第01讲 1.1直线的斜率与倾斜角+1.2直线的方程（12大核心考点）-【练透核心考点】2024-2025学年高二数学核心题型总结与突破（苏教版2019选择性必修第一册）

第01讲 1.1直线的斜率与倾斜角+1.2直线的方程 目录 题型一：重点考查直线的倾斜角和斜率的定义 1 题型二：重点考查斜率与倾斜角的变化关系 2 题型三：重点考查根据直线斜率求参数 3 题型四：重点考查斜率公式的应用 4 题型五：重点考查直线与线段相交关系求斜率范围 5 题型六：重点考查直线的点斜式方程 6 题型七：重点考查直线的两点式方程 6 题型八：重点考查直线在两坐标轴上的截距问题 7 题型九：重点考查直线与坐标轴围成图形面积问题 9 题型十：重点考查由直线的一般式方程判断直线平行与垂直 9 题型十一：重点考查由两条直线平行（垂直）求方程 10 题型十二：重点考查直线过定点问题 12 题型一：重点考查直线的倾斜角和斜率的定义 典型例题 例题1．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 例题2．（多选）（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高二上·四川达州·阶段练习）已知直线 的一个方向向量为，则直线的倾斜角 精练核心考点 1．（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围为 ． 3．（23-24高二上·重庆·期中）若直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为 . 题型二：重点考查斜率与倾斜角的变化关系 典型例题 例题1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k ，，斜率k（    ） A． B． C． D． 例题3．（23-24高二上·甘肃白银·期中）设直线的斜率为，倾斜角为，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 精练核心考点 1．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）斜率为的直线的倾斜角所在的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·广东广州·期中）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·广东深圳·期中）若直线的斜率大于1，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三：重点考查根据直线斜率求参数 典型例题 例题1．（23-24高二上·广东梅州·期末）若过点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 例题2．（23-24高二上·山东淄博·期中）若经过点和的直线的斜率为2，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 例题3．（23-24高二·全国·课后作业）已知点，，，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为 ，直线AC的一个方向向量为 . 精练核心考点 1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）经过两点和的直线的斜率等于，则m的值为（     ） A．2 B．3 C． D． 2．（2024高二·全国·专题练习）若点在过点，的直线上，则 ． 3．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）直线经过点，且倾斜角为，则实数为 ． 题型四：重点考查斜率公式的应用 典型例题 例题1．（2024高二上·全国·专题练习）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例题2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ． 例题3．（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 精练核心考点 1．（多选）（2023·黑龙江哈尔滨·二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（    ） A．-1 B． C． D．0 2．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知点在直线上，且满足，则的取值范围为 ． 题型五：重点考查直线与线段相交关系求斜率范围 典型例题 例题1．（23-24高二上·河南开封·期中）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）已知点，若直线与线段相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 例题3．（23-24高二上·广东江门·阶段练习）已知两点，，直线l过点，若直线l与线段相交，则直线l的斜率k取值范围是 . 精练核心考点 1．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知点，，直线与线段有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知点，，斜率为k的直线l过点，则下列斜率k的取值范围能使直线l与线段相交的有（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 题型六：重点考查直线的点斜式方程 典型例题 例题1．