专题2.4指数与指数函数（五大重难点题型精讲）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题2.4 指数与指数函数 目录 一、考纲要求 1.了解指数函数模型的实际背景； 2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算； 3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，，的指数函数的图象； 4.体会指数函数是一类重要的函数模型。 5.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。 二、考点网络 三、考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. （2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. （3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 2022年甲卷第12题，5分 2020年新高考II卷第11题，5分 从近五年的高考情况来看, 指数运算与指数函数 是高考的一个重点也是一个基本点, 常与二次函数、 幂函数、对数函数、三角函数综合, 考查数值大小的 比较和函数方程问题. 四、考点梳理 【基础知识梳理】 考点一 根式 (1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ 考点二 分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 考点三 指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 【知识拓展】 1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大. 重难点题型(一) 指数运算及指数方程、指数不等式 例1．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·全国·模拟预测）已知函数.设，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2024·江苏南通·三模）（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】．（2024·江苏·模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震，它所释放出来的能量是2024年4月3日我国台湾发生里氏7.0级地震的（    ）倍 A． B． C． D． 【变式训练2】．（2024·河南·三模）若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】．（2024高三·全国·专题练习）（多选题）下列大小关系正确的是．（    ） A． B． C． D． 重难点题型(二) 指数函数的图像及性质 例4．（2024·福建南平·模拟预测）函数的部分图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   例5．（2024·河北保定·二模）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．       D．       例6．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【变式训练4】．（2024·山东·一模）函数，则的部分图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 【变式训练5】（23-24高三下·江西·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【变式训练6】．（2023·四川遂宁·三模）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   重难点题型(三) 指数函数中的恒成立问题 例7、（2011·贵州遵义·一模）当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 A．(−1,2) B．(−4,3) C．(−2,1) D．(−3,4) 例8．（2023·山东菏泽·三模）已知函数，若，不等式恒成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练7】．（2024·上海·三模）设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ． 【变式训练8】．（19-20高三上·上海·开学考试）若关于的不等式在时恒成立，则实数的取值范围是 重难点题型(四) 比较大小 例9．（2025·四川内江·模拟预测）设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 例10．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 例11．（2024·天津河西·二模）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练9】．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式训练10】．（2024·新疆·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练11】．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 重难点题型(五) 指数函数的综合问题 例12．（2023·浙江温州·三模）已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为6，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例13．（23-24高一上·吉林延边·期末）（多选题）若实数满足，则下列选项正确的是（　　） A．且 B．的最小值为9 C．的最小值为 D． 例14．（2022·浙江宁波·模拟预测）若不等式对任意的正整数恒成立，则的取值范围是 . 【变式训练12】．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）已知函数与的图象上存在关于原点对称的点，则的取值范围是 . 【变式训练13】．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是 ． 【变式训练14】．（2024·山西晋城·一模）（多选题）已知函数，则（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．