第03讲 1.5平面上的距离（13大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第03讲 1.5平面上的距离 目录 题型一：重点考查平面上两点间的距离公式 1 题型二：重点考查由定点坐标判断三角形的形状 2 题型三：重点考查利用两点间的距离公式求函数的最值 3 题型四：重点考查距离新定义题 5 题型五：重点考查点到直线的距离公式 6 题型六：重点考查已知点到直线的距离求参数 6 题型七：重点考查到两点距离相等的直线 7 题型八：重点考查点关于直线的对称点 8 题型九：重点考查两点的对称轴 8 题型十：重点考查直线关于直线对称 9 题型十一：重点考查平行线间的距离及其应用 10 题型十二：重点考查直线关于点对称的直线 11 题型十三：重点考查将军饮马问题中最值问题 12 题型一：重点考查平面上两点间的距离公式 典型例题 例题1．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）三角形的三个顶点为，则的中线的长为（    ） A．3 B．5 C．9 D．25 例题2．（23-24高二上·宁夏·阶段练习）已知点，且两点的距离为5，则（    ） A．0 B．8 C．0或8 D．4 例题3．（24-25高一上·上海·课前预习）平面上、两点的距离是 . 精练核心考点 1．（23-24高二上·天津·期末）三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 2．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知三点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二·全国·课堂例题）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为（    ） A． B． C．或 D．1或 题型二：重点考查由定点坐标判断三角形的形状 典型例题 例题1．（23-24高二上·福建厦门·期中）以点，，为顶点的三角形是（    ） A．等边 B．等腰直角 C．等腰 D．直角 例题2．（多选）（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（    ） A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则 例题3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，判断的类型. 精练核心考点 1．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知,,三点,则的形状是 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 2．（2024高二上·全国·专题练习）已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 3．（23-24高二·全国·课后作业）已知，证明是等边三角形． 题型三：重点考查利用两点间的距离公式求函数的最值 典型例题 例题1．（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，，若有且只有一组数对满足不等式 ，则实数的取值集合为 . 例题3．（2024高一上·山东滨州·竞赛）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为 . 精练核心考点 1．（多选）（23-24高一上·浙江杭州·期中）著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（    ） A．的图象是轴对称图形 B．的值域是 C．先减小后增大 D．方程有且仅有一个解 2．（2024高三·全国·专题练习）函数的最大值为 ． 3． （23-24高二上·全国·期中）求函数的最大值． 题型四：重点考查距离新定义题 典型例题 例题1．（2024·山东烟台·三模）在平面直角坐标系中，若定义两点和之间的“t距离”为，其中表示p，q中的较大者，则点与点之间的“t距离”为 ；若平面内点和点之间的“t距离”为，则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为 . 例题2．（23-24高三下·上海嘉定·阶段练习）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知点，，则的最大值为 ． 精练核心考点 1．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形的三个顶点坐标为，，，则的“好点”的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系内，O为坐标原点，对于任意两点，定义它们之间的“曼哈顿距离”为，以对于平面上任意一点P，若，则动点P的轨迹长度为 ． 题型五：重点考查点到直线的距离公式 典型例题 例题1．（23-24高二下·上海·期中）点到直线的距离是 . 例题2．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 例题3．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）原点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点及直线上一点，则的值不可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高二上·浙江金华·期中）原点到直线的距离为 . 3．（24-25高二上·上海·课后作业）若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 题型六：重点考查已知点到直线的距离求参数 典型例题 例题1．