精品解析：河南省郑州市第一中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题

郑州一中2021～2022学年下学期期中考试 24届 高一（数学）试题 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分. 2．考试时间：120分钟. 3．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上. 第Ⅰ卷 （选择题，共60分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算求出复数，再由共轭复数的意义求解作答. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 2. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则△ABC的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法，即直观图中平行于轴的长度不变，平行于轴的长度变为原来的一半，根据题中所给的数据以及图形，可知角形为直角三角形，，，，由此即可求出结果. 【详解】因为为等腰直角三角形且，所以，， 由斜二测画法可知，，且三角形为直角三角形，， 所以三角形ABC的面积为． 故选：B. 3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则A=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理结合已知条件求解 【详解】根据余弦定理可知，， 又，故有， 即，又， 解得， 故选：B. 4. 在矩形中，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量线性运算的数乘和减法、加法法则即可得解. 【详解】在矩形中，为的中点， 故选：C． 5. 复数z满足（i为虚数单位），则实数m＝（ ） A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 【答案】C 【解析】 【分析】设，代入后，由复数相等的条件列方程求出m. 【详解】设，则，有，由复数相等得到. 故选:C. 6. 已知是平面，l、m、n是空间三条不同的直线，则下列命题中正确的个数（ ）． ①若，，，，则； ②若，，则； ③若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线； ④若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n共面； ⑤若，，，则； ⑥若，，，则． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面，面面平行垂直关系的判定定理及性质定理进行判断 【详解】对于①，该项中当是相交直线才成立，错误； 对于②，空间中两条直线垂直于同一条直线时这两条直线可平行、相交或异面，错误； 对于③，两点到一条直线的距离相同，这两点可以在直线的两侧，此时不成立，错误； 对于④，若三条直线两两相交于一点，则它们可确定一个平面或三个平面，错误； 对于⑤，若，可以推出，但是无法推出，两者还可以异面，错误； 对于⑥，两条直线同时垂直于同一平面两直线平行，即，利用平行线的传递性可以得到，正确 综上只有⑥正确 故选：B 7. 在高为3的直三棱柱中，△ABC是以C为直角的等腰三角形，且，其中D为棱的中点，M为线段BC上的动点，则AM+MD的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】通过平面化的方法求得的最小值. 【详解】将等腰直角三角形翻折到与矩形共面，如图所示， 的最小值为， 由于，， 所以. 故选：B 8. 如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH，其中，则以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，写出需要点的坐标，然后利用向量加法的坐标运算、向量的数量积坐标运算及向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意可知，建立如图所示的平面直角坐标系， 因为正八边形ABCDEFGH， 所以 作，则, 因为，所以， 所以，同理可得其余各点坐标， ， 对于A ，，故A正确； 对于B ，，故B正确； 对于C，，， 所以，故C正确； 对于D ,，， ，故D不正确. 故选：D. 9. 为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法运算法则和的幂运算的周期性直接求解即可. 【详解】. 故选：B. 10. 已知三棱锥中，平面ABC，，，点，分别是线段AB，BC的中点，直线AF，CE相交于点，则过点的平面与截三棱锥的外接球所得截面面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可用补形法求球的半径，当截面垂直OG时，截面面积最小，截面过球心时面积最大可得. 【详解】解：因为，故，将三棱锥补形成长方体，易知三棱锥的外接球的半径；取AC的中点，连接BD必过点，因为，故，因为，故，则过点的平面截球所得截面圆的最小半径，故截面面积的最小值为，最大值为， 故选：B． 11. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则的最小值是（ ） A. －1 B. 1 C. －3 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法表示，结合三角函数的知识求得正确答案. 【详解】以为原点，为轴的正方形建立平面直角坐标系， 则，设， ， 所以当时，取得最小值. 故选：C 12. 在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得，然后根据余弦定理可得、，根据三角形是钝角三角形求出，，，然后利用对勾函数的性质求出的范围即可． 【详解】如图所示： 连接，并延长交于， 由是三角形的重心，得是的中点， ，， 由重心的性质得，即， 由余弦定理得：， ， ，， ， 则， ，，，为锐角， 是钝角三角形，或为钝角， 或， 将代入得：，，， ． 故选：A 第Ⅱ卷 （非选择题，共90分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设，是复数，给出下列四个说法： ①； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中所有正确说法的序号是______． 