当时， D．当时， 1．（2024·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 7．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 8．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 11．（2006·辽宁·高考真题）设，则 ． 12．（2016·浙江·高考真题）已知a＞b＞1.若logab+logba=，ab=ba，则a= ，b= . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 指数与指数函数 目录 一、考纲要求 1.了解指数函数模型的实际背景； 2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算； 3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，，的指数函数的图象； 4.体会指数函数是一类重要的函数模型。 5.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。 二、考点网络 三、考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1）理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质. （2）通过实例，了解指数函数的实际意义，会画指数函数的图象. （3）理解指数函数的单调性、特殊点等性质，并能简单应用． 2022年甲卷第12题，5分 2020年新高考II卷第11题，5分 从近五年的高考情况来看, 指数运算与指数函数 是高考的一个重点也是一个基本点, 常与二次函数、 幂函数、对数函数、三角函数综合, 考查数值大小的 比较和函数方程问题. 四、考点梳理 【基础知识梳理】 考点一 根式 (1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数. (2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝ 考点二 分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义. (2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q. 考点三 指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1； 当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 【知识拓展】 1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大. 重难点题型(一) 指数运算及指数方程、指数不等式 例1．（2024·西藏林芝·模拟预测）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解不等式确定集合，再求交集. 【详解】根据题意， 又在上单调递增，由，得， 所以，则． 故选：B 例2．（2024·全国·模拟预测）已知函数.设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，由得函数为奇函数，且在单调递增，不妨设，设点，则的直线方程为，故，两式相加得，再由函数的奇偶性得即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 令， 则， 所以为奇函数，且在单调递增，如图所示， 因为， 所以不妨设， 设点， 则的直线方程为， 如图，因为， 所以两式相加得， 又因为， 所以， 所以， 即. 故选：D. 例3．（2024·江苏南通·三模）（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】结合图象和指、对函数之间的关系即可判断AB；利用切线不等式即可判断C；利用不等式即可判断D. 【详解】对A，由图可知：与交点， 与的交点， 根据指数函数与对数函数为一对反函数知：，关于对称， 故，，故A正确； 对B，由A知，故B错误； 对C，由知，则，设，， 则，则当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 则，则恒成立，即，当时取等； 令，则有，因为，则，即，故C错误； 对D，设，，则， 则当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 则，即在上恒成立， 即在上恒成立，当时取等， 令，则，即，因为，则，则， 故，故D正确. 故选：AD.    【点睛】关键点点睛：本题AB选项的关键是充分利用图象并结合指、函数的关系，而CD选项的关键在于两个不等式和的运用. 【变式训练1】．（2024·江苏·模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震，它所释放出来的能量是2024年4月3日我国台湾发生里氏7.0级地震的（    ）倍 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意分别求得震级和时的释放的能量，进而求得两次地震释放的能量比. 【详解】设里氏震级时释放的能量为，里氏震级时释放的能量为， 则，， 所以，， 所以， 即2008年5月12日汶川地震释放出的能量是2024年4月3日我国台湾发生的地震释放的能量的倍， 故选：C. 【变式训练2】．（2024·河南·三模）若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数运算法则和对数运算法则化简求值即可. 【详解】由，，可知， . 故选：B 【变式训练3】．（2024高三·全国·专题练习）（多选题）下列大小关系正确的是．（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】平方之后再作差即可判断A，根据指数、对数函数的性质判断B，当时，，即可判断C，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断D. 【详解】对于A，因为， 即，显然，， 所以，故A正确； 对于B，，所以，又，所以，故B正确； 对于C，当时，函数与函数有个交点，， 作出和的图象，如图所示，    结合图象可知，当时，，又，所以，故C错误； 对于D，设，则， 令，则，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，所以，即，化简得，故D正确． 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：D选项的关键是构造函数，利用导数说明函数的单调性，从而比较函数值的大小. 