（23-24高二上·河北石家庄·期中）若点到直线l：的距离为3，则（ ） A．2 B．3 C． D．4 例题2．（2024高二上·全国·专题练习）垂直于直线且与点的距离是的直线l的方程是 ． 例题3．（23-24高二上·北京·期中）到直线的距离不超过，则实数的取值范围是 . 精练核心考点 1．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 2．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线l过点，若原点到l的距离为2，求直线l的方程． 3．（2024高二上·江苏·专题练习）求经过两直线与的交点，且与点的距离为5的直线l的方程. 题型七：重点考查到两点距离相等的直线 典型例题 例题1．（多选）（23-24高二上·湖南常德·期中）已知点，，，若直线经过点C，且A，B到的距离相等，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·重庆永川·阶段练习）已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 例题3．（23-24高二上·安徽六安·期中）写出过点且与两定点、等距离的一条直线方程为 .（写出符合条件的直线方程一般式） 精练核心考点 1．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 2．（多选）（23-24高二·全国·假期作业）（多选）下列过的直线中，到两点的距离相等的是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高二上·河南·阶段练习）已知点到直线的距离相等，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 题型八：重点考查点关于直线的对称点 典型例题 例题1．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线：，则点关于对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·四川眉山·期中）点关于的对称点为 精练核心考点 1．（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型九：重点考查两点的对称轴 典型例题 例题1．（23-24高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 例题3．（23-24高二上·天津和平·期中）已知A（-5，6）关于直线 的对称点为B（7，-4），则直线的方程是 . 精练核心考点 1．（23-24高一·全国·单元测试）已知点与点关于直线对称，则直线的方程是(　　) A． B． C． D． 2．（23-24高一·全国·单元测试）点与点)关于直线对称，则直线的方程为 ． 题型十：重点考查直线关于直线对称 典型例题 例题1．（23-24高二上·广东湛江·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）直线关于直线的对称直线方程为 ． 例题3．（23-24高二上·天津·期中）试求直线关于直线对称的直线l的方程． 精练核心考点 1．（23-24高二上·浙江·阶段练习）一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 3．（2024高三·全国·专题练习）求直线关于直线对称的直线的方程． 题型十一：重点考查平行线间的距离及其应用 典型例题 例题1．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）两平行直线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 例题2．（23-24高二下·青海海东·阶段练习）若直线与直线平行，则直线与的距离为 . 例题3．（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 . 精练核心考点 1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二·上海·随堂练习）若与平行，则两直线之间的距离为 . 3．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）直线与直线之间的距离为 ． 题型十二：重点考查直线关于点对称的直线 典型例题 例题1．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 例题2．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知直线和点 (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于点对称的直线方程. 例题3．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知直线l：和直线：. (1)求直线l关于点对称的直线的方程； (2)求直线l关于直线对称的直线的方程. 精练核心考点 1．（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ． 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线​的方程为​，点​的坐标为​. (1)若直线与​关于点​对称，求​的方程; (2)若点​与​关于直线​对称，求​的坐标. 3．（23-24高一·全国·单元测试）已知直线l: . (1)求点P（3， 4)关于直线l对称的点Q； (2)求直线l关于点（2， 3)对称的直线方程． 