专题2.2函数的基本性质的灵活应用（单调性、奇偶性、对称性、周期性十二大重难点题型精讲）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题2.2 函数的基本性质的灵活应用 目录 一、考纲要求 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。 二、考点网络 3、 考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1）借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． （2）结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． （3）结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义． 2023年II卷第8题，5分 2022年I卷第12题，5分 2021年II卷第8题，5分 2021年甲卷第12题，5分 从近几年高考命题来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查． 4、 考点梳理 考点1、函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 考点2、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． 考点3、函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 考点4、函数的周期性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 【解题方法总结】 1、单调性技巧 （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （3）记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 2、奇偶性技巧 (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征. 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足. (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 3、周期性技巧 4、函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 5、对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 重难点题型(一) 函数的单调性及其应用 例1．（2024·河南信阳·模拟预测）下列函数中，在其定义域上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·宁夏银川·一模）下列四个函数中，是偶函数且在区间上单调递增的函数个数是（    ） ①  ②  ③④ A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练1】．（2024·北京西城·三模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练2】．（2024·广东深圳·三模）函数的单调递增区间是 ． 【解题总结】 函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． 重难点题型(二) 复合函数单调性的判断 例3．（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例4．（2024·江苏无锡·二模）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 【变式训练3】．（2024·全国·模拟预测）已知函数且在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练4】．（2024·湖南长沙·三模）已知函数则不等式的解集为 . 【解题总结】 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： 1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； 2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 重难点题型(三) 利用函数单调性求函数最值 例5．（2023·陕西渭南·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为 ． 例6．（2022·河南开封·模拟预测）对任意，不等式恒成立，则正数a的最大值为（    ） A． B． C． D．e 【变式训练5】．（22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 【变式训练6】．（2019·江苏·一模）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若，实数满足，则的最小值为 ． 【解题总结】 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． 1、若在上恒成立在上的最大值． 2、若在上恒成立在上的最小值． 重难点题型(四) 利用函数单调性求参数的范围 例7.（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练7】．（2024·黑龙江大庆·三模）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式训练8】．（2017·河北石家庄·一模）已知函数，无论取何值，函数在区间总是不单调.则的取值范围是 ． 【解题总结】 1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决. 2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减). 3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系. 重难点题型(五) 利用函数单调性的比较大小 例9．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知定义在上的函数，记，则（    ） A． B． C． D． 例10．（2025·全国·模拟预测）已知：，，，那么三者的关系是（    ） A． B． C． D． 例11．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数，记，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练9】．