专题2.1函数的概念（八大重难点题型精讲）-备战2025年高考数学一轮复习题型精讲与精练（新高考通用）

专题2.1 函数的概念 目录 一、考纲要求 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念． 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段). 4.培养学生数学抽象、数学运算能力。 二、考点网络 三、考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1）了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域． （2）在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数． （3）了解简单的分段函数，并会简单的应用． 2022年浙江卷第14题，5分 2021年浙江卷第12题，5分 高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主，综合考查不等式与函数的性质． 四、考点梳理 考点一、函数的概念 1．函数与映射的相关概念 (1)函数与映射的概念 函数 映射 两个集合A、B 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合 对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B 注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点． (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (3)构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. (4)函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 考点二、函数的三要素 1．函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}. (5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R. (6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞). (7)y＝tanx的定义域为. 2．函数的解析式 (1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式. (2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误. 3．函数的值域 函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域： (1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R. (2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)． (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)， 当a>0时，二次函数的值域为； 当a<0时，二次函数的值域为. 求二次函数的值域时，应掌握配方法：. (4)y＝sinx的值域为[−1,1]． 考点三、分段函数 分段函数的概念 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 考点四、复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数． 【知识拓展】 1．(1)相等函数—如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． ①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数． ②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数. (2)映射的个数 若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 重难点题型(一) 函数的概念 例1．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（    ） A． B． C． D． 例2．（2024·陕西铜川·模拟预测）设函数的定义域为，且，则（    ） A． B．0 C．4 D． 【变式训练1】．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，均满足．若，则（    ） A．0 B． C． D． 【变式训练2】．（2024·广东·模拟预测）（多选题）已知函数的定义域为，若，且，则（    ） A． B．无最小值 C． D．的图象关于点中心对称 重难点题型(二) 求函数的定义域 例3．（2024·北京西城·二模）函数的定义域是 ． 例4．（2024·青海海南·二模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例5．（2024·云南曲靖·模拟预测）函数定义域为，函数的定义域为，则（   ） A． B． C． D． 【变式训练3】．（2024·四川南充·三模）函数的定义域为 . 【变式训练4】．（2024·北京平谷·模拟预测）函数的定义域是 【变式训练5】．（2024·江西·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 对求函数定义域问题的思路是： （1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组； （2）解不等式组； （3）将解集写成集合或区间的形式． 重难点题型(三) 同一函数的判断 例6．（2022高三·辽宁大连·学业考试）下列函数中，与函数相同的是（    ） A． B． C． D． 例7．（2021·江西·模拟预测）（多选题）下列各组函数中表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练6】．（2023·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式训练7】．（21-22高一·全国·单元测试）（多选题）下列函数中，与函数不是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【解题方法总结】 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数． 重难点题型(四) 求抽象函数的定义域 例8．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 例9．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8】．（2019·四川·一模）若函数的定义域是，则的定义域为（　　） A．R B． C． D． 【变式训练9】．（2019·山东·一模）若函数的定义域为［1，8］，则函数的定义域为 A． B． C． D． 【解题方法总结】 1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域 2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集． 重难点题型(五) 求函数的解析式 例10．（2020·安徽蚌埠·三模）已知函数是一次函数，且恒成立，则 A．1 B．3 C．5 D．7 例11．（2018·广东东莞·二模）已知函数，，则 ． 例12．（2023·山东·模拟预测）已知二次函数的最大值是，且它的图像过点，求函数的解析式． 例13．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式 (1)是一次函数，且满足，求的解析式; (2)已知函数，求函数的解析式． (3)已知，求的解析式． (4)已知，则函数的解析式 (5)已知是上的增函数，若，则的解析式 【变式训练10】．（2017·河北·模拟预测）设函数是一次函数，且，，则等于 A． B． C． D． 【变式训练11】．（2019·云南曲靖·一模）已知函数满足则= . 