专题2.3幂函数与二次函数（五大重难点题型精讲）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题2.3 幂函数与二次函数 目录 一、考纲要求 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况； 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 3.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。 二、考点网络 三、考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1）通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. （2）掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等). 2020年江苏卷第7题，5分 从近五年全国卷的考查情况来看，本节内容很少单独命题，幂函数要求相对较低, 常与指数函数、对数函数综合，比较幂值的大小，多以选择题、填空题出现. 四、考点梳理 考点1、幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 考点2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. (3)幂函数的图象和性质 考点3、常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 考点4、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 考点5、二次函数的图像 二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为. （1）单调性与最值 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时， （2）与轴相交的弦长 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，. 考点6、二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则. 【解题方法总结】 1、幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． 2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 3、一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示. 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 4、有关二次函数的问题，关键是利用图像. （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论. （2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负. 重难点题型(一) 幂函数的定义及其图像 例1．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 例2．（23-24高一上·贵州·阶段练习）（多选题）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【变式训练1】．（2023·新疆喀什·一模）（多选题）若函数是幂函数，则实数m的值可能是（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的. 重难点题型(二) 幂函数性质的综合应用 例3、（2023·河南·模拟预测）已知幂函数满足，则 ． 例4．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 . 例5．（2024·江苏无锡·模拟预测）在下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练3】．（2022·四川泸州·一模）已知幂函数的图象过点，且，则a的值为 ． 【变式训练4】．（2021·陕西咸阳·二模）已知函数在区间上为增函数，则的取值范围为 . 【变式训练5】．（2024·北京大兴·三模）下列函数中，是偶函数，且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数. 重难点题型(三) 二次方程的实根分布及条件 例6．（2023·广东韶关·模拟预测）已知方程和的解分别是和，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 例7．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6】．（21-22高三上·新疆喀什·阶段练习）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7】．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 重难点题型(四) 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 例8．（2024·浙江·模拟预测）（多选题）二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … m 2 2 n … 且当时，对应的函数值.下列说法不正确的有（    ） A． B． C．关于x的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间 D．和在该二次函数的图象上，则当实数时， 例9．（20-21高一·全国·课后作业）已知在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 【变式训练8】．（2024·河南信阳·模拟预测）（多选题）若函数在上单调，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D．3 【变式训练9】．（2023·上海闵行·一模）（多选题）已知二次函数的值域为，则函数的值域为 ． 【解题方法总结】 “动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 重难点题型(五) 二次函数最大值的最小值问题 例10．（2020·江苏苏州·模拟预测）若函数在开区间上存在最大值与最小值,则实数m的取值范围是 . 例11．（2021·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数在R上是增函数，且存在垂直于y轴的切线，则的取值范围是 . 【变式训练10】．