专题2.2函数的基本性质的灵活应用（单调性、奇偶性、对称性、周期性模拟+真题精练）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题2.2 函数的基本性质的灵活应用 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·黑龙江·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 4．（2024·山东青岛·三模）定义 表示不超过 的最大整数.例如: ，则（     ） A． B． C． 是偶函数 D． 是增函数 5．（2024·陕西·模拟预测）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的一个对称中心为 B． C．函数为周期函数，且一个周期为4 D． 7．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 8．（2024·四川自贡·三模）定义在R上的偶函数满足，当时，，若，下列命题： ①是周期函数； ②函数的图象在处的切线方程为； ③函数的图象与函数的图象的所有交点的横坐标之和为12； ④． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 9．（2024·陕西安康·模拟预测）若函数是奇函数，则实数的值是（    ） A．2 B． C． D． 10．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 11．（2024·黑龙江·三模）已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（   ） A． B．0 C．2 D．4 12．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义域为的函数为偶函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知是定义在R上的函数，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．1 15．（2024·湖北荆州·三模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．我们记一个正整数经过次上述运算法则后首次得到1（若经过有限次上述运算法则均无法得到1，则记），以下说法正确的是（    ） A．可看作一个定义域和值域均为的函数 B．在其定义域上不单调，有最小值，有最大值 C．对任意正整数，都有 D． 16．（2024·四川·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．3 17．（2022·江苏连云港·二模）若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 18．（2024·河北衡水·模拟预测）设，若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 19．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是定义在上的函数，，函数的图象关于点对称，且对任意的，均有，则下列关于函数的说法中，正确的个数是（    ） ①； ②； ③函数在上单调递增； ④不等式的解集为. A．1 B．2 C．3 D．4 20．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，记，函数的图象关于点对称．若对任意，有，则下列说法正确的是（   ） A．不为周期函数 B．的图象不关于点对称 C． D． 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 21．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数的定义域为，若，有，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．4为函数的一个周期 22．（2024·河北保定·三模）已知函数在上单调递增，且对任意恒成立，则 A． B．是奇函数（    ） C．是奇函数 D．恒成立 23．（2024·福建泉州·模拟预测）若函数，则（    ） A．若，则既是奇函数，也是偶函数 B．若为奇函数，则 C．若，则存在两个不同的零点 D．若的定义域为R，则 24．（2024·山东菏泽·二模）函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，．下列结论正确的有（    ） A．函数与函数无公共点 B．若，则 C． D．所有满足的点组成区域的面积为 25．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知，则下列说法中错误的是（    ） A． B．在上为减函数 C．的对称轴为 D．当时，取最大值 26．（2024·河南·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，，则（    ） A．当时， B．当时， C．在上单调递增，在上单调递减 D． 27．（2024·安徽·三模）已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C． D．若，则 28．（2024·贵州毕节·三模）函数，下列关于函数的叙述正确的是（    ） A．，使得的图象关于原点对称 B．若，则方程有大于2的实根 C．若，则方程至少有两个实根 D．若，则方程有三个实根 三、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 29．（2024·上海·三模）已知函数，若，，且，则的最小值是 30．（2024·浙江·三模）已知函数为定义在上的奇函数，则 ． 31．（2024·宁夏银川·二模）若是奇函数，则 ． 