的方程； 【答案】设圆的方程为 ， 将三点坐标，，分别代入圆 的方程得 解得 所以圆的方程为 . 方法帮 返回目录 59 （2）设点在圆上运动，点，且点满足，求点 的轨迹,并说 明轨迹的形状． 【答案】设，,则, , 由于，则解得 因为点在圆上运动，所以 ，即 ， 所以点的轨迹方程为，它是一个以 为圆心，以3 为半径的圆． 方法帮 返回目录 60 题型6 与圆有关的最值问题 例17 已知点,点是圆 上的任一点. （1）当时，求 的最大值; 思路点拨由两点间距离公式得,当时，点在圆外，由此可得 的 最大值; 【解析】由知,点在圆外，所以 . 方法帮 返回目录 61 （2）若的最小值为3,求 的值. 思路点拨利用点与圆的位置关系，结合 的最小值求解. 【解析】当点在圆外时，,即, ; 当点在圆内时，,即, . 故满足条件的 的值为2或8. 方法帮 返回目录 62 【解析】圆的圆心坐标为 ，由两点间的距离公式得 . 名师点评 点与圆上的点之间的距离的最值为, . 利用该公式可以避免第（2）题中对点与圆 的位置关系的分类讨论. 方法帮 返回目录 63 例18 设点是圆上任意一点，则 的最大 值为_________. 方法帮 返回目录 64 图2.1-5 【解析】因为点是圆 上任意一点，所以 表示点 与该圆上任一点的距离. 易知点在圆 的外部， 结合图2.1-5可得 的最大值为 . 方法帮 返回目录 65 求圆上的点到定点的最大、最小距离的步骤 （1）求圆心与定点间的距离 . （2）根据圆的几何性质知, ①当点在圆外时，, ; ②当点在圆内时,, . 其中, 为圆的半径. 方法帮 返回目录 66 【学会了吗丨变式题】 6.(2026·北京市东直门中学月考)已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距 离的最小值为( ) A A.4 B.5 C.6 D.7 【解析】设该圆的圆心为，则圆的方程为, 该圆过点 ,,此式子表示点在以 为圆心，1为半径的圆 上，则点到原点的最小值为 ，故选A. 方法帮 返回目录 67 7.(2026·福建省厦门英才学校联考)圆 ，圆 ，动点在轴上，动点，分别在圆和圆 上，则 圆关于轴的对称圆的方程为______________________； 的最小值是 _________. 图D 2.1-2 【解析】由圆 ，可得圆心 ，半径，所以圆关于 轴对称的圆的圆心 为，半径不变，仍然为1，所以圆关于 轴的 对称圆的方程为 .如图D 2.1-2所示， 连接，分别与两个圆交于，，与轴交于 ，连接 当且仅当，，，，共线时，取到最小值,为 ． ,交圆于，由对称性可得，则 ， 方法帮 返回目录 68 高考帮 考试课丨核心素养聚焦 考情揭秘 求解圆的方程是高考的热点，考查角度为用几何性质法和待定系数法求圆的方程、 求与圆有关的轨迹问题等.考查题型有选择题、填空题.考查难度为中等. 核心素养：数学运算（方程的求解），直观想象（数形结合的应用），逻辑推理 （圆的性质的应用）. 高考帮 返回目录 69 考向 求圆的方程 例19 (2022·全国乙卷)过四点，，， 中的三点的一个圆的方程 为 ______________________________________________________________________ _________________________________________________________________________. 或或 或 （选择其中一个作答即可） 高考帮 返回目录 70 【解析】①若圆过，， 三点. （尽量选取含0和数小的坐标，运算简单） 设过这三点的圆的一般方程为 ，分别将三点的坐标代入， 可得解得易得 , 所以过这三点的圆的方程为,即 . ②若圆过，， 三点. 高考帮 返回目录 71 设过这三点的圆的一般方程为 ，分别将三点的 坐标代入， 可得解得 易得,所以过这三点的圆的方程为 ，即 . 高考帮 返回目录 72 在平面直角坐标系中作出这三个点，显然由这三个点的连线组成的三角形 为直角三角形，该直角三角形的外接圆的圆心为点和点 连线段的中点，即 ，直径等于点和点连线段的长，即 ,可得 ，所以圆的方程为 . ③若圆过，， 三点，设过这三点的圆的一般方程为 ，分别将三点的坐标代入， 可得解得 易得,所以过这三点的圆的方程为 , 即 . 高考帮 返回目录 73 ④若圆过，， 三点，设过这三点的圆的一般方程为 ，分别将三点的坐标代入， 可得解得 易得,所以过这三点的圆的方程为 , 即 . 