（2021·上海浦东新·三模）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【变式训练11】．（2022·山东济宁·三模）已知二次函数的值域为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2011·上海·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ） A． B． C． D． 4．（2003·全国·高考真题）函数的最大值是：（    ） A． B． C． D． 5．（2015·陕西·高考真题）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结 论是错误的，则错误的结论是 A．是的零点 B．1是的极值点 C．3是的极值 D．点在曲线上 6．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 . 7．（2012·江苏·高考真题）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 ． 8．（2017·北京·高考真题）已知,,且,则的取值范围是 . 9．（2015·湖北·高考真题）为实数，函数在区间上的最大值记为. 当 时，的值最小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 幂函数与二次函数 目录 一、考纲要求 1.了解幂函数的概念；结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象，了解它们的变化情况； 2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题. 3.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。 二、考点网络 三、考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1）通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律. （2）掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等). 2020年江苏卷第7题，5分 从近五年全国卷的考查情况来看，本节内容很少单独命题，幂函数要求相对较低, 常与指数函数、对数函数综合，比较幂值的大小，多以选择题、填空题出现. 四、考点梳理 考点1、幂函数的定义 一般地，(为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数. 考点2、幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数 ①的系数为1； ②的底数是自变量； ③指数为常数. (3)幂函数的图象和性质 考点3、常见的幂函数图像及性质： 函数 图象 定义域 值域 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在上单调递增 在上单调递减，在上单调递增 在上单调递增 在上单调递增 在和上单调递减 公共点 考点4、二次函数解析式的三种形式 （1）一般式：； （2）顶点式：；其中，为抛物线顶点坐标，为对称轴方程. （3）零点式：，其中，是抛物线与轴交点的横坐标. 考点5、二次函数的图像 二次函数的图像是一条抛物线，对称轴方程为，顶点坐标为. （1）单调性与最值 ①当时，如图所示，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，； ②当时，如图所示，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时， （2）与轴相交的弦长 当时，二次函数的图像与轴有两个交点和，. 考点6、二次函数在闭区间上的最值 闭区间上二次函数最值的取得一定是在区间端点或顶点处. 对二次函数，当时，在区间上的最大值是，最小值是，令： （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则. 【解题方法总结】 1、幂函数在第一象限内图象的画法如下： ①当时，其图象可类似画出； ②当时，其图象可类似画出； ③当时，其图象可类似画出． 2、实系数一元二次方程的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根 （2）方程有两个不等负根 （3）方程有一正根和一负根，设两根为 3、一元二次方程的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负. 设为实系数方程的两根，则一元二次的根的分布与其限定条件如表所示. 根的分布 图像 限定条件 在区间内 没有实根 在区间内 有且只有一个实根 在区间内 有两个不等实根 4、有关二次函数的问题，关键是利用图像. （1）要熟练掌握二次函数在某区间上的最值或值域的求法，特别是含参数的两类问题——动轴定区间和定轴动区间，解法是抓住“三点一轴”，三点指的是区间两个端点和区间中点，一轴指对称轴.即注意对对称轴与区间的不同位置关系加以分类讨论，往往分成：①轴处在区间的左侧；②轴处在区间的右侧；③轴穿过区间内部（部分题目还需讨论轴与区间中点的位置关系），从而对参数值的范围进行讨论. （2）对于二次方程实根分布问题，要抓住四点，即开口方向、判别式、对称轴位置及区间端点函数值正负. 重难点题型(一) 幂函数的定义及其图像 例1．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果. 【详解】因为幂函数在上是增函数， 所以，解得. 故选：A. 例2．（23-24高一上·贵州·阶段练习）（多选题）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】AB 【分析】根据幂函数的图象和性质结合已知图象分析判断即可. 【详解】对于幂函数，若函数在上单调递增，则，若函数在上单调递减，则，所以，D选项错误； 当时，若的图象在的上方，则，若的图象在的下方，则， 所以，C选项错误； 因为当时，指数越大，图象越高，所以， 综上，，AB选项正确. 故选：AB 【变式训练1】．（2023·新疆喀什·一模）（多选题）若函数是幂函数，则实数m的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义，即可求解. 【详解】是幂函数， 则，解得或. 故选：BC. 【变式训练1】（2023·湖南岳阳·模拟预测）如图，已知幂函数在上的图象分别是下降，急速上升，缓慢上升，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数在内的单调性以及增长速度和指数幂的关系即可判断. 【详解】由题意结合图象可知. 故选：B. 