32．（2024·湖北·模拟预测）若函数为偶函数，则 . 33．（2024·北京·三模）已知函数其中表示不超过x的最大整数.例如： 给出以下四个结论： ① ②集合的元素个数为; ③存在，对任意的，有; ④对任意都成立，则实数的取值范围是 其中所有正确结论的序号是 . 34．（2024·上海·三模）若，，则满足的m的最大值为 ． 35．（2024·河北保定·二模）已知函数的定义域，对任意，恒有，且当时，恒成立，，则不等式的解集为 . 36．（2024·陕西安康·模拟预测）设，对任意的实数，记函数（表示中的较小者）.若方程恰有5个不同的实根，则满足题意的条件可能为 .（填写所有符合题意的条件的序号） ①； ②或； ③； ④. 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 6．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 7．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 8．（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 9．（2021·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 11．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 12．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 13．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 14．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ． 15．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则 . 16．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 17．（2020·全国·高考真题）关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是 ． 18．（2018·全国·高考真题）已知函数，，则 ． 19．（2017·全国·高考真题）已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则 . 20．（2015·全国·高考真题）若函数为偶函数，则 ． 21．（2017·江苏·高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是 ． 22．（2017·山东·高考真题）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝ . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 函数的基本性质的灵活应用 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·黑龙江·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复合函数的单调性分析得在上单调递减，根据单调性即可得到答案. 【详解】设，易知函数是增函数， 因为在区间上单调递减， 所以由复合函数单调性可知，在上单调递减. 因为函数在上单调递减， 所以，即. 故选：D. 2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合分段函数的单调性的判定方法，结合对数函数的性质，列出关于的不等式，即可求解. 【详解】根据题意，当时，，可得在上递增， 要使得函数 是上的单调函数， 则满足，且，解可得， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数为奇函数，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】由奇函数的定义可得，结合对数的运算性质计算即可求解. 【详解】因为为R上的奇函数，所以， 即， 整理得，解得. 故选：C 4．（2024·山东青岛·三模）定义 表示不超过 的最大整数.例如: ，则（     ） A． B． C． 是偶函数 D． 是增函数 【答案】B 【分析】A选项，取特殊值，判断出A选项的真假；B选项，设表示不超过的最大整数，可得与的关系，可得，判断出B选项的真假；C选项，取特殊值，利用偶函数定义验证，判断出C的真假；D中，取特殊值，判断出函数不是增函数，判断出D的真假. 【详解】A选项，取，则，，显然，所以A不正确； B选项，设表示不超过的最大整数，所以， 所以，所以，所以，即， 所以，所以，故B正确； C选项，，因为， 所以，所以不是偶函数，故C错误； D选项，所以，所以不是增函数，故D错误. 故选：B. 5．（2024·陕西·模拟预测）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用导数判断的单调性，再构造函数，利用导数判断得，从而得解. 【详解】因为， 所以， 令，则恒成立， 所以当时，，即， 又在上单调递增，所以， 所以在上恒成立，则在上单调递增， 构造函数，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即，可得，， 所以，， 所以，， 即 所以，， 即 . 故选：D. 【点睛】思路点睛：先利用导数判断的单调性，再构造函数，利用导数判断得，是解决本题的关键. 6．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，则下列说法错误的是（    ） A．函数的一个对称中心为 B． C．函数为周期函数，且一个周期为4 D． 