专题2.4指数与指数函数（模拟+真题精练）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题2.4 指数与指数函数 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西铜川·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（2024·天津南开·二模）已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 4．（2024·山东青岛·二模）已知正数满足，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 7．（2024·江苏·模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震，它所释放出来的能量是2024年4月3日我国台湾发生里氏7.0级地震的（    ）倍 A． B． C． D． 8．（2024·福建南平·模拟预测）函数的部分图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   9．（2024·河南·三模）若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·天津河西·三模）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11．（2024·广东茂名·一模）Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：（其中，为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现.若表示该新产品今年的年产量，估计明年的产量将是今年的倍，那么的值为（为自然数对数的底数）（    ） A． B． C． D． 12．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若，则的取值（    ） A．一定为正 B．一定为负 C．一定为零 D．正、负、零都可能 13．（2024·北京西城·三模）已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·山东·模拟预测）函数的图象大致为（    ） A．B． C． D． 15．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知且，且，若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 17．（2024·河北保定·三模）已知的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2022·江苏连云港·二模）若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 19．（2024·全国·模拟预测）设函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（2024·云南·模拟预测）已知函数为上的偶函数，且当时，，若，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 21．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 22．（2024·福建厦门·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．在上具有单调性 23．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 24．（2024·甘肃定西·一模）已知函数，则（    ） A．当有2个零点时，只有1个零点 B．当有3个零点时，只有1个零点 C．当有2个零点时，有2个零点 D．当有2个零点时，有4个零点 25．（2024·湖北·二模）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．函数的值域为 B．函数的图象关于点成中心对称图形 C．函数的导函数的图象关于直线对称 D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则 26．（2024·山西晋城·一模）已知函数，则（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．当时， D．当时， 三、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 27．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 . 28．（2024·北京通州·三模）已知函数的值域是，若，则m的取值范围是 ． 29．（2024·上海闵行·三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 30．（2024·上海·三模）设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ． 31．（2024·北京海淀·二模）二维码是一种利用黑､白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则的最小值为 . 32．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 33．（23-24高一上·上海·阶段练习）给机器人输入一个指令（其中常数）后，该机器人在坐标平面上先面向轴正方向行走个单位距离，接着原地逆时针旋转后再面向轴正方向行走个单位距离，如此就完成一次操作.已知该机器人的安全活动区域满足，若开始时机器人在函数图象上的点处面向轴正方向，经过一次操作后该机器人落在安全区域内的一点处，且点恰好也在函数图象上，则 . 34．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输的满足则提示“可能出现梯度消失”，满足则提示“可能出现梯度爆炸”，其中表示梯度消失阈值，表示梯度爆炸间值.给出下列四个结论： ①是上的增函数； ②当时，，输入会提示“可能出现梯度爆炸”； ③当时，，输入会提示“可能出现梯度消失”； ④，输入会提示“可能出现梯度消失”. 其中所有正确结论的序号是 . 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 6．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 7．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 9．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 10．（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 11．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 12．（2017·全国·高考真题）设函数则满足的x的取值范围是 . 13．（2015·山东·高考真题）已知函数 的定义域和值域都是 ，则 . 14．