题型十三：重点考查将军饮马问题中最值问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·贵州安顺·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 例题2．（23-24高二上·吉林长春·期末）唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,怎样走才能使总路程最短?在平面角坐标系中,设军营所在位置为,若将军从处出发,河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为 . 精练核心考点 1．（24-25高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 2．（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 1.5平面上的距离 目录 题型一：重点考查平面上两点间的距离公式 1 题型二：重点考查由定点坐标判断三角形的形状 3 题型三：重点考查利用两点间的距离公式求函数的最值 5 题型四：重点考查距离新定义题 9 题型五：重点考查点到直线的距离公式 13 题型六：重点考查已知点到直线的距离求参数 15 题型七：重点考查到两点距离相等的直线 17 题型八：重点考查点关于直线的对称点 20 题型九：重点考查两点的对称轴 22 题型十：重点考查直线关于直线对称 24 题型十一：重点考查平行线间的距离及其应用 27 题型十二：重点考查直线关于点对称的直线 30 题型十三：重点考查将军饮马问题中最值问题 33 题型一：重点考查平面上两点间的距离公式 典型例题 例题1．（23-24高二上·新疆乌鲁木齐·期中）三角形的三个顶点为，则的中线的长为（    ） A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【分析】求出边的中点坐标，根据两点间的距离公式即可求得答案. 【详解】设边的中点为D，则D点坐标为，即， 故的中线的长为， 故选：B 例题2．（23-24高二上·宁夏·阶段练习）已知点，且两点的距离为5，则（    ） A．0 B．8 C．0或8 D．4 【答案】C 【分析】根据两点距离公式即可求解. 【详解】由题意可得或， 故选：C 例题3．（24-25高一上·上海·课前预习）平面上、两点的距离是 . 【答案】 【分析】根据两点距离公式即可求解. 【详解】, 故答案为： 精练核心考点 1．（23-24高二上·天津·期末）三角形的三个顶点为，D为中点，则的长为（   ） A．3 B．5 C．9 D．25 【答案】B 【分析】由中点坐标公式求得，应用两点间的距离公式求的长. 【详解】由题设，则. 故选：B 2．（23-24高二上·江苏徐州·阶段练习）已知三点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据两点间距离公式计算得到答案. 【详解】，则，解得. 故选：D. 3．（23-24高二·全国·课堂例题）已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为（    ） A． B． C．或 D．1或 【答案】C 【分析】根据平面上两点间的距离公式，列出方程，即可求解. 【详解】因为点与点之间的距离为5， 可得， 整理得，即，解得或． 故选：C. 题型二：重点考查由定点坐标判断三角形的形状 典型例题 例题1．（23-24高二上·福建厦门·期中）以点，，为顶点的三角形是（    ） A．等边 B．等腰直角 C．等腰 D．直角 【答案】D 【解析】计算出三边边长，结合勾股定理可判断出该三角形的形状. 【详解】由已知可得，， ，所以，. 因此，为直角三角形. 故选：D. 例题2．（多选）（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知顶点坐标是，则下列结论正确的是（    ） A．若为直角三角形，则或 B．若为锐角三角形，则 C．若为钝角三角形，则或 D．若为等腰三角形，则 【答案】AB 【分析】画出图像，逐一分析，即可. 【详解】解：如图所示， 当点与D、F重合时，为直角三角形，此时或，故A对， 当点介于D、F之间时，为锐角三角形，此时，故B对， 当点于位于D点左侧且不与B点重合时，为钝角三角形，此时且，故C错误， 当点与E、F、G重合时，为等腰三角形，此时或，故D错误， 故选：AB. 例题3．（23-24高二上·全国·课后作业）已知点，判断的类型. 【答案】等腰三角形 【分析】根据两点间距离公式求出，再求出可得答案. 【详解】∵， ， ， ∴，且三边不满足勾股定理， ∵， ∴，∴三点不共线， ∴是等腰三角形． 精练核心考点 1．（23-24高一下·内蒙古包头·期末）已知,,三点,则的形状是 A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【解析】计算三角形三边长度，通过边关系进行判断. 【详解】由两点之间的距离公式可得： ， ， ， 因为，且 故该三角形为等腰直角三角形. 故选：D. 【点睛】本题考查两点之间的距离公式，属基础题. 2．（2024高二上·全国·专题练习）已知的三个顶点的坐标是，，. (1)判断的形状； (2)求的面积. 【答案】(1)等腰直角三角形 (2)26 【分析】（1）由三角形的三个顶点的坐标分别求出三边长，再由勾股定理的逆定理能得到这个三角形是等腰直角三角形； （2）由三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】（1）因为，，， 所以，， ， 所以， 所以是等腰直角三角形. （2）由（1）得. 3．（23-24高二·全国·课后作业）已知，证明是等边三角形． 【答案】答案见解析 【分析】利用两点间的距离公式求解三边长度，可得证. 【详解】因为，所以， ，， 所以，所以是等边三角形． 题型三：重点考查利用两点间的距离公式求函数的最值 典型例题 例题1．（23-24高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【详解】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 例题2．