高考帮 返回目录 74 命题 探源 本题取材于教材第61页【练习】第6题. 给定三点求圆的方程是考生常见的问题，但试题却给出了四个点（不在同一 条直线上的三个点确定一个圆），因此如何选择点是关键.在现实生活中， 由于受到主客观条件的限制，人们往往需要快速做出决策，这和考生现实生 活经验相呼应，快速判断选点给出满足要求的一组解即可，对考生快速决策 能力提出了更高的要求. 试题增加了开放性，改变固化的命题形式，强调对基础性、应用性和创新性 的考查，引导考生多想少算，服务“双减”. 高考帮 返回目录 75 提分 探源 将四点标在平面直角坐标系中，如图2.1-6，不难发现，以三点 ， ， 为顶点的三角形为直角三角形，直角三角形的外接圆是以 ，连线为直径的圆，故所求圆的方程为 ， 即 . ________________________________________________________ 图2.1-6 续表 高考帮 返回目录 76 高考新题型专练 1.[多选题](2026·江西省景德镇市期中)设有一组圆 ，下列命题正确的是( ) AC A.不论如何变化，圆心 始终在一条直线上 B.若点在圆的内部，则 C.若圆的半径为，则 D.所有圆均不经过点 高考帮 返回目录 77 【解析】圆，即 ， 其圆心为，半径为，则圆心在直线上，故A正确. 点在圆 的内部，，解得 ，故B错误. 圆的半径为，则，解得，故C正确.将 代入圆的方程可 得，解得或， 存在两个圆经过点 ，D错误.故选 ． 高考帮 返回目录 78 2.新考法 结构不良 问题：平面直角坐标系中，半径为3的圆过点 ，且 ____．（在以下两个条件中任选一个，补充在横线上） ①圆心在直线 上且圆心在第一象限； ②圆过点 ． 高考帮 返回目录 79 （1）求圆 的方程； 【答案】选条件①， 设所求圆的方程为，由题意得 解 得 所以圆的方程是 ． 选条件②， 设圆的方程为 ， 高考帮 返回目录 80 因为圆过点，，所以 解得 所以圆的方程是 ． 高考帮 返回目录 （2）已知点，为圆上任意一点，求 的取值范围． 【答案】因为 ， 所以点在圆 外. 圆的圆心为，半径 ， 因为 ， 所以, , 所以的取值范围为, . 高考帮 返回目录 82 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：30分钟 1.[教材改编P61 练习T4](2026·四川省荣县中学校检测)圆 的圆心坐标是( ) C A. B. C. D. 【解析】将配方，得 ，故圆心坐 标为 ．故选C. 练习帮 返回目录 83 2.(2026·河北省唐山市期中)已知点在圆 的外部， 则实数 的取值范围为( ) A A. B. C. D. 练习帮 返回目录 84 【解析】 方程表示圆，则，得或 ，又 在圆外，则，得 ，综上， . 圆，即 ，表示以 为圆心、半径等于的圆．易知或.由于点 在圆外， 可得点到圆心的距离大于半径，即 ，解得 ，综上， ．故选A． 练习帮 返回目录 85 3.圆上的点到点 的距离可能为( ) B A.3 B.5 C.7 D.9 【解析】由题意，圆心到点的距离为 ， 点到点的距离的最小值为，最大值为 ，结合选项可知选B． 练习帮 返回目录 86 4.新情境 阿氏圆 [教材改编P62 T12] (2026·黑龙江省大庆市质检)古希腊著名数学 家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点的距离之比 为定值 的点所形成的图形是圆．后来人们将这样得到的圆称为阿波罗尼斯 圆，也称为阿氏圆．已知在平面直角坐标系中，，，动点 满足 ，则动点 形成的阿波罗尼斯圆的方程为( ) D A. B. C. D. 【解析】设点，由，得，化简得 ， 即 ． 练习帮 返回目录 87 5.[多选题](2026·江苏省南京市月考)已知圆的一般方程为 ， 则下列说法正确的是( ) BD A.圆的圆心为 B.圆 的半径为5 C.点不在圆上 D.圆关于直线 对称 【解析】可化为，所以圆 的圆心为 ，半径为5，故A错误，B正确； 因为，所以点在圆 上，故C错误； 因为圆心为在直线上，所以圆关于直线 对称， 故D正确. 练习帮 返回目录 88 6.与圆同心且过点 的圆的方程是_________________ _____________． 【解析】因为已知圆的圆心为，所以所求圆的圆心为 ，又 ，所以所求圆的方程为 ． 7.