【答案】C 【分析】对于A，由为奇函数，则，再将代入化简可求出对称中心；对于B，由选项A可得，再由为偶函数可得，令可求出；对于C，由的图象关于点对称，结合求出进行判断；对于D，利用赋值法求解判断. 【详解】对于A，因为为奇函数， 所以，即， 所以，所以， 所以函数的图象关于点对称，所以A正确， 对于B，在中，令，得，得， 因为函数为偶函数，所以， 所以， 所以， 令，则，所以，得，所以B正确， 对于C，因为函数的图象关于点对称，， 所以，所以， 所以4不是的周期，所以C错误， 对于D，在中令，则， 令，则，因为，所以， 因为，所以，所以D正确， 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题考查抽象函数的奇偶性、对称性和周期性，解题的关键是由已知条件化简后利用赋值法分析判断，考查计算能力，属于较难题. 7．（2024·浙江绍兴·三模）已知函数为偶函数，若函数的零点个数为奇数个，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】由函数的图象关于对称得零点关于对称，但的零点个数为奇数个可得答案. 【详解】因为函数为偶函数，所以， 所以的图象关于对称， 令，则， 可得函数的图象关于对称， 所以函数的图象关于对称， 则函数的零点关于对称，但的零点个数为奇数个， 则所以. 故选：C. 8．（2024·四川自贡·三模）定义在R上的偶函数满足，当时，，若，下列命题： ①是周期函数； ②函数的图象在处的切线方程为； ③函数的图象与函数的图象的所有交点的横坐标之和为12； ④． 其中正确命题的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】对于①，由，由函数为偶函数，可得函数的周期为2，从而即可判断；对于②，先求解时的函数解析式，利用导数求解切线斜率，点斜式求解直线方程即可求解；对于③，画出和的的图象，数形结合即得解；对于④，利用函数的周期性求解即可． 【详解】因为，所以的图象关于对称， 又是R上的偶函数，则， 所以，即， 所以函数为周期函数，最小正周期为2，故①正确； 当时，， 所以，所以， 又， 所以的在处的切线方程为，即，故②错误； 因为， 所以的图象关于直线对称， 画出和的图象如图所示： 由图可得和的图象有12个交点，且关于直线对称， 则所有交点的横坐标之和等于12×1＝12，故③正确； 因为的周期为2，所以，故④正确． 故选：B． 【点睛】方法点睛：判断函数零点个数的常用方法： (1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个； (2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题. 9．（2024·陕西安康·模拟预测）若函数是奇函数，则实数的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到的方程求解即可 【详解】，因为是奇函数，所以有， ，， 因此， 故选：C． 10．（2024·湖北武汉·模拟预测）函数（    ） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递㺂 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】A 【分析】借助函数奇偶性的定义可判断函数奇偶性，借助导数即可得函数单调性. 【详解】的定义域为，， 为偶函数； 当时，在区间上单调递增. 故选：A. 11．（2024·黑龙江·三模）已知函数在上的最大值和最小值分别为，，则（   ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】构造函数，证明为奇函数，从而得到，即可求出的值. 【详解】令，定义域为， 因为在上的最大值和最小值分别为，， 所以在上的最大值和最小值分别为，， 因为， 所以为奇函数，的图象关于原点对称， 所以的最大值和最小值互为相反数，即， 所以， 故选：A. 12．（2024·广西贵港·模拟预测）已知函数，若成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质，把函数不等式转化为代数不等式，再求解即可. 【详解】，所以，即为偶函数， 对函数，，则， 因为，所以，，所以，故在上恒成立. 所以函数在上单调递增，所以在上单调递增. 所以， 所以，解得或． 故选：B 13．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知定义域为的函数为偶函数，且在区间上单调递减，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用偶函数，把自变量为负数的等价到相反数来比较，利用对数运算估计和比较对数值的大小，再利用函数在区间上单调递减，就可以比较各选项. 【详解】因为，所以. 因为， 所以，即， 又， 所以，又在区间上单调递减， 所以， 即. 故选:A. 14．（2024·江苏泰州·模拟预测）已知是定义在R上的函数，且为偶函数，为奇函数，当时，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先根据为偶函数，为奇函数，求出函数的周期，再根据函数的周期求解即可. 【详解】因为为偶函数， 所以，即，所以， 因为为奇函数， 所以， 所以，即， 所以， 所以函数是以为周期的周期函数， 所以， 又，所以， 即. 故选：C. 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度； （1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； （3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 15．（2024·湖北荆州·三模）任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．如取正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．