【变式训练12】．（9-10高二下·宁夏银川·期末）已知二次函数，，且. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的值域． 【变式训练13】．（2024高三·全国·专题练习）（2024安徽蚌埠）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知是一次函数，且，求； (3)定义在区间上的函数满足，求的解析式． (4)已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则f(x)的解析式 【解题方法总结】求函数解析式的常用方法如下： （1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解． （2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法．若易换元后求出，用换元法． （3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法． （4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求． （5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解． （6）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出． 重难点题型(六) 求函数的值域 例14．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 例15．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 例16．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的值域. (1)； (2) ； (3)； (4)； (5)； (6)； (7). 【变式训练14】．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式训练15】．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式训练16】．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的值域. (1)，； (2)，； (3)，； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)，. 【解题方法总结】 函数值域的求法主要有以下几种 （1）观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域． （2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域． （3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型． （4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等． （5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数． （6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析． （7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）． （8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法． （9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法． 重难点题型(七) 分段函数的应用 例17．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知函数若，则的值为（    ） A． B．或2 C．或2 D．或 例18．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 【变式训练17】．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数，其中，若，则实数a的值等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式训练18】．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 【解题方法总结】 1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值 2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内． 重难点题型(八) 函数新定义问题及其其他综合问题 例19、（2013·福建·高考真题）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数满足： （i）（ii）对任意 那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合： ① ② ③ 其中，“保序同构”的集合对的序号是 .（写出“保序同构”的集合对的序号）. 例20．（2024·全国·模拟预测）（多选题）已知函数的定义域为，满足，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【变式训练19】．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（    ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值 【变式训练20】．22．（2004·北京·高考真题）函数，其中P，M为实数集的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中正确判断有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2024·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（    ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值 3．（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国·高考真题）（多选题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 5．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 6．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.1 函数的概念 目录 一、考纲要求 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念． 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数． 3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段). 4.培养学生数学抽象、数学运算能力。 二、考点网络 三、考情分析 考点要求 考题统计 考情分析 （1）了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域． （2）在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数． （3）了解简单的分段函数，并会简单的应用． 2022年浙江卷第14题，5分 2021年浙江卷第12题，5分 高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主，综合考查不等式与函数的性质． 四、考点梳理 考点一、函数的概念 1．