重难点题型(二) 指数函数的图像及性质 例4．（2024·福建南平·模拟预测）函数的部分图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除CD，计算即可排除B. 【详解】因为，所以为偶函数， 故C，D项错误； 又，故B项错误． 故选：A． 例5．（2024·河北保定·二模）函数的部分图象大致为（    ） A．   B．   C．       D．       【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性判断即可. 【详解】设，则， 所以为奇函数， 设，可知为偶函数， 所以为奇函数，则B，C错误， 易知，所以A正确，D错误． 故选：A. 例6．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用在上的值排除B，利用奇偶性排除排除C，利用在上的单调性排除D，从而判断选项. 【详解】对于B，当时，，，，则，不满足图象，故B错误; 对于C，，定义域为，而，关于轴对称，故C错误; 对于D,当时，，由反比例函数的性质可知在单调递减，故D错误; 利用排除法可以得到，在满足题意，A正确. 故选：A 【变式训练4】．（2024·山东·一模）函数，则的部分图象大致形状是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数奇偶性以及时函数值的正负，通过排除法得答案. 【详解】函数的定义域为， ， 即函数为偶函数，排除BD； 当时，，排除C. 故选：A. 【变式训练5】（23-24高三下·江西·开学考试）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由奇函数性质以及指数函数单调性即可判断. 【详解】，且函数定义域为，关于原点对称，所以为奇函数，排除CD． 当时，，所以，排除B，经检验A选项符合题意. 故选：A． 【变式训练6】．（2023·四川遂宁·三模）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据函数奇偶性即可排除CD，由特殊点的函数值即可排除A. 【详解】，则的定义域为R， 又， 所以为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD， 当时，，故排除A. 故选：B. 重难点题型(三) 指数函数中的恒成立问题 例7、（2011·贵州遵义·一模）当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 A．(−1,2) B．(−4,3) C．(−2,1) D．(−3,4) 【答案】A 【分析】由题意可得m2﹣m＜=在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立，则只要m2﹣m＜的最小值，然后解不等式可m的范围． 【详解】∵（m2﹣m）4x﹣2x＜0在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立， ∴m2﹣m＜=在x∈（﹣∞，﹣1]时恒成立， 由于f（x）=在x∈（﹣∞，﹣1]时单调递减， ∵x≤﹣1，∴f（x）≥2，∴m2﹣m＜2， ∴﹣1＜m＜2， 故选A． 【点睛】本题主要考查了函数的恒成立问题m≤f（x）恒成立⇔m≤f（x）得最小值（m≥f（x）恒成立⇔m≥f（x）的最大值），体现出函数恒成立与最值的相互转化． 例8．（2023·山东菏泽·三模）已知函数，若，不等式恒成立，则正实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析出函数为奇函数，利用导数分析可知函数在上为增函数，由可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，其中，则，且不恒为零， 所以，函数在上为增函数， 又因为，故函数为奇函数， 由可得， 所以，，所以，， 令，因为，当且仅当时，等号成立， 所以，. 故选：B. 【变式训练7】．（2024·上海·三模）设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据在上恒成立，故，分时，满足要求，当时，变形为在上恒成立，构造，，根据函数单调性得到，从而得到，得到答案. 【详解】由题意得在上有意义，故在上恒成立， 故， 当时，，而，满足，符合题意， 当时，，在上恒成立， 令，， 其中在上单调递减， 故， 故， 综上，t的取值范围是， 故答案为： 【变式训练8】．（19-20高三上·上海·开学考试）若关于的不等式在时恒成立，则实数的取值范围是 【答案】 【分析】利用对数函数的单调性，将不等式去掉对数符号，再依据分离参数法，转化成求构造函数最值问题，进而求得的取值范围． 【详解】由 得，两边同除以，得到，， ，设，，由函数 在上递减， 所以，故实数的取值范围是． 【点睛】本题主要考查对数函数的单调性，以及恒成立问题的常规解法——分离参数法． 【解题总结】 已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 重难点题型(四) 比较大小 例9．（2025·四川内江·模拟预测）设，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由指数函数的单调性比较与的大小，再作商比较的大小即可得解. 【详解】， ，而 而，因为，所以， 所以，故， 所以. 故选：B 例10．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，利用对数运算将a缩为比较a，b；由，利用指数运算将c放为比较b，c. 【详解】解：因为，， 所以． 因为，， 所以． 综上可知，． 故选：B． 例11．（2024·天津河西·二模）若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角函数单调性可得，结合指数函数、对数函数单调性分析判断. 【详解】因为，则，，， 即， 则，，， 即，所以. 故选：A. 【变式训练9】．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数与对数函数的单调性比较与中间值4的大小关系进而得到与的大小关系；利用幂函数的单调性得到与的大小关系，最终得到的大小关系. 【详解】是上的增函数，，． 在上单调递增，， ，， ，在上单调递增，， ，， 故选：A． 【变式训练10】．（2024·新疆·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用中间值，根据指数函数、对数函数和正弦函数的单调性即可判断. 【详解】 因为函数是上的减函数， 所以， 即. 又因为函数在上的单调递增， 所以，即. 又因为函数是上的增函数， 所以，即， 故. 故选：D. 