我们记一个正整数经过次上述运算法则后首次得到1（若经过有限次上述运算法则均无法得到1，则记），以下说法正确的是（    ） A．可看作一个定义域和值域均为的函数 B．在其定义域上不单调，有最小值，有最大值 C．对任意正整数，都有 D． 【答案】C 【分析】对于A：直接确定定义域判断；对于B：由经过有限次角谷运算均无法得到1，记来排除；对于C：通过和的关系计算判断；对于D：列举来判断. 【详解】对于A：依题意，的定义域是大于1的正整数集，A错误； 对于B：由，得在其定义域上不单调， 而，，则有最小值1， 由经过有限次角谷运算均无法得到1，记，得无最大值，B错误； 对于C：对任意正整数，，而， 因此，C正确； 对于D：由，知不正确，D错误. 故选：C. 16．（2024·四川·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】构造新函数，利用奇函数的性质即可求得的值. 【详解】定义域为，令， 则， ∴是上的奇函数， ∴， 即， 故选：A． 17．（2022·江苏连云港·二模）若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】由题意可得，化简整理即可求得m的值． 【详解】函数的定义域为，由是偶函数，得， 即，整理得，所以. 故选：A 18．（2024·河北衡水·模拟预测）设，若函数是偶函数，则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据对数的运算性质，结合偶函数满足的等量关系，即可求解. 【详解】的定义域为，关于原点对称， 故 所以， 故或（舍去）， 故选：D 19．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数是定义在上的函数，，函数的图象关于点对称，且对任意的，均有，则下列关于函数的说法中，正确的个数是（    ） ①； ②； ③函数在上单调递增； ④不等式的解集为. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意可知函数是以4为周期的周期函数，且在上单调递增，在上单调递减，上单调递增，逐一判断选项即可. 【详解】由函数的图象关于点对称，得的图象关于点对称，即函数是奇函数， 由，得的图象关于直线对称， ，因此是以4为周期的周期函数，①正确； 对任意的，均有， 不妨设，则，即，因此在上单调递增， ，，②正确； 由函数是上的奇函数，在上单调递增，得函数在上单调递增， 在上单调递减，上单调递增，③错误； 由，在上单调递增，在上单调递减，得当时，，则有， 又函数是以4为周期的周期函数，因此不等式的解集为，④正确. 故选：C. 【点睛】思路点睛：涉及抽象函数等式问题，利用赋值法探讨函数的性质，再借助性质即可求解. 20．（2024·湖南邵阳·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，记，函数的图象关于点对称．若对任意，有，则下列说法正确的是（   ） A．不为周期函数 B．的图象不关于点对称 C． D． 【答案】C 【分析】利用函数成中心对称的恒等式来证明新函数的对称性，再利用双对称来证明函数的周期性，从而就可以来判断各选项. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以，即， 则的图象关于点对称，B选项错误． 由，得． 令，则， 由，得的图象关于直线对称． 又的图象关于点对称，则， 所以，即， 则可得的图象关于点对称， 故为周期函数，且周期为8，， 所以，，D选项错误． 又，则， 所以，由得：，故为周期函数，A选项错误． 由，两边求导得：， 由得：，令得：， 利用的周期为8，则，C选项正确． 故选：C． 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 21．（2024·黑龙江·模拟预测）已知函数的定义域为，若，有，，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．4为函数的一个周期 【答案】ACD 【分析】根据已知条件进行赋值，以及利用变量替换推出函数性质，逐一判断选项即可求解. 【详解】根据题意，， 取，得，因为，所以，A正确; 取，得，所以，B错误; 取，得，即， 所以为偶函数，C正确; 取，得，所以， 即4为函数的一个周期，D正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：解答抽象函数问题，常用的方法是赋值法，求函数值时，通常令等式中的变量取等特殊值；判断函数奇偶性时，通常通过赋值使等式中出现；当然要结合所求灵活赋值，根据函数的性质进行求解. 22．（2024·河北保定·三模）已知函数在上单调递增，且对任意恒成立，则 A． B．是奇函数（    ） C．是奇函数 D．恒成立 【答案】ACD 【分析】采用赋值法逐项分析，取，可判断A；根据奇函数的概念结合条件可判断BC；取，若存在，则，可判断D. 【详解】取，则，又单调递增，所以不恒成立，所以，即A正确； 取，则，所以，即B错误； 因为，所以，所以，即C正确； 取，已知函数在上单调递增，则，又， 若存在，则，所以，即D正确. 故选：ACD. 23．（2024·福建泉州·模拟预测）若函数，则（    ） A．若，则既是奇函数，也是偶函数 B．若为奇函数，则 C．若，则存在两个不同的零点 D．若的定义域为R，则 【答案】BCD 【分析】根据函数定义域判断A，根据奇函数定义判断B，根据解方程判断C，根据不等式组恒成立，分离参数求出范围判断D. 【详解】对A：时，，由 可得定义域为，不关于原点对称， 故为非奇非偶函数，故A错误； 对B：若为奇函数， 则，对函数定义域中任意成立， 所以，而时，函数定义域为，故B正确； 对于C：当时，由可得， 解得或，故C正确； 对于D：若的定义域为R，则对任意成立， 于是， 当时，由知恒成立， 当时，需恒成立，即恒成立，所以， 综上时即对任意不等式组恒成立，故D正确. 故选：BCD 24．