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，，若有且只有一组数对满足不等式 ，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】将上述式子转化为两点间的距离,在平面直角坐标系中，描出各点，根据位置关系，得出最小值.根据连不等式成立的条件，找出唯一解即可. 【详解】平面直角坐标系中,，，,，，，， ∵有且只有一组数对满足不等式，∴，的取值集合为 故答案为: . 例题3．（2024高一上·山东滨州·竞赛）著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为 . 【答案】 【分析】函数表示点到点和的距离之差，结合图形即可得解. 【详解】因为， 所以它表示点到点和的距离之差，如图所示： 因为， 所以的最大值为. 故答案为：. 精练核心考点 1．（多选）（23-24高一上·浙江杭州·期中）著名数学家华罗庚曾说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：对于形如的代数式，可以转化为平面上点与的距离加以考虑.结合综上观点，对于函数，下列说法正确的是（    ） A．的图象是轴对称图形 B．的值域是 C．先减小后增大 D．方程有且仅有一个解 【答案】AC 【分析】由题得，设，，，则，作出图形，由点在轴的移动得出的性质，从而判断各选项． 【详解】由已知， 设，，，则，如图， 由图形可得点关于对称时，的值相等，因此的图象是轴对称图形，它关于直线对称，A正确； 显然轴，当时，，即， 又，而不可能共线，即， 所以，B错； 设在轴上，且在右侧，在点右侧，与交于点，则，， ∴， ∴，在轴上点的右侧，， ∴，即 这说明点从向右移动时，递增，同理在轴从左侧向点移动时，减小，C正确； ，， 设，则的解是和， 有一个解，而有两个解，因此有三个解，D错． 故选：AC． 【点睛】本题考查数形结合思想，题中函数转化为轴上点到两定点距离差的绝对值，然后通过点的移动确定函数的性质，使得较为复杂的函数问题得到解决，解题关键是数与形的结合，如两点间距离公式，直线的斜率公式等等． 2．（2024高三·全国·专题练习）函数的最大值为 ． 【答案】 【分析】的几何意义可知表示点，分别到，的距离差，结合求解即可. 【详解】表示点，分别到，的距离差， 即在函数的图象上求点，使得取得最大值， 如图所示， 易知，当且仅当点位于的延长线与的交点， 所以. 故函数的最大值为. 故答案为：. 3．（23-24高二上·全国·期中）求函数的最大值． 【答案】 【分析】可表示为、的距离减去、的距离，然后可得答案. 【详解】表示、的距离， 表示、的距离，所以， 因为， 所以. 题型四：重点考查距离新定义题 典型例题 例题1．（2024·山东烟台·三模）在平面直角坐标系中，若定义两点和之间的“t距离”为，其中表示p，q中的较大者，则点与点之间的“t距离”为 ；若平面内点和点之间的“t距离”为，则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为 . 【答案】 4 【分析】第一空：直接根据“t距离”的定义计算即可求解；第二空：根据“t距离”的定义分两种情况讨论得出A点的轨迹是正方形的四条线段；由此即可得解. 【详解】第一空：点与点之间的“t距离”为 ； 第二空：若平面内点和点之间的“t距离”为， 则， 不妨设，解得或，此时，即， 由对称性可知，当或时，，如图所示：   ，所以A点的轨迹就是正方形的四条线段， 则A点的轨迹围成的封闭图形的面积为. 故答案为：；4. 【点睛】关键点点睛：关键是严格按照“t距离”的定义进行计算，由此即可顺利得解. 例题2．（23-24高三下·上海嘉定·阶段练习）人脸识别，是基于人的脸部特征信息进行身份识别的一种生物识别技术．在人脸识别中，主要应用距离测试检测样本之间的相似度，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离．设，，则曼哈顿距离，余弦距离，其中（O为坐标原点）．已知点，，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意分析可得在正方形的边上运动，结合图象分析的最大值，即可得结果. 【详解】设，由题意可得：，即， 可知表示正方形，其中， 即点在正方形的边上运动， 因为，由图可知： 当取到最小值，即最大， 点有如下两种可能： ①点为点A，则，可得； ②点在线段上运动时，此时与同向，不妨取， 则； 因为， 所以的最大值为. 故答案为：. 精练核心考点 1．（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）十九世纪著名德国犹太人数学家赫尔曼闵可夫斯基给出了两点，的曼哈顿距离为.我们把到三角形三个顶点的曼哈顿距离相等的点叫“好点”，已知三角形的三个顶点坐标为，，，则的“好点”的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“好点”的定义逐个验证即可. 【详解】对于A，设， 则， 所以点不是的“好点”； 对于B，设， 则， ， 所以， 所以点是的“好点”； 对于C，设， 则， 所以点不是的“好点”； 对于D，设， 则， 所以点不是的“好点”. 故选：B. 2．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）在平面直角坐标系内，O为坐标原点，对于任意两点，定义它们之间的“曼哈顿距离”为，以对于平面上任意一点P，若，则动点P的轨迹长度为 ． 【答案】 【分析】由题意得点的轨迹方程，发现它的轨迹是正方形，只需求出一条边的距离即可. 【详解】 由题意设，则，用分别用依次代入该方程，发现该方程不变， 所以曲线的图象关于坐标轴以及坐标原点对称， 不妨设，此时即，它与坐标轴的两个交点坐标为， 它们的距离为， 所以由对称性得动点P的轨迹长度为. 故答案为：. 题型五：重点考查点到直线的距离公式 典型例题 例题1．（23-24高二下·上海·期中）点到直线的距离是 . 【答案】2 【分析】利用点到直线的距离公式可求答案. 【详解】点到直线的距离. 故答案为：2. 例题2．（23-24高二上·江苏南京·开学考试）已知直线：，则点到直线距离的最大值为（    ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】根据直线方程，可得直线过定点，即可求出结果. 【详解】直线：，即， 由，得到，所以直线过定点， 当直线垂直于直线时，距离最大，此时最大值为， 故选：B. 例题3．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）原点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用点到直线的距离公式表示出原点到直线的距离，然后化简求出函数最大值即可. 【详解】设原点到直线l的距离为d，由点到直线的距离公式得： ， 显然当时，有最大值，此时， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，所以. 故选：D. 精练核心考点 1．（23-24高二下·浙江·开学考试）已知点及直线上一点，则的值不可能是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】求出点到直线的距离，易知即可得出结论. 【详解】易知点到直线的距离为， 所以， 因此的值不可能是1. 故选：A 2．（23-24高二上·浙江金华·期中）原点到直线的距离为 . 【答案】 【分析】由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】点到直线的距离为： . 故答案为： 3．（24-25高二上·上海·课后作业）若点到直线l：的距离为d，则d的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先确定直线恒过定点，再计算，从而可得结论． 【详解】解：把直线的方程化为， 由方程组 解得 所以直线恒过定点， 其中直线不包括直线． 又， 且当与直线垂直时，点到直线的距离为， 所以点到直线的距离满足， 故答案为：． 题型六：重点考查已知点到直线的距离求参数 典型例题 例题1．（23-24高二上·河北石家庄·期中）若点到直线l：的距离为3，则（ ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离求解. 【详解】由点到直线距离公式知，， 解得， 故选：A 例题2．（2024高二上·全国·专题练习）垂直于直线且与点的距离是的直线l的方程是 ． 【答案】或 【分析】由垂直设所求直线方程为，利用点到直线的距离公式求出，进而求出直线的方程. 【详解】设与直线垂直的直线方程为， 则由点到直线的距离公式知，． 所以，即，得或， 故所求直线l的方程为或. 故答案为：或 例题3．（23-24高二上·北京·期中）到直线的距离不超过，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】直接利用点到直线的距离公式得到不等式，解得即可. 【详解】因为到直线的距离不超过， 所以，解得， 即实数的取值范围是. 故答案为： 精练核心考点 1．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知，两点到直线：的距离相等，则（    ） A． B．6 C．或4 D．4或6 【答案】D 【分析】求出点到直线的距离和点到直线的距离，二者相等求解方程即可. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 因为点到直线的距离和点到直线的距离相等， 所以，所以或. 故选：D. 2．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线l过点，若原点到l的距离为2，求直线l的方程． 【答案】或 【分析】讨论直线的斜率不存在和存在两种情况，因为原点到l的距离为2，当直线的斜率不存在时，满足，当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，得到直线方程，利用点到直线的距离公式求出，即可得到直线l的方程． 【详解】当直线的斜率不存在时，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线过点， 直线的方程为，即， 又原点到直线的距离为2， ， ，， ，， 直线的方程为，即， 所以，直线l的方程为或． 3．（2024高二上·江苏·专题练习）求经过两直线与的交点，且与点的距离为5的直线l的方程. 【答案】或 【分析】先求出交点坐标，对直线l的斜率分类讨论，结合点到直线的距离公式即可得到答案. 【详解】联立方程，解得，即直线与直线的交点为， 当直线l的斜率不存在时，直线， 可知点到直线l的距离为5，满足题意； 当直线l的斜率存在时，可设直线，即， 所以点到直线l的距离为，解得， 此时直线l的方程为，即； 综上所述：直线l的方程为或. 题型七：重点考查到两点距离相等的直线 典型例题 例题1．（多选）（23-24高二上·湖南常德·期中）已知点，，，若直线经过点C，且A，B到的距离相等，则的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用，两点到直线距离相等，分情况讨论直线斜率存在和不存在时的情况，从而求解. 【详解】由题意知：，两点到直线的距离相等，则需对直线分斜率存在和不存在两种情况， 当斜率不存在时，直线为：，此时，到直线距离都为，故满足题意； 当斜率存在时，设斜率为，得直线方程为：， 由点到直线距离得：，解之得：， 所以得直线方程为：； 综上所述：直线方程为：或. 故选：AC 例题2．