函数与映射的相关概念 (1)函数与映射的概念 函数 映射 两个集合A、B 设A、B是两个非空数集 设A、B是两个非空集合 对应关系 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应 按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B 注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点． (2)函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． (3)构成函数的三要素 函数的三要素为定义域、值域、对应关系. (4)函数的表示方法 函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法. 解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域； 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征； 图象法：注意定义域对图象的影响. 考点二、函数的三要素 1．函数的定义域 函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为： (1)分式函数中分母不等于零. (2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}. (5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sinx，y＝cosx的定义域均为R. (6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞). (7)y＝tanx的定义域为. 2．函数的解析式 (1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式. (2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误. 3．函数的值域 函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域： (1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R. (2)反比例函数(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)． (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)， 当a>0时，二次函数的值域为； 当a<0时，二次函数的值域为. 求二次函数的值域时，应掌握配方法：. (4)y＝sinx的值域为[−1,1]． 考点三、分段函数 分段函数的概念 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 考点四、复合函数 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))，其中y＝f(u)叫做复合函数y＝f(g(x))的外层函数，u＝g(x)叫做y＝f(g(x))的内层函数． 【知识拓展】 1．(1)相等函数—如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等． ①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数． ②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数. (2)映射的个数 若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有个． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集． 重难点题型(一) 函数的概念 例1．（2024·内蒙古赤峰·一模）在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O、P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点在第二条边上运动时，的单调性可排除A，由图象的对称性可排除，由一开始与是线性的可排除C，对于D，当图形是正方形时，可以验证它满足题意. 【详解】对于A，点在第一条边上时，， 但点在第二条边上运动时，是随的增大先减小（减到最小时即为三角形的第二条边上的高的长度），然后再增大， 对比图象可知，A错误； 对于B，y与x的函数图形一定不是对称的，B错误； 对于C，一开始与的关系不是线性的，C错误； 对于D，因为函数图象对称，所以D选项应为正方形，不妨设边长为， 点在第一条边上时（即时），， 点在第二条边上运动时（即时），，依然单调递增， 点在第三条边上运动时（即时），，单调递减， 点在第四条边上运动时（即时），，单调递减， 且已知与的图象关于（其中）对称，D正确. 故选：D. 例2．（2024·陕西铜川·模拟预测）设函数的定义域为，且，则（    ） A． B．0 C．4 D． 【答案】B 【分析】令结合得，令得，令，，得，令，分别令可以得到，令，得的周期为，所以. 【详解】因为，令，有，则或． 若，则令，有，得，与已知矛盾，所以． 令，有，则，得． 令，，有，得． 令，，有，得． 令，，有，得． 令，，有，得． 令，，有，得． 令，有，得， 令，有，即， 所以，故，所以的周期为， 所以． 故选：B． 【点睛】方法点睛：赋值法解决抽象函数问题，通过对赋值，得到相应的函数值，进而研究函数性质或者得到待求函数值. 【变式训练1】．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，均满足．若，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】先赋值求出，接着赋值，求出，再赋值求出，最后赋值，即可求解. 【详解】令，得，所以； 令，，得， 又，所以；令，得； 令，，得. 故选：D. 【变式训练2】．（2024·广东·模拟预测）（多选题）已知函数的定义域为，若，且，则（    ） A． B．无最小值 C． D．的图象关于点中心对称 【答案】BCD 【分析】对于A，令即可；对于BC，令得，通过递推计算即可；对于D，令，得即可判断函数的图象关于点中心对称. 【详解】对于A，令，得，解得，故A错误； 对于B，令，则，且，即可知函数无最小值，故B正确； 对于C，由B知，， 所以，， 则 ，故C正确； 对于D，令，则原式化为， 令，所以，即， 所以，所以函数的图象关于点中心对称，故D正确. 故选：BCD. 重难点题型(二) 求函数的定义域 例3．（2024·北京西城·二模）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】由题意可得出，结合对数函数的单调性求解即可. 【详解】函数的定义域是： ，解得：. 故答案为：. 例4．（2024·青海海南·二模）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的真数大于0和分母不为0即可得到不等式组，解出即可. 【详解】∵函数， ∴，解得． 故选：D． 例5．（2024·云南曲靖·模拟预测）函数定义域为，函数的定义域为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分别求解出集合，再根据集合的交集运算求解. 【详解】由函数，则，即，， 由函数，则，即，， . 故选：B. 【变式训练3】．（2024·四川南充·三模）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据解析式列出不等式求解. 【详解】因为， 所以且， 解得且， 故函数的定义域为. 故答案为： 【变式训练4】．（2024·北京平谷·模拟预测）函数的定义域是 【答案】 【分析】根据分数和对数有意义的条件即可求解. 【详解】函数有意义的条件是，解得且， 所以函数定义域为. 故答案为：. 【变式训练5】．（2024·江西·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先化简集合M和N,再求交集. 【详解】易知 因为，所以，故， 故. 故选：A. 【解题方法总结】 对求函数定义域问题的思路是： （1）先列出使式子有意义的不等式或不等式组； （2）解不等式组； （3）将解集写成集合或区间的形式． 重难点题型(三) 同一函数的判断 例6．（2022高三·辽宁大连·学业考试）下列函数中，与函数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即判断这两个函数为相同函数. 