（2024·山东菏泽·二模）函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，．下列结论正确的有（    ） A．函数与函数无公共点 B．若，则 C． D．所有满足的点组成区域的面积为 【答案】ABD 【分析】作出函数与函数的图像，即可判断；根据的取值范围，分别求出，的值，判断B；对的取值分类讨论，即可判断C；对的取值分类讨论，求出点组成区域的面积，判断D． 【详解】对于A：函数与函数的图象如图所示， 由图可得函数与函数无公共点，A正确； 对于B：若，则，则， ， 即，B正确； 对于C：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ，C错误； 对于D：当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为1， 当时，，此时组成区域的面积为， 综上点组成区域的面积为，D正确． 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题主要考查命题真假的判断、函数的新定义，解题的关键是理解新符号的含义，考查学生数形结合的能力和作图能力，属于难题． 25．（2024·安徽芜湖·模拟预测）已知，则下列说法中错误的是（    ） A． B．在上为减函数 C．的对称轴为 D．当时，取最大值 【答案】BCD 【分析】对于A：根据题意结合诱导公式分析判断；对于BCD：举反例说明即可. 【详解】对于选项A：因为 ， 即，故A正确； 对于选项B：因为，， 即，所以在内不单调，故B错误． 对于选项C：因为 ， 即，可知为的对称轴， 显然，故C错误； 对于选项D：因为 ， 即，可知不是的最大值点，故D错误； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：对于BCD：因为本函数形式较为复杂，直接说明比较困难，可以通过举反例方式的证伪，这样可以简化过程，快速判断正误. 26．（2024·河南·模拟预测）已知是定义域为的偶函数，为奇函数，当时，，则（    ） A．当时， B．当时， C．在上单调递增，在上单调递减 D． 【答案】ABD 【分析】利用函数的奇偶性求解析式即可判断A；利用函数的对称性求解析式即可判断B；由选项AB知在上单调递减，结合函数的奇偶性和对称性求出的周期即可判断C；结合选项C可得，即可判断D. 【详解】A：当时，则，因为是定义域为的偶函数， 所以，故A正确； B：令，由题意，即， 所以的图象关于点对称.当时，则， 所以，故B正确； C：由选项AB知，当时，当时， 又因为函数在R上单调递减，所以在上单调递减. 又为偶函数，所以在上单调递增. 由，，得，即， 所以，所以4为的一个周期. 从而在上单调递增，故C错误； D：由选项C知，，故D正确. 故选：ABD 27．（2024·安徽·三模）已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B． C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】对A：由是奇函数可得，即可得；对B：由，借助赋值法计算即可得解；对C：结合所得可得函数的周期性，结合周期性与赋值法计算即可得；对D：结合函数周期性，借助赋值法算出一个周期内的值即可得. 【详解】对A：由题意知，，则， 所以图象的对称中心为，故A正确； 对B：， 两式相减得，所以，故B正确； 对C：由B选项可得，的周期为4，又， 故，令得，， 得0，故C错误； 对D：因为，又，故中， 令得，，由， 得，又的周期为4， 则 ，所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论： （1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立； （2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为. 28．（2024·贵州毕节·三模）函数，下列关于函数的叙述正确的是（    ） A．，使得的图象关于原点对称 B．若，则方程有大于2的实根 C．若，则方程至少有两个实根 D．若，则方程有三个实根 【答案】AB 【分析】由已知可得为奇函数，作出图象，当时，为奇函数，可判断A；由已知可得，依据与的图象交点个数可判断B；由与至多有2个交点，可判断C；当时，可得与只有一交点，可判断D. 【详解】由，可得为奇函数，图象如图所示： 对于A：当时，为奇函数，故，使得的图象关于原点对称，故A正确； 对于B：若，则，由，可得， 由图象，若与有三个交点，存在交点的横坐标大于2， 所以方程有大于2的实根，故B正确； 对于C: 若，则由图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍可得的图象， 由，可得， 由图象，若与至多有2个交点，所以方程至多有两个实根，故C错误； 对于D：当时，由，可得， 由图象可得与只有一交点，故方程只有一个实根，故D错误. 故选：AB. 【点睛】方法点睛：本题考查奇函数的图象特征及函数与的奇偶性关系，同时考查方程的根的个数问题转化为两个函数图象的交点个数问题的转化方法． 三、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 29．（2024·上海·三模）已知函数，若，，且，则的最小值是 【答案】8 【分析】由函数奇偶性的定义可知为奇函数，根据单调性可知，然后结合基本不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，又，所以函数单调递增， 又，所以， 所以，即， 所以， 当且仅当，即，，等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 30．（2024·浙江·三模）已知函数为定义在上的奇函数，则 ． 【答案】4051 【分析】由已知可得函数关于中心对称，然后利用中心对称的性质求解即可. 【详解】因为函数为定义在R上的奇函数，则, 且函数关于中心对称，所以, ． 故答案为：4051 31．（2024·宁夏银川·二模）若是奇函数，则 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称，得到，即可求出的值，求出函数的定义域，再由奇函数的性质，求出的值，即可得到结果. 【详解】因为是奇函数， 定义域关于原点对称， 由,可得， 所以且， 所以，解得， 所以函数的定义域为， 则，即，解得， 此时， 符合题意， 所以. 故答案为：. 32．（2024·湖北·模拟预测）若函数为偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据偶函数的定义得，代入化简即得值. 【详解】因为为偶函数，所以，即， 即，即，所以， 故答案为： 33．（2024·北京·三模）已知函数其中表示不超过x的最大整数.例如： 给出以下四个结论： ① ②集合的元素个数为; ③存在，对任意的，有; ④对任意都成立，则实数的取值范围是 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①④ 【分析】利用给定定义直接判断①，卡出，求出每个元素判断②，举反例判断③，利用题意分离参数，得到，再结合给定定义求解，最后得到参数范围即可. 【详解】对于①，由知，，故①正确， 对于②，由周期性可知，的周期为，故讨论即可， 易得当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，故该集合元素个数为6，故②错误， 对于③，显然在时，的值域不关于对称， 故不关于对称，即，故③错误， 对于④，当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 而对任意都成立，故恒成立， 令，即，而显然， 可得恒成立，即，故④正确. 故答案为：①④ 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数新定义，解题关键是找合理分离参数，然后利用给定定义求解函数最值，最后得到所要求的参数范围即可． 34．（2024·上海·三模）若，，则满足的m的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到的最大值. 【详解】当时，，即， 当时，，即， 于是，在上，都成立，即为偶函数. 由指数函数的单调性可知，在上单调递增， 因此，不等式等价于， 即，解得. 故m的最大值为. 故答案为：. 35．（2024·河北保定·二模）已知函数的定义域，对任意，恒有，且当时，恒成立，，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】根据条件，构造，利用的奇偶性和单调性，将问题转化成求解，即可求出结果. 【详解】由，得， 设，则，取，得， 取，得；取，得， 所以是偶函数，所以， 因为当时，，两边同时乘以， 得，两边同时除以，得， 即，即，所以在上单调递减. 由，得，由，得， 所以可化为， 即，所以，解得或， 所以不等式的解集为， 故答案为：. 36．（2024·陕西安康·模拟预测）设，对任意的实数，记函数（表示中的较小者）.若方程恰有5个不同的实根，则满足题意的条件可能为 .（填写所有符合题意的条件的序号） ①； ②或； ③； ④. 【答案】②③④ 【分析】根据，分别根据所给条件，作出函数图象，将有5个实数根，转化或有5个交点，即可结合图象求解为. 【详解】由可得或，而， 当时，令，所以， 此时，如图，则，由图象知有4个不同的交点， 故只能有一个交点，显然不符合要求，故不满足题意，①舍去，    当由图象知有3个不同的交点， 要使方程恰有5个不同的实根，则需要有2个交点，故或，故②可能，    若由图象知有2个不同的交点， 要使方程恰有5个不同的实根，则需要有3个交点，显然满足，故③可能，    当时，作出图象如下： 令， 此时，由图象可知有2个不同的交点， 要使方程恰有5个不同的实根，则需要有3个交点，显然满足，故④可能， 故答案为：②③④    【点睛】方法点睛：函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 2．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，函数定义域为，不关于原点对称， 则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为，因为，， 则，则不是偶函数，故D错误. 故选：B. 3．（2024·全国·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【详解】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 4．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【详解】令，则开口向下，对称轴为， 因为，而， 所以，即 由二次函数性质知， 因为，而， 即，所以， 综上，， 又为增函数，故，即. 故选：A. 5．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义运算求解. 【详解】因为为偶函数，则， 又因为不恒为0，可得，即， 则，即，解得. 故选：D. 6．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【详解】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D 7．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 8．（2021·全国·高考真题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值. 【详解】由题意可得：， 而， 故. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键. 9．