（2024·四川自贡·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式训练10】、（2024·辽宁丹东·二模）已知函数，，，，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练11】、（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 重难点题型(六) 函数的奇偶性的判断与证明 例12．（2024·北京大兴·三模）下列函数中，是偶函数，且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 例13．（2024·安徽淮北·二模）函数的大致图像为（    ） A．    B．    【变式训练12】．（2022·重庆永川·模拟预测）下列函数中是奇函数的为（    ） A． B． C． D． 【变式训练13】．（2022·全国·模拟预测）函数的部分图像大致为（    ） A． B． C． D． 重难点题型(七) 已知函数的奇偶性求参数 例14．（2024·陕西安康·模拟预测）若函数是奇函数，则实数的值是（    ） A．2 B． C． D． 例15．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知函数是奇函数，则 . 例16．（2023·河北张家口·一模）已知是奇函数，则实数 ． 【变式训练14】．（2023·江苏·一模）若为奇函数，则的值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．-1或1 【变式训练15】．（2018·河南南阳·一模）若函数为偶函数，则 ． 【变式训练16】．（19-20高三上·四川南充·阶段练习）已知函数是奇函数，则 . 【解题总结】 利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解. 重难点题型(八) 已知函数的奇偶性求表达式、求值 例17．（2022·广东广州·三模）若函数是偶函数，则 ． 例18．（2020·黑龙江哈尔滨·二模）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时， ． 【变式训练17】．（2022·安徽芜湖·模拟预测）设为奇函数，且时，，则 . 【变式训练18】．（2021·新疆·模拟预测）设为定义在R上的奇函数，当时，（a为常数）则的值为（    ） A． B． C． D．6 重难点题型(九) 函数的对称性与周期性 例19．（2024·山西·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 例20．（2024·河北秦皇岛·三模）已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为 . 【变式训练19】．（2024·全国·模拟预测）设是定义域为的偶函数，且为奇函数.若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练20】．（2024·河北石家庄·二模）设是定义在上的奇函数，且，当时，，则的值为（     ） A．-1 B．-2 C．2 D．1 【解题总结】 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 重难点题型(十) 类周期函数 例21．（2024·陕西商洛·三模）已知函数满足，则满足的最大正整数的值为 ． 例22．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）19世纪时期，数学家们处理大部分数学对象都没有完全严格定义，数学家们习惯借助直觉和想象来描述数学对象，德国数学家狄利克雷（Dirichlet）在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），后来人们称之为狄利克雷函数，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义狄利克雷函数可以定义为（其中且），则下列说法正确的是（    ） A．都有 B．函数和均不存在最小正周期 C．函数和均为偶函数 D．存在三点在图像上，使得为正三角形，且这样的三角形有无数个 【变式训练21】．（2022·河南·模拟预测）已知的定义域为R，若函数满足，则称为的一个不动点，有下列结论：①的不动点是3；②存在不动点；③若函数为奇函数，则其存在奇数个不动点；若为偶函数，则其存在偶数个不动点；④若为周期函数，则其存在无数个不动点；⑤若存在不动点，则也存在不动点，以上结论正确的序号是 . 【变式训练22】．（2022·北京西城·模拟预测）在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题．由神经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界．从AlphaGo到自动驾驶汽车，这些大家耳熟能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的．在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，Sigmoid函数即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为：．下列关于Sigmoid函数的表述正确的是： ． ①Sigmoid函数是单调递增函数； ②Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为； ③对于任意正实数a，方程有且只有一个解； ④Sigmoid函数的导数满足：． 【解题总结】 1、类周期函数 若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数． 类周期函数图象倍增函数图象 2、倍增函数 若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数． 注意当时，构成一系列平行的分段函数，． 重难点题型(十一) 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 例23．（2024·陕西西安·二模）已知函数满足，.则 . 例24．（2024·河南开封·三模）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B． C．是周期函数 D．的解析式可能为 【变式训练23】、（2024·河北保定·三模）已知函数在上单调递增，且对任意恒成立，则 A． B．是奇函数（    ） C．是奇函数 D．恒成立 【变式训练24】．（22-23高三上·江苏扬州·期末）（多选题）函数在上有定义，若对任意，，有，则称在上具有性质，设在上具有性质，则下列说法正确的是（    ） A．在上的图像是连续不断的 B．在上具有性质 C．对任意，，，，有 D．若在处取得最小值1011，则， 【解题总结】 抽象函数的模特函数通常如下： (1)若，则(正比例函数) (2)若，则(指数函数) (3)若，则(对数函数) (4)若，则(幂函数) (5)若，则(一次函数) (6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形. 重难点题型(十二) 函数性质的综合 例25．