【答案】②③ 【解析】 【分析】根据复数的概念与运算性质依次判断 【详解】对于①，若，则，则①错误； 对于②，若复数，满足，则，是实数，所以，则②正确； 对于③，取，，其中a，b，c，d均为实数，因为，所以，所以，则③正确; 对于④，取，，可知④错误． 故答案为：②③ 14. 已知则使得的实数___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量数乘的定义求解． 【详解】，则在线段上，且，所以，又， 所以． 故答案为：． 15. 已知向量与的夹角为，则在方向上的投影向量为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】直接按照投影向量的定义计算即可. 【详解】在方向上的投影向量为. 故答案为：. 16. 如图所示，在正方体中，点G在棱上，，E，F分别是棱，的中点，过E，F，G三点的截面将正方体分成两部分，则正方体的四个侧面被截面截得的上、下两部分面积比值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】延长分别交，于P，Q两点，由图可看出上半部分面积即为面积的两倍，由此能求出正方体的四个侧面积被截面截得的上、下两部分面积比值. 【详解】延长分别交，于P，Q两点，易知上半部分面积即为面积的两倍，设正方体棱长为1，即， 又∵正方体的侧面积和为4，∴． 故答案为：. 三、解答题：本题共6大题，17题10分，其余每题12分，共70分. 17. 已知复数，其中i是虚数单位，m为实数． （1）当复数z为纯虚数时，求m的值； （2）当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数，实部为零，虚部不为零列式即可； （2）根据第三象限，实部小于零，虚部小于零，列式即可 . 【小问1详解】 因为为纯虚数, 所以 解得或，且且 综上可得,当为纯虚数时; 【小问2详解】 因为在复平面内对应的点位于第三象限, 解得或，且 即,故的取值范围为. 18. 已知中是直角，，点是的中点，为上一点． （1）设，，当，请用，来表示，； （2）当时，试求． 【答案】（1），；（2）0. 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算求解； （2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系，用数量积的坐标表示计算． 【详解】（1），，点是的中点， ， ， ． （2）以点为坐标原点，以，为，轴，建立如图所示平面直角坐标系， 设，点坐标为，另设点坐标为，点是的中点， 点坐标为， 又，，，， 所以，， 所以． 【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算，考查向量的数量积．掌握数量积的定义是解题关键．在有垂直的平面图形中，可以建立平面直角坐标系，得出各点坐标后，求得向量的坐标，用向量数量积的坐标运算求解． 19. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，过点B作BE⊥AC，交AD于点E，点F，G分别为线段PD，DC的中点． （1）证明：AC⊥平面BEF； （2）求三棱锥F-BGE的体积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直证明，由可知，结合可以证明结论. （2）先利用面积分割法求出三角形BGE的底面积，然后利用锥体的计算公式求解. 【小问1详解】 证明：， 所以， 又， ， ， ， 又，， ， 点E为线段AD的中点， ， 又平面ABCD，平面ABCD， ， ， 又，EF，平面BEF， 平面BEF． 【小问2详解】 解： 由（1）可知且 又平面ABCD 平面ABCD 所以三棱锥． 20. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答． 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，C，S为的面积，若__________（填条件序号） （1）求角C的大小； （2）若边长，求的周长的最大值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）若选①：利用正弦定理进行角化边，然后根据余弦定理求解出的结果；若选②：根据正弦定理进行边化角，然后根据三角恒等变换的公式求解出的结果；若选③：根据面积公式结合已知条件求解出的值，从而求解出的结果； （2）利用余弦定理和的值结合基本不等式，求解出的最大值，由此可求解出周长的最大值. 【详解】（1）若选①：因为， 所以，所以， 所以，所以且， 所以，所以； 若选②：因为，所以且， 所以，所以， 所以，所以且， 所以，所以； 若选③：因为，， 所以且， 所以且，所以； （2）因为，所以，所以， 所以，所以，所以，取等号时， 所以的周长的最大值为：. 【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于余弦定理以及基本不等式的运用，通过余弦定理得到满足的等式，结合基本不等式得到的最大值；本例第二问还可以利用正弦定理去求解：将表示为对应角的正弦形式，利用结合三角恒等变换的公式求解出周长的最大值. 21. 如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，E为PD的中点. （1）证明：PB平面AEC； （2）证明：平面PAB⊥平面PAD； （3）设AP=1，，三棱锥P­-ABD的体积，求点A到平面PBC的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）通过中位线证明EOPB，进而得到PB平面AEC； （2）先由PA⊥AB和AB⊥AD得到AB⊥面PAD，进而得到平面PAB⊥平面PAD； （3）先利用三棱锥P­ABD的体积求出AB，作AH⊥PB，通过△PAB面积相等求出AH即可. 【小问1详解】 如图，设BD与AC的交点为O，连接EO. 因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点. 又E为PD的中点，所以EOPB.因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB平面AEC. 【小问2详解】 ∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB，又底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，而AB∩AD=D，∴AB⊥面PAD， 又AB面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD. 