专题2.3幂函数与二次函数（模拟+真题精练）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题2.3 幂函数与二次函数 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽淮北·二模）当实数变化时，函数最大值的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 7．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2023高一·江苏·专题练习）函数在的值域为（ ） A． B． C． D． 10．（20-21高一上·浙江·单元测试）设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2023·江苏苏州·三模）设函数的定义域为，对于任意，若所有点构成一个正方形区域，则实数的值为（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 12．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 13．（2024·天津河西·三模）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 14．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 15．（2024·四川·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 16．（2024·四川成都·模拟预测）设命题，使是幂函数，且在上单调递减；命题，则下列命题为真的是（   ） A． B． C． D． 17．（2024·陕西安康·模拟预测）已知正数满足，则（   ） A． B． C． D． 18．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．1 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 19．（2023·新疆喀什·一模）若函数是幂函数，则实数m的值可能是（    ） A． B． C． D． 20．（2023·福建厦门·一模）已知实数，，满足，则下列关系式中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 21．（2021·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 22．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数在上单调，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D．3 23．（2022·福建莆田·三模）已知函数，函数，则下列结论正确的是（    ） A．若有3个不同的零点，则a的取值范围是 B．若有4个不同的零点，则a的取值范围是 C．若有4个不同的零点，则 D．若有4个不同的零点，则的取值范围是 三、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 24．（2024·河南·模拟预测）已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 25．（2024·湖北武汉·二模）已知动点的轨迹方程为，其中，则的最小值为 . 26．（2024·辽宁·模拟预测）命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是 . 27．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数的最小值为3，则 . 28．（23-24高三上·上海松江·期末）已知函数，．对任意，存在，使得，则实数的取值范围是 ． 29．（2023·安徽合肥·三模）函数的值域为 ． 30．（2023·上海闵行·一模）已知二次函数的值域为，则函数的值域为 ． 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2015·山东·高考真题）关于函数，以下表达错误的选项是（    ） A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 3．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（      ） A． B． C． D． 4．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5．（2015·湖北·高考真题）设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是 A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 6．（2014·上海·高考真题）若，则满足的取值范围是 . 7．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 . 8．（2012·江苏·高考真题）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 幂函数与二次函数 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解集合中的不等式，求集合中函数的值域，得到这两个集合，由交集的定义求. 【详解】不等式，解得，得， 由，得， 则. 故选：C. 2．（2024·陕西渭南·二模）已知函数是上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用分段函数单调性，结合一次、二次函数单调性求解即得. 【详解】由是上的增函数，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B 3．（2024·山东菏泽·模拟预测）若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出的值域，再借助二次函数求出的值域，最后利用指数函数单调性求解即得. 【详解】函数在上单调递增，， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：D 4．（2024·安徽淮北·二模）当实数变化时，函数最大值的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先对内函数对应的方程的根的情况分类讨论，得出时，结果为16，对于时，求出两根，根据图象，就内函数的零点与区间端点的位置进行分类考虑，利用函数单调性分析即得. 【详解】若，即时，，其对称轴为，， 此时，因，故的最小值为16； 若，由可得， （Ⅰ）如图1，当时，即时，在上递减， 在上递增， 在上递减，在上递增，又， ① 当时，，故，而在上单调递 减，则此时，； ② 当时，，故，而在上单调 递增，则此时，. （Ⅱ）如图2，当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 则此时，而在上单调递减，则. 