第02讲 1.3两条直线的平行于垂直+1.4两条直线的交点（6大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第02讲 1.3两条直线的平行于垂直+1.4两条直线的交点 目录 题型一：重点考查由斜率判断两条直线平行（垂直） 1 题型二：重点考查由直线平行求参数 3 题型三：重点考查由直线垂直求参数 4 题型四：重点考查根据方程组的解的个数判断直线位置关系或求参数 5 题型五：重点考查三线能围成三角形问题 6 题型六：重点考查直线交点系方程及应用 7 题型一：重点考查由斜率判断两条直线平行（垂直） 典型例题 例题1．（23-24高二上·山东潍坊·期中）直线，的斜率是方程的两个根，则（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 例题2．（2024高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)，； (2)，； (3)，. 例题3．（23-24高二上·江苏·课后作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； 精练核心考点 1．（多选）（23-24高二上·宁夏·阶段练习）下列直线中，与垂直的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各组直线的位置关系： (1)，； (2)，； (3)，． 3．（23-24高二·全国·课堂例题）判断下列各对直线是否垂直． (1)； (2)． 题型二：重点考查由直线平行求参数 典型例题 例题1．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）已知直线.若，则实数的值是（    ） A．4 B． C．4或0 D．4或 例题2．（23-24高二下·上海·期中）若直线，平行，则实数的值为 . 例题3．（23-24高二下·上海·期中）已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围． (1)与相交； (2)与重合． 精练核心考点 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知直线，直线，则“”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知直线，若，则 ． 3．（23-24高二下·上海·期中）直线与直线平行，则 ． 题型三：重点考查由直线垂直求参数 典型例题 例题1．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知直线：，：，若“”是“”的充要条件，则（    ） A． B． C．1 D．2 例题3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线：与直线：互相垂直，实数k的值为 ． 精练核心考点 1．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知直线与直线相互垂直，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 2．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3． （23-24高一下·北京顺义·阶段练习）若两条直线，垂直，则 . 题型四：重点考查根据方程组的解的个数判断直线位置关系或求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·上海黄浦·期中）若关于，的二元一次方程组无解，则实数 ． 例题2．（23-24高二上·上海·课后作业）分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标. (1)，； (2)，. 例题3．（23-24高一下·上海宝山·期末）解关于.的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论. 精练核心考点 1．（23-24高二上·全国·课前预习）无论m为何值，与必相交.( ) 2．（23-24高二上·上海浦东新·期末）若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则的取值为 ． 3．（23-24高二·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点. （1）l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; （2）l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; （3）l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. 题型五：重点考查三线能围成三角形问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则的取值可能为（    ） A．－2 B．2 C．4 D．6 例题3．（23-24高二·江苏·课后作业）已知直线，，. (1)若这三条直线交于一点，求实数m的值； (2)若三条直线能构成三角形，求m满足的条件. 精练核心考点 1．（多选）（23-24高二上·河北张家口·期中）若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为 ． 3．（23-24高二上·浙江宁波·期末）若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ． 题型六：重点考查直线交点系方程及应用 典型例题 例题1．（23-24高二·全国·课后作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 . 例题2．