【小问3详解】 由题意得三棱锥P­ABD的体积. 由，可得.作AH⊥PB于H， 由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，故AH⊥平面PBC. 在Rt△PAB中，由勾股定理可得，所以. 所以A到平面PBC的距离为. 22. 在锐角中，，，点为的外心. （1）求证：； （2）求的取值范围. 【答案】（1）证明如下： 由，则，则，即， 设， 所以， 即， 又， 而，， 所以， 令与夹角为，则，即， 即， ∴. （2） 【解析】 【分析】（1）证出，设出与的夹角为，计算得到，由可得，即可证得结论； （2）计算出的外接圆半径为1，可得，求出角的取值范围，结合余弦函数的性质可求得的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因则,即， ，其中，，且为锐角，故， 因可得,则，. 又由解得： 因，而函数在上单调递减，在上单调递增， 又由 故，则， 于是， 即的范围为. 【点睛】方法点睛：求向量模的常见思路与方法： （1）求模问题一般转化为模的平方，与向量数量级联系，并灵活应用； （2）或，此性质可用来求向量的模，可实现实数运算与向量运算的相互转化； （3）一些常见的结论要熟记：如等. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州一中2021～2022学年下学期期中考试 24届 高一（数学）试题 说明： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），满分150分. 2．考试时间：120分钟. 3．将第Ⅰ卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上. 第Ⅰ卷 （选择题，共60分） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 1. ，则（ ） A. B. C. D. 2. 用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知点是斜边的中点，且，则△ABC的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，则A=（ ） A. B. C. D. 4. 在矩形中，为线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 复数z满足（i为虚数单位），则实数m＝（ ） A. 2 B. 1 C. －1 D. －2 6. 已知是平面，l、m、n是空间三条不同的直线，则下列命题中正确的个数（ ）． ①若，，，，则； ②若，，则； ③若点A、B不在直线l上，且到l的距离相等，则直线； ④若三条直线l、m、n两两相交，则直线l、m、n共面； ⑤若，，，则； ⑥若，，，则． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 在高为3的直三棱柱中，△ABC是以C为直角的等腰三角形，且，其中D为棱的中点，M为线段BC上的动点，则AM+MD的最小值为（ ） A. B. C. D. 5 8. 如图甲所示，古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出相等的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有眼，阴鱼的头部有个阳殿，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律.其平面图形记为图乙中的正八边形ABCDEFGH，其中，则以下结论错误的是（　　） A. B. C. D. 9. 为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知三棱锥中，平面ABC，，，点，分别是线段AB，BC的中点，直线AF，CE相交于点，则过点的平面与截三棱锥的外接球所得截面面积的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11. 折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中∠AOB＝120°，OA＝2OC＝2，点E在弧CD上，则的最小值是（ ） A. －1 B. 1 C. －3 D. 3 12. 在钝角中，分别是的内角所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 （非选择题，共90分） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 设，是复数，给出下列四个说法： ①； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中所有正确说法的序号是______． 14. 已知则使得的实数___________. 15. 已知向量与的夹角为，则在方向上的投影向量为___________. 16. 如图所示，在正方体中，点G在棱上，，E，F分别是棱，的中点，过E，F，G三点的截面将正方体分成两部分，则正方体的四个侧面被截面截得的上、下两部分面积比值为_________． 三、解答题：本题共6大题，17题10分，其余每题12分，共70分. 17. 已知复数，其中i是虚数单位，m为实数． （1）当复数z为纯虚数时，求m的值； （2）当复数在复平面内对应的点位于第三象限时，求m的取值范围． 18. 已知中是直角，，点是的中点，为上一点． （1）设，，当，请用，来表示，； （2）当时，试求． 19. 如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，，，过点B作BE⊥AC，交AD于点E，点F，G分别为线段PD，DC的中点． （1）证明：AC⊥平面BEF； （2）求三棱锥F-BGE的体积． 20. 在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答． 在中，角A，B，C的对边分别是a，b，C，S为的面积，若__________（填条件序号） （1）求角C的大小； （2）若边长，求的周长的最大值． 21. 如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，E为PD的中点. （1）证明：PB平面AEC； （2）证明：平面PAB⊥平面PAD； （3）设AP=1，，三棱锥P­-ABD的体积，求点A到平面PBC的距离. 22. 在锐角中，，，点为的外心. （1）求证：； （2）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $