1.2 直线的方程课件-2026-2027学年高二上学期数学苏教版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦直线的倾斜角与斜率及点斜式、斜截式等五种方程形式，通过定义推导与转化关系构建知识体系。以倾斜角与斜率的关系为导入，衔接直线位置确定的几何元素，借助思维导图梳理脉络形成学习支架。 其亮点在于采用基础、中档、拔高分层训练，结合例题详解与对点练习，融入数形结合思想。如通过点斜式方程推导培养数学思维的推理能力，思维导图助力数学眼光的抽象能力提升，帮助学生分层掌握知识，教师可实现一体化教学。

高二数学●2024苏教版选择性必修一 第一章 直线与方程 1.2 直线的方程 本节学习直线的倾斜角与斜率，理解二者定义及相互关系，掌握斜率计算公式，能由倾斜角求斜率、由两点坐标计算斜率，体会解析几何数形结合的思想 致读者 1.使用：本课件为高质量课件，内容较为全面丰富，资源比较大，包括69张PPT。 2.应用：本课件包含梳理知识的基础部分，例题讲解，对点练习，对接高考的难度模式，依次按照：基础，中档，拔高难度训练 3.本课件包含思维导图，例题，最后的培优练习等方便老师一体化教学。 返回目录 3 教材帮 新知课丨必备知识解读 知识点1 直线的点斜式方程 1 直线的点斜式方程的推导 一般地，如果直线经过点，斜率为，设直线上任意一点 的坐标是 ，当点（不同于点）在直线上运动时，直线的斜率恒等于 ，即 ，故.（该方程表示的是缺少点 的直线） 因为点的坐标也满足方程，所以直线 上的每个点的坐标都是方程 的解；反过来，可以验证，以方程的解为坐标的点都在直线上.因此，方程 就是过点，斜率为的直线 的方程. 返回目录 4 2 直线的点斜式方程的定义 方程 叫作直线的点斜式方程（点斜式方程应用的前提是直线 的斜率存在，若斜率不存在，则不能用）,简称点斜式. . . 返回目录 5 3 两种特殊情形的直线方程 倾斜角 斜率 直线方程 ，即 或 无意义，即 不存在 或 返回目录 6 学思用·典例详解 例1-1 ［教材改编P13 T3］(2026·北京市第二中学期中)过点 且倾斜角 为 的直线方程为_____________. 【解析】 直线的斜率 ， 又直线过点 ， ，即 ． 返回目录 7 例1-2 [教材改编P12例1]写出下列直线的方程. （1）经过点，且倾斜角为 ; 【解析】由题意可知，直线的斜率,直线与 轴平行，所以直线的点斜式方程为 ，即 . （2）经过点，且与 轴垂直. 【解析】由题意可知，直线的斜率不存在,所以直线的方程为 . 返回目录 8 知识点2 直线的斜截式方程 1 直线的斜截式方程的推导 已知直线的斜率为，与轴的交点是，由直线的点斜式方程，得直线 的方程为，也就是 . 返回目录 9 2 直线的斜截式方程（斜截式方程是点斜式方程的特殊情况，应用前提也是 斜率存在）的定义 . . 返回目录 10 我们把直线与轴的交点的纵坐标称为直线在 轴上的截距.方程 由直线的斜率和它在轴上的截距（, 的几何意义）确定，所以方程 叫作直线的斜截式方程，简称斜截式. 知识剖析 （1）在轴上的截距不是距离，它是直线与 轴交点的纵坐标，所以可取 一切实数，即可为正数、零或负数.当直线与轴正半轴相交时，截距 ；当直线 与轴负半轴相交时，截距；当直线经过原点时，截距 .但并非所有的直 线都与轴有交点，当直线与轴平行时，在 轴上没有截距. （2）斜截式方程不一定是一次函数的解析式,因为斜截式方程中 时, 为一次函数；时， ，不是一次函数.而一次函数的解析式 一定可以看成一条直线的斜截式方程. . . . . . . . . . . 返回目录 11 学思用·典例详解 例2-3 ［教材改编P13 T1（5）］倾斜角为 且在轴上的截距为 的直线方程 为______________. 【解析】直线的斜率为，在轴上的截距为 ，则直线方程为 ． 例2-4 若直线的方程中，， ，则此直线必不经过( ) C A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】由，，，知直线的斜率，在 轴上的 截距 ，所以此直线必不经过第三象限． 返回目录 12 知识点3 直线的两点式方程 1 直线的两点式方程的推导 若直线经过两点，，如果，那么直线 的斜率为 ，由直线的点斜式方程,得.（不能表示垂直于 轴的 直线） 当时，方程可以写成 .（不能表示垂直于坐标轴的直线） . . . . 返回目录 13 2 直线的两点式方程的定义 由直线上两点，（其中, ）确定的方程 叫作直线的两点式方程，简称两点式. 特别提醒 1.,即直线的两点式方程的表示与 和 这两点的选取顺序无关. 2.直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，但把直线的两点式方程化 为 后，就可以表示过平面内任意两点的直线了. . . 返回目录 14 学思用·典例详解 例3-5 ［教材改编P16 T1］经过点， 的直线的方程为( ) A A. B. C. D. 【解析】根据直线的两点式方程可得 ，整理得直线的方程为 ． 点评 给出直线上两点,,只有当且 时才能用两点式 方程求解. 当时，与轴平行或重合，直线方程为 ; 当时,与轴平行或重合，直线方程为 . 返回目录 15 知识点4 直线的截距式方程 1 直线的截距式方程的推导 已知直线经过两点，，其中， ，由直线的两点式方程 （截距式方程是两点式方程的一种特殊情况），得直线的方程为 ，即 . . 返回目录 16 2 直线的截距式方程的定义 方程中，称为直线在轴上的截距，称为直线在 轴上的截距.这个方 程由直线在轴和 轴上的非零截距确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程, 简称截距式. 知识剖析 对截距式方程的理解 （1）截距并非距离，要注意区分截距与距离. （2）截距式方程应用的前提是且 ，当直线过原点或与坐标 轴平行时不能用截距式方程. （3）若直线在两坐标轴上的截距相等，则常设此类直线方程为 或 .（注意不要忽略直线过原点的情况） . . . . 返回目录 17 学思用·典例详解 例4-6 ［教材改编P14例3］经过， 两点的直线方程是_ ________． 【解析】由直线的截距式方程的定义，可得直线方程为 . 例4-7 直线在 轴上的截距为____. 【解析】令得，，故直线 （也可与截距式方程对比直接得出 结果）在轴上的截距为 . 点评 求直线在（或）轴上的截距，实际上就是求当（或）时， 的 值（或 的值）. . . 返回目录 18 知识点5 直线的一般式方程 1 直线的一般式方程的定义 平面直角坐标系中的任意一条直线的方程都可以用关于, 的二元一次方程 ,不全为0来表示；任何一个关于, 的二元一次方程 ,不全为0 都表示一条直线. 方程,不全为0 （该方程也称为关于, 的线性方程）叫作 直线的一般式方程，简称一般式. . . 返回目录 19 2 直线的一般式、斜截式、截距式方程的互化 一般式 斜截式 截距式 ,不全为0 直线的斜率为,在轴上的截距为,在 轴上的截距 为 . 返回目录 20 辨析比较 不同形式的直线方程的辨析#1.1.1 方程 常数的几何意义 适用条件 点斜式 是直线上的一个定点, 是 斜率 直线不垂直于 轴 斜截式 是斜率,是直线在 轴上的截距 直线不垂直于 轴 两点式 , 是直线上的两个 定点 直线不垂直于 轴 和 轴 截距式 ,分别是直线在轴, 轴上的非 零截距 直线不垂直于 轴 和 轴,且不过原点 返回目录 21 方程 常数的几何意义 适用条件 一般式 ,不全为0 任何情况 续表 解题时，若无特殊说明，应把求得的直线方程化为一般式或斜截式.