【解题方法总结】 确定幂函数的定义域，当为分数时，可转化为根式考虑，是否为偶次根式，或为则被开方式非负.当时，底数是非零的. 重难点题型(二) 幂函数性质的综合应用 例3、（2023·河南·模拟预测）已知幂函数满足，则 ． 【答案】4 【分析】由幂函数的定义结合导数求得，进而可得答案. 【详解】由幂函数的定义可得，解得或， 当时，，，符合题意； 当时，，，，不符合题意． 故，． 故答案为：4. 例4．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 因为函数在区间上是增函数，则，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 例5．（2024·江苏无锡·模拟预测）在下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用幂函数奇偶性和单调性可解 【详解】根据幂函数性质知道， 定义域为，上单调递增，非奇非偶函数，故A错误； 奇函数且在单调递增，故B正确； 为偶函数，且在单调递增，故C错误； 为奇函数，且在单调递减，故D错误. 故选：B． 【变式训练3】．（2022·四川泸州·一模）已知幂函数的图象过点，且，则a的值为 ． 【答案】或 【分析】根据题意求得的解析式，再根据即可求得结果. 【详解】根据题意可设，由题可知，解得，则， 又，即，解得或. 故答案为：或. 【变式训练4】．（2021·陕西咸阳·二模）已知函数在区间上为增函数，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意结合二次函数的性质分析运算. 【详解】由题意可知：函数开口向上，对称轴， 因为函数在区间上为增函数，则， 解得，所以的取值范围为. 故答案为：. 【变式训练5】．（2024·北京大兴·三模）下列函数中，是偶函数，且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的奇偶性、函数奇偶性的定义、函数导数判断函数单调性和特殊值判断函数单调性，针对各个选项判断即可； 【详解】对于A，函数是奇函数，A错误； 对于B，函数，所以函数为偶函数，， 令，得，当时，在上单调递减，B正确； 对于C，函数为偶函数，在上单调性有增也有减，C错误； 对于D，函数，所以函数为偶函数， ，，函数在上一定不是减函数，D错误； 故选：B. 【解题方法总结】 紧扣幂函数的定义、图像、性质，特别注意它的单调性在不等式中的作用，这里注意为奇数时，为奇函数，为偶数时，为偶函数. 重难点题型(三) 二次方程的实根分布及条件 例6．（2023·广东韶关·模拟预测）已知方程和的解分别是和，则函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用互为反函数的函数图象特征求出即可作答. 【详解】方程和依次化为：和， 因此和分别是直线与曲线和的交点横坐标， 而函数和互为反函数，它们的图象关于直线对称， 又直线垂直于直线，因此直线与曲线和的交点关于直线对称， 于是，函数， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 例7．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对实数分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果. 【详解】当时，，符合题意； 当时，因为函数的值域为满足， 由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零； 若时，依题意有的最小值，即， 若时，不符合题意； 综上：， 故选：B. 【变式训练6】．（21-22高三上·新疆喀什·阶段练习）已知二次函数的两个零点都在区间内，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的对称轴与单调区间，结合已知可得到关于a的不等式，进而求解. 【详解】二次函数，对称轴为，开口向上， 在上单调递减，在上单调递增， 要使二次函数的两个零点都在区间内， 需，解得 故实数a的取值范围是 故选：C 【变式训练7】．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化复合函数为，，根据已知条件，确定的取值范围，再根据的取值范围确定的取值范围即可. 【详解】因为，令，所以； 令函数的值域为，因为， 所以，所以必须能取到上的所有值， ，解得. 故选：B 重难点题型(四) 二次函数“动轴定区间”、“定轴动区间”问题 例8．（2024·浙江·模拟预测）（多选题）二次函数（a，b，c是常数，且）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … y … m 2 2 n … 且当时，对应的函数值.下列说法不正确的有（    ） A． B． C．关于x的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间 D．和在该二次函数的图象上，则当实数时， 【答案】BCD 【分析】 先根据二次函数图象上的点求得，再由当时，对应的函数值求得，从而求得，判断A，求出后求解范围判断B，根据抛物线的对称性及函数过点得函数零点范围即可判断C，由列不等式求解判断D. 【详解】将代入得，解得， 所以二次函数，当时，对应的函数值， 所以，解得，所以， 所以，所以，故A错误； 当时，，当时，， 所以，因为，所以，故B正确； 因为二次函数过，所以其对称轴为， 又当时，对应的函数值， 根据二次函数的对称性知，当时，对应的函数值， 而当时，，所以二次函数与x轴负半轴的交点横坐标在和0之间， 所以关于x的方程一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在和0之间，故C正确； 因为和在该二次函数的图象上， 所以，， 若，则， 因为，所以，解得，故D正确. 故选：BCD 例9．（20-21高一·全国·课后作业）已知在区间上单调递减，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，设，由复合函数的单调性可知函数在区间上单调递增，根据二次函数的图象和性质得出，解不等式即可求出的取值范围. 【详解】解：由题可知，在区间上单调递减， 设， 而外层函数在定义域内单调递减， 则可知内层函数在区间上单调递增， 由于二次函数的对称轴为， 由已知，应有，且满足当时，， 即，解得：， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式训练8】．（2024·河南信阳·模拟预测）（多选题）若函数在上单调，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D．3 【答案】BD 【分析】分别讨论和两种情况，结合二次函数的图像分析，即可得到答案. 