专题2.1函数的概念（模拟+真题精练）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题2.1 函数的概念 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·江西鹰潭·三模）若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 2．（2024·云南曲靖·模拟预测）函数定义域为，函数的定义域为，则（   ） A． B． C． D． 3．（2024·重庆·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，且，则不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 5．（2024·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．为偶函数 C．有最小值 D．在上单调递增 6．（2024·上海黄浦·二模）设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（2024·四川绵阳·三模）已知函数，存在使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，边长为1的正方形，其中边在轴上，点与坐标原点重合，若正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴上时，再以为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形的某个顶点落在轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点滚动时形成的曲线为，则（    ） A．0 B． C．1 D． 9．（2024·全国·模拟预测）已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2024·辽宁辽阳·一模）已知函数满足，则（　　） A．10000 B．10082 C．10100 D．10302 11．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 13．（2023·全国·模拟预测）已知函数.若，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 14．（2020·陕西榆林·一模）已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 15．（2023·宁夏银川·模拟预测）设函数，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 16．（2023·江苏徐州·模拟预测）函数满足、，都有，且，则（    ） A． B．数列单调递减 C． D． 17．（2024·广东·模拟预测）已知函数的定义域为，若，且，则（    ） A． B．无最小值 C． D．的图象关于点中心对称 18．（2024·山东·模拟预测）存在函数满足：对于任意的，都有（    ） A．B． C． D． 19．（2024·浙江杭州·二模）已知函数对任意实数均满足，则（    ） A． B． C． D．函数在区间上不单调 20．（2024·山西晋中·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 C．函数在区间上单调递减 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 21．（2024·山西吕梁·一模）下列说法正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．“”是“”的充分不必要条件 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．记为函数图象上的任意两点，则 22．（2023·福建泉州·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．为增函数 C．的值域为 D．方程最多有两个解 三、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 23．（2024·江西赣州·二模）若集合，，则 . 24．（2024·浙江温州·三模）定义在上的函数满足：，则 . 25．（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 . 26．（2024·陕西西安·二模）已知函数满足，.则 . 27．（2023·上海青浦·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 28．（2021·上海黄浦·二模）已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是 ． 30．（2023·浙江·三模）设表示不超过的最大整数，如.已知函数有且只有4个零点，则实数的取值范围是 . 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2005·江西·高考真题）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2004·安徽·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 4．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2018·全国·高考真题）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则 A． B． C． D． 6．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2018·全国·高考真题）函数的图像大致为 A． B． C． D． 8．（2017·全国·高考真题）函数的单调递增区间是 A． B． C． D． 9．（2017·全国·高考真题）已知函数，则 A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减 C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称 10．（2013·全国·高考真题）已知的定义域为，则函数的定义域为 A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 11．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 12．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 13．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 14．