综上，函数最大值的最小值为8. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题主考查绝对值函数在给定区间上的最值问题，属于难题. 解决绝对值函数的方法，主要是根据其内部函数的特点，结合图象，就参数分类讨论去掉绝对值，再利用函数的单调性，即可求其最值. 5．（2024·广东揭阳·二模）已知函数在上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性列出不等式求解即得. 【详解】函数的图象对称轴为，依题意，，得， 所以的取值范围为. 故选：C 6．（2024·山东·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得，再由，进而求得的取值范围. 【详解】由函数的对称轴是， 因为函数在区间上是增函数，所以，解得， 又因为，因此，所以的取值范围是. 故选：A． 7．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对实数分类讨论，根据二次函数的性质及指数函数的值域可得结果. 【详解】当时，，符合题意； 当时，因为函数的值域为满足， 由指数函数的单调性可知，即二次函数的最小值小于或等于零； 若时，依题意有的最小值，即， 若时，不符合题意； 综上：， 故选：B. 8．（2024·四川成都·二模）已知函数的值域为.若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化复合函数为，，根据已知条件，确定的取值范围，再根据的取值范围确定的取值范围即可. 【详解】因为，令，所以； 令函数的值域为，因为， 所以，所以必须能取到上的所有值， ，解得. 故选：B 9．（2023高一·江苏·专题练习）函数在的值域为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角恒等变换结合换元法，最后利用二次函数的值域求解即可. 【详解】函数， 令，， 因为，所以， ，对称轴为，图象开口向下， 当时，取得最大值，， 当时，取得最小值，， 所以在的值域为 故选：B 10．（20-21高一上·浙江·单元测试）设函数在区间上是减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由对称轴求解. 【详解】解：函数的对称轴方程为：， 因为函数在区间上是减函数， 所以，解得， 故选：B 11．（2023·江苏苏州·三模）设函数的定义域为，对于任意，若所有点构成一个正方形区域，则实数的值为（    ） A．-1 B．-2 C．-3 D．-4 【答案】D 【分析】先求出.进而根据在的单调性，得出函数在处取得最大值.根据已知即可列出关系式，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 因为，所以，解得，所以. 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以，在处取得最小值， 所以，在处取得最大值， 所以，函数在处取得最大值. 因为，所有点构成一个正方形区域， 所以，所以. 故选：D. 12．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取两个中间值和，由，，即可比较三者大小. 【详解】，，， 因此． 故选：C． 13．（2024·天津河西·三模）若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数，对数函数，幂函数的单调性，来判断值的大小. 【详解】由函数是增函数，则，所以， 由函数是增函数，则，所以， 由函数是减函数，则，所以， 由，， 由函数是增函数，则，即， 故选：B. 14．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数在上单调递增，则实数的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用幂函数的定义和性质，即可求出结果. 【详解】因为幂函数在上是增函数， 所以，解得. 故选：A. 15．（2024·四川·模拟预测）设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性，结合与特殊值1的比较，即可得到答案. 【详解】因为指数函数是单调减函数，所以， 又由幂函数在上单调增函数，所以， 又因为指数函数是单调增函数，所以， 综上可得：， 故选：D. 16．（2024·四川成都·模拟预测）设命题，使是幂函数，且在上单调递减；命题，则下列命题为真的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据特称命题与全称命题判断命题的真假，从而可得“或”、“且”、“非”命题的真假得结论. 【详解】对于命题，当时，函数，是幂函数，且在上单调递减，故命题为真命题； 对于命题，当时，，不满足，故命题为假命题． 所以“”为真命题，“”为假命题，“”为假命题，“”为假命题． 故选：A． 17．（2024·陕西安康·模拟预测）已知正数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由已知可得且，分别作出相关的函数图象即可求解. 【详解】 由，得 所以方程的实根为，方程的实根为， 在同一坐标系下画出的图象，显然， 故选:A． 18．（2023高三上·江苏徐州·学业考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．1 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义，求得或，结合幂函数的单调性，即可求解. 【详解】由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 当时，函数在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递增，不符合题意. 故选：A. 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 19．（2023·新疆喀什·一模）若函数是幂函数，则实数m的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据已知条件，结合幂函数的定义，即可求解. 【详解】是幂函数， 则，解得或. 故选：BC. 20．（2023·福建厦门·一模）已知实数，，满足，则下列关系式中可能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】设，得到，，，分别作出，，的图象，结合图象，即可求解. 【详解】根据题意，设，其中，则，，， 在同一坐标系中分别画出函数，，的图象， 当时，；当时，；当时，， 由此可以看出，不可能出现这种情况. 故选：BCD.    21．（2021·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数，若，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】结合的单调性以及特殊值、基本不等式，确定正确选项. 