【详解】①当，即时，，所以的对称轴为，则的图象如下： 结合图象可知，要使函数在上单调，则或，解得：或，即或； ②当，即或，令，则的对称轴为，则的图象如下： 结合图象可知，要使函数在上单调， 则，或，或，或 解得：，或， 综上：或； 故选：BD 【变式训练9】．（2023·上海闵行·一模）（多选题）已知二次函数的值域为，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由二次函数的值域为，分析求出参数，然后代入中求出值域即可 【详解】由二次函数的值域为得： 解得：或（舍去） 所以 因为 所以函数的值域为： 故答案为：. 【解题方法总结】 “动轴定区间 ”、“定轴动区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 重难点题型(五) 二次函数最大值的最小值问题 例10．（2020·江苏苏州·模拟预测）若函数在开区间上存在最大值与最小值,则实数m的取值范围是 . 【答案】 【详解】【分析】为开区间，因此最值不能在区间端点处取得。讨论的单调性，发现有唯一的极大值和极小值，所以只能在极大值取到最大值，极小值取到最小值。 【详解】 【点睛】本题要注意的是，要保证极大值，极小值在区间里面，同时区间里面没有其他值比极大值大，比极小值小。 例11．（2021·新疆乌鲁木齐·一模）已知函数在R上是增函数，且存在垂直于y轴的切线，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数与函数的单调性的关系和导数的几何意义可求得,对，,分别讨论，利用换元思想和，结合不等式性质，二次函数的性质，分析综合得到的取值范围. 【详解】由已知得：恒成立且有解， ∴, ①当时，可得,∴, ②当时，,且, , ③当时，,且, , 令, , ∴, 综上，, 故答案为： 【点睛】要注意理解恒成立且等号能够取到的意义，得出是关键一步，下面分类讨论是一定要仔细周密. 【变式训练10】．（2021·上海浦东新·三模）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数的单调性确定对称轴与区间的关系，同时注意分母不为0需满足上符号一致. 【详解】在上单调递增， 在单调递减， 则，即， 同时 需满足，即， 解得， 综上可知 故答案为： 【点睛】关键点点睛：注意利用二次函数对称轴与所给区间的关系求解，同时需注意时，符号必须一致是解题的关键，属于中档题. 【变式训练11】．（2022·山东济宁·三模）已知二次函数的值域为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二次函数的值域可得出，可得出，则有，利用基本不等式可求得结果. 【详解】若，则函数的值域为，不合乎题意， 因为二次函数的值域为，则， 且，所以，，可得，则， 所以，，当且仅当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：B. 1．（2024·天津·高考真题）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件. 【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件. 故选：C. 2．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 3．（2011·上海·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C为偶函数， C. 在区间上单调递增函数，故选A． 考点：本题主要考查奇函数的概念、函数单调性、幂函数的性质． 点评：函数奇偶性判定问题，应首先考虑函数的定义域是否关于原点对称． 4．（2003·全国·高考真题）函数的最大值是：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】函数式的分母是二次函数，求出分母的取值范围后利用不等式的性质可得结论． 【详解】∵， ∴，最大值为． 故选：A. 【点睛】本题考查求函数的最值，利用二次函数的性质和不等式的性质易得． 5．（2015·陕西·高考真题）对二次函数（为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结 论是错误的，则错误的结论是 A．是的零点 B．1是的极值点 C．3是的极值 D．点在曲线上 【答案】A 【详解】若选项A错误时，选项B、C、D正确，，因为是的极值点，是的极值，所以，即，解得：，因为点在曲线上，所以，即，解得：，所以，，所以，因为，所以不是的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A． 【考点定位】1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值． 6．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 . 【答案】 【分析】先求，再根据奇函数求 【详解】，因为为奇函数，所以 故答案为： 【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．（2012·江苏·高考真题）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 ． 【答案】9． 【详解】∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0， ∴b－＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋a2＝2. 又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)， ∴m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9. 8．（2017·北京·高考真题）已知,,且,则的取值范围是 . 【答案】 【详解】试题分析：，所以当时，取最大值1；当 时，取最小值.因此的取值范围为. 【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即，表示线段，那么的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单. 9．（2015·湖北·高考真题）为实数，函数在区间上的最大值记为. 当 时，的值最小. 【答案】． 【详解】因为函数，所以分以下几种情况对其进行讨论： ①当时，函数 在区间上单调递增，所以； ②当时，此时 ，，而，所以； ③当 时，在区间上递增，在上递减．当时，取得最 大值； ④当时，在区间上递增，当时，取得最 大值， 则在上递减，上递增，即当 时，的值最小． 故答案为：． 考点：本题考查分段函数的最值问题和函数在区间上的最值问题，属高档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$