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，，现有下列4个结论： ①； ②的图象关于直线对称； ③是周期函数； ④. 其中结论正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 例26．（2023·宁夏·一模）已知函数的定义域为R，为偶函数，，当时，（且），且.则（    ） A．40 B．32 C．30 D．36 【变式训练25】．（2019·山东·三模）已知函数且在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是 ． 【变式训练26】．（2022·陕西宝鸡·二模）若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域上的任意x，恒有；（2）对于定义域上的任意，当，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”，下列①，②，③，④四个函数中，能被称为“理想函数”的有 .（填出函数序号） 【解题总结】 （1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小. （2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍. 1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 6．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 7．（2024·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 9．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 10．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·上海·高考真题）已知，，且是奇函数，则 ． 12．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ． 13．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 14．（2005·天津·高考真题）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 ． 15．（2020·全国·高考真题）关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是 ． 16．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 函数的基本性质的灵活应用 目录 一、考纲要求 1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质. 3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象能力。 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义； 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 3.培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。 二、考点网络 3、 考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1）借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． （2）结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义． （3）结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义． 2023年II卷第8题，5分 2022年I卷第12题，5分 2021年II卷第8题，5分 2021年甲卷第12题，5分 从近几年高考命题来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性是高考的必考内容，重点关注周期性、对称性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查． 4、 考点梳理 考点1、函数的单调性 （1）单调函数的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： 如果对于内的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说在区间上是增函数． 如果对于内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么就说在区间上是减函数． ①属于定义域内某个区间上； ②任意两个自变量，且； ③都有或； ④图象特征：在单调区间上增函数的图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右是下降的． （2）单调性与单调区间 ①单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在区间上具有单调性，称为函数的单调区间． ②函数的单调性是函数在某个区间上的性质． （3）复合函数的单调性 复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 考点2、函数的奇偶性 函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数 关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数 关于原点对称 判断与的关系时，也可以使用如下结论：如果或，则函数为偶函数；如果或，则函数为奇函数． 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称)． 考点3、函数的对称性 (1)若函数为偶函数，则函数关于对称． (2)若函数为奇函数，则函数关于点对称． (3)若，则函数关于对称． (4)若，则函数关于点对称． 考点4、函数的周期性 （1）周期函数： 对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期. （2）最小正周期： 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小整数叫做的最小正周期. 【解题方法总结】 1、单调性技巧 （1）证明函数单调性的步骤 ①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且； ②变形：作差变形(变形方法：因式分解、配方、有理化等)或作商变形； ③定号：判断差的正负或商与的大小关系； ④得出结论． （2）函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． （3）记住几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增(或减)函数，则在和的公共定义域上为增(或减)函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 2、奇偶性技巧 (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征. 