（23-24高二上·北京顺义·阶段练习）经过点，且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二上·上海·课堂例题）一条光线沿经过点且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为 ． 例题3．（23-24高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线的倾斜角是，且过点，则直线在y轴上的截距是 . 精练核心考点 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）过点A(0，2)且倾斜角的正切值是的直线方程为（    ） A．3x－5y＋10＝0 B．3x－4y＋8＝0 C．3x＋5y－10＝0 D．3x＋4y－8＝0 3．（24-25高二上·上海·课后作业）一条光线从点射出，经过x轴上的点P反射后，通过点，求反射光线所在直线的一般式方程． 题型七：重点考查直线的两点式方程 典型例题 例题1．（23-24高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点坐标为，，，M为AB的中点，N为AC的中点，求中位线MN所在直线的两点式方程． 例题3．（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）已知三角形的三个顶点为，，，求： (1)BC所在直线的方程； (2)BC边上的中垂线的方程. 精练核心考点 1．（23-24高二上·全国·课后作业）已知、，则在轴上的截距是，且经过线段中点的直线方程为 ． 2．（2024高二上·全国·专题练习）已知三角形的顶点是，求这个三角形三边所在直线的方程. 3．（23-24高二·全国·课堂例题）已知直线l经过点，求直线l的方程，并求直线l的截距． 题型八：重点考查直线在两坐标轴上的截距问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·河南南阳·期中）已知直线l过点，且在x轴上的截距为y轴上截距的3倍，则直线l的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 例题2．（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为，求直线的斜截式方程. 例题3．（23-24高二上·浙江·期中）求满足下列条件的直线方程． (1)直线的倾斜角为，且经过点； (2)直线过点，且在两坐标轴上的截距相等． 精练核心考点 1．（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 ． 2．（23-24高二上·全国·课后作业）如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线的斜率的一半和在y轴上截距的两倍，那么直线l的方程是 ． 3．（2024高二上·江苏·专题练习）求过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程. 题型九：重点考查直线与坐标轴围成图形面积问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 例题2．（2024高二·江苏·专题练习）已知直线l：y＝k（x﹣2）+3，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点.若使△AOB的面积为m的直线l共有四条，则正实数m的取值范围是 . 例题3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线经过点，求： （1）直线在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （2）直线与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程． 精练核心考点 1．（23-24高二上·四川眉山·阶段练习）已知直线l过点，且分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，则面积最小值为 ． 2．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为 ． 3．（23-24高二上·北京顺义·期中）平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 ． 题型十：重点考查由直线的一般式方程判断直线平行与垂直 典型例题 例题1．（23-24高二上·湖南邵阳·期中）下列直线中与直线平行的直线是（    ）． A． B． C． D． 例题2．（23-24高二下·上海·阶段练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 例题3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线：与直线：互相垂直，实数k的值为 ． 精练核心考点 1．（23-24高二上·广东肇庆·期末）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线，，若，则实数（    ） A．2 B． C． D． 3．（多选）（22-23高二上·甘肃兰州·期中）（多选题）下列直线中，一定与直线平行的是（    ） A． B． C．（） D．（） 题型十一：重点考查由两条直线平行（垂直）求方程 典型例题 例题1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）与直线平行且过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 例题2．（23-24高二上·陕西汉中·阶段练习）已知直线 与直线交于点. (1)求过点且平行于直线的直线的方程； (2)求过点且垂直于直线的直线的方程； (3)求过点并且在轴上的截距是在轴上截距2倍的直线的方程. 