新考法 开放探究 写出方程 表示圆的一个充分不必 要条件：_______________________. （答案不唯一） 【解析】方程 ，整理得 ,所以，解得或 , 这是方程表示圆的充要条件，所以表示圆的充分不必要条件是它的真子集即可． 练习帮 返回目录 89 8.已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点 和，且 . （1）求直线 的方程； 【答案】直线的斜率，线段的中点坐标为 ， 故直线的方程为，即 . 练习帮 返回目录 90 （2）求圆 的标准方程． 【答案】设圆心，则由在上得 . 连接， 直径， ， ②. 由①②解得或 圆心为或 ， 故圆的标准方程为或 . 练习帮 返回目录 91 B 综合练丨高考模拟 建议时间：35分钟 9.圆关于直线 对称的圆的方程是( ) C A. B. C. D. 【解析】圆的圆心坐标为，半径为3，设点 关于直线的对称点为，则解得 则圆 关于直线对称的圆的圆心坐标为 ，则该 圆的方程为 ． 练习帮 返回目录 92 10.新情境 哥德巴赫猜想 关于奇数的哥德巴赫猜想：任何大于5的奇数都是三个素 数之和，如,.若从2，3，7中任取2个不同的素数, 组成 点，其中,且组成的所有点都在圆上，则圆 的标准方程为( ) D A. B. C. D. 【解析】从2，3，7中任取2个不同的素数,组成点，其中 ,则组成 ，，，则易得 （通过作图或利用向量的数量积皆可得到 该结论），则圆心的坐标为，半径为，则圆 的标准 方程为 ． . . 练习帮 返回目录 93 11.［多选题］已知为圆的弦，且点为的中点，点 为 平面内一动点，若 ，则( ) BC A.点构成的图象是一条直线 B.点 构成的图象是一个圆 C.的最小值为2 D. 的最小值为3 练习帮 返回目录 94 【解析】如图D 2.1-1，连接, . 图D 2.1-1 是的中点， ， 易知，， ． 又， ， 可得 ， 练习帮 返回目录 95 ， ， 可得，则， ． 点 构成的图象是一个圆，故A错误，B正确； 又， 当，，共线，且在之间时，有最小值为 ，故C 正确，D错误．故选 ． 练习帮 返回目录 12.新定义 太极函数 [多选题]太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼， 太极图展现了一种互相转化，相对统一的和谐美．定义：能够将圆 的周长和面积 同时等分成两个部分的函数称为圆 的一个“太极函数”．则下列有关说法中正确的是 ( ) BCD A.对于圆 的所有非常数函数的太极函数中，一定不能为偶函数 B.函数是圆 的一个太极函数 C.存在圆，使得是圆 的一个太极函数 D.直线 所对应的函数一定是圆 的太极函数 练习帮 返回目录 97 图D 2.1-2 【解析】对于A选项，如图D 2.1-2所示，存在偶函数可以将圆 的周长和面积同时等分成两个部分，故A错误； 对于B选项，两曲线的对称中心均为点 ，且 能把圆 的周长和面积同时等分成两个部分， 故B正确； 对于C选项，因为 ，所以函数 为奇函数，函数图象的对称中心为原点，故存在圆 使得是圆 的一个太极函数，故C正确； 对于D选项，直线 可变形为 ,令解得 所以 直线恒过圆的圆心，所以直线可以平分圆 的周长与面积，故D正确． 练习帮 返回目录 98 13.若点在圆上运动，则 的取值范围是______. [-, 【解析】因为点在圆上运动，所以由圆 的 圆心为，半径为1，可知，当时， ，则 ，当且仅当 时取等号．由圆的对称性可知， 当时，；当时，，则的取值范围是[- , ． 练习帮 返回目录 99 14.设定点，动点在圆上运动，以， 为两边作平行四边 形，求点 的轨迹． 图D 2.1-3 【答案】如图D 2.1-3所示，设，，则线段 的 中点坐标为，，线段的中点坐标为， .由于平行 四边形的对角线互相平分，故从而 又点 在圆上，故.直线 与轨 因此所求轨迹为圆，除去点和点 . 迹相交于点，和， ，与题意不符，舍去. （此处易忽略交点而致误） 练习帮 返回目录 100 C 培优练丨能力提升 15.(2026·河北省石家庄市第四十三中学月考)已知点， 为直线 上的动点，为圆上的动点，则 的 最小值为___. 9 练习帮 返回目录 101 【解析】令，则.（这样做是为了将“ ”中的系数化为一致） 设点的坐标为，点坐标为 ， 则 ， 整理得 ， 而该圆的方程为 ， 则解得故点的坐标为 ， 所以 . . . 练习帮 返回目录 102 图D 2.1-4 如图D 2.1-4，过点作垂直于于点 ，交圆 于点 ， 故的最小值为 ， 所以的最小值为 . 练习帮 返回目录 103 $