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足. (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同. (5)若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记，，则. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如. 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (7)复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 3、周期性技巧 4、函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 5、对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 重难点题型(一) 函数的单调性及其应用 例1．（2024·河南信阳·模拟预测）下列函数中，在其定义域上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对数函数在其定义域上单调递增，A选项不满足条件； 为常函数，在其定义域上没有单调性，B选项不满足条件； 在其定义域上单调递增，C选项不满足条件； ，在其定义域上单调递减，D选项满足条件. 故选：D. 例2．（2024·宁夏银川·一模）下列四个函数中，是偶函数且在区间上单调递增的函数个数是（    ） ①  ②  ③④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由偶函数定义、导数工具以及基本初等函数的单调性依次检验各函数的奇偶性和单调性即可判断求解. 【详解】对于①，，则函数定义域为R，且， 所以是偶函数， 当时，恒成立， 故函数在上单调递增，故①符合； 对于②，，则函数定义域为R，且， 所以函数是奇函数，故②不符合； 对于③，，则函数定义域为R，且， 故是偶函数， 当时，函数为单调递增，故③符合； 对于④，由正切函数图象性质可知函数在不单调，故④不符合. 故选：B. 【变式训练1】．（2024·北京西城·三模）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义和基本函数的性质逐个分析判断即可. 【详解】对于A，定义域为，令，因为，所以此函数为奇函数，所以A错误， 对于B，定义域为，令，因为，所以此函数为偶函数， 因为在上单调递增，所以B错误， 对于C，定义域为，令，因为，所以此函数为偶函数， 因为在上有增区间也有减区间，所以C错误， 对于D，定义域为，令，因为，所以此函数为偶函数， 当时，，因为在上单调递增，所以在上单调递减，所以D正确， 故选：D 【变式训练2】．（2024·广东深圳·三模）函数的单调递增区间是 ． 【答案】 【分析】作出函数的图象，根据图象即可求出结果. 【详解】函数， 由，解得或， 函数的图象如图所示， 由图可知，函数的单调递增区间为. 故答案为：. 【解题总结】 函数单调性的判断方法 ①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断． ②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性． ③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间． 重难点题型(二) 复合函数单调性的判断 例3．（2024·湖北·二模）已知函数在上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题设条件证明，再验证时条件满足即可. 【详解】若在上单调递增， 则必然在处有定义，所以，即； 若，则当时，所以在上有定义， 再由知在上单调递增，所以在上单调递增. 故选：C. 例4．（2024·江苏无锡·二模）已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】运用分段函数单调性知识，结合一次函数和指数型函数单调性知识可解. 【详解】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减， 所以，解得，则. 故答案为：. 【变式训练3】．（2024·全国·模拟预测）已知函数且在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对数函数的单调性与底数有关，分和两种情况讨论，此外还要注意对数函数的定义域，即真数为正；复合函数单调性满足“同增异减”，根据对数函数单调性结合题干中“在区间上单调递减”得到真数部分函数的单调性，从而求得的取值范围. 【详解】设函数，则． ①若，则在定义域上单调递减． 又在区间上单调递减，所以在区间上单调递增，故对任意的恒成立． 又，所以对任意的显然成立． 又因为对任意恒成立，所以0，故． ②若，则在定义域上单调递增． 又在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，故对任意的恒成立． 因为抛物线的开口向上，所以不可能对任意的恒成立． 所以的取值范围为． 故选：A． 【变式训练4】．（2024·湖南长沙·三模）已知函数则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由函数解析式可得在上单调递增，令，不等式为变为，利用单调性可得不等式的解集. 【详解】函数在上单调递增， 又在上单调递增，又， 所以在上单调递增. 设，可得在上单调递增. 又，所以原不等式可化为， 所以原不等式的解集为. 故答案为：. 【解题总结】 讨论复合函数的单调性时要注意：既要把握复合过程，又要掌握基本函数的单调性．一般需要先求定义域，再把复杂的函数正确地分解为两个简单的初等函数的复合，然后分别判断它们的单调性，再用复合法则，复合法则如下： 1、若，在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数，则为增函数； 2、若，在所讨论的区间上一个是增函数，另一个是减函数，则为减函数．列表如下： 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 复合函数单调性可简记为“同增异减”，即内外函数的单性相同时递增；单性相异时递减． 重难点题型(三) 利用函数单调性求函数最值 例5．（2023·陕西渭南·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】因为， 所以， 所以函数在区间上单调递增， 即在上恒成立， 显然，所以问题转化为在上恒成立， 设， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 故， 所以的最小值为：. 