专题02数列求和的六种方法-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（湘教版2019选择性必修第一册）

专题02数列求和的六种方法 题型一 公式法求和 一、单选题 1．（23-24高二下·广东·期中）已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（    ） A．910 B．900 C．890 D．880 二、填空题 2．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知数列的通项公式为的通项公式为．记数列的前项和为，则 ，的最小值为 ． 三、解答题 3．（24-25高二上·全国·单元测试）在数列中，前项和. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)当时，求. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小（即最下面一层根数最少），则最下面一层放几根？共堆了多少层？ 5．（24-25高二上·全国·课后作业）设数列的前n项和为，，且数列是以为公比的等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求． 6．（24-25高二上·全国·课后作业）在等比数列中，对任意，均有，求． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）（1）在等差数列中，，求的值； （2）在等差数列中，，，求． 题型二 倒序相加法求和 一、单选题 1．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．12 B．10 C．5 D． 2．（2024高三·上海·专题练习）已知函数，若等比数列满足，则（    ） A．2020 B． C．2 D． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知某数列的通项，则（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 4．（2024·四川成都·模拟预测）已知，则（    ） A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094 5．（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）已知，数列的前项和为，则（    ） A．8096 B．8094 C．4048 D．4047 6．（23-24高二上·辽宁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 二、解答题 7．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 8．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 9．（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数. (1)求证为定值； (2)若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和； 题型三 分组求和法（并项求和法） 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知的前n项和为，，当时，，则的值为（   ） A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列中，，，则数列的前2023项和为（   ） A．1012 B．1011 C．2023 D． 3．（2024·西藏拉萨·二模）某旅游景区计划将山脚下的一片荒地改造成一个停车场，根据地形，设计7排停车位，靠近山脚的第1排设计9个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍减去8，则设计的停车位的总数是（    ） A．172 B．183 C．286 D．311 二、多选题 4．（23-24高二下·海南·期中）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知数列的前n项和为，且满足：，则下列结论正确的是（    ） A．数列为等差数列 B． C．数列的前100项和为 D．数列的前10项和为 三、解答题 6．（23-24高二下·山西大同·期中）已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和. 7．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知等比数列是各项均为正数的递增数列，成等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 8．（2024·陕西宝鸡·三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项和． 9．（23-24高二下·海南海口·期末）已知函数，将函数的所有零点按从小到大的顺序排成一列，得到一个无穷数列：记. (1)求函数的最大值和最小值； (2)求的值； (3)设数列的前项和为，证明：对于任意正整数，. 题型四 裂项相消法求和 一、填空题 1．（2022高三·全国·专题练习）记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，则an＝ ，Tn＝ . 二、解答题 2．（2024·四川凉山·三模）如图，点均在x轴的正半轴上，，…，分别是以，，…，（）为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上．    (1)求，，的值，并写出的通项公式（不用证明）； (2)求数列的前n项和． 3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 4．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知数列的前项和满足，且． (1)求数列的前项和； (2)求数列的通项公式； (3)记，为前项和，求． 5．（23-24高二下·贵州安顺·期末）若数列是等差数列，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前99项和. 6．