【详解】解：对于A，，与函数的对应关系不相同，故不是相同函数； 对于B，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数的定义域不相同，故两函数不是相同函数； 对于C，两函数的定义域都是，且对应关系相同，故两函数为相同函数； 对于D，，与函数的对应关系不相同，故不是相同函数. 故选：C. 例7．（2021·江西·模拟预测）（多选题）下列各组函数中表示同一个函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AB 【分析】确定函数的定义域与对应法则是否相同即可判断． 【详解】A中两个函数定义域都是，对应法则都是乘以2后取绝对值，是同一函数； B中两个函数定义域都是，对应法则都是取平方，是同一函数； C中定义域是，的定义域是，不是同一函数； D中的定义域是，的定义域是，不是同一函数． 故选：AB． 【变式训练6】．（2023·江西九江·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据同一函数的定义，逐项验证定义域和对应法则是否相同，即得． 【详解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数； 对于B中，函数和的定义域都是，但对应法则不同，所以不是同一个函数； 对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于D中，函数的定义域为，的定义域为，定义域不相同，所以不是同一个函数. 故选：A． 【变式训练7】．（21-22高一·全国·单元测试）（多选题）下列函数中，与函数不是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据两函数定义域相同且解析式一致即为相等函数，一一判断即可. 【详解】解：的定义域为． 对于A，的定义域为，与的定义域不同，不是同一函数； 对于B，定义域为，与定义域相同，对应关系相同，是同一函数； 对于C，的定义域为，与定义域不同，不是同一函数； 对于D，，与的对应关系不同，不是同一函数． 故选：ACD． 【解题方法总结】 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数． 重难点题型(四) 求抽象函数的定义域 例8．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域是，所以， 所以，所以函数的定义域为， 所以要使函数有意义，则有，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. 例9．（2023·江西九江·模拟预测）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可知解即可得答案. 【详解】解：因为函数的定义域为， 所以，，即，解得， 所以，函数的定义域为 故选：C 【变式训练8】．（2019·四川·一模）若函数的定义域是，则的定义域为（　　） A．R B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用求抽象函数定义域的方法，由可得. 【详解】∵的定义域是, ∴满足, ∴,∴的定义域为．故选A． 【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域，属于简单题. 定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出. 【变式训练9】．（2019·山东·一模）若函数的定义域为［1，8］，则函数的定义域为 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数的定义域为，根据函数有意义，列出相应的不等式组，即可求解，得到答案. 【详解】由题意的定义域为，若函数有意义，则，得． 【点睛】本题主要考查了函数的定义域的求解问题，其中解答中熟记函数定义域的定义，根据解析式有意义，列出相应的不等式组求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 【解题方法总结】 1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若的定义域为，求中的解的范围，即为的定义域，口诀：定义域指的是的范围，括号范围相同．已知的定义域，求四则运算型函数的定义域 2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集． 重难点题型(五) 求函数的解析式 例10．（2020·安徽蚌埠·三模）已知函数是一次函数，且恒成立，则 A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】先设出函数解析式，利用恒成立，求出解析式，然后可得. 【详解】设，， 则 因为恒成立，所以且，解得， 所以，即有. 故选：D. 【点睛】本题主要考查函数解析式的求解，明确函数类型时，常用待定系数法求解函数解析式，侧重考查数学抽象的核心素养. 例11．（2018·广东东莞·二模）已知函数，，则 ． 【答案】3 【分析】利用直接代入法结合对应系数相等可得的值，将代入可得结果. 【详解】由题意，得， 即，解得，，因此， 故答案为3. 【点睛】本题主要考查了函数解析式以及函数值的求法，利用系数相等是解题的关键，属于基础题. 例12．（2023·山东·模拟预测）已知二次函数的最大值是，且它的图像过点，求函数的解析式． 【答案】 【分析】由二次函数性质与待定系数法求解． 【详解】解：根据题意设， 又过点，则 解得， 故 例13．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式 (1)是一次函数，且满足，求的解析式; (2)已知函数，求函数的解析式． (3)已知，求的解析式． (4)已知，则函数的解析式 (5)已知是上的增函数，若，则的解析式 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）（4）利用配凑法求解即可； （3）将已知等式中的换成，得到一个方程，然后与已知等式联可求出函数解析式； （5）由函数的单调性结合已知条件可得为定值，设，然后根据题意列方程求出，从而可求出函数解析式. 【详解】（1）由已知是一次函数，设函数， 则， 因为， 所以， 所以解得， 所以； （2）由， 则； （3）由已知①，，则②， 所以①②，得，， 所以. （4）（）， 当时，，当且仅当时，即时取等号， 当时，，当且仅当时，即时取等号， 所以. （5）根据题意，是上的增函数，且， 则为定值． 设，为常数，则且， 即有，解得，则. 【变式训练10】．（2017·河北·模拟预测）设函数是一次函数，且，，则等于 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解答过程略 【变式训练11】．（2019·云南曲靖·一模）已知函数满足则= . 【答案】 【分析】由题意函数满足，令，即可求解． 【详解】由题意函数满足，令，则． 【点睛】本题主要考查了函数值的求解，其中根据函数的解析式，合理赋值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 【变式训练12】．（9-10高二下·宁夏银川·期末）已知二次函数，，且. (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数图象与轴交点确定值，函数和函数相等，对应系数相等确定、值. （2）根据区间上的单调性求出最值，即可得到区间上的值域. 【详解】（1）解：因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，所以， 即． （2）解：因为，所以是开口向上，对称轴为的抛物线． 因为在递减，在递增，所以， 因为，， 所以， 所以在上的值域为． 【变式训练13】．（2024高三·全国·专题练习）（2024安徽蚌埠）求下列函数的解析式： (1)已知，求； (2)已知是一次函数，且，求； (3)定义在区间上的函数满足，求的解析式． (4)已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则f(x)的解析式 【答案】(1) (2)或 (3) (4) 【分析】（1）解法一：利用换元法，令，表示出代入函数中化简可得函数解析式；解法二：利用配凑法求解； （2）设，根据已知条件列方程组求解即可； （3）将已知等式中的换成，得到一个方程，与已知方程联立可求出函数解析式； （4）利用奇偶函数的定义列方程，解方程可求得结果. 