故答案为：. 例6．（2022·河南开封·模拟预测）对任意，不等式恒成立，则正数a的最大值为（    ） A． B． C． D．e 【答案】D 【分析】将不等式化为，构造有，利用函数的单调性及参变分离法有在上恒成立，应用导数求右侧最小值，即可得结果. 【详解】∵， ∴． 令，则不等式化为． ∵为增函数， ∴，即． 令，则， 当时，，即递减； 当时，，即递增； 所以． ∴实数a的最大值为e． 故选：D 【变式训练5】．（22-23高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】构造函数，利用单调性可得，再利用均值不等式即可求解. 【详解】由，得， 令，则在上单调递增，所以，即， 又因为是正实数， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为： 【变式训练6】．（2019·江苏·一模）已知函数是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，若，实数满足，则的最小值为 ． 【答案】1 【分析】由题意得，结合偶函数的单调性和对称性，可把不等式转化为，然后得到，解不等式可得所求最小值． 【详解】依题意知的图象关于轴对称，且有． 因为偶函数在上是单调递增的， 所以由，得， 即，解得， 所以的最小值为1． 故答案为1． 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的应用，解题时可把函数值的大小的问题转化为变量到对称轴的距离的问题求解，利用数形结合进行解题是解答本题的关键和突破口，属于基础题． 【解题总结】 若已知函数的单调性，求参数的取值范围问题，可利用函数单调性，先列出关于参数的不等式，利用下面的结论求解． 1、若在上恒成立在上的最大值． 2、若在上恒成立在上的最小值． 重难点题型(四) 利用函数单调性求参数的范围 例7.（2024·全国·模拟预测）函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数与复合函数的单调性，可得内函数的单调性，利用其最值以及二次函数单调性，建立不等式，可得答案. 【详解】令，则． 当时，在上单调递增， 则由复合函数的单调性可知在上单调递增， 且在上恒成立， 所以，解得或（舍去）． 所以在上单调递增， 则，解得． 当时，在上单调递减， 则由复合函数的单调性可知在上单调递减， 且在上恒成立， 所以，解得或（舍去）． 所以在上单调递减， 则，解得，与矛盾． 综上所述，. 故选：C． 例8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于的不等式，即可求解. 【详解】根据题意，当时，，可得在上递增， 要使得函数 是上的单调函数， 则满足，且，解可得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 【变式训练7】．（2024·黑龙江大庆·三模）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的图象可知其单调性，进而利用单调性求解即可. 【详解】函数的图象如下，由图可知在R上单调递增. 因为， 所以，解得. 故选：D. 【变式训练8】．（2017·河北石家庄·一模）已知函数，无论取何值，函数在区间总是不单调.则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由知时，一定存在单调增区间，从而要使无论取何值，函数在区间总是不单调， 必须有，由此能求出的取值范围. 【详解】对于函数 当时，即或， 此时为增函数， 当时， 因为，所以一定存在单调递增区间， 要使无论取何值，函数在区间总是不单调， 则不能为增函数， 所以，即 故答案为: 【解题总结】 1、比较函数值大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数单调性解决. 2、求复合函数单调区间的一般步骤为：①求函数定义域；②求简单函数单调区间；③求复合函数单调区间(同增异减). 3、利用函数单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数图像或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数.同时注意函数定义域的限制，遇到分段函数注意分点左右端点函数值的大小关系. 重难点题型(五) 利用函数单调性的比较大小 例9．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）已知定义在上的函数，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用指数函数，对数函数，正弦函数的性质比较的大小，再利用的单调性可比较出的大小. 【详解】因为在上递减，且， 所以， 因为在上递增，且， 所以，得， 因为在上递增，所以， 因为在上递增，， 所以，即， 所以， 所以， 因为在上递减， 所以，即. 故选：C 例10．（2025·全国·模拟预测）已知：，，，那么三者的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先比较和，注意到，，从而通过比较的大小可，再比较和，注意到，而又有,从而只需要证明即可. 【详解】因为， ，而， 所以，得， 令，则， 所以在上递减， 因为当时，，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以， 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查对数式和指数式比较大小，考查对数的运算，考查导数的应用，解题的关键是构造函数，利用导数可求其单调性，从而可得其取值范围，考查计算能力和转化思想，属于较难题. 例11．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数，记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对求导，求出的单调性，再由可知的图象关于直线对称，则，结合的单调性，即可求出的大小. 【详解】的定义域为， ，所以， 令可得：，令可得：， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又因为 所以的图象关于直线对称， 又， 所以， 又，故． 故选：B. 【变式训练9】．（2024·四川自贡·三模）已知，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性即可判断. 【详解】因为在上单调递增， 所以即； 因为为增函数，故即； 因为为减函数，故即， 综上. 故选：A. 【变式训练10】、（2024·辽宁丹东·二模）已知函数，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用导数求得函数的单调性，结合对数的运算性质，进而求得的大小关系，得到答案. 【详解】因为函数，可得， 当时，；当时，； 当时，， 所以在和上递增，在上递减， 因为，可得，所以， 又因为，， 所以，所以，即，所以. 故选：D. 【变式训练11】、（2024·吉林长春·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小. 【详解】设，， 时，，为减函数， 时，，为增函数，所以， ，即. 设，， 时，，为增函数， 时，，为减函数， 所以，，即，所以. 设，， 为增函数，所以，所以，即. 故选：D 重难点题型(六) 函数的奇偶性的判断与证明 例12．（2024·北京大兴·三模）下列函数中，是偶函数，且在上是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本初等函数的奇偶性、函数奇偶性的定义、函数导数判断函数单调性和特殊值判断函数单调性，针对各个选项判断即可； 【详解】对于A，函数是奇函数，A错误； 对于B，函数，所以函数为偶函数，， 令，得，当时，在上单调递减，B正确； 对于C，函数为偶函数，在上单调性有增也有减，C错误； 对于D，函数，所以函数为偶函数， ，，函数在上一定不是减函数，D错误； 故选：B. 例13．（2024·安徽淮北·二模）函数的大致图像为（    ） A．    B．    C．    D．    【答案】C 【分析】利用函数的奇偶性排除B,D两项，再根据图象取特殊值，排除A项即得. 【详解】由可知，，即，显然该函数定义域关于原点对称， 由可知，函数为奇函数，排除B,  D两项， 又，排除A项，故C项正确. 故选：C. 【变式训练12】．（2022·重庆永川·模拟预测）下列函数中是奇函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义，先判断每一选项中函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下，再判断是否成立，即可得答案. 【详解】解：对于A，因为，，关于原点对称，，故不是奇函数； 对于B，因为，，关于原点对称，，故不是奇函数； 对于C，因为，，关于原点对称，，故是奇函数； 对于D，因为，，不关于原点对称，所以函数不具有奇偶性. 故选：C. 【变式训练13】．（2022·全国·模拟预测）函数的部分图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的奇偶性并代入特值即可判断. 【详解】由，， 故函数是奇函数，则B不符合， 当时，时，D不符合， 当时，，A不符合， 故选：C. 重难点题型(七) 已知函数的奇偶性求参数 例14．（2024·陕西安康·模拟预测）若函数是奇函数，则实数的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到的方程求解即可 【详解】，因为是奇函数，所以有， ，， 因此， 故选：C． 例15．（2022·辽宁葫芦岛·二模）已知函数是奇函数，则 . 【答案】1 【分析】根据奇函数的定义可得. 【详解】由题知，的定义域为R，因为是奇函数，所以， 所以， 所以， 所以恒成立 所以. 故答案为：1. 例16．（2023·河北张家口·一模）已知是奇函数，则实数 ． 【答案】2 【分析】利用奇函数的定义代入函数式，化简即可求出所要的值. 【详解】由题意得，所以，解得． 【变式训练14】．（2023·江苏·一模）若为奇函数，则的值为（    ） A．-1 B．0 C．1 D．-1或1 【答案】A 【分析】根据奇函数的定义，取特殊情况 ，可以快速求解出的值. 【详解】由题得： ，故. 故选:A. 【变式训练15】．（2018·河南南阳·一模）若函数为偶函数，则 ． 【答案】1或 【分析】利用函数奇偶性的定义以及奇偶性的性质，即可容易求得结果. 【详解】令，根据函数为偶函数， 可知为奇函数，利用， 可得，所以或. 又当时，，， 且其定义域关于原点对称，故为奇函数. 故答案为：或. 【点睛】本题考查利用函数奇偶性求参数值，属简单题. 【变式训练16】．（19-20高三上·四川南充·阶段练习）已知函数是奇函数，则 . 【答案】1 【分析】由是奇函数得，即可求出. 【详解】函数是奇函数， ， ， 即， ， ， . 故答案为：1. 【点睛】本题考查由函数的奇偶性求参数，属于基础题. 【解题总结】 利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解. 重难点题型(八) 已知函数的奇偶性求表达式、求值 例17．（2022·广东广州·三模）若函数是偶函数，则 ． 【答案】/2.5 【分析】利用偶函数的性质求解，代入求解即可. 【详解】解：因为函数是偶函数，故，即，解得. 故，则. 故答案为：. 例18．（2020·黑龙江哈尔滨·二模）已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】根据题意，设，则，由函数的解析式可得，结合函数的奇偶性分析可得答案． 【详解】解：根据题意，设，则，有， 又由为偶函数，则， 即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的性质以及应用，属于基础题． 【变式训练17】．（2022·安徽芜湖·模拟预测）设为奇函数，且时，，则 . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质即可求． 【详解】由题可知，． 故答案为：． 【变式训练18】．（2021·新疆·模拟预测）设为定义在R上的奇函数，当时，（a为常数）则的值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】由奇函数的性质求参数a，再由，即可求值. 【详解】由题意知：，即，则， ∴时，， 由奇函数对称性知：． 故选：A 重难点题型(九) 函数的对称性与周期性 例19．（2024·山西·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】借助赋值法可得，结合题意计算可得函数的周期，即可得解. 【详解】因为，取得，即， 又，取得. 由得， 所以函数的一个周期为，故. 故选：B. 例20．（2024·河北秦皇岛·三模）已知奇函数的定义域为，，且，则在上的零点个数的最小值为 . 【答案】9 【分析】由结合是奇函数可求出的周期为3，即可求出，再由的对称性和周期性可得. 【详解】由，可得的图象关于点对称， 又是奇函数，所以， 则的周期为3，所以， ， 而，则. 故在上的零点个数的最小值为9. 故答案为：9. 【变式训练19】．（2024·全国·模拟预测）设是定义域为的偶函数，且为奇函数.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所给函数性质求出函数周期，利用周期化简即可得解. 【详解】由为奇函数，得， 得的图象关于点对称，所以. 又因为是定义域为的偶函数，所以，， 所以的周期为4， 所以. 故选：A. 【变式训练20】．（2024·河北石家庄·二模）设是定义在上的奇函数，且，当时，，则的值为（     ） A．-1 B．-2 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由题意求出函数的周期，再利用奇偶性代入求值即可. 【详解】由题意知，则， 即，所以， 即，所以函数的周期为， 所以， 故选：B 【解题总结】 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 重难点题型(十) 类周期函数 例21．