（2013·北京·高考真题）函数的值域为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 指数与指数函数 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助指数函数的单调性与绝对值的性质可得集合，借助对数函数定义域计算可得集合，即可得，再利用交集定义即可得解. 【详解】由题意知， ，故， 所以． 故选：A． 2．（2024·陕西铜川·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性比较大小. 【详解】因为在上单调递增，又，所以，即， 因为，所以，即， 因为在上单调递增， 所以，所以， 因为，所以，即， 所以． 故选：D． 3．（2024·天津南开·二模）已知，，，则（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助对数函数与指数函数的单调性，可得、、范围，即可判断. 【详解】因为， ，， 故. 故选：C. 4．（2024·山东青岛·二模）已知正数满足，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，构造函数，借助函数的单调性及零点存在性定理比较大小. 【详解】由，得， 令函数，显然函数在上单调递增， 而，，则； 令函数，函数在上单调递增，， 而， ，则； 令，函数在上单调递增，而， ，，则， 所以的大小关系为. 故选：D 5．（2024·湖南邵阳·三模）“”是“函数（且）在上单调递减”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论的单调性，结合充分、必要条件分析判断. 【详解】若，则的图象为： 可知在上单调递增； 若，则的图象为： 可知在上单调递减； 综上所述：“”是“函数（且）在上单调递减”的充要条件. 故选：C． 6．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】由函数的图象关于对称得零点关于对称，但的零点个数为奇数个可得答案. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 所以的图象关于对称， 令，则， 可得函数的图象关于对称， 所以函数的图象关于对称， 则函数的零点关于对称，但的零点个数为奇数个， 则所以. 故选：C. 7．（2024·江苏·模拟预测）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为.2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震，它所释放出来的能量是2024年4月3日我国台湾发生里氏7.0级地震的（    ）倍 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意分别求得震级和时的释放的能量，进而求得两次地震释放的能量比. 【详解】设里氏震级时释放的能量为，里氏震级时释放的能量为， 则，， 所以，， 所以， 即2008年5月12日汶川地震释放出的能量是2024年4月3日我国台湾发生的地震释放的能量的倍， 故选：C. 8．（2024·福建南平·模拟预测）函数的部分图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据题意，由函数的奇偶性可排除CD，计算即可排除B. 【详解】因为，所以为偶函数， 故C，D项错误； 又，故B项错误． 故选：A． 9．（2024·河南·三模）若，则化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数运算法则和对数运算法则化简求值即可. 【详解】由，，可知， . 故选：B 10．（2024·天津河西·三模）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性，来判断值的大小. 【详解】由函数是增函数，则，所以， 由函数是增函数，则，所以， 由函数是减函数，则，所以， 由，， 由函数是增函数，则，即， 故选：B. 11．（2024·广东茂名·一模）Gompertz曲线用于预测生长曲线的回归预测，常见的应用有：代谢预测，肿瘤生长预测，有限区域内生物种群数量预测，工业产品的市场预测等，其公式为：（其中，为参数）.某研究员打算利用该函数模型预测公司新产品未来的销售量增长情况，发现.若表示该新产品今年的年产量，估计明年的产量将是今年的倍，那么的值为（为自然数对数的底数）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，得到，分别代入、，得到和的值，进而得到，求解即可. 【详解】由，得到， 当时，； 当时，. 依题意，明年的产量将是今年的倍，得：， ，即，解得. ，. 故选：A. 12．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数，若，则的取值（    ） A．一定为正 B．一定为负 C．一定为零 D．正、负、零都可能 【答案】D 【分析】根据题意，应用特殊值法说明即可. 【详解】例如，则， 符合题意，此时； 例如，则， 符合题意，此时； 例如，则， 符合题意，此时； 综上所述：的取值正、负、零都可能. 故选：D. 13．（2024·北京西城·三模）已知函数，若，且，则下面结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性判断，根据基本不等式判断，根据指数的运算判断. 【详解】由指数函数的单调性可知在上单调递增， 又，所以，故正确； 因为，， 所以， 又，所以上式取不到等号，所以，故正确； ，， ，，，故错误； ，，故正确. 故选：C. 14．（2024·山东·模拟预测）函数的图象大致为（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域及奇偶性，再由奇偶性在内函数值的正负判断即可. 【详解】依题意，函数的定义域为， ，则是奇函数，其图象关于原点对称，B不满足； 当时，，则，AD不满足，C满足. 故选：C 15．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知且，且，若函数为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】函数为偶函数，有，代入函数解析式，化简得恒成立，则有． 【详解】由题意可知，，即， 所以，因为，所以恒成立，所以． 故选：B. 16．（2024·宁夏银川·三模）已知函数，则下列说法不正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【答案】C 【分析】分离常数，再根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A；根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B；根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD. 【详解】， 函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确； 因为，所以，则， 所以函数的值域为，故B正确； ，， 所以函数关于点对称，故C错误，D正确. 故选：C. 17．（2024·河北保定·三模）已知的值域为，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分段函数在两段上分别根据自变量范围求函数值的范围，跟值域对比求实数的取值范围. 