（23-24高二下·河南南阳·期末）意大利人斐波那契在1202年写的《算盘书（Libe rAbaci）》中提出一个兔子繁殖问题：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔，这种成长与繁殖过程会一直持续下去.设第个月的兔子对数为，则，观察数列的规律，不难发现，，我们称该数列为斐波那契数列. (1)若数列是斐波那契数列，求出和的值，并证明. (2)若数列是斐波那契数列，且，求证：数列是等比数列； (3)若数列是斐波那契数列，在（2）的条件下，求数列的前项和. 7．（2024·天津南开·二模）已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项. (1)求的通项公式 (2)数列满足，且. （ⅰ）求的前n项和. （ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 题型五 错位相减法求和 1．（2024·黑龙江牡丹江·一模）设，若数列的前项和为，且是与的等差中项； (1)求数列的通项公式； (2)若是以为首项，为公差的等差数列，求数列的前项和． 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，其中． (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 3．（23-24高二下·海南·期中）设数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 4．（24-25高三上·全国·单元测试）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 5．（23-24高二下·安徽池州·期中）在等差数列中，且，，构成公比不为1的等比数列 (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前n项和． 6．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)设求的前项和． 7．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足是等差数列，是等比数列. (1)证明：； (2)记的前项和为，若对于任意，求的取值范围. 8．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知正项数列满足，且 (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 9．（2024·河南·三模）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 题型六 绝对值求和 一．选择题（共1小题） 1．（秦州区校级模拟）已知是首项为32的等比数列，是其前项和，且，则数列前10项和为　　 A．60 B．58 C．56 D．45 二．多选题（共1小题） 2．（2023秋•河南月考）已知为数列前项和，则下列结论成立的有　　 A．若数列为等比数列，且，则数列为等差数列 B．若数列为等差数列，若，则 C．若数列为等差数列，其前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为2 D．若数列满足，且，则该数列的前100项和 三．填空题（共1小题） 3．数列的通项公式，则　　． 四．解答题（共1小题） 4．（2020春•岳麓区校级期末）设等差数列的公差为，前项和为，已知，，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02数列求和的六种方法 题型一 公式法求和 一、单选题 1．（23-24高二下·广东·期中）已知两个等差数列1，5，9，…，和1，6，11，…，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，且的前n项和为，则（    ） A．910 B．900 C．890 D．880 【答案】A 【分析】先确定新数列的首项，再根据两个等差数列的公共项构成的数列依然是等差数列，且公差是原来两个等差数列公差的最小公倍数确定公差，可求前10项和. 【详解】因为两个等差数列的首项均为1，公差分别为4，5，所以是首项为1，公差为的等差数列，则． 故选：A 二、填空题 2．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知数列的通项公式为的通项公式为．记数列的前项和为，则 ，的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）由题可得，根据等比数列及等差数列的求和公式可得，利用数学归纳法可得时，，时，，进而即得. 【详解】由题可知， 所以， ， 令，则， 当时，，即， 下面用数学归纳法证明： 当时，成立，假设时，成立， 当时，， 即时也成立， 所以当时，，即， 所以时，，时，， 所以当时，有最小值，最小值为. 故答案为：；. 三、解答题 3．（24-25高二上·全国·单元测试）在数列中，前项和. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)当时，求. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据的关系以及等比数列的定义求解即可； （2）直接根据等比数列的定义即可写出通项公式； （3）直接由等比数列求和公式运算即可. 【详解】（1）因为，① ，② 由①-②得， 所以. 当时，， 所以. 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）因为，， 所以. （3）因为在数列中，， 公比， 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 当时，是首项为，公比为的等比数列， 所以. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小（即最下面一层根数最少），则最下面一层放几根？共堆了多少层？ 【答案】最下面一层放35根，共堆了28层 【分析】设最下面一层放n根，最多可堆n层，利用等差数列前n项和公式求和，建立不等式并构造函数，借助函数单调性求出n的最小值，即可推理得解. 