（2024·陕西商洛·三模）已知函数满足，则满足的最大正整数的值为 ． 【答案】12 【分析】根据递推关系可得是公比为2的等比数列，即可求解通项，进而根据等比求和将问题转化为，根据不等式求解即可. 【详解】， 所以数列是公比为2的等比数列， 所以所解不等式为： 当时，则， 可解得： 的最大值为12， 当时，符合要求， 当时，不符合要求， 因此的最大值为12， 故答案为：12 例22．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）19世纪时期，数学家们处理大部分数学对象都没有完全严格定义，数学家们习惯借助直觉和想象来描述数学对象，德国数学家狄利克雷（Dirichlet）在1829年给出了著名函数：（其中为有理数集，为无理数集），后来人们称之为狄利克雷函数，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念、性质、结构”．一般地，广义狄利克雷函数可以定义为（其中且），则下列说法正确的是（    ） A．都有 B．函数和均不存在最小正周期 C．函数和均为偶函数 D．存在三点在图像上，使得为正三角形，且这样的三角形有无数个 【答案】BCD 【分析】根据狄利克雷函数与广义狄利克雷函数的定义，结合函数值、周期性、奇偶性等逐项判断即可得答案. 【详解】对于A，由于（其中且），当为无理数时，，故A不正确； 对于B，设为非零的有理数，若是有理数，则也是有理数； 若是无理数，则也是无理数，根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数，所以对恒成立，对恒成立，即数和均为周期函数，但不存在最小正周期，故B正确； 对于C，，则，所以为偶函数，又，所以为偶函数，故C正确； 对于D，取，则为等边三角形，将这个三角形左右平形移动，即只需要三角形的高为，边长为的三角形均可以，所以这样的三角形有无数个，故D正确. 故选：BCD. 【变式训练21】．（2022·河南·模拟预测）已知的定义域为R，若函数满足，则称为的一个不动点，有下列结论：①的不动点是3；②存在不动点；③若函数为奇函数，则其存在奇数个不动点；若为偶函数，则其存在偶数个不动点；④若为周期函数，则其存在无数个不动点；⑤若存在不动点，则也存在不动点，以上结论正确的序号是 . 【答案】①⑤ 【分析】①直接求解即可判断；②利用导数证；③④取特殊函数进行判断； ⑤根据定义可得：． 【详解】①则，①正确； ②构建则 令则 ∴在上递减，在上递增，则 ∴即不存在不动点，②不正确； ③为偶函数，显然只有一个不动点；③不正确；(为奇函数, 显然有无数个不动点) ④为周期函数，显然只有一个不动点；④不正确； ⑤若存在不动点，设为，即 ∴，则也存在不动点，⑤正确． 故答案为：①⑤． 【变式训练22】．（2022·北京西城·模拟预测）在人工智能领域，神经网络是一个比较热门的话题．由神经网络发展而来的深度学习正在飞速改变着我们身边的世界．从AlphaGo到自动驾驶汽车，这些大家耳熟能详的例子，都是以神经网络作为其理论基础的．在神经网络当中，有一类很重要的函数称为激活函数，Sigmoid函数即是神经网络中最有名的激活函数之一，其解析式为：．下列关于Sigmoid函数的表述正确的是： ． ①Sigmoid函数是单调递增函数； ②Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为； ③对于任意正实数a，方程有且只有一个解； ④Sigmoid函数的导数满足：． 【答案】①②④ 【分析】由的单调性可得的单调性可判断①；利用，可判断②；由的单调性可判断③； 求出和可判断④. 【详解】因为为单调递减函数，所以为单调递增函数，故①正确； 因为，所以Sigmoid函数的图象是一个中心对称图形，对称中心为，故②正确； 因为为单调递增函数，且，， 仅当时，方程有且只有一个解，故③错误； ， ，所以，故④正确． 故答案为：①②④. 【解题总结】 1、类周期函数 若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数． 类周期函数图象倍增函数图象 2、倍增函数 若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数． 注意当时，构成一系列平行的分段函数，． 重难点题型(十一) 抽象函数的单调性、奇偶性、周期性 例23．（2024·陕西西安·二模）已知函数满足，.则 . 【答案】. 【分析】根据题意，取，求得，再令，得到，结合，利用等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由函数满足， 取，可得， 令，可得， 即 则 . 故答案为：. 例24．（2024·河南开封·三模）已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B． C．是周期函数 D．的解析式可能为 【答案】ABC 【分析】利用赋值法求判断A；赋值法可得函数奇偶性即可判断D；利用赋值法求得，化简得，即可判断C,由周期性和奇偶性即可求解B. 【详解】由， 令，，有，可得,故A正确； 令，则，则， 函数是偶函数， 而为奇函数，故D错误， ，令， 则， 所以， 则， ， 所以，则周期为6，C正确． 由于为偶函数且周期为6，故，B正确， 故选：ABC 【变式训练23】、（2024·河北保定·三模）已知函数在上单调递增，且对任意恒成立，则 A． B．是奇函数（    ） C．是奇函数 D．恒成立 【答案】ACD 【分析】采用赋值法逐项分析，取，可判断A；根据奇函数的概念结合条件可判断BC；取，若存在，则，可判断D. 【详解】取，则，又单调递增，所以不恒成立，所以，即A正确； 取，则，所以，即B错误； 因为，所以，所以，即C正确； 取，已知函数在上单调递增，则，又， 若存在，则，所以，即D正确. 故选：ACD. 【变式训练24】．（22-23高三上·江苏扬州·期末）函数在上有定义，若对任意，，有，则称在上具有性质，设在上具有性质，则下列说法正确的是（    ） A．在上的图像是连续不断的 B．在上具有性质 C．对任意，，，，有 D．若在处取得最小值1011，则， 【答案】CD 【分析】AB选项可以举出反例，CD选项可以利用函数具有性质，进行变形推出出结果. 【详解】对于A，设，在上具有性质，但不连续，故A错误； 对于B，设，在上具有性质，但在上不具备性质，故B错误； 对于C， ，故C正确； 对于D，由性质得，当时，， 又因为，，故，，D正确. 故选：. 【解题总结】 抽象函数的模特函数通常如下： (1)若，则(正比例函数) (2)若，则(指数函数) (3)若，则(对数函数) (4)若，则(幂函数) (5)若，则(一次函数) (6)对于抽象函数判断单调性要结合题目已知条件，在所给区间内比较大小，有时需要适当变形. 重难点题型(十二) 函数性质的综合 例25．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知定义在上的函数满足，且，，现有下列4个结论： ①； ②的图象关于直线对称； ③是周期函数； ④. 其中结论正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据所给等式，结合赋值法推导出函数的对称轴及周期，再逐项分析即可. 