例题3．（23-24高二上·江西景德镇·期中）求满足下列条件的直线方程． (1)直线过点，且与直线平行； (2)直线过点，且与直线垂直． 精练核心考点 1．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知点和直线.求： (1)过点P与直线l平行的直线方程； (2)过点P与直线l垂直的直线方程. 2．（23-24高二上·新疆·阶段练习）已知直线与直线交于点． (1)求过点且平行于直线的直线的方程；（直线方程写成一般式） (2)求过点且垂直于直线的直线的方程；（直线方程写成一般式） 3．（23-24高二·全国·课堂例题）分别求下列直线的方程： (1)过点且与直线垂直的直线； (2)过点且与直线垂直的直线． 题型十二：重点考查直线过定点问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）已知直线，当k变化时，所有直线都恒过点（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高二·上海·课堂例题）若直线必过一定点，则该定点坐标是 ． 例题3．（2024高二上·全国·专题练习）不论m，n取什么值，直线必过一定点为 . 精练核心考点 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 2．（23-24高二上·安徽六安·期末）直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）直线所过定点的坐标为 . 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 1.1直线的斜率与倾斜角+1.2直线的方程 目录 题型一：重点考查直线的倾斜角和斜率的定义 1 题型二：重点考查斜率与倾斜角的变化关系 3 题型三：重点考查根据直线斜率求参数 6 题型四：重点考查斜率公式的应用 7 题型五：重点考查直线与线段相交关系求斜率范围 11 题型六：重点考查直线的点斜式方程 14 题型七：重点考查直线的两点式方程 16 题型八：重点考查直线在两坐标轴上的截距问题 19 题型九：重点考查直线与坐标轴围成图形面积问题 22 题型十：重点考查由直线的一般式方程判断直线平行与垂直 25 题型十一：重点考查由两条直线平行（垂直）求方程 27 题型十二：重点考查直线过定点问题 30 题型一：重点考查直线的倾斜角和斜率的定义 典型例题 例题1．（23-24高二上·湖北襄阳·阶段练习）若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角即可. 【详解】设直线的倾斜角为， 若向量是直线的一个方向向量， 则直线的斜率为， 因为，所以. 故选：A. 例题2．（多选）（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据斜率的取值范围求得倾斜角的取值范围，进而选择正确答案. 【详解】设的倾斜角分别为，直线的斜率， ，又， 直线的倾斜角的取值范围是. 故选：AD. 例题3．（23-24高二上·四川达州·阶段练习）已知直线 的一个方向向量为，则直线的倾斜角 【答案】/ 【分析】由直线的方向向量求得直线的斜率，由斜率即可求得倾斜角. 【详解】记直线 的倾斜角为， 由题知，又, 所以，即. 故答案为： 精练核心考点 1．（23-24高二下·河北保定·开学考试）已知直线的倾斜角比直线的倾斜角大，则的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程求出直线斜率为，由此确定直线倾斜角，结合已知条件求得直线倾斜角为，由此即可求得直线的斜率. 【详解】由得的倾斜角为， 所以的倾斜角为，即的斜率为. 故选：A 2．（24-25高二上·上海·课堂例题）经过（其中）、两点的直线的倾斜角的取值范围为 ． 【答案】 【分析】分和，求出倾斜角的取值范围. 【详解】由题意知，当时，， 当时，轴，此时倾斜角为， 所以． 故答案为： 3．（23-24高二上·重庆·期中）若直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为 . 【答案】 【分析】根据题意可得，进而可得直线的斜率和倾斜角. 【详解】若直线的倾斜角为，则， 可知直线的斜率为，设倾斜角为， 则，所以倾斜角为. 故答案为：. 题型二：重点考查斜率与倾斜角的变化关系 典型例题 例题1．（23-24高二上·福建福州·期末）已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的单调性即可得解. 【详解】依题意得，，，， 而在和上单调递增，且在上，， 在上，所以，即. 故选：D 例题2．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k ，，斜率k（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率与倾斜角的变化关系即可求解. 【详解】由于，且， 所以或， 故选：D 例题3．（23-24高二上·甘肃白银·期中）设直线的斜率为，倾斜角为，若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜率的取值范围求得倾斜角的取值范围. 【详解】由于，所以， 又，所以. 故选：D 精练核心考点 1．（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）斜率为的直线的倾斜角所在的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率与倾斜角的关系判断． 【详解】由题意，而，所以， 故选：A． 2．（23-24高二上·广东广州·期中）设直线的斜率为，且，则直线的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系以及正切函数的单调性可得出直线的倾斜角的取值范围. 【详解】因为直线的斜率为，且，直线的倾斜角，则，， 因为正切函数在、上均为增函数， 当时，即，此时，； 当时，即，此时，. 因此，直线的倾斜角的取值范围为. 故选：B. 3．（23-24高二上·广东深圳·期中）若直线的斜率大于1，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的性质即可求解. 【详解】设的倾斜角为，易得，由，且得． 故选：B 题型三：重点考查根据直线斜率求参数 典型例题 例题1．（23-24高二上·广东梅州·期末）若过点的直线的倾斜角为，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解. 【详解】由题意得，解得， 故选：D 例题2．（23-24高二上·山东淄博·期中）若经过点和的直线的斜率为2，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】根据斜率公式求解． 【详解】由题意，解得， 故选：C． 例题3．（23-24高二·全国·课后作业）已知点，，，若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍，则实数m的值为 ，直线AC的一个方向向量为 . 【答案】 （答案不唯一） 【分析】利用斜率公式可得直线AB、AC的倾斜角，再由斜率公式可得和方向向量. 【详解】设直线AB的倾斜角为，则直线的倾斜角为， 又，又，所以，， 所以，得； 由，，得， 直线AC的一个方向向量为． 故答案为：①；②. 精练核心考点 1．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）经过两点和的直线的斜率等于，则m的值为（     ） A．2 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据两点斜率公式即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 故选：B 2．（2024高二·全国·专题练习）若点在过点，的直线上，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，结合直线的斜率公式，列出方程，即可求解. 【详解】由点在过点和的直线上， 可得，即，解得. 故答案为：. 3．（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）直线经过点，且倾斜角为，则实数为 ． 【答案】 【分析】利用倾斜角和斜率的关系、斜率公式计算即可得解. 【详解】解：由题意，直线的斜率为， ∵为直线上的点， ∴由斜率公式得， 解得：. 故答案为：. 题型四：重点考查斜率公式的应用 典型例题 例题1．（2024高二上·全国·专题练习）已知正的顶点，，顶点在第一象限，若点是内部及其边界上一点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定C的坐标，将题目转化为两点的斜率，根据图像得到答案. 【详解】正的顶点，且顶点在第一象限，故顶点的坐标为，， 可看作内部及其边界上一点与点的连线斜率， 当运动到点时，直线的斜率最大，故的最大值为 故选：B. 例题2．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出在内的图象，数形结合，将问题转化为斜率问题求解即可. 【详解】由得，作出在内的图象如图所示， 设， 直线恒过定点， 直线的斜率，直线的斜率， 所以数形结合可知，即的取值范围为． 故答案为：.      例题3．（23-24高二上·广东广州·期中）已知实数x、y满足方程，当时，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将的范围转化为线段上的点与构成的直线的斜率的范围，然后求斜率即可. 【详解】 方程，令，则，令，则， 设点，， 所以可以表示线段上的点与构成的直线的斜率， ，， 所以的取值范围为. 故答案为：. 精练核心考点 1．（多选）（2023·黑龙江哈尔滨·二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（    ） A．-1 B． C． D．0 【答案】BC 【分析】根据目标式的几何意义为在部分图象上的动点与点所成直线的斜率，即可求范围. 【详解】由表示与点所成直线的斜率， 又是在部分图象上的动点，图象如下： 如上图，，则，只有B、C满足. 故选：BC 2．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知点在直线上，且满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】作出直线，找到满足的点的位置，结合斜率的定义得结论． 【详解】如图，作出直线及，它们的交点为， 直线上满足的点在点右下方， ，又直线的斜率为，， 由图可得的范围是． 故答案为：． 题型五：重点考查直线与线段相交关系求斜率范围 典型例题 例题1．（23-24高二上·河南开封·期中）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图形及斜率定义可得答案. 【详解】如图，当公共点在AO之间（不含O）时，直线l的斜率为负， 当公共点在A时，斜率有最大值，为，则此时斜率范围为； 当公共点在OB之间（不含O）时，直线l的斜率为正， 当公共点在B时，斜率有最小值，为，则此时斜率范围为； 当公共点在O点时，直线l的斜率不存在. 综上，直线l的斜率的取值范围是. 故选：C      例题2．