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 15．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 16．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则 . 17．（2020·全国·高考真题）关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是 ． 18．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 19．（2017·全国·高考真题）设函数则满足的x的取值范围是 . 20．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 函数的概念 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2024·江西鹰潭·三模）若的最小值是4，则实数的值为（    ） A．6或 B．或18 C．6或18 D．或 【答案】A 【分析】分，，三种情况，得出每种情况下的最小值，令其为4，解出的值. 【详解】当时，， ，解得，符合题意； 当时，， ，解得，符合题意； 当时，，，舍掉. 故选：A. 2．（2024·云南曲靖·模拟预测）函数定义域为，函数的定义域为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别求解出集合，再根据集合的交集运算求解. 【详解】由函数，则，即，， 由函数，则，即，， . 故选：B. 3．（2024·重庆·模拟预测）已知函数是定义在上周期为4的奇函数，且，则不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的图象向右平移1个单位长度，作出函数在上的图象，结合图象，即可求解. 【详解】因为函数是定义在R上周期为4的奇函数，且， 所以当时，； 当时，，所以； 当时，，所以， 函数的图象可由函数的图象向右平移1个单位长度得到， 作出函数在上的图象，如图所示． 由图可知不等式在上的解集为． 故选：B． 4．（2024·陕西·模拟预测）函数的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】令，则，设，再结合三角函数的性质即可得解. 【详解】函数的定义域为， 令，则， 设，可得， 当时，有最大值为2， 所以函数的最大值为2. 故选：D. 5．（2024·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（    ） A． B．为偶函数 C．有最小值 D．在上单调递增 【答案】C 【分析】利用题设结合赋值法可得出，进而结合二次函数性质一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由于函数的定义域为R，且， 令，则，得， 时，恒成立，无法确定，A不一定成立； 由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定； 由于的对称轴为与的位置关系不确定， 故在上不一定单调递增，D也不确定， 由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用赋值法确定函数，进而结合二次函数性质求解. 6．（2024·上海黄浦·二模）设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可. 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 当时，上式成立； 当，，明显函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，恒成立，即恒成立， 令，则在上恒成立， 又开口向下，对称轴为， 所以的最大值为， 所以， 综上：实数a的取值范围是. 故选：D. 7．（2024·四川绵阳·三模）已知函数，存在使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分a≤0和a＞0两种情况讨论即可得到答案． 【详解】， 当a≤0时，当x＞0时，， f(x)如图： f(x)≥0恒成立，不满足题意； 当a＞0时，， f(x)如图： 当时，． 故选：D． 8．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）如图，边长为1的正方形，其中边在轴上，点与坐标原点重合，若正方形沿轴正向滚动，先以为中心顺时针旋转，当落在轴上时，再以为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形的某个顶点落在轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点滚动时形成的曲线为，则（    ） A．0 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据已知条件及函数的周期性即可求解． 【详解】由题意可知，是周期为的函数， 所以. 由题意可得，当时，点恰好在轴上，所以， 所以. 故选：A. 9．（2024·全国·模拟预测）已知，函数是上的减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性和指数函数的单调性列出不等式组，解之即可直接得出结果. 【详解】因为函数是减函数，所以． 又因为函数5）图像的对称轴是直线， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 又函数是上的减函数，所以，解得， 所以的取值范围是． 故选:B． 10．（2024·辽宁辽阳·一模）已知函数满足，则（　　） A．10000 B．10082 C．10100 D．10302 【答案】C 【分析】赋值得到，利用累加法得到，令得到，赋值得到，从而求出答案. 【详解】中，令得， ， 故， 故， 其中，① ，② ，③ ……， ， 上面99个式子相加得， ， 令得， 中，令得， 故. 故选：C 11．（2024·全国·模拟预测）已知函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将不等式化为，然后将转化为，最后利用单调性解不等式即可. 【详解】由题意，得函数在上单调递增．由， 得，注意到， 所以． 从而不等式转化为， 所以，解得． 故选:A． 12．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以，所以函数的定义域为， 所以要使函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 13．（2023·全国·模拟预测）已知函数.若，，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】令，用表示，然后利用二次函数的性质求得的最小值. 【详解】画出的图象如下图所示， 令，则， 且，则， 所以且， 所以， 当时，取得最小值为． 