（23-24高二上·重庆永川·阶段练习）已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】根据点到直线的距离公式，即可根据直线有无斜率求解. 【详解】当直线有斜率时，设直线方程为， 到直线的距离相等，则，解得， 所以直线方程为，即， 当直线无斜率时，则直线方程为，此时到直线的距离均为3，符合题意， 综上可得：或， 故答案为：或 例题3．（23-24高二上·安徽六安·期中）写出过点且与两定点、等距离的一条直线方程为 .（写出符合条件的直线方程一般式） 【答案】（或） 【分析】结合题意可得所求直线与过、两点的直线平行，所求直线经过、的中点时，都是满足题意的，进而求解即可. 【详解】当所求直线与过、两点的直线平行时，满足题意， 由于过、两点的直线斜率为， 所以所求直线斜率为， 则所求直线直线方程为：，即； 当所求直线经过、的中点时，满足题意， 由于、的中点为， 则所求直线斜率为， 则所求直线直线方程为：，即. 所以满足条件的直线方程为或. 故答案为：（或）. 精练核心考点 1．（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）若点，到直线的距离相等，则（    ） A．1 B． C．1或 D．或2 【答案】C 【分析】根据斜率公式以及中点坐标即可求解. 【详解】若，在直线的同侧，则，解得． 若，分别在直线的两侧，则直线经过的中点，则，解得． 故选：C 2．（多选）（23-24高二·全国·假期作业）（多选）下列过的直线中，到两点的距离相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】显然斜率不存在时不合适，设即，由条件可知，解得或． 当时，，方程为，当时，过中点，方程为． 3．（多选）（23-24高二上·河南·阶段练习）已知点到直线的距离相等，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意可得直线过线段的中点或，再逐一检验各个选项即可. 【详解】由点到直线的距离相等， 得直线过线段的中点或， 对于A，直线的方程为，即，故A选项符合； 对于B，将线段的中点代入得， 所以直线过线段的中点，故B符合； 对于C，将线段的中点代入得， 所以直线不过线段的中点，故C不符合； 对于D，将线段的中点代入得， 所以直线过线段的中点，故D符合. 故选：ABD. 题型八：重点考查点关于直线的对称点 典型例题 例题1．（23-24高二上·四川遂宁·期中）已知直线：，则点关于对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂直斜率关系，以及中点在直线上即可列方程求解. 【详解】设点关于对称的点为，则，解得， 故选：B 例题2．（23-24高二上·四川眉山·期中）点关于的对称点为 【答案】 【分析】设出对称点坐标，由垂直关系和中点坐标解方程组即可求得结果. 【详解】设对称点坐标为， 根据题意可得，解得； 所以对称点坐标为. 故答案为： 精练核心考点 1．（23-24高二上·山东泰安·期末）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出垂直于直线且过点的表达式，求出交点坐标，即可得出关于直线的对称点. 【详解】由题意， 在直线中，斜率为， 垂直于直线且过点的直线方程为，即， 设两直线交点为， 由，解得：， ∴, ∴点关于直线的对称点的坐标为， 即， 故选：C. 2．（23-24高二上·广东佛山·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点关于直线对称的点的坐标为，结合直线的垂直关系以及中点问题列出方程组，即可求得答案. 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为， 则，解得， 故点关于直线对称的点的坐标为， 故选：B 题型九：重点考查两点的对称轴 典型例题 例题1．（23-24高二上·四川内江·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意直线为线段的中垂线，先求出直线的斜率及中点坐标，再根据两直线垂直的性质得到直线的斜率，最后利用点斜式求出方程，化简即可得出. 【详解】因为点关于直线对称的点为，所以直线为线段的中垂线， 因为，中点为，且， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为即. 故选：D 例题2．（23-24高二上·江苏淮安·阶段练习）已知点与点关于直线对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】将线段的中点代入直线的方程中可得答案. 【详解】因为、，所以的中点为， 因为点与点关于直线对称，所以的中点在此直线上， 所以，即， 故答案为： 例题3．（23-24高二上·天津和平·期中）已知A（-5，6）关于直线 的对称点为B（7，-4），则直线的方程是 . 【答案】 【分析】分别求出AB的斜率和中点坐标，利用点斜式求出直线的方程. 【详解】关于直线 对称，. 因为A（-5，6），B（7，-4），所以，所以. 又因为AB中点（1，1）在直线上，所以直线方程为 故答案为： 精练核心考点 1．（23-24高一·全国·单元测试）已知点与点关于直线对称，则直线的方程是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据，求出，设直线方程为，然后求出中点坐标，代入直线方程，解出即可. 【详解】 因为直线的斜率为,所以直线的斜率为1,设其方程为, 因为线段的中点坐标为, 所以,解得， 所以直线的方程是. 故选：D. 2．（23-24高一·全国·单元测试）点与点)关于直线对称，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】根据题意可知直线为线段AB的垂直平分线，求出AB中点坐标和直线AB的斜率，利用直线的点斜式方程计算即可. 