【详解】①若， 当时，在上单调递减，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域D满足，则解得； ②若， 当时，在上单调递增，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域D满足，不合题意； ③当时，， 若，有（当且仅当时取等号）符合题意， 综上所述：. 故选：D. 18．（2022·江苏连云港·二模）若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意可得，化简整理即可求得m的值． 【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得， 即，整理得，所以. 故选：A 19．（2024·全国·模拟预测）设函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先将不等式等价变形，再将不等式恒成立，转化为最值问题，得到，即可求解. 【详解】易知，故，，在上恒成立， 等价于不等式即在上恒成立， 故，（点拨：当时，函数在上单调递增， 则，所以）， 故，即，又，故． 故实数的取值范围是． 故选：B 20．（2024·云南·模拟预测）已知函数为上的偶函数，且当时，，若，，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可. 【详解】当时，，所以在上单调递增； 又有为上的偶函数，所以在上单调递减. 由于我们有， 即，故. 而，，，故. 故选：C. 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 21．（2024·福建泉州·模拟预测）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据不等式的性质可判断A；取，可判断BC；根据基本不等式可判断D． 【详解】由题意，得，，， 对于A，，故A正确； 对于B，取，，则，故B错误； 对于C，取，，则，故C错误； 对于D，，当且仅当时等号成立，故D正确． 故选：AD 22．（2024·福建厦门·模拟预测）已知函数的定义域为，，且，则（    ） A． B． C．为奇函数 D．在上具有单调性 【答案】AC 【分析】根据题意，令即可判断A，令，，即可判断B，令结合函数奇偶性的定义即可判断C，令即可判断D 【详解】对A：令，则有，即，故A正确； 对B：，，则有，即， 由，，故，即，故B错误； 对C：令，则有，即， 即，又函数的定义域为，则函数的定义域为， 故函数为奇函数，故C正确； 对D：令，则有，即， 即有，则当时，有，即， 故在上不具有单调性，故D错误. 故选：AC 23．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数单调递增 B．函数值域为 C．函数的图象关于对称 D．函数的图象关于对称 【答案】ABD 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，即可判断A，根据函数形式的变形，根据指数函数的值域，求解函数的值域，即可判断B，根据对称性的定义，与的关系，即可判断CD. 【详解】， 函数，，则， 又内层函数在上单调递增，外层函数在上单调递增， 所以根据复合函数单调性的法则可知，函数单调递增，故A正确； 因为，所以，则，所以函数的值域为，故B正确； ，，所以函数关于点对称，故C错误，D正确. 故选：ABD 24．（2024·甘肃定西·一模）已知函数，则（    ） A．当有2个零点时，只有1个零点 B．当有3个零点时，只有1个零点 C．当有2个零点时，有2个零点 D．当有2个零点时，有4个零点 【答案】BD 【分析】将问题转化为与的图象交点问题，结合图象，逐一分析各选项中的取值范围，从而得解. 【详解】令，得， 利用指数函数与二次函数的性质作出的大致图象，如图所示， 由图可知，当有2个零点时，或， 此时无零点或只有1个零点，故A错误； 当有3个零点时，，此时只有1个零点，故B正确； 当有2个零点时，，此时有4个零点．故C错误，D正确. 故选：BD. 25．（2024·湖北·二模）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．函数的值域为 B．函数的图象关于点成中心对称图形 C．函数的导函数的图象关于直线对称 D．若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有2024个交点，记为，则 【答案】BCD 【分析】借助指数函数的值域求解判断A；利用给定定义计算判断B；利用复合函数求导法则结合对称性判断C；利用中心对称的性质计算判断D. 【详解】对于A，显然的定义域为R，，则，即函数的值域为，A错误； 对于B，令，， 即函数是奇函数，因此函数的图象关于点成中心对称图形，B正确； 对于C，由选项B知，，即， 两边求导得，即， 因此函数的导函数的图象关于直线对称，C正确； 对于D，由函数满足为奇函数，得函数的图象关于点成中心对称， 由选项B知，函数的图象与函数的图象有2024个交点关于点对称， 因此，D正确. 故选：BCD 【点睛】结论点睛：函数的定义域为D，， ①存在常数a，b使得，则函数图象关于点对称. ②存在常数a使得，则函数图象关于直线对称. 26．（2024·山西晋城·一模）已知函数，则（    ） A．“”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．当时， D．当时， 【答案】AC 【分析】利用指对同构构造函数结合函数单调性判断各选项. 【详解】因为，所以等价于，构造函数， 则，因为是增函数，所以． 因为函数为增函数，且，所以， 所以“”是“”的充要条件． 当时，，理由如下： （解法一） 可变为， 则．因为是增函数，所以，即． （解法二）设，则，，即， 代入，得，即． 假设，则等式左右异号，矛盾．所以，即． 故选：AC 【点睛】关键点点睛：本题考查函数单调性，关键是将函数变形指对同构构造函数. 三、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 27．（2024·辽宁·模拟预测）命题“任意，”为假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，问题转化为存在，为真命题，即，求出的最小值得解. 【详解】若命题任意“，”为假命题， 则命题存在，为真命题， 因为时，， 令，则， 则在上单调递增， 所以， 所以. 故答案为：. 28．（2024·北京通州·三模）已知函数的值域是，若，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先判断出在上单调递增，在上单调递减，然后作出与在上的图象，求出在上的值域，再结合图象可求得结果. 【详解】当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，为， 作出与在上的图象如图所示： 当，时，，此时， 此时， 因为的值域为，则时，必有解，即，解得，由图知, 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查函数的综合问题，考查分段函数，考查由函数的值域确定参数的范围，解题的关键是根据题意作出函数图象，结合图象求解，考查数形结合的思想，属于较难题. 29．（2024·上海闵行·三模）早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几何中项的定义与今天大致相同.