（23-24高二上·广西河池·阶段练习）已知点，若直线与线段相交，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】先找出直线过定点，然后利用斜率公式求出相应直线的斜率，再结合图形分析即可. 【详解】由题意知直线过定点，如图所示： 则，    由图像得直线的斜率的取值范围是或． 故选：D． 例题3．（23-24高二上·广东江门·阶段练习）已知两点，，直线l过点，若直线l与线段相交，则直线l的斜率k取值范围是 . 【答案】 【分析】先求解临界情况，再根据直线的斜率关系求解即可. 【详解】 由题意，设，则，. 故若直线l与线段相交，则直线l的斜率k取值范围是. 故答案为： 精练核心考点 1．（23-24高二上·安徽合肥·期中）已知点，，直线与线段有公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线的定点，再求出，数形结合，得出结果. 【详解】如图 由题意知直线过定点， 易求的斜率， 的斜率， 直线的斜率， 所以或， 即或 故选：C. 2．（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知点，，斜率为k的直线l过点，则下列斜率k的取值范围能使直线l与线段相交的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，画出图象，结合斜率公式，即可求解. 【详解】根据题意，在平面直角坐标系中，作出A，B，P三点，如图所示． 当直线l与线段相交时，或， 所以斜率k的取值范围是或斜率不存在， 结合选项，选项A、B符合题意． 故选：AB． 3．（23-24高二上·山东威海·阶段练习）已知两点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ． 【答案】 【分析】计算，，根据图像得到答案. 【详解】直线与线段相交，所以临界情况为恰好经过点或经过点时， ，，由图可知，或. 故答案为：. 题型六：重点考查直线的点斜式方程 典型例题 例题1．（23-24高二上·北京顺义·阶段练习）经过点，且倾斜角为的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由倾斜角求斜率，应用点斜式求直线方程. 【详解】由题设，直线斜率为，又过， 所以，直线方程为（或）. 故选：D 例题2．（24-25高二上·上海·课堂例题）一条光线沿经过点且斜率为的直线射到x轴上后反射，则反射光线所在的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据点斜式求入射光线所在直线方程，然后利用对称性可得所求. 【详解】由题知，入射光线所在直线方程为，即， 因为入射光线所在直线和反射光线所在直线关于x轴对称， 所以反射光线所在的直线方程为. 故答案为： 例题3．（23-24高二上·辽宁铁岭·期末）已知直线的倾斜角是，且过点，则直线在y轴上的截距是 . 【答案】 【分析】先求出斜率，利用点斜式写出直线方程，再得到纵截距. 【详解】直线的倾斜角是，且过点，所以斜率为 故直线的方程为，整理得， 所以直线在y轴上的截距为. 故答案为：. 精练核心考点 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）直线l的方向向量，且过点，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方向向量可求出直线的斜率，利用点斜式方程即可求得直线的方程. 【详解】由直线l的方向向量可得直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即． 故选：D. 2．（2024高三·全国·专题练习）过点A(0，2)且倾斜角的正切值是的直线方程为（    ） A．3x－5y＋10＝0 B．3x－4y＋8＝0 C．3x＋5y－10＝0 D．3x＋4y－8＝0 【答案】A 【分析】结合条件求直线的斜率，再利用点斜式可求结论. 【详解】因为所求直线的倾斜角的正切值是， 所以所求直线的斜率为， 由点斜式可知直线方程为， 即3x－5y＋10＝0. 故选：A. 3．（24-25高二上·上海·课后作业）一条光线从点射出，经过x轴上的点P反射后，通过点，求反射光线所在直线的一般式方程． 【答案】． 【分析】先求出A关于x轴的对称点，再根据两点求斜率，最后应用点斜式求方程即可. 【详解】点关于轴的对称点为， 则反射光线经过、两点，， 由点斜式得反射光线所在直线方程为，化简为一般式方程为． 题型七：重点考查直线的两点式方程 典型例题 例题1．（23-24高二上·甘肃金昌·阶段练习）已知直线l经过点，，则下列不在直线l上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知的两点求出直线l的方程，将点的坐标代入直线方程即可求解. 【详解】由直线的两点式方程，得直线l的方程为，即， 将各个选项中的坐标代入直线方程， 可知点，，都在直线l上，点不在直线l上． 故选：D． 例题2．（24-25高二上·上海·课堂例题）已知的三个顶点坐标为，，，M为AB的中点，N为AC的中点，求中位线MN所在直线的两点式方程． 【答案】 【分析】先利用中点坐标公式求出点，然后可求出MN所在直线的两点式方程. 【详解】解：因为，，，M为AB的中点，N为AC的中点， 所以，， 所以中位线MN所在直线的两点式方程为． 例题3．（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）已知三角形的三个顶点为，，，求： (1)BC所在直线的方程； (2)BC边上的中垂线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线的两点式方程即可得解； （2）先求出直线的斜率，进而可求得BC边上的中垂线的斜率，求出线段的中点坐标，再根据点斜式即可得解. 【详解】（1）因为，，所以直线BC的方程为， 化简得； （2）， 则BC边上的中垂线的斜率， 线段的中点为， 所以BC边上的中垂线的方程为， 即. 精练核心考点 1．（23-24高二上·全国·课后作业）已知、，则在轴上的截距是，且经过线段中点的直线方程为 ． 【答案】 【分析】 求出线段的中点坐标，利用截距式可得出所求直线的方程. 【详解】 因为、，则线段的中点为， 又因为所求直线在轴上的截距为，故所求直线方程为，即. 故答案为：. 2．（2024高二上·全国·专题练习）已知三角形的顶点是，求这个三角形三边所在直线的方程. 【答案】答案见解析 【分析】根据已知条件作出图形，利用直线的两点式方程即可求解. 【详解】由题意可知，作出图形如图所示 直线过， 其两点式方程为，整理，得， 这就是边所在直线的方程. 直线AC垂直于x轴，故AC边所在直线的方程为. 直线BC平行于x轴，故BC边所在直线的方程为. 3．（23-24高二·全国·课堂例题）已知直线l经过点，求直线l的方程，并求直线l的截距． 【答案】，直线l在轴上的截距为，直线l在轴上的截距为. 【分析】利用直线的两点式方程及直线的斜截式方程，结合截距的定义即可求解. 【详解】因为A，B两点的横坐标不相等，而且纵坐标也不相等，所以直线的两点式方程为，整理得． 所以直线l的方程为， 所以直线l在轴上的截距为， 令，则，解得， 所以直线l在轴上的截距为. 题型八：重点考查直线在两坐标轴上的截距问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·河南南阳·期中）已知直线l过点，且在x轴上的截距为y轴上截距的3倍，则直线l的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】考虑截距是否为0两种情况即可. 【详解】分两种情况：①当过原点时，由直线经过点， 可得直线方程为，即； ②当不过原点时，设的方程为， 将点的坐标代入得，解得， 此时的方程为，即.， 故选：C 例题2．（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线的倾斜角为，与轴的交点到坐标原点的距离为，求直线的斜截式方程. 【答案】或 【分析】求出直线的斜率及其在轴上的截距，即可得出直线的斜截式方程. 【详解】解：因为直线的倾斜角为，则直线的斜率为， 因为直线与轴的交点到坐标原点的距离为， 所以，直线在轴上的截距为， 故直线的斜截式方程为或. 例题3．（23-24高二上·浙江·期中）求满足下列条件的直线方程． (1)直线的倾斜角为，且经过点； (2)直线过点，且在两坐标轴上的截距相等． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）先求出直线的斜率，然后利用点斜式可求出直线方程， （2）分截距等于零和截距不为零两种情况求解. 【详解】（1）因为直线的倾斜角为， 所以直线的斜率为， 因为直线经过点， 所以直线的方程为，即， （2）当直线的截距为0时，设直线的方程为， 因为直线过点，所以， 所以直线为， 当直线在两坐标轴上的截距不为零时，由题意设直线的方程为， 因为直线过点， 所以，得， 所以直线的方程为，即， 综上，直线的方程为或． 精练核心考点 1．（23-24高二下·陕西榆林·阶段练习）过点且在x轴、y轴上截距相等的直线方程为 ． 【答案】或 【分析】分截距是否为0两种情况，结合直线的截距式方程运算求解. 【详解】设在x轴、y轴上的截距均为a， 若，即直线过原点，设直线为， 代入，可得， 所以直线方程为，即； 若，则直线方程为， 代入，则，解得， 所以此时直线方程为； 综上所述：所求直线方程为或. 故答案为：或. 2．（23-24高二上·全国·课后作业）如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线的斜率的一半和在y轴上截距的两倍，那么直线l的方程是 ． 【答案】 【分析】确定直线l的斜率和在y轴上的截距，即可求得答案. 【详解】直线的斜率为，在y轴上的截距为2， 则直线l的斜率为，在y轴上的截距为， 故直线l的方程为， 故答案为： 3．（2024高二上·江苏·专题练习）求过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程. 【答案】或 【分析】对截距不为0及为0进行分类，设出直线并代点计算即可得. 【详解】①当截距不为0时，设直线的方程为， 又过点，所以， 解得，所以直线的方程为； ②当截距为0时，设直线的方程为， 又过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即； 综上，直线的方程为或. 题型九：重点考查直线与坐标轴围成图形面积问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·四川成都·期中）直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（    ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】利用截距式设直线的方程得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】设直线：，， 因为直线过点，所以，即， 所以，解得，当且仅当，即，时等号成立， 则直线与轴、轴的正半轴围城的三角形面积. 故选：B. 例题2．（2024高二·江苏·专题练习）已知直线l：y＝k（x﹣2）+3，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点.若使△AOB的面积为m的直线l共有四条，则正实数m的取值范围是 . 【答案】m＞12 【分析】由题可表示出△AOB的面积，然后利用基本不等式及已知条件可求. 【详解】∵直线与x轴，y轴交点的坐标分别是，， ， 当k＞0时，， 当且仅当时取等号. ∴当S△AOB＝m＞0时，在k＞0时，k有两值； 当k＜0时，， 当且仅当时取等号. ∴当0＜m＜12时，仅有两条直线使△AOB的面积为m； 当m＝12时，仅有三条直线使△AOB的面积为m； 当m＞12时，仅有四条直线使△AOB的面积为m. 故答案为：m＞12. 例题3．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）已知直线经过点，求： （1）直线在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （2）直线与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程． 【答案】（1）或（2） 【分析】（1）当直线过原点时，方程为，当直线不过原点时，设直线的方程为：，把点代入直线的方程可得值，即得所求的直线方程； （2）设直线方程为：，根据三角形的面积公式和基本不等式即可求出最值，继而得到直线方程 【详解】解：（1）若直线的截距为，则直线方程为； 若直线的截距不为零，则可设直线方程为：， 由题设有， 所以直线方程为：， 综上，所求直线的方程为或． （2）设直线方程为：，则 ， 所以，面积， 又由得， 当且仅当成立， 即当时，面积最小为6 所以，所求直线方程为 精练核心考点 1．（23-24高二上·四川眉山·阶段练习）已知直线l过点，且分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，则面积最小值为 ． 【答案】24 【分析】根据题意，设直线的方程为，分别表示出坐标，结合三角形的面积公式代入计算，再由基本不等式即可得到结果. 【详解】     由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为， 因为直线分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，所以， 令，则，即， 令，则，即， 所以 其中，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即面积最小值为. 故答案为： 2．（23-24高二上·内蒙古赤峰·期末）纵截距为4，与两坐标轴围成的三角形面积为10的直线的一般式方程为 ． 【答案】或． 【分析】先设直线的截距式，结合已知条件求出直线方程后，化为一般式即可． 【详解】由题意可设直线方程为， 则，即， 所以直线方程为或， 所以直线的一般式方程或． 故答案为：或． 3．（23-24高二上·北京顺义·期中）平面直角坐标系中，已知直线过点，与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则直线的方程为 ． 【答案】 【分析】 根据题意假设直线的截距式方程，从而得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】 依题意，直线的两个截距都不为0，故设直线为， 则，解得， 所以直线为，即. 故答案为：. 题型十：重点考查由直线的一般式方程判断直线平行与垂直 典型例题 例题1．（23-24高二上·湖南邵阳·期中）下列直线中与直线平行的直线是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据两条直线存在斜率时，它们的斜率相等且在纵截距不相等，两直线平行，逐一对四个选项进行判断. 【详解】∵直线的斜率，纵截距为， 对A：直线的斜率，纵截距为； 对B：直线的斜率，纵截距为； 对C：直线的斜率，纵截距为； 对D：直线的斜率，纵截距为； 若两直线平行，由题意可知：斜率相等，纵截距不相等，只有C选项符合. 故选：C. 例题2．（23-24高二下·上海·阶段练习）“”是“直线与直线相互垂直”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】A 【分析】首先判断两直线的位置关系，再根据充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】直线与直线相互垂直， 则，所以不管为何值，两直线垂直， 所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件. 故选：A 例题3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知直线：与直线：互相垂直，实数k的值为 ． 【答案】1或4 【分析】根据两直线互相垂直的公式，即可求解. 【详解】由，可知，， 解得：或. 故答案为：或 精练核心考点 1．（23-24高二上·广东肇庆·期末）“”是“直线与直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由两直线平行得出的值，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若直线与直线平行，则有解得或，所以当时，直线与直线平行，当直线与直线平行时，或. 故选：A 2．（23-24高二上·江苏镇江·期中）已知直线，，若，则实数（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线垂直的关系求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 3．（多选）（22-23高二上·甘肃兰州·期中）（多选题）下列直线中，一定与直线平行的是（    ） A． B． C．（） D．（） 【答案】AD 【分析】利用直线平行的条件进行判定. 【详解】即； 即； （）即； （）即. 令，解得,令,得,无解. 当两直线方程中的系数对应相等时，两直线平行的充分必要条件是其常数项不相等， 故AD中的直线与已知直线平行，C中的直线可能与已知直线重合， B中的直线与已知直线的对应不成比例，故而不平行. 故选：AD. 题型十一：重点考查由两条直线平行（垂直）求方程 典型例题 例题1．（23-24高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）与直线平行且过点的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出直线方程，利用待定系数法求解即得. 【详解】设与直线平行的直线方程为， 于是，解得， 所以所求方程为. 故选：C 例题2．（23-24高二上·陕西汉中·阶段练习）已知直线 与直线交于点. (1)求过点且平行于直线的直线的方程； (2)求过点且垂直于直线的直线的方程； (3)求过点并且在轴上的截距是在轴上截距2倍的直线的方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，求得点的坐标，设直线的方程为，将点的坐标代入，即可得到结果； （2）根据题意，设直线的方程为，将点的坐标代入，即可得到结果； （3）根据题意，分直线经过原点与不经过原点讨论，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由，得，所以交点， 设过点且平行于直线的直线方程为， 将点坐标代入，解得， 则直线方程是:. （2）求过点且垂直于直线的直线方程为， 将点坐标代入，解得， 则直线方程是:. （3）当直线过原点时，设直线方程为， 将点坐标代入，可得， 则，化简可得； 当直线不过原点时，设直线方程为， 由条件可得，解得， 则，化简可得； 综上所述，直线的方程为或, 例题3．（23-24高二上·江西景德镇·期中）求满足下列条件的直线方程． (1)直线过点，且与直线平行； (2)直线过点，且与直线垂直． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）设所求直线的方程为，将点代入，求得的值，即可求解； （2）设所求直线的方程为，将点代入，求得的值，即可求解； 【详解】（1）解：由题意，可设所求直线的方程为， 因为点在直线上，可得，解得， 故所求直线的方程为； （2）解：由题意，可设所求直线的方程为， 因为点在直线上，所以，解得， 故所求直线的方程为． 精练核心考点 1．（23-24高二上·陕西宝鸡·阶段练习）已知点和直线.求： (1)过点P与直线l平行的直线方程； (2)过点P与直线l垂直的直线方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）（2）根据给定条件，设出所求直线的方程，利用待定系数法求解即得. 【详解】（1）设过点P与直线l平行的直线方程为， 则，解得， 所以所求直线方程为. （2）过点P与直线l垂直的直线方程为， 则，解得， 所以所求直线的方程为. 2．（23-24高二上·新疆·阶段练习）已知直线与直线交于点． (1)求过点且平行于直线的直线的方程；（直线方程写成一般式） (2)求过点且垂直于直线的直线的方程；（直线方程写成一般式） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设的方程为，将点代入求得，即可求解； （2）设直线的方程为，将点代入求得，即可求解. 【详解】（1）解：由方程组，解得，即， 因为平行于直线，可设的方程为， 将点代入直线，可得，解得， 所以直线的方程为. （2）解：由垂直于直线，可设直线的方程为， 将点代入直线，可得，解得， 所以直线的方程为. 3．（23-24高二·全国·课堂例题）分别求下列直线的方程： (1)过点且与直线垂直的直线； (2)过点且与直线垂直的直线． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线垂直与斜率的关系，再利用点斜式方程即可； （2）根据平行利用待定系数法即可. 【详解】（1）因为直线的斜率为3且与垂直，所以的斜率为， 因此直线的点斜式方程为， 整理得． （2）依题意可设的方程为．由于过点， 因此， 解得． 因此直线的方程为． 题型十二：重点考查直线过定点问题 典型例题 例题1．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）已知直线，当k变化时，所有直线都恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把直线方程化为点斜式，即可求解. 【详解】直线可化为： ， 故直线过定点， 故选：D. 例题2．（24-25高二·上海·课堂例题）若直线必过一定点，则该定点坐标是 ． 【答案】 【分析】将直线变形成为，令参数的系数为0,剩余部分为0,解出关于的二元一次方程组,即可得定点. 【详解】由得， 要是恒成立，只需，解之得， 所以过定点. 故答案为： 例题3．（2024高二上·全国·专题练习）不论m，n取什么值，直线必过一定点为 . 【答案】 【分析】分别令和，求出对应的值，即是直线必过的定点. 【详解】由题意，在 令，解得， 不论m，n取什么值，直线必过一定点. 故答案为： 精练核心考点 1．（23-24高二上·江苏南京·期末）方程所表示的直线（    ） A．恒过点 B．恒过点 C．恒过点和点 D．恒过点和点 【答案】A 【分析】将方程化为，令的系数等于0，即可得到答案. 【详解】，， 令，解得， 即方程所表示的直线恒过定点． 故选：． 2．（23-24高二上·安徽六安·期末）直线，当变动时，所有直线都通过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直线方程转化为：，然后令，解方程即可求解． 【详解】解：直线方程转化为：， 令，解得， 所以直线过定点， 故选：A． 3．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）直线所过定点的坐标为 . 【答案】 【分析】将原方程改写成，再让解出即可. 【详解】由得， 联立方程得解得即定点坐标为. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$