故选：D. 14．（2020·陕西榆林·一模）已知函数，若，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出，从而，对，讨论，分别代入分段函数即可求出实数的值． 【详解】∵函数， ， ， ， 当时，， 方程无解，即满足条件的不存在， 当时，，解得． ∴． 故选：A． 15．（2023·宁夏银川·模拟预测）设函数，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据分段函数的定义域代入相应的解析式可得答案. 【详解】∵， ∴. 故选：A． 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 16．（2023·江苏徐州·模拟预测）函数满足、，都有，且，则（    ） A． B．数列单调递减 C． D． 【答案】BCD 【分析】令，推导出，令可判断A选项；分析可知数列为等比数列，求出该数列的通项公式，结合数列单调性的定义可判断B选项；利用基本不等式可判断C选项；利用错位相减法可判断D选项. 【详解】对于A选项，函数满足、，都有， 令，则，即，则， 所以，，A错； 对于B选项，令，，可得， 所以，，且， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，所以，， 所以，，即， 故数列单调递减，B对； 对于C选项，对任意的，， 所以，， 当且仅当时，等号成立，C对； 对于D选项，令，① 则，② ①②可得， 因此，，D对. 故选：BCD. 17．（2024·广东·模拟预测）已知函数的定义域为，若，且，则（    ） A． B．无最小值 C． D．的图象关于点中心对称 【答案】BCD 【分析】对于A，令即可；对于BC，令得，通过递推计算即可；对于D，令，得即可判断函数的图象关于点中心对称. 【详解】对于A，令，得，解得，故A错误； 对于B，令，则，且，即可知函数无最小值，故B正确； 对于C，由B知，， 所以，， 则 ，故C正确； 对于D，令，则原式化为， 令，所以，即， 所以，所以函数的图象关于点中心对称，故D正确. 故选：BCD. 18．（2024·山东·模拟预测）存在函数满足：对于任意的，都有（    ） A．B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数的性质，取特殊值推出矛盾排除BD；对于A，令再化简即可；对于C，令再化简即可. 【详解】对于A，因为 ， 令，所以，故A正确. 对于B，，取和得，，故B错误； 对于C，令，所以，即符合题设，故C正确； 对于D，取，；取，，故D错误. 故选：AC. 19．（2024·浙江杭州·二模）已知函数对任意实数均满足，则（    ） A． B． C． D．函数在区间上不单调 【答案】ACD 【分析】令等价于，则，可推导出，进而可判断A，利用赋值法可判断B,C；先算出满足的值，由此可得，即可判断D. 【详解】对于A，令等价于，则， 所以，故A正确； 对于B，令，则， 令，则，解得：， 令，，则，故B错误； 对于C，由知，，所以，故C正确； 对于D，令，所以，解得：， 令，则， 所以，因为，， 所以函数在区间上不单调，故D正确. 故选：ACD. 20．（2024·山西晋中·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．若函数的定义域为，则函数的定义域为 B．当时，不等式恒成立，则的取值范围是 C．函数在区间上单调递减 D．若函数的值域为，则实数的取值范围是 【答案】AD 【分析】A选项，利用抽象函数定义域的求解判断即可；B选项，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案；C选项，求出的定义域即可判断；D选项，将问题转化为能够取到所有正数，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】A选项，对于，由，得， 对于，令，解得， 故函数的定义域为，A正确； B选项，当时，恒成立，满足要求， 当时，需满足，解得， 综上，的取值范围是，B错误； C选项，令，解得， 当 时显然无意义，所以不可能在上单调递减，C错误； D选项，若函数的值域为， 则能够取到所有正数， 当时，能够取到所有正数，满足要求， 当时，需满足，即，解得， 综上，实数的取值范围是，D正确. 故选：AD. 21．（2024·山西吕梁·一模）下列说法正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．“”是“”的充分不必要条件 C．若函数的定义域为，则函数的定义域为 D．记为函数图象上的任意两点，则 【答案】BCD 【分析】根据全称存在量词命题的否定形式，判断A，根据充分，必要条件的定义，判断B，根据复合函数的定义域公式，判断C，利用作差法判断D. 【详解】对于A选项，“，”的否定为“”，故A错误； 对于B选项，由，得，故或， 因此是的充分不必要条件，故B正确； 对于C选项，中，，中，，即，故C正确； 对于D选项， ， , ， ，故D正确. 故选：BCD 22．（2023·福建泉州·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．为增函数 C．的值域为 D．方程最多有两个解 【答案】ACD 【分析】根据给定的分段函数，计算判断AB；分段求出函数值集合判断C；结合函数图象判断D作答. 【详解】对于A，显然，，则，A正确； 对于B，显然，，有，B错误； 对于C，当时，，当时，，因此的值域为，C正确； 对于D，如图，当时，方程无解；当时，方程有两个解；      当时，方程有一个解，因此方程最多有两个解，D正确. 故选：ACD 三、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 23．（2024·江西赣州·二模）若集合，，则 . 【答案】 【分析】首先求出函数的值域即集合，再解对数不等式求出集合，最后根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】由，所以，又，所以， 所以，即， 则， 由，即，所以， 所以， 所以，则. 故答案为： 24．（2024·浙江温州·三模）定义在上的函数满足：，则 . 【答案】/0.5 【分析】依次赋值，得；赋值，得；最后赋值即可求解. 【详解】由题赋值，得， 所以由，得； 赋值，得，所以； 赋值，得. 故答案为：. 25．（2024·上海松江·二模）已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【分析】令，，，，分类讨论的取值范围，判断，的单调性，结合存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案． 【详解】由题意，令，，，， 当时，在上单调递减，在上单调递减，则在上的值域为， 因为存在最小值，故需，解得， 结合，此时； 当时，在上单调递减，在上单调递增，则在上的值域为， 因为存在最小值，故需，即，解得， 这与矛盾； 当时，在上单调递减，且在上的值域为，，此时存在最小值2； 则实数的取值范围为或． 