【详解】（1）解法一（换元法）：令（），则， 所以， 所以． 解法二（配凑法）：， 因为，所以． （2）设，则， 所以，解得或， 所以或． （3）对任意的，有， 由，①，得，② 联立①②解得，． （4）因为函数的定义域为，为偶函数， 所以，即， 又为奇函数，所以， 即， 所以，解得. 【解题方法总结】求函数解析式的常用方法如下： （1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解． （2）当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法，若易将含的式子配成，用配凑法．若易换元后求出，用换元法． （3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法． （4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求． （5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解． （6）若已知成对出现，或，，类型的抽象函数表达式，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出． 重难点题型(六) 求函数的值域 例14．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数，的值域为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得，再代入运算即可. 【详解】由，得， 所以． 故选：C. 例15．（23-24高一下·广东梅州·期中）已知函数在上的值域为，则（    ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】D 【分析】首先利用二次函数最值求出，则得到其单调性，则，代入计算即可. 【详解】的对称轴为，则，解得， 则在上单调递增， 所以，即， 所以，为方程的两个根， 即为方程的两个根，所以. 故选：D. 例16．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的值域. (1)； (2) ； (3)； (4)； (5)； (6)； (7). 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】（1）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可； （2）令，则，利用二次函数的性质计算可得； （3）利用二次函数的单调性逐步求值域即可； （4）先配方，然后利用二次函数的性质求值域即可； （5）先利用二次函数的性质求出的值域，再由指数函数的性质求值域即可； （6）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可； （7）利用判别式法即可求得答案. 【详解】（1）由于，且,所以可得， 因此函数的值域是. （2）令，所以，即， 当时，，即函数的值域为. （3）易知需满足，即，即函数定义域为， 因为， 由二次函数性质可得， 所以的值域为. （4）由，可得函数的值域为，. （5）由，所以， 的值域为. （6）因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立.故函数的值域为. （7）由知，整理得， 当时，方程无解；当时，， 解得，故所求函数的值域为. 【变式训练14】．（2024高三·全国·专题练习）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，运用换元法转化为求三角函数在给定区间上的值域. 【详解】令，，则， ∵，∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式训练15】．（23-24高一上·云南曲靖·阶段练习）若函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对分两种情况讨论，分别根据一次函数、二次函数的性质，结合值域求参数取值范围即可. 【详解】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则，解得， 综上，. 故选：C. 【变式训练16】．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的值域. (1)，； (2)，； (3)，； (4)； (5)； (6)； (7)； (8)； (9)； (10)，. 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【分析】（1）利用一次函数的单调性求解即可； （2）利用二次函数的单调性求解即可； （3）利用指数函数的单调性结合二次函数的单调性求解即可； （4）利用分离变量法求解结合反比例函数的单调性求解即可； （5）利用符合函数的单调性结合指数函数的单调性求解即可； （6）利用分离常数，结合基本不等式解决即可； （7）利用换元的方法几何函数的单调性求解即可； （8）将绝对值去掉结合一次函数分类讨论求解即可； （9）利用斜率的几何意义求解； （10）利用导数求解函数的单调性求解即可. 【详解】（1）在区间上单调递增， 所以值域为. （2）因为，函数的定义域为， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，又因为， 所以.所以的值域为. （3），令，则， 在上单调递减，所以， 所以的值域为. （4）的定义域是， 由于，所以， 所以值域为. （5）， 因为 所以原函数的值域为. （6）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立，所以函数的值域为. （7）令，则， 可得 当时，等号成立，所以函数的值域为. （8）因为； 所以函数的值域为. （9）函数的值域可看作由点两点决定的斜率，是定点， 在曲线上， 如图，，，即. （10）时，时，； 时，取最大值；又的值域为. 【解题方法总结】 函数值域的求法主要有以下几种 （1）观察法：根据最基本函数值域（如≥0，及函数的图像、性质、简单的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域． （2）配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域． （3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型． （4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等． （5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形的值城，可通过换元将原函数转化为二次型函数． （6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便于分析． （7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别式求值域，一般地，形如，或的函数值域问题可运用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）． （8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于形如或的函数，当ac>0时可利用单调性法． （9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法． 重难点题型(七) 分段函数的应用 例17．（23-24高一下·贵州毕节·期末）已知函数若，则的值为（    ） A． B．或2 C．或2 D．或 【答案】C 【分析】分与两段讨论，分别建立方程求解即可. 【详解】①当时，由，解得， 其中不满足题意，故； ②当时，由，解得，满足，故； 综上所述，则的值为或. 故选：C. 例18．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ． 【答案】 / 【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可. 