【详解】因为， 所以， 所以，即， 所以是周期为4的周期函数，则③正确. 令，得， 则，从而，故①错误； 因为， 所以， 所以， 所以的图象关于直线对称，则②正确； 易得的周期为4，且其图象关于直线及对称， 则直线及均为图象的对称轴， 从而. 令，得， 即， 则， 故 2025，故④正确. 故选：. 例26．（2023·宁夏·一模）已知函数的定义域为R，为偶函数，，当时，（且），且.则（    ） A．40 B．32 C．30 D．36 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性、周期性和对称性，求出参数a的值，即可求解. 【详解】因为是偶函数，所以， 用代替可得：，所以， 所以函数关于直线对称， 又因为，所以， 所以，所以关于点中心对称， 所以函数的周期为， 因为当时，（且），且， 所以，解得：或，因为且，所以. 所以当时，， 所以，，， ，，， ，所以， 所以， 故选：D 【变式训练25】．（2019·山东·三模）已知函数且在上单调递增，且关于的方程恰有两个不相等的实数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可知在两段上均为增函数，且在上的最小值大于或等于，作出和的图象，根据交点个数判断与3的大小关系，以及直线和抛物线相切的条件，列出不等式组解出． 【详解】是上的单调递增函数， 在，上单调递增， 可得， 且，即， 作出和的函数草图如图所示： 由图象可知在上有且只有一解， 可得，或，即有△， 即有或； 由，解得，即时，有且只有一解． 则的范围是，． 故答案为，． 【点睛】本题考查分段函数的单调性，函数零点的个数判断，结合函数图象判断端点值的大小是关键，属于中档题． 【变式训练26】．（2022·陕西宝鸡·二模）若函数f（x）同时满足：（1）对于定义域上的任意x，恒有；（2）对于定义域上的任意，当，恒有，则称函数f（x）为“理想函数”，下列①，②，③，④四个函数中，能被称为“理想函数”的有 .（填出函数序号） 【答案】③④ 【分析】由“理想函数”的定义可知：若f（x）是“理想函数”，则f（x）为定义域上的单调递减的奇函数，将四个函数―—判断即可. 【详解】若是“理想函数”，则满足以下两条： ①对于定义域上的任意，恒有，即，则函数是奇函数； ②对于定义域上的任意，当时， 恒有，即， 时，，或时，， 即函数是单调递减函数． 故为定义域上的单调递减的奇函数． ①在定义域为上的奇函数，但不是减函数，所以不是“理想函数”； ②，定义域为， 单调递增，所以不是“理想函数”； ③定义域为R，且，函数为奇函数， 且在定义域上是减函数，所以是“理想函数”； ④，在定义域上既是奇函数，又是减函数，所以是“理想函数”． 故答案为：③④. 【解题总结】 （1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小. （2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍. 1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为，因为，， 则，则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 2．（2024·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 3．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 4．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 5．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 6．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 7．（2024·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 8．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 9．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 10．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以. 故选：D 【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题. 11．（2024·上海·高考真题）已知，，且是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可求参数. 【详解】因为是奇函数，故即， 故， 故答案为：. 12．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ． 【答案】2 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 13．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 【答案】 ； ． 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 14．（2005·天津·高考真题）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质可得出的值，根据函数对称性可得出的值，推导出函数为周期函数，确定该函数的周期，结合周期性可求得的值. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称， 则对任意的，，，则， 所以，， 所以，函数是周期为的周期函数，且， 因此，. 故答案为：. 15．（2020·全国·高考真题）关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，，，则， 所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，， ，则， 所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确； 对于命题④，当时，，则， 命题④错误. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 16．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】表示区间端点连线斜率的负数， 在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确； 甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误； 在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确； 在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$