【变式训练11】．（2024·全国·模拟预测）已知，，，则实数a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数单调性可得、对数函数的单调性可得，，从而可得结果. 【详解】由在R上单调递增，可得，又， 则． 由在上单调递增，可得． 由在上单调递增，可得． 所以， 故选：A． 重难点题型(五) 指数函数的综合问题 例12．（2023·浙江温州·三模）已知函数，存在实数使得成立，若正整数的最大值为6，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分类讨论的值域，然后根据值域端点的倍数关系可解. 【详解】记 因为，所以，所以 当时，，所以， 取， 则对任意正整数，总有成立，故舍. 当时，，所以 要使正整数的最大值为6，则，解得； 当时，，所以 显然存在任意正整数，使得成立； 当时，，所以 要使正整数的最大值为6，则，解得 综上，的取值范围为 故选：C 例13．（23-24高一上·吉林延边·期末）（多选题）若实数满足，则下列选项正确的是（　　） A．且 B．的最小值为9 C．的最小值为 D． 【答案】ABD 【分析】对于AD，利用指数函数的性质即可判断；对于BC，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即可判断. 【详解】对于A，由，可得， 所以且，即，故A正确； 对于B， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9，故B正确； 对于C，因为， 可得，即，所以， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以的最大值为，故C错误； 对于D，因为，则， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 例14．（2022·浙江宁波·模拟预测）若不等式对任意的正整数恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意知, 原不等式或，,利用对数函数与指数函数的性质得到关于的不等式，求出对任意的正整数都成立的的取值即可. 【详解】原不等式或， 因为, 所以（1）或（2）. 当时，（2）成立，此时. 当，时，（1）成立， 因为在（1）中，， 令， 则为单调递增函数， 所以要使（1）对，成立， 只需时成立. 又时，. 所以使不等式对任意的正整数恒成立，的取值范围是：. 故答案为： 【点睛】本题考查利用对数函数和指数函数的有关性质及分类讨论的思想求解参数范围;分别对两种不同情况进行分析求出其公共范围是求解本题的关键;属于难度较大型试题. 【变式训练12】．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）已知函数与的图象上存在关于原点对称的点，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意得方程在上有解，即在有解，转化成函数图象有交点来做即可. 【详解】由题意当即时，方程有解，即， 即当且仅当在有解， 因为在上单调递减，所以由复合函数单调性可知在上单调递减， 所以在上单调递增， 又在上单调递增， 所以在上单调递增， 且当时，， 所以若在有解，则只需， 则的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：将原问题等价转化为函数方程有解，分离参数即可顺利求解. 【变式训练13】．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知定义在上的函数，满足不等式，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由函数解析式可令，且是上的增函数并关于点成中心对称，将不等式变形即可求得，解得. 【详解】易知函数在上为单调性递增， 即可得是上的增函数， 令，则是上的增函数， 易知，可得, 即的图象关于点成中心对称， 由可得， 即，由可得； 所以，利用是上的增函数可得， 解得. 即的取值范围是. 故答案为： 【点睛】方法点睛：解函数不等式的方法步骤： （1）根据解析式特征得出函数奇偶性、对称性、周期性等性质； （2）再判断得出函数单调性，利用单调性并结合定义域得出不等式（组）； （3）解不等式可得结论； 【变式训练14】．（2024·山西晋城·一模）（多选题）已知函数，则（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用指对同构构造函数结合函数单调性判断各选项. 【详解】因为，所以等价于，构造函数， 则，因为是增函数，所以． 因为函数为增函数，且，所以， 所以“”是“”的充要条件． 当时，，理由如下： （解法一） 可变为， 则．因为是增函数，所以，即． （解法二）设，则，，即， 代入，得，即． 假设，则等式左右异号，矛盾．所以，即． 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性，关键是将函数变形指对同构构造函数. 1．（2024·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 2．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：B 3．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 5．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 6．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 7．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 8．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 9．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 10．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 11．（2006·辽宁·高考真题）设，则 ． 【答案】/0.5 【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，再求的值． 【详解】∵，∴， ∴． 故答案为：． 12．（2016·浙江·高考真题）已知a＞b＞1.若logab+logba=，ab=ba，则a= ，b= . 【答案】 【详解】试题分析：设，因为， 因此 指数运算，对数运算． 在解方程时，要注意，若没注意到，方程的根有两个，由于增根导致错误 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$