#1.1.1.2 返回目录 学思用·典例详解 例5-8 ［教材改编P19 T4］已知直线与两坐标轴都相交，则系数 , , 满足的条件是( ) B A. B.且 C. D. 【解析】直线 与两坐标轴都相交，即直线与两坐标轴都有截距，则 直线不能与轴或轴平行或重合，故系数,,满足的条件是且 ． 返回目录 23 例5-9 根据下列各条件分别写出直线的方程,并化成一般式． （1）斜率是，且经过点 ； 【解析】由点斜式得直线的方程为，即 ． （2）在轴和轴上的截距分别是和 【解析】由截距式得直线的方程为，即 ． （3）倾斜角为 ，且在轴上的截距为 ； 【解析】由题意可知，直线的斜率，在轴上的截距为 ， 所求直线的斜截式方程为，即 ． 返回目录 24 （4）经过点和 ． 【解析】经过点和的直线的方程为 ， 所求直线的方程为 ． 返回目录 25 方法帮 解题课丨关键能力构建 题型1 求直线的方程 1 直线的点斜式方程 例10 一直线过点，它的倾斜角等于直线 的倾斜角的2倍，则这条直线 的方程是( ) B A. B. C. D. 方法帮 返回目录 26 【解析】 因为直线的斜率为，所以倾斜角为 ，所以所求直线 的倾斜角为 ，斜率为，又该直线过点 ，故该直线的点斜式方程为 ，整理得 . 因为直线的斜率为，所以倾斜角为 ，所以所求直线的倾斜角 为 ，斜率 . 所求直线过点，即所求直线在 轴上的截距为2.故所求直线的方程为 . 方法帮 返回目录 27 2 直线的斜截式方程 例11 根据条件写出下列直线的斜截式方程： （1）倾斜角为 ，与 轴的交点到坐标原点的距离为3; 【解析】因为直线的倾斜角为 ，所以斜率.因为直线与 轴的交 点到坐标原点的距离为3,所以直线在轴上的截距或 ，故所求直线的斜 截式方程为或 . 方法帮 返回目录 28 （2）在轴上的截距为，且与轴夹角为 . 【解析】与轴夹角为 的直线倾斜角为 或 ，（注意倾斜角有两个） 所以斜率为 或 ，即 ， 又直线在轴上的截距为 ， 故所求直线的斜截式方程为 . . . 方法帮 返回目录 29 3 直线的两点式方程 例12 求过点和点 的直线方程. 方法帮 返回目录 30 【解析】①当时（两点式方程的适用条件是直线与轴、 轴均不垂直，因此需 对点的坐标分类讨论），，两点的横坐标均为2，直线垂直于 轴，故所求直 线的方程为,即 . ②当时，由直线方程的两点式可得 ， 整理得 . 又当时，式可化为 , 所以综合①②可知，所求直线方程为 . . . 方法帮 返回目录 31 已知两点求直线方程的方法（或思路） （1）已知直线上两点的坐标求直线方程时，若满足两点式方程的适用条件，可直接 将两点的坐标代入直线的两点式方程，化简即得; （2）代入点的坐标时注意横、纵坐标的对应关系，若点的坐标中含有参数，需注意 对参数的讨论； （3）在斜率存在的情况下，也可以选用斜率公式求出斜率，再用点斜式求方程． 方法帮 返回目录 32 4 直线的截距式方程 母题 致经典·母题探究 与截距有关的直线方程 当题设条件中涉及直线“在两坐标轴上截距相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反 数”“截距相差 ”“截距有倍数关系”“与两坐标轴所围成的三角形的周长（或面积）” 等时，我们常用直线方程的截距式求解．此时要考虑直线的截距是否为0. 方法帮 返回目录 33 例13 [多选题](2026·河南省南阳市第一中学月考)过点 且在两坐标轴上截距相 等的直线方程为( ) BC A. B. C. D. 【解析】 经过点 且在两坐标轴上截距相等的直线，若它过原点 （直线的截距可以为0，解题时切勿遗漏此情况），则它的斜率为2， 方程为,即 ． . . 方法帮 返回目录 34 图1.2-1 若它不经过原点，设它的方程为 ,（截距式方程的适用条 件：横、纵截距存在且不为0） 把点代入，求得 ， 此时，直线的方程为，即 ． 综上可得，过点 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 或 . . . 方法帮 返回目录 35 由题意知直线的斜率存在且，设直线方程为 ，令 ，得 , 令，得 . 由题意知 , 即,解得或 , 所求直线方程为或，即 或 . 方法帮 返回目录 36 由图1.2-1可知,截距相等的直线过原点或斜率为 （不过原点）,又直线过 ，则可得直线方程为或,即所求直线方程为 或 . 方法帮 返回目录 37 子题 [多选题](2026·江西省上高二中月考)已知直线过点 ，且与两坐标轴正半轴围成 的三角形面积为9，则直线 的斜率为( ) AC A. B. C. D. 方法帮 返回目录 38 【解析】由题意，可设直线的方程为 . 直线过点 ，且与两坐标轴正半轴围成的三角形面积为9， 解得或 直线的方程为 ， 直线的斜率为 ， 故直线的斜率为或 ． 方法帮 返回目录 求直线的截距式方程的方法（或思路） （1）由已知条件确定横、纵截距. （2）若两截距为零，则直线过原点，直接写出方程即可；若两截距不为零，则代入 公式 ，可得所求的直线方程． 注意：如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标 轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件，采用截距式求直线方程时一定 要注意考虑“零截距”的情况.此类型的题目也可用点斜式方程求解，避免分类讨论. 方法帮 返回目录 40 【学会了吗丨变式题】 1.[多选题](2026·福建省莆田第四中学月考)若直线过点 且在两坐标轴上截距的 绝对值相等，则直线的方程可能为( ) ABC A. B. C. D. 方法帮 返回目录 41 【解析】 当直线在两坐标轴的截距为0时，可设直线方程为 ,因为直线 过点，则，故直线方程为,即 ,故C正确. 当直线在两坐标轴的截距不为0时，可设直线方程为，又点 在直线上， 则 , 若,则，则直线的方程为 ，故B正确; 若，则，，则直线的方程为,故A正确.故选 ． 方法帮 返回目录 42 由题意知，直线的斜率存在且不为0， 设直线的方程为 , 令，得，令，得 ，因为直线在两坐标轴上截距的绝对 值相等， 所以，解得或或 ， 所以所求直线的方程为或或.故选 . 方法帮 返回目录 43 题型2 与直线方程有关的求参问题 例14（1）(2026·贵州省毕节市民族中学月考)设直线 的方程为 .若直线的斜率为，则___;若直线在 轴、 轴上的截距之和等于0，则 ___. 5 1 【解析】因为直线的斜率存在，所以直线的方程可化为.若直线 的 斜率为，则,解得 . 直线的方程也可化为，若直线在轴、 轴上的截距之和（也可以先分 别令，，得到直线在轴、轴上的截距，再求 的值）等于0，则 ，解得 . . . 方法帮 返回目录 44 （2）(2026·湖南省长沙市期中)设直线的方程为 ， 若不经过第二象限，则实数 的取值范围是__________． 【解析】将直线的方程化为 . 若不经过第二象限，则（切勿遗漏斜率为0的情况，此时直线与 轴 平行或重合） 解得 . . . 方法帮 返回目录 45 方法帮 返回目录 46 求与直线方程有关的求参问题的基本方法 将直线方程化为恰当的形式（点斜式、斜截式或截距式等）,根据直线的位置或特征 构建关于变量的不等关系，通过解不等式（组）求变量的取值，解题中要注意直线 方程的形式对变量取值的限制. 方法帮 返回目录 47 【学会了吗丨变式题】 2.(2026·江西省赣州市赣县区实验学校月考)已知直线 的方程为 . （1）求实数 的取值范围； 【答案】直线的方程应满足， 的系数不同时为零， 令解得 . 所以实数的取值范围是 ． （2）若直线的斜率不存在，求实数 的值； 【答案】直线的斜率不存在，即解得 . 方法帮 返回目录 48 （3）若直线在轴上的截距为，求实数 的值； 【答案】依题意，有，所以 ， 解得（舍去）或 . （4）若直线的倾斜角是 ，求实数 的值． 【答案】因为直线的倾斜角是 ，所以斜率为1. 由，解得或 （舍去）． 所以直线的倾斜角为 时， . 方法帮 返回目录 49 练习帮 习题课丨学业质量测评 A 基础练丨知识测评 建议时间：30分钟 1.过点且斜率为的直线在 轴上的截距为( ) B A.2 B. C.4 D. 【解析】由题意可得直线方程为 ， 令，解得 ． 练习帮 返回目录 50 2.(2026·江苏省宿迁市沭阳县期中)经过点， 的直线方程是( ) D A. B. C. D. 【解析】 所求直线方程为，即 . ， ， ， 所求直线的方程为，即 ． 练习帮 返回目录 51 3.(2026·湖北省楚天协作体月考)下面说法正确的是( ) D A.经过定点的直线都可以用方程 表示 B.不经过原点的直线都可以用方程 表示 C.经过定点的直线都可以用方程 表示 D.经过任意两个不同的点， 的直线都可以用方程 表示 练习帮 返回目录 52 【解析】经过定点且斜率存在的直线才可用方程 表示， 所以A错误； 不经过原点且与两坐标轴都不垂直的直线才可以用方程 表示，所以B错误； 经过定点且斜率存在的直线才可用方程 表示，所以C错误； 当时，经过点，的直线可以用方程 ， 即 表示， 当时，经过点，的直线可以用方程 ，即 表示，因此经过任意两个不同的点 ， 的直线都可以用方程 表示，所以D正确. 练习帮 返回目录 53 4.直线 在坐标系中的位置可能是( ) C A. B. C. D. 【解析】由直线，可得直线在坐标轴上的截距,满足 ，结 合选项可知A，B，D都不正确，直线在坐标系中的位置可能是C．选项 ; B选项,;D选项, 练习帮 返回目录 54 5.若，满足，则直线 过定点( ) B A. B. C. D. 【解析】因为，所以，代入直线方程 中， 整理得,令解得故直线 过定点 . 练习帮 返回目录 55 6.[多选题]下列说法正确的有( ) ABC A.若直线经过第一、二、四象限，则 在第二象限 B.直线过定点 C.过点，斜率为的直线的点斜式方程为 D.斜率为，在轴上截距为3的直线方程为 【解析】A中，直线经过第一、二、四象限，则，，所以 在第二象限，故A正确；B中，直线可写为，所以直线过定点 ， 故B正确；C中，根据直线的点斜式方程知C正确；D中，由直线的斜截式方程得 ，故D错误． 练习帮 返回目录 56 7.新考法 开放探究 (2026·江苏省无锡市青山高级中学月考)写出一个同时具有下列 性质①②的直线 的方程：__________________________________． ①直线经过点 ； ②直线与,轴所围成的面积为 ． （或） 【解析】由题意可设直线与坐标轴分别相交于点，，，可得直线 的方程为，则解得或 故直线的方程为或 . 练习帮 返回目录 57 8.(2026·天津市南开大学附属中学津南学校月考)求满足下列条件的直线方程. （1）斜率是，经过点 ; 【答案】由直线的点斜式方程得 ,化成一般式得 . （2）经过点，平行于 轴； 【答案】易知直线方程为,化成一般式得 . （3）在轴和轴上的截距分别是， . 