若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】令，，结合基本不等式可得，可化为，求二次函数在区间上的最小值即可. 【详解】不妨设，，则，， 所以，当且仅当时取等号， 即，当且仅当时取等号， 所以 ，（） 所以当时，取得最小值. 故答案为： 30．（2024·上海·三模）设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据在上恒成立，故，分时，满足要求，当时，变形为在上恒成立，构造，，根据函数单调性得到，从而得到，得到答案. 【详解】由题意得在上有意义，故在上恒成立， 故， 当时，，而，满足，符合题意， 当时，，在上恒成立， 令，， 其中在上单调递减， 故， 故， 综上，t的取值范围是， 故答案为： 31．（2024·北京海淀·二模）二维码是一种利用黑､白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由个黑白方块构成的二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成个不重复的二维码，为确保一个二维码在1分钟内被破译的概率不高于，则的最小值为 . 【答案】7 【分析】根据题意可得，即可由不等式求解. 【详解】由题意可知的二维码共有个， 由可得，故， 由于，所以， 故答案为：7 32．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若方程有7个不同的实数根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先作出函数图象，解一元二次方程，结合函数图象含参讨论即可. 【详解】作出函数的图象，如图所示． 由，得， 解得或． 由图象易知，直线与的图象有3个交点， 所以方程有3个不同的实数根， 因为方程有7个不同的实数根， 所以直线与的图象有4个交点， 故，解得，故实数的取值范围是． 故答案为： 33．（23-24高一上·上海·阶段练习）给机器人输入一个指令（其中常数）后，该机器人在坐标平面上先面向轴正方向行走个单位距离，接着原地逆时针旋转后再面向轴正方向行走个单位距离，如此就完成一次操作.已知该机器人的安全活动区域满足，若开始时机器人在函数图象上的点处面向轴正方向，经过一次操作后该机器人落在安全区域内的一点处，且点恰好也在函数图象上，则 . 【答案】3 【分析】首先设点，再根据题意可得点，再根据题意可知，点在安全活动区域，以及点也在函数的图象上，且，再利用不等关系，利用基本不等式，即可求解. 【详解】由题意设，则一次操作后该机器人落点为， 即在安全区域内，所以且. 由，可知， 所以，即能成立. 又因为，且等号当且仅当，即时成立， 综上，. 故答案为：3 34．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输的满足则提示“可能出现梯度消失”，满足则提示“可能出现梯度爆炸”，其中表示梯度消失阈值，表示梯度爆炸间值.给出下列四个结论： ①是上的增函数； ②当时，，输入会提示“可能出现梯度爆炸”； ③当时，，输入会提示“可能出现梯度消失”； ④，输入会提示“可能出现梯度消失”. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【分析】对于①：根据单调性的性质分析判断；对于②：根据题意结合指数运算以及指数函数单调性分析判断；对于③④：整理可得，构建，利用导数求的单调性和值域，进而逐项分析判断. 【详解】对于①：因为的定义域为， 且在上单调递减，所以是上的增函数，故①正确； 对于②：因为对任意恒成立， 则， 令，整理得， 且是上的增函数，则，即无解， 所以不存在，输入会提示“可能出现梯度爆炸”，故②错误； 对于③④：因为是上的增函数，则，即， 则， 令， 则， 令，则在上单调递增，且， 当时，，即，可知在上单调递减； 当时，，即，可知在上单调递增； 则， 且当x趋近于或时，趋近于0， 所以的值域为， 所以对，输入会提示“可能出现梯度消失”，故④正确； 因为在上单调递减，则， 且，即对任意恒成立， 所以当时，，输入会提示“可能出现梯度消失”，故③正确； 故答案为：①③④. 【点睛】关键点睛：1.充分理解新定义的含义，根据定义分析判断； 2.再处理问题③④时，可以通过构建函数求单调性和值域，进而分析判断. 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 2．（2024·天津·高考真题）若，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【详解】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：B 3．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可得，消去即可求解. 【详解】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 4．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 5．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 6．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 7．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 8．（2022·浙江·高考真题）已知，则（    ） A．25 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 【详解】因为，，即，所以． 故选：C. 9．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接代入计算，注意通分不要计算错误． 【详解】，故A错误，C正确； ，不是常数，故BD错误； 故选：C． 10．（2022·全国·高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小. 【详解】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 二、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 11．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 12．（2017·全国·高考真题）设函数则满足的x的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是. 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值. 13．（2015·山东·高考真题）已知函数 的定义域和值域都是 ，则 . 【答案】 【详解】若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解； 若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以. 考点：指数函数的性质. 14．（2013·北京·高考真题）函数的值域为 . 【答案】 【分析】当时，；当时，，可得值域 【详解】当时，；当时，，故函数的值域为. 【考点定位】本题考查了指数函数、对数函数和值域，求函数的值域可以利用函数的单调性，也可以利用函数的图象求. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$