【详解】直线就是线段的垂直平分线， 的中点为， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 题型十：重点考查直线关于直线对称 典型例题 例题1．（23-24高二上·广东湛江·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，则反射光线所在直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意利用反射定律，可得反射光线所在直线经过点，点，再用两点式求得反射光线QP′所在的直线方程． 【详解】由题意可得反射光线所在直线经过点， 设点关于x轴的对称点为， 则根据反射定律，点在反射光线所在直线上， 故反射光线所在直线的方程为 ，即， 故选：A． 例题2．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）直线关于直线的对称直线方程为 ． 【答案】 【分析】两直线方程联立可求得交点在所求对称直线上；在直线上取一点，求得其关于直线对称的点的坐标，该点也在对称直线上；由直线两点式可整理得到结果. 【详解】设直线关于直线对称的直线为， 由得：，则点在直线上； 在直线上取一点，设其关于直线对称的点为， 则，解得：，即； 直线的方程为：，即. 故答案为：. 例题3．（23-24高二上·天津·期中）试求直线关于直线对称的直线l的方程． 【答案】. 【分析】求出直线的交点坐标，再在直线取点，并求出该点关于直线对称点坐标即可求解作答. 【详解】由，解得，即直线交于点，显然点在直线上， 在直线上取点，设该点关于直线对称点，则，解得， 点在直线上，因此直线的斜率， 所以直线的方程为，即.    精练核心考点 1．（23-24高二上·浙江·阶段练习）一条光线从点射出，经直线反射后经过点，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点，再利用反射光线过点，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，化简得，解得， 故反射光线过点， 则反射光线所在直线的方程为. 故选：B. 2．（2024高三·全国·专题练习）直线关于直线对称的直线方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在直线上任取一点，设其关于直线的对称点为，然后根据对称关系列方程可表示出，再代入中化简可得答案 【详解】在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，即， 因为点在直线上， 所以，即， 所以所求直线方程为， 故选：A. 3．（2024高三·全国·专题练习）求直线关于直线对称的直线的方程． 【答案】 【分析】法一，联立方程解出和的交点坐标，直线也过该点，在直线上取一点，求出点M关于直线l的对称点坐标，由两点式可得到直线的方程；法二，联立方程解出和的交点坐标，设直线的斜率为，由点斜式设出直线的方程，在直线l上取一点，则点Q到的距离与点Q到的距离相等，求出，即可求得直线的方程；法三，由于对称轴的斜率为，可用直接代入的方法：把，代入的方程，即可求得直线的方程. 【详解】解法一：由，得两直线的交点， 在直线上取一点，设点M关于直线l的对称点为， 则，解得，由题意知经过此点， 则由两点式得，即， 所以的方程为． 解法二：由解法一得，设直线的方程为，即， 在直线l上取一点，则点Q到的距离与点Q到的距离相等， 即，解得或（舍去）． ∴的方程为． 解法三：由于对称轴的斜率为， 可用直接代入的方法：把，代入， 得，即， ∴的方程为． 【点睛】方法点睛：解法三，凡对称轴方程的斜率为，均可用代入法．如果对称轴方程的斜率不为，则不能用此法，只能用上述的解法一和解法二． 题型十一：重点考查平行线间的距离及其应用 典型例题 例题1．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）两平行直线之间的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】利用平行直线间的距离公式即可得解. 【详解】直线可化为， 直线可化为， 所以两平行直线之间的距离为. 故选：A. 例题2．（23-24高二下·青海海东·阶段练习）若直线与直线平行，则直线与的距离为 . 【答案】/ 【分析】根据直线平行求得，进而结合两平行线间距离公式分析求解. 【详解】由于与平行，则，即，解得或， 当时，两直线方程分别为，此时两直线重合，不符合题意； 当时，两直线方程分别为，此时两直线平行，符合题意； 综上所述：，两直线方程分别为， 所以直线与的距离为. 故答案为：. 例题3．（23-24高二上·云南临沧·阶段练习）设，已知直线，过点作直线，且，则直线与之间距离的最大值是 . 【答案】5 【分析】求出直线恒过点，从而得到两平行线的最大距离为点与点的距离，得到答案. 【详解】由于直线，整理得：， 故，解得， 即直线恒过点，则过点作直线， 且，则最大距离为点与点的距离， 即. 故答案为：5 精练核心考点 1．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知,则它们的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行可求，根据平行线间距离公式计算后可得正确的选项. 【详解】因为，所以，故，故. 故之间的距离为， 故选：D. 2．（24-25高二·上海·随堂练习）若与平行，则两直线之间的距离为 . 【答案】 【分析】先根据直线与平行求出参数，再由两平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】∵直线与平行，∴，解得， ∴直线，直线， ∴直线与之间的距离， 故答案为：. 3．（23-24高一下·河南信阳·阶段练习）直线与直线之间的距离为 ． 【答案】/ 【分析】利用平行直线之间的距离公式可得答案. 【详解】的方程可化为，与平行， 由平行直线之间的距离公式可得 . 