（2021·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【详解】[方法一]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路一：从定义入手． 所以． [方法二]： 因为是奇函数，所以①； 因为是偶函数，所以②． 令，由①得：，由②得：， 因为，所以， 令，由①得：，所以． 思路二：从周期性入手 由两个对称性可知，函数的周期． 所以． 故选：D． 【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果． 10．（2021·全国·高考真题）下列函数中是增函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【详解】对于A，为上的减函数，不合题意，舍. 对于B，为上的减函数，不合题意，舍. 对于C，在为减函数，不合题意，舍. 对于D，为上的增函数，符合题意， 故选：D. 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 11．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值，故D错误. 故选：. 12．（2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 13．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法； 方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解． 三、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 14．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ． 【答案】2 【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解. 【详解】因为为偶函数，定义域为， 所以，即， 则，故， 此时， 所以， 又定义域为，故为偶函数， 所以. 故答案为：2. 15．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则 . 【答案】1 【分析】利用偶函数的定义可求参数的值. 【详解】因为，故， 因为为偶函数，故， 时，整理得到， 故， 故答案为：1 16．（2022·全国·高考真题）若是奇函数，则 ， ． 【答案】 ； ． 【分析】根据奇函数的定义即可求出． 【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若，则的定义域为，不关于原点对称 若奇函数的有意义，则且 且， 函数为奇函数，定义域关于原点对称， ，解得， 由得，， ， 故答案为：；． [方法二]：函数的奇偶性求参 函数为奇函数 [方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意． 故答案为：；． 17．（2020·全国·高考真题）关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，，，则， 所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，， ，则， 所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确； 对于命题④，当时，，则， 命题④错误. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 18．（2018·全国·高考真题）已知函数，，则 ． 【答案】 【分析】发现，计算可得结果. 【详解】因为， ，且，则. 故答案为-2 【点睛】本题主要考查函数的性质，由函数解析式，计算发现是关键，属于中档题. 19．（2017·全国·高考真题）已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则 . 【答案】12 【分析】由函数的奇偶性可知，代入函数解析式即可求出结果. 【详解】函数是定义在上的奇函数，，则， . 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于基础题型. 20．（2015·全国·高考真题）若函数为偶函数，则 ． 【答案】1 【详解】试题分析：由函数为偶函数函数为奇函数， ． 考点：函数的奇偶性． 【方法点晴】本题考查导函数的奇偶性以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、特殊与一般思想、数形结合思想与转化思想，具有一定的综合性和灵活性，属于较难题型．首先利用转化思想，将函数为偶函数转化为 函数为奇函数，然后再利用特殊与一般思想，取． 21．（2017·江苏·高考真题）已知函数，其中e是自然数对数的底数，若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为，所以函数是奇函数， 因为，所以数在上单调递增， 又，即，所以，即， 解得，故实数的取值范围为． 点睛:解函数不等式时，首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在函数的定义域内． 22．（2017·山东·高考真题）已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，f(x)＝6－x，则f(919)＝ . 【答案】6 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简，再代入求值. 【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以 . 【点睛】本题考查函数周期及其应用，考查基本求解能力. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$