（2024高二上·全国·专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)过点； (3)平行于直线． 例题3．（23-24高一下·全国·课后作业）已知两直线和. （1）判断两直线是否相交，若相交，求出其交点； （2）求过与的交点且斜率为的直线方程. 精练核心考点 1．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 2．（23-24高一下·全国·课后作业）求经过直线与的交点，且过点的直线方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 1.3两条直线的平行于垂直+1.4两条直线的交点 目录 题型一：重点考查由斜率判断两条直线平行（垂直） 1 题型二：重点考查由直线平行求参数 4 题型三：重点考查由直线垂直求参数 6 题型四：重点考查根据方程组的解的个数判断直线位置关系或求参数 8 题型五：重点考查三线能围成三角形问题 11 题型六：重点考查直线交点系方程及应用 14 题型一：重点考查由斜率判断两条直线平行（垂直） 典型例题 例题1．（23-24高二上·山东潍坊·期中）直线，的斜率是方程的两个根，则（    ） A． B． C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定 【答案】B 【分析】结合根与系数关系、两直线的位置关系求得正确答案. 【详解】设直线的斜率分别是， 依题意，所以. 故选：B 例题2．（2024高二上·江苏·专题练习）判断下列各组中的直线与是否平行或垂直： (1)，； (2)，； (3)，. 【答案】(1)不平行也不垂直 (2)平行 (3)不平行也不垂直 【分析】先判断直线是否存在斜率，若不存在，则易判断两直线位置关系；若不存在，则求出斜率，并判断斜率是否相等，或乘积是否为-1，斜率相等时注意是否重合即可. 【详解】（1）由题意得：，故即不平行也不垂直； （2）由题意得：且，故平行； （3）因为，所以重合，即即不平行也不垂直. 例题3．（23-24高二上·江苏·课后作业）判断下列各组直线是否垂直，并说明理由： (1)，； (2)，； 【答案】(1)垂直，理由见解析 (2)垂直，理由见解析 【分析】（1）两直线的斜率存在，则根据斜率之积为-1判别是否垂直即可； （2）两直线的斜率存在，则根据斜率之积为-1判别是否垂直即可. 【详解】（1）直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与垂直； （2）直线的斜率为，直线的斜率为， 因为，所以与垂直. 精练核心考点 1．（多选）（23-24高二上·宁夏·阶段练习）下列直线中，与垂直的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据垂直满足的斜率关系即可求解. 【详解】直线的斜率为，故与其垂直的直线斜率为， 对于ACD, 斜率为,符合， 对于B，斜率为，不符合， 故选：ACD 2．（23-24高二上·全国·课后作业）判断下列各组直线的位置关系： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)平行 (2)垂直 (3)相交但不垂直. 【分析】（1）根据斜率相等，纵截距不相等即可判定为平行； （2）利用两直线斜率之积等于即可判断垂直； （3）利用斜率的关系即可判定为相交但不垂直. 【详解】（1）因为 且两直线的纵截距, 所以两直线平行. （2）因为 所以两直线垂直. （3）因为 所以两直线既不平行，也不垂直. 即两直线的位置关系为相交但不垂直. 3．（23-24高二·全国·课堂例题）判断下列各对直线是否垂直． (1)； (2)． 【答案】(1)不垂直 (2)垂直 【分析】（1）根据斜率乘积不等于即可判断； （2）根据两直线倾斜角即可判断. 【详解】（1）将的方程化为斜截式为．因此的斜率为， 又因为的斜率为2， 而且， 从而可知与不垂直． （2）显然，的倾斜角为，的倾斜角为，从而可知与垂直． 题型二：重点考查由直线平行求参数 典型例题 例题1．（23-24高二上·新疆昌吉·阶段练习）已知直线.若，则实数的值是（    ） A．4 B． C．4或0 D．4或 【答案】C 【分析】利用两条直线平行的性质，分类讨论与即可得解. 【详解】因为，， 当时，，显然满足题意； 当时，，解得； 综上，或. 故选：C. 例题2．（23-24高二下·上海·期中）若直线，平行，则实数的值为 . 【答案】或 【分析】根据直线平行的性质直接得解. 【详解】由已知直线，平行， 则， 解得或， 故答案为：或. 例题3．（23-24高二下·上海·期中）已知直线，，根据下列条件分别求实数的取值范围． (1)与相交； (2)与重合． 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）易知当满足题意，当时，两直线斜率不相等，可求得的取值范围； （2）根据直线方程的一般形式可得当时，即时，与重合. 【详解】（1）当时，的斜率不存在，此时与相交，符合题意； 当时，的斜率为，需满足， 解得且； 所以当且时，与相交； （2）若与重合，需满足，且， 解得， 即时，与重合. 精练核心考点 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知直线，直线，则“”是“或”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线平行满足的系数关系列式求解a，结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若直线和直线平行， 则，解得， 所以“”是“或”的充分不必要条件. 故选：A 2．（23-24高二上·甘肃庆阳·阶段练习）已知直线，若，则 ． 【答案】0 【分析】利用直线平行求解即可，结合时、时两种情况. 【详解】①当时，②当时，若，可得与重合，不合题意．故． 故答案为：. 3．（23-24高二下·上海·期中）直线与直线平行，则 ． 【答案】 【分析】分别讨论两直线斜率是否存在，存在时两斜率相等解方程即可解得. 