【答案】由直线的截距式方程得,化成一般式得 . 练习帮 返回目录 58 B 综合练丨高考模拟 建议时间：30分钟 9.新情境 欧拉线 (2026·福建省莆田第二十五中学期中)数学家欧拉在1765年提出三 角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的欧拉 线．已知的顶点，， ，则其欧拉线的一般式方程为 ( ) C A. B. C. D. 练习帮 返回目录 59 【解析】由题意，可得为直角三角形，且 为斜边，所以其欧拉线为斜边上 的中线（只需要两点就可以确定欧拉线，的外心是的中点 ，垂心是直角 顶点，所以欧拉线就是），设的中点为，由，，得 . 由，得所在直线的方程为 ，所以欧拉线的一 般式方程为 ． 因为欧拉线过，两点，则方程为，所以 所在直线的方程为 ，即欧拉线的一般式方程为 ． . . . . 练习帮 返回目录 60 10.直线过点，与轴正半轴、轴正半轴交于，两点，当 面积最小 时，直线 的方程是( ) C A. B. C. D. 练习帮 返回目录 61 【解析】由题意，设，，，，则直线方程为 ， 又直线过点，得 , 则,故 ， 故 ， 因此有，所以， ， 当面积最小时，即 最小， 得 ， 当且仅当，即，时取等号，此时直线的方程为 ， 即 . 练习帮 返回目录 62 11.[多选题](2026·江苏省苏州中学校质检)已知直线的方程是， 的 方程是 ，则下列各示意图可能正确的是( ) AB A. B. C. D. 练习帮 返回目录 63 【解析】直线的方程可化为,斜率等于,在轴上的截距为 的方程可 化为,斜率等于,在轴上的截距为 . 对于A，由的图象可得，，由的图象可得,,即, ， 所以A正确. 对于B，由的图象可得，，由的图象可得，，即 , ,所以B正确． 对于C，由的图象可得，，由的图象可得，，即 , ,所以C不正确． 对于D，由的图象可得，，而由的图象可得，，即 , ,所以D不正确． 故选 ． 练习帮 返回目录 64 12.(2026·天津市静海区第一中学月考)已知点和点 ，若直线 与线段没有公共点，则实数 的取值范围是 _ __________________. 【解析】将化为，即直线恒过点 ，且斜 率为 . 又所在直线的斜率,所在直线的斜率 ， 所以,（原式等价于解①可得 ,解②可得 ）解得或 . . . 练习帮 返回目录 65 13.(2026·辽宁省沈阳市第二十中学月考)在中，已知点， ， ． （1）求 边上中线所在直线的方程． 【答案】因为, . 所以线段的中点的坐标为 ， 又边上的中线经过点 , 所以该中线所在直线的方程为,即 . 练习帮 返回目录 66 （2）若某一直线过点，且在轴上的截距是在 轴上的截距的2倍，求该直线的一 般式方程． 【答案】当直线在轴和 轴上的截距均为0时， 可设直线的方程为 , 代入点，得 , 所以所求直线的方程为,即 ; 当直线在轴和轴上的截距均不为0时，可设直线的方程为 , 代入点,得 , 所以所求直线的方程为,即 . 综上所述，该直线的一般式方程为或 . 练习帮 返回目录 67 C 培优练丨能力提升 14.(2026·浙江省绍兴鲁迅中学月考)已知直线 ， ，当时，直线, 与两坐标轴围成一个四边形，则 四边形面积的最小值为___，此时实数 __． 【解析】直线恒过点， ,令 ,,即可得定点斜率为，在轴上的截距为 ,且 ， . . 练习帮 返回目录 68 图D 1.2-1 直线也恒过点，斜率为 ， 在轴上的截距为，且 ，如图D 1.2-1, 连接, 四边形的面积 四边形面积的最小值为，此时 ． , 练习帮 返回目录 69 $