故答案为：. 题型十二：重点考查直线关于点对称的直线 典型例题 例题1．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 例题2．（23-24高二上·广西南宁·阶段练习）已知直线和点 (1)求点关于直线的对称点的坐标； (2)求直线关于点对称的直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点关于线对称列式求解即可； （2）根据相关点法分析运算即可. 【详解】（1）设，由题意可得，解得， 所以点的坐标为. （2）在对称直线上任取一点，设关于点的对称点为， 则，解得， 由于在直线上，则，即， 故直线关于点的对称直线的方程为. 例题3．（23-24高二上·安徽亳州·阶段练习）已知直线l：和直线：. (1)求直线l关于点对称的直线的方程； (2)求直线l关于直线对称的直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意，设直线的方程为，代入直线l上的点关于点的对称点坐标求出即可得答案； （2）先求出直线的点关于直线的对称点，由直线经过直线l与直线的交点和即可求解. 【详解】（1）解：因为直线l关于点对称的直线与直线l平行，所以设直线的方程为， 在直线l上取点，则点关于点的对称点必在直线上， 所以，解得， 故所求直线的方程为； （2）解：由解得交点， 在直线上取点，设关于直线的对称点， 则，解得，所以， 又直线过点， 所以， 所以直线的方程为，即. 精练核心考点 1．（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线的方程为 ． 【答案】 【分析】 根据直线关于点对称，设上的点坐标，写出关于对称的点坐标，根据点在已知直线上求直线方程. 【详解】设为上任意一点，则关于点的对称点为， 因为在直线l上，所以，即直线的方程为． 故答案为： 2．（23-24高二上·四川成都·期中）已知直线​的方程为​，点​的坐标为​. (1)若直线与​关于点​对称，求​的方程; (2)若点​与​关于直线​对称，求​的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）由直线与直线互相平行，且点到两直线距离相等，列方程即可求解； （2）由直线垂直平分线段，列方程组即可求解. 【详解】（1） 易知直线与直线互相平行， 设的方程为​，点到两直线距离相等， 有​， 即​，或​(舍去)， 故​的方程为​. （2） 设点​的坐标为​， 直线，且的中点在直线上， 而直线的斜率为，， 故有​，解得 ， ​故​的坐标为. 3．（23-24高一·全国·单元测试）已知直线l: . (1)求点P（3， 4)关于直线l对称的点Q； (2)求直线l关于点（2， 3)对称的直线方程． 【答案】(1)Q (2)x－2y＋10＝0 【分析】（1）利用PQ⊥l，且PQ的中点在直线l上列方程求出Q； （2）在直线l上任取一点，如M（0，-1)，求出点M关于点（2， 3)对称的点N（4， 7)．利用平行，求出斜率，即可求出所求的直线方程. 【详解】（1）设Q（x0， y0)． 由于PQ⊥l，且PQ的中点在直线l上， 则，解得，所以Q. （2）在直线l上任取一点，如M（0， －1). 设点M关于点（2， 3)对称的点为N（x， y)， 所以，解得：，所以N（4， 7) 因为所求直线与l平行，所以, 所以所求的直线方程为，即x－2y＋10＝0. 题型十三：重点考查将军饮马问题中最值问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·贵州安顺·期末）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”这是唐代边塞诗人李颀的《古从军行》中的诗句，诗句中隐含着一个著名的数学问题——“将军饮马”问题，即将军白天察看烽火台之后，从山脚下的某处返回军营，途中须到河边饮马然后再赶回军营，将军怎样走才能使返回总路程最短？已知在平面直角坐标系中，军营所在位置为坐标原点，将军从山脚下的点处出发返回军营，河岸线所在直线方程为．则返回总路程最短为 ． 【答案】 【分析】根据点关于直线的对称，进而根据两点距离公式即可求解. 【详解】过作关于直线对称的点， 设，所以，解得， 所以，故最短距离为. 故答案为：    例题2．（23-24高二上·吉林长春·期末）唐代诗人李颀的《古从军行》中两句诗为：“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,怎样走才能使总路程最短?在平面角坐标系中,设军营所在位置为,若将军从处出发,河岸线所在直线方程为.则“将军饮马”的最短总路程为 . 【答案】 【分析】首先利用点关于线的对称求出点,进一步利用两点间的距离公式的应用求出的长． 【详解】设军营所在位置为， 若将军从处出发，河岸线所在直线方程为， 故点关于对称点的坐标， 所以，解得；即． 设直线上任一点N，，即当且仅当Q，N，三点共线时取最小值， 即． 即“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：. 精练核心考点 1．（24-25高二上·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】先求出点关于直线的对称点为，则线段的长度即为最短总路程，再利用两点间的距离公式进行求解． 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得， ，又点 故“将军饮马”的最短总路程为． 故选：A．      2．（2024·陕西西安·一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】C 【分析】根据两点间线段最短，结合中点坐标公式、互相垂直直线斜率的性质进行求解即可. 【详解】设点关于直线对称的点为， 则有， 所以“将军饮马”的最短总路程为， 故选：C 学科网（北京）股份有限公司 $$