【详解】当时，即时，不满足题意； 当时，即时，不满足题意； 当且时，两直线斜率均存在，需满足， 解得或. 又当时，与重合，不合题意； 当时，与平行，满足题意； 故答案为： 题型三：重点考查由直线垂直求参数 典型例题 例题1．（24-25高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知，，直线和垂直，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意利用两直线垂直的性质，求得，再利用基本不等式，求得的最小值． 【详解】，，直线，，且， ，即． 则，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为8， 故选：B． 例题2．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知直线：，：，若“”是“”的充要条件，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由两直线垂直的充要条件结合且即可求解. 【详解】由题意可知若，则， 又因为即，故，即. 故选：B. 例题3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线：与直线：互相垂直，实数k的值为 ． 【答案】1或4 【分析】根据两直线互相垂直的公式，即可求解. 【详解】由，可知，， 解得：或. 故答案为：或 精练核心考点 1．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知直线与直线相互垂直，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D． 【答案】A 【分析】利用直线与直线垂直的条件求解即可. 【详解】 故选:A. 2．（23-24高三上·江西南昌·阶段练习）已知，，直线：，：，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】利用直线垂直的性质与基本不等式可求最小值. 【详解】因为，故即， 故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为， 故选：C. 3．（23-24高一下·北京顺义·阶段练习）若两条直线，垂直，则 . 【答案】 【分析】由题意可得出，解方程即可得出答案. 【详解】因为两条直线，垂直， 所以，所以，解得：. 故答案为：. 题型四：重点考查根据方程组的解的个数判断直线位置关系或求参数 典型例题 例题1．（23-24高二下·上海黄浦·期中）若关于，的二元一次方程组无解，则实数 ． 【答案】 【分析】根据方程组无解，得到直线与直线平行，进而可求出参数. 【详解】因为关于，的二元一次方程组无解， 所以直线与直线平行， 所以，解得， 当时，两直线重合， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查由两直线平行求参数，属于基础题型. 例题2．（23-24高二上·上海·课后作业）分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)与相交，交点坐标为 (2)与平行 【分析】联立两直线方程，通过其解可判断两者关系，且其解为交点，从而得解. 【详解】（1）因为，， 联立，解得， 所以与相交，交点坐标为. （2）因为，可化为， 联立，两式相减得，显然不成立，故方程组无解， 所以与平行. 例题3．（23-24高一下·上海宝山·期末）解关于.的一元二次方程组，并对解的情况进行讨论. 【答案】，无数个解；，无解；且，. 【分析】分情况讨论即可知道解的情况. 【详解】（1）当时，方程组有无数个解， 解得； （2）当时，方程组无解， 解得； （3）当时，方程组只有一组解为， 解得且， 综上，，无数个解；，无解；且，. 【点睛】本题考查二元一次方程组的解的情况，可以利用直线系数的比例关系讨论，属于基础题. 精练核心考点 1．（23-24高二上·全国·课前预习）无论m为何值，与必相交.( ) 【答案】错误 【分析】联立两条直线的方程，根据求得解的个数，即可得到答案. 【详解】联立两条直线的方程，可得. 当，即时，该方程无解，则两条直线平行； 当时，该方程只有一个解，则两条直线相交. 故答案为：错误. 2．（23-24高二上·上海浦东新·期末）若关于的二元一次方程组有无穷多组解，则的取值为 ． 【答案】2 【详解】关于的二元一次方程组有无穷多组解，所以直线与直线重合，所以 ，解得 ，即的取值为，故答案为. 3．（23-24高二·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点. （1）l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; （2）l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; （3）l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. 【答案】答案见解析. 【分析】直接将两直线方程联立方程组，根据方程组解的个数判断两直线是否相交. 【详解】（1）方程组的解为 因此直线l1和l2相交，交点坐标为(3，-1). （2）方程组有无数个解， 这表明直线l1和l2重合. （3）方程组无解， 这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2. 【点睛】本题考查了直线方程的解的个数与直线的位置关系，考查了运算求解能力，属于基础题目. 题型五：重点考查三线能围成三角形问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·湖南·期末）若三条不同的直线，，不能围成一个三角形，则a的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分线线平行和三线共点讨论即可. 【详解】若，则，解得．若，则，解得． 若，，交于一点，联立方程组，解得得， 代入，得，解得，故a的取值集合为． 故选：D. 例题2．（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）若三条不同的直线：，：，：不能围成一个三角形，则的取值可能为（    ） A．－2 B．2 C．4 D．6 【答案】BCD 【分析】首先利用直线平行以及三条直线交于一点，即可出参数的值. 【详解】若,则两条直线斜率相等，即，解得；若，则根据斜率相等有，解得； 若三条直线交于一点，此时联立与，得点，将点代入中，解得. 综上所述，要使得三条直线不能围成三角形，的取值为. 故选：BCD 例题3．（23-24高二·江苏·课后作业）已知直线，，. (1)若这三条直线交于一点，求实数m的值； (2)若三条直线能构成三角形，求m满足的条件. 【答案】(1)2； (2)当m≠2且m≠－2且m≠. 【分析】(1)联立和的方程求得交点坐标，将此交点坐标代入的方程即可求出m的值； (2)由题意得到三条直线不能构成三角形的情况，求出每一种情况下的值，则答案可求． 【详解】（1）由解得，代入的方程，得m＝2. （2）当三条直线相交于一点或其中两直线平行时三条直线不能构成三角形． ①联立，解得，代入，得； ②当与平行时，， 当与平行时，． 综上所述，当且时，三条直线能构成三角形 精练核心考点 1．（多选）（23-24高二上·河北张家口·期中）若直线，，不能构成三角形，则m的取值可能为（    ）． A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由已知可得出不能构成三角形的条件，分个讨论即可得到. 【详解】因为直线，，不能构成三角形， 所以存在，，过与的交点三种情况. 显然，.则直线的斜率分别为，，. 当时，有，即，解得； 当时，有，即，解得； 当过与的交点时.先联立，解得，则与的交点为， 代入，得，解得． 综上：或或． 故选：ABD． 2．（23-24高一下·陕西渭南·阶段练习）已知三条直线，，不能构成三角形，则实数m的取值集合为 ． 【答案】 【分析】根据三条直线不能构成三角形，则有任意两条平行或交于同一个点，分类讨论求解. 【详解】三条直线不能围成三角形，则有以下情况： (1) 直线与直线平行， 则有； (2) 直线与直线平行， 则有； (3) 三条直线，，相交于同一点， 联立解得，代入可得， 综上，实数m的取值集合为， 故答案为: . 3．（23-24高二上·浙江宁波·期末）若三条直线与能围成一个直角三角形，则 ． 【答案】或1 【分析】由三条直线两两垂直，即两直线的斜率之积为，求解即可. 【详解】显然，3x-y+1=0，x+y+3=0有交点， 若与垂直，则； 若与垂直，则．所以或1． 故答案为：或1 题型六：重点考查直线交点系方程及应用 典型例题 例题1．（23-24高二·全国·课后作业）设直线经过和的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，则直线的方程为 . 【答案】或 【分析】由题可求交点，结合条件即可求出；或设直线系方程，结合已知即求. 【详解】方法一：由，得， 所以两条直线的交点坐标为（14，10）, 由题意可得直线的斜率为1或-1， 所以直线的方程为或， 即或. 方法二：设直线的方程为，整理得， 由题意，得，解得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 例题2．（2024高二上·全国·专题练习）求过两条直线与的交点，且分别满足下列条件的直线方程： (1)斜率为； (2)过点； (3)平行于直线． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）法一：联立直线方程，求出交点坐标，由点斜式方程得到直线方程.法二：由直线系方程可设所求直线为，由斜率为求出的值，回代入方程即可得出答案. （2）法一：由点斜式方程得到直线方程；法二：因为直线过点，代入直线系方程求出的值，即可得出答案. （3）法一：两直线平行，斜率相等，由点斜式方程得到直线方程. 法二：两直线平行，斜率相等，可得出直线系方程的斜率求出的值，即可得出答案. 【详解】（1）法一:直线与的交点为， 当斜率为时，由直线的点斜式方程得：直线方程为． 直线方程为． 法二:由题意，直线不符合题意， 所以由直线系方程可设所求直线为 ， 当直线的斜率为时，，解得， 故所求直线方程为； （2）法一：过点时，由两点式得：即为． 直线方程为． 法二：由题意，直线不符合题意， 过点时，代入（1）中直线系方程得， 故所求直线方程为． （3）法一：平行于直线时，得直线斜率为，直线方程为， 直线方程为． 法二：由题意，直线不符合题意， 平行于直线时，由（1）中直线系方程，解得, 故所求直线方程为． 例题3．（23-24高一下·全国·课后作业）已知两直线和. （1）判断两直线是否相交，若相交，求出其交点； （2）求过与的交点且斜率为的直线方程. 【答案】（1）两直线相交，两直线交点为；（2）. 【分析】（1）利用两直线的斜率即可判定，联立方程即求； （2）利用点斜式即求或设直线系方程即得. 【详解】（1）∵， ∴两直线相交， 联立两直线方程得 解得即两直线交点为. （2）解法一：由点斜式方程可得所求的直线方程为，即. 解法二：显然不是所求方程可设所求直线方程为， 整理得， ∴，∴， 整理得所求直线方程为. 精练核心考点 1．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据直线相交设所求直线为，结合直线过原点求参数，即可得方程. 【详解】令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 故答案为： 2．（23-24高一下·全国·课后作业）求经过直线与的交点，且过点的直线方程. 【答案】 【分析】联立方程可求交点，结合条件即求；或设直线交点系方程，利用条件即求. 【详解】解法一：联立直线方程，解方程组得， 由两点式得所求直线的方程为， 即. 解法二：易知直线不符合所求方程，设所求直线方程为， 将点的坐标代入，得， 解得， 故所求直线方程为，整理得. 学科网（北京）股份有限公司 $$