【详解】在为增函数， 依题意， 所以，A错误. 由基本不等式得，B正确. 若，则，C错误. 若，则，D正确. 故选：BD 22．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数在上单调，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D．3 【答案】BD 【分析】分别讨论和两种情况，结合二次函数的图像分析，即可得到答案. 【详解】①当，即时，，所以的对称轴为，则的图象如下： 结合图象可知，要使函数在上单调，则或，解得：或，即或； ②当，即或，令，则的对称轴为，则的图象如下： 结合图象可知，要使函数在上单调， 则，或，或，或 解得：，或， 综上：或； 故选：BD 23．（2022·福建莆田·三模）已知函数，函数，则下列结论正确的是（    ） A．若有3个不同的零点，则a的取值范围是 B．若有4个不同的零点，则a的取值范围是 C．若有4个不同的零点，则 D．若有4个不同的零点，则的取值范围是 【答案】BCD 【分析】根据题意，将问题转化为函数与图像交点个数问题，进而数形结合求解即可得答案. 【详解】解：令得，即 所以零点个数为函数与图像交点个数， 故，作出函数图像如图， 由图可知，有3个不同的零点，则a的取值范围是，故A选项错误； 有4个不同的零点，则a的取值范围是，故B选项正确； 有4个不同的零点，此时关于直线对称，所以，故C选项正确； 由C选项可知，所以，由于有4个不同的零点，a的取值范围是，故，所以，故D选项正确. 故选：BCD 三、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 24．（2024·河南·模拟预测）已知函数在上的最大值为，在上的最大值为，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】作出的图象，分和两种情况讨论函数在上的最大值和在上的最大值，列出关系，解不等式即可得到答案. 【详解】由函数，作出的图象如下： 由题得：， 当时，函数在上的最大值为，即， 要使，则，令，解得：，，，， 由图可得，要使函数在上的最大值为，且， 则，或，解得：. 当时， 由图，在上最大值， 在上单调递增，最大值， 不可能成立， 综上，实数的取值范围是， 故答案为：. 25．（2024·湖北武汉·二模）已知动点的轨迹方程为，其中，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】令，由，，转化为，进行求解. 【详解】令，则且， 则 ，当且仅当取等号. 故答案为： 26．（2024·辽宁·模拟预测）命题：存在，使得函数在区间内单调，若的否定为真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先给出命题p的否定，由函数的单调性进行求解. 【详解】命题p的否定为：任意，使得函数在区间内不单调， 由函数在上单调递减，在上单调递增， 则，而， 得， 故答案为： 27．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数的最小值为3，则 . 【答案】 【分析】由换元法得函数最值，由此可列方程求参数. 【详解】令，所以， 令，则的最小值为， 解得. 故答案为：2. 28．（23-24高三上·上海松江·期末）已知函数，．对任意，存在，使得，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据和的值域以及恒成立、存在性等知识求得的取值范围. 【详解】， 所以. 的开口向下，对称轴为， 所以在区间上单调递增，， 所以， 由于任意，存在，使得， 所以，解得，所以的取值范围是. 故答案为： 29．（2023·安徽合肥·三模）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】利用换元法和二次函数性质即可求得的值域. 【详解】 令，则， 则的值域转化为，的值域， ，则， 则的值域为，则函数的值域为. 故答案为： 30．（2023·上海闵行·一模）已知二次函数的值域为，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由二次函数的值域为，分析求出参数，然后代入中求出值域即可 【详解】由二次函数的值域为得： 解得：或（舍去） 所以 因为 所以函数的值域为： 故答案为：. 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是. 故选：D 2．（2015·山东·高考真题）关于函数，以下表达错误的选项是（    ） A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线 C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像与性质，直接进行求解即可. 【详解】，最大值是1，A正确； 对称轴是直线，B正确； 单调递减区间是，故C错误； 令的，故在函数图象上，故D正确， 故选：C 3．（2022·天津·高考真题）已知，，，则（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系. 【详解】因为，故. 故答案为：C. 4．（2023·天津·高考真题）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可. 【详解】由在R上递增，则， 由在上递增，则. 所以. 故选：D 5．（2015·湖北·高考真题）设，表示不超过的最大整数．若存在实数，使得，，…，同时成立，则正整数的最大值是 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】因为表示不超过的最大整数．由得， 由得， 由得，所以， 所以， 由得， 所以， 由得，与矛盾， 故正整数的最大值是4． 考点：函数的值域，不等式的性质． 二、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 6．（2014·上海·高考真题）若，则满足的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为. 【考点】幂函数的性质. 7．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0时， ，则f(-8)的值是 . 【答案】 【分析】先求，再根据奇函数求 【详解】，因为为奇函数，所以 故答案为： 【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．（2012·江苏·高考真题）已知函数的值域为，若关于x的不等式的解集为，则实数c的值为 ． 【答案】9． 【详解】∵f(x)＝x2＋ax＋b的值域为[0，＋∞)，∴Δ＝0， ∴b－＝0，∴f(x)＝x2＋ax＋a2＝2. 又∵f(x)＜c的解集为(m，m＋6)， ∴m，m＋6是方程x2＋ax＋－c＝0的两根．由一元二次方程根与系数的关系得解得c＝9. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$