【详解】由已知，， 所以， 当时，由可得，所以， 当时，由可得，所以， 等价于，所以， 所以的最大值为. 故答案为：，. 【变式训练17】．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数，其中，若，则实数a的值等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式即可求解. 【详解】，， ∴， ∴. 故选：B. 【变式训练18】．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ． 【答案】 0（答案不唯一） 1 【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或，  解得 . 【详解】解：若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 【解题方法总结】 1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解析式代入求值 2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内． 重难点题型(八) 函数新定义问题及其其他综合问题 例19、（2013·福建·高考真题）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数满足： （i）（ii）对任意 那么称这两个集合“保序同构”，现给出以下3对集合： ① ② ③ 其中，“保序同构”的集合对的序号是 .（写出“保序同构”的集合对的序号）. 【答案】①②③ 【详解】条件（i）说明S到T是一个一一映射，条件（ii）说明函数单调增.对于1可拟合函数满足上述两个条件，故是保序同构；对于2可拟合函数满足上述两个条件，故是保序同构；对于3可考虑经过平移压缩的正切函数也满足上述两个条件，故都是保序同构. 【考点定位】本题考查学生对新概念的理解，转化和应用，属于难题. 例20．（2024·全国·模拟预测）（多选题）已知函数的定义域为，满足，则（    ） A． B． C．为偶函数 D．为奇函数 【答案】AD 【分析】令，或，分类讨论可求，判断A；令，可得，进而可求，判断B；由B可得，可判断CD； 【详解】对于A：令，得，即，所以或． 当时，不恒成立，故，故A正确． 对于B：令，得，又，所以， 故，故B错误． 对于C、D：由B选项可知，则，所以为奇函数，故C错误，D正确． 故选：AD. 【变式训练19】．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（    ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值 【答案】B 【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断. 【详解】对于A，若存在 是偶函数, 取 , 则对于任意 , 而 , 矛盾, 故 A 错误； 对于B，可构造函数满足集合， 当时，则，当时，，当时，， 则该函数的最大值是，则B正确； 对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误； 对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误； 故选：B. 【变式训练20】．22．（2004·北京·高考真题）函数，其中P，M为实数集的两个非空子集，又规定，，给出下列四个判断： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④若，则． 其中正确判断有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据函数定义，结合特殊值，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对①：取，，满足， 但，，，故①错误； 对②：若，由函数定义可得， 所以，故②正确； 对③：取，，满足， 但，，，故③错误； 对④：假设，且， 则存在，则所以所以， 且， 若，则，所以，所以，矛盾，假设不成立； 若，则，矛盾，假设不成立； 所以若，则，故④正确. 故选：B. 1．（2024·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】代入得到，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【详解】因为当时，所以， 又因为， 则， ， ， ， ，则依次下去可知，则B正确； 且无证据表明ACD一定正确. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用，再利用题目所给的函数性质，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可. 2．（2024·上海·高考真题）已知函数的定义域为R，定义集合，在使得的所有中，下列成立的是（    ） A．存在是偶函数 B．存在在处取最大值 C．存在是严格增函数 D．存在在处取到极小值 【答案】B 【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数即可判断. 【详解】对于A，若存在 是偶函数, 取 , 则对于任意 , 而 , 矛盾, 故 A 错误； 对于B，可构造函数满足集合， 当时，则，当时，，当时，， 则该函数的最大值是，则B正确； 对C，假设存在，使得严格递增，则，与已知矛盾，则C错误； 对D，假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，这与已知集合的定义矛盾，故D错误； 故选：B. 3．（2024·全国·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【详解】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 4．（2024·全国·高考真题）（多选题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 5．（2024·上海·高考真题）已知则 ． 【答案】 【分析】利用分段函数的形式可求. 【详解】因为故， 故答案为：. 6．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论： ①在区间上单调递减； ②当时，存在最大值； ③设，则； ④设．若存在最小值，则a的取值范围是． 其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③ 【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断. 【详解】依题意，， 当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线； 当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）； 当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线； 对于①，取，则的图像如下，    显然，当，即时，在上单调递增，故①错误； 对于②，当时， 当时，； 当时，显然取得最大值； 当时，， 综上：取得最大值，故②正确； 对于③，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小，    当时，，当且接近于处，， 此时，，故③正确； 对于④，取，则的图像如下，    因为， 结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在， 同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径， 此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为， 联立，解得，则， 显然在上，满足取得最小值， 即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误. 故答案为：②③. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$