故答案为：或． 26．（2024·陕西西安·二模）已知函数满足，.则 . 【答案】. 【分析】根据题意，取，求得，再令，得到，结合，利用等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】由函数满足， 取，可得， 令，可得， 即 则 . 故答案为：. 27．（2023·上海青浦·一模）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围. 【详解】当时，，此时， 当且时，， 此时，且，所以不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时， 若要满足的值域为，只需要，解得； 当且时，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，，时，， 所以此时，此时显然能满足的值域为； 综上可知，的取值范围是， 故答案为：. 28．（2021·上海黄浦·二模）已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值组成的集合是 ． 【答案】 【分析】 分、、三种情况讨论，化简函数的解析式，分析函数的单调性，结合可求得实数的值. 【详解】分以下三种情况讨论： ①若时，即当时，， 所以，函数在上单调递减，且， 当时，， 所以，解得； ②若时，即当时，， 当时，， 当时，． 因为，所以，整理可得， 因为，解得（舍去）； ③当时，即当时，， 当时，， 当时，． 因为，所以，整理可得， ，解得或（舍去）． 综上所述，实数的取值集合为． 故答案为：． 29．（2023·河北·三模）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】函数的几何意义是在直角坐标平面内定点与动点连线的斜率，由此转化为直线与圆有交点的问题，即可求出答案. 【详解】函数的几何意义是在直角坐标平面内定点与动点连线的斜率， 易知动点在以为圆心，1为半径的圆除以外的点上， 易知直线的斜率存在，设为，则直线为即， 则，解得，即值域为. 故答案为： 30．（2023·浙江·三模）设表示不超过的最大整数，如.已知函数有且只有4个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】设，利用导数求出在上的单调性与最值，再求出时的解析式，画出图象，数形结合即可求解. 【详解】设，则有且只有4个根. 当时，, 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以当时，. 当时，，， 当时，，， 故函数的图象如图所示： 因为，由图可知. 故答案为:. 一、选择题（每小题5分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（2005·江西·高考真题）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先，考查对数的定义域问题，也就是的真数一定要大于零，其次，分母不能是零． 【详解】解：由，得， 又因为，即，得 故，的取值范围是，且． 定义域就是 故选：B． 2．（2004·安徽·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用二倍角公式化简求出，再利用二倍角变形即可求得. 【详解】 ， 故选：D 3．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出． 【详解】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 4．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解. 【详解】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以. 故选：D 【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题. 5．（2018·全国·高考真题）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为是定义域为的奇函数，且， 所以, 因此， 因为，所以， ，从而，选C. 点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解． 6．（2021·北京·高考真题）已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用两者之间的推出关系可判断两者之间的条件关系. 【详解】若函数在上单调递增，则在上的最大值为， 若在上的最大值为， 比如， 但在为减函数，在为增函数， 故在上的最大值为推不出在上单调递增， 故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件， 故选：A. 7．（2018·全国·高考真题）函数的图像大致为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果. 详解：函数过定点，排除， 求得函数的导数， 由得， 得或，此时函数单调递增，排除，故选D. 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 8．（2017·全国·高考真题）函数的单调递增区间是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由>0得：x∈(−∞,−2)∪(4,+∞)， 令t=，则y=lnt， ∵x∈(−∞,−2)时,t=为减函数； x∈(4,+∞)时,t=为增函数； y=lnt为增函数， 故函数f(x)=ln()的单调递增区间是(4,+∞)， 故选D. 点睛：形如的函数为,的复合函数，为内层函数,为外层函数. 当内层函数单增，外层函数单增时，函数也单增； 当内层函数单增，外层函数单减时，函数也单减； 当内层函数单减，外层函数单增时，函数也单减； 当内层函数单减，外层函数单减时，函数也单增. 简称为“同增异减”. 9．（2017·全国·高考真题）已知函数，则 A．在（0，2）单调递增 B．在（0，2）单调递减 C．的图像关于直线x=1对称 D．的图像关于点（1，0）对称 【答案】C 【详解】由题意知，，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C． 【名师点睛】如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称轴；如果函数，，满足，恒有，那么函数的图象有对称中心． 10．（2013·全国·高考真题）已知的定义域为，则函数的定义域为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】试题分析：因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得，选B． 考点：1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域． 二、多选题（每小题6分，在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.） 11．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 【答案】ABC 【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D. 方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可. 【详解】方法一： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误. 方法二： 因为， 对于A，令，，故正确. 对于B，令，，则，故B正确. 对于C，令，，则， 令， 又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确， 对于D，当时，对两边同时除以，得到， 故可以设，则， 当肘，，则， 令，得；令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，    显然，此时是的极大值，故D错误. 故选：. 12．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究 对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. [方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法. 由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC. 故选：BC. [方法三]： 因为，均为偶函数， 所以即，， 所以，，则，故C正确； 函数，的图象分别关于直线对称， 又，且函数可导， 所以， 所以，所以， 所以，，故B正确，D错误； 若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误. 故选：BC. 【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法； 方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解． 三、填空题：每小题5分，把答案填在答题卡中的横线上. 13．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【详解】函数，所以. 故答案为：1 14．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【详解】解：因为，所以，解得且， 故函数的定义域为； 故答案为： 15．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 【答案】 0（答案不唯一） 1 【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，  解得 . 【详解】解：若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 16．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则 . 【答案】2 【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值. 【详解】，故， 故答案为：2. 17．（2020·全国·高考真题）关于函数f（x）=有如下四个命题： ①f（x）的图象关于y轴对称． ②f（x）的图象关于原点对称． ③f（x）的图象关于直线x=对称． ④f（x）的最小值为2． 其中所有真命题的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，，，则， 所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误； 对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确； 对于命题③，， ，则， 所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确； 对于命题④，当时，，则， 命题④错误. 故答案为：②③. 【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 18．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 【答案】 / 【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可. 【详解】由已知，， 所以， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以， 等价于，所以， 所以的最大值为. 故答案为：，. 19．（2017·全国·高考真题）设函数则满足的x的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题意得： 当时，恒成立，即；当时， 恒成立，即；当时，，即.综上，x的取值范围是. 【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性，即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么，然后代入该段的解析式求值.解决此类问题时，要注意区间端点是否取到及其所对应的函数值，尤其是分段函数结合点处的函数值. 20．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示. 给出下列四个结论： ①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强； ③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标； ④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①②③ 【分析】根据定义逐一判断，即可得到结果 【详解】表示区间端点连线斜率的负数， 在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确； 甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误； 在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确； 在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；③正确； 故答案为：①②③ 【点睛】本题考查斜率应用、切线斜率应用、函数图象应用，考查基本分析识别能力，属中档题. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$