【详解】设最下面一层放n根，则最多可堆n层，共堆放根数， 整理得，令， 当时，单调递增，而，， 因此，即最下面一层最少放35根，而， 所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共（根）， 再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层． 所以最下面一层放35根，共堆了28层． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）设数列的前n项和为，，且数列是以为公比的等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合与之间的关系分析求解； （2）分和两种情况，结合等比数列求和公式分析求解. 【详解】（1）由题意可知：，且数列是以为公比的等比数列， ①当时，则， 因为，可得； ②当时，则， 因为，可得； 且符合上式，综上所述：. （2）①当时，由（1）可知：， 所以； ②当时，由（1）可知：， 则， 可知数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以； 且符合上式，综上所述：. 6．（24-25高二上·全国·课后作业）在等比数列中，对任意，均有，求． 【答案】 【分析】根据与之间的关系可得，分析可知数列是首项为1，公比为4的等比数列，结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】由题意设等比数列的前n项和为，公比为q，可知． 令，得； 令，得； 且符合上式，所以，可得， 又因为，且， 可知数列是首项为1，公比为4的等比数列． 所以． 7．（24-25高二上·全国·课后作业）（1）在等差数列中，，求的值； （2）在等差数列中，，，求． 【答案】（1）1；（2）. 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式及项的性质化简后，代入即得； （2）利用等差数列的片段和的性质得到新的等差数列，由等差数列的前项和公式求出新数列的公差，通过求新数列的第11项即可求出. 【详解】（1）∵为等差数列，∴，， ∴． （2）∵数列为等差数列， ∴，，，…，也成等差数列， 设其公差为d，由此数列的前10项之和为， 即（*）．又∵，代入（*）式，解得， ∴，． 题型二 倒序相加法求和 一、单选题 1．（23-24高二上·山东青岛·阶段练习）等比数列的各项均为正数，且，则（    ） A．12 B．10 C．5 D． 【答案】B 【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解. 【详解】因为是各项均为正数的等比数列，， 所以，即，则 记，则， 两式相加得， 所以，即. 故选：B. 2．（2024高三·上海·专题练习）已知函数，若等比数列满足，则（    ） A．2020 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】利用等比数列的性质，结合已知条件，利用倒序相加法，求和即可． 【详解】等比数列满足，则， 函数， ， 所以， 所以． 故选：A． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）已知某数列的通项，则（    ） A．48 B．49 C．50 D．51 【答案】D 【分析】令函数，，所以，由倒序相加法求和即可. 【详解】令函数， 则， 所以． 所以，令，则， 则有，所以． 故选：D． 4．（2024·四川成都·模拟预测）已知，则（    ） A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094 【答案】D 【分析】先得到，然后利用倒序相加来求和即可. 【详解】， 即 设①， 则② ①+②得 ， 所以， 又， 所以. 故选：D. 5．（23-24高二上·山东菏泽·阶段练习）已知，数列的前项和为，则（    ） A．8096 B．8094 C．4048 D．4047 【答案】D 【分析】根据题中条件可知，倒序相加求和即可. 【详解】由， 得, , , 又， 所以， 所以. 故选：D. 6．（23-24高二上·辽宁·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过组合公式变形得，然后利用倒序相加求和即可. 【详解】由题可知通项公式， 所以， 同时， 上述两式相加得 ， 所以， 所以. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对组合公式的灵活应用，以及对倒序相加方法的灵活使用. 二、解答题 7．（23-24高二下·四川成都·阶段练习）已知数列满足：，数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，当时，可得，两式相减，求得，再由，得到，即可求得数列的通项公式. （2）由（1）得，结合指数幂的运算法则，即可求得的值；. （3）由（2）知，结合倒序相加法，即可求解. 【详解】（1）由数列满足：， 当时，可得， 两式相减，可得，所以， 当，可得，所以，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）由数列满足， 则. （3）由（2）知， 可得， 则， 两式相加可得，所以. 8．（2024·上海·模拟预测）已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前2024项和. 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【详解】（1）因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； （2）因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 9．（23-24高二下·全国·课前预习）已知函数. (1)求证为定值； (2)若数列的通项公式为（为正整数，，，，），求数列的前项和； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由函数的解析式得出的表达式，化简后可得为定值； （2）由于，可得，即，倒序相加可得. 【详解】（1）证明：由于函数， 则， 所以. （2）由（1）可知，， 则，其中为正整数，， 即，且， 所以，其中为正整数，， 且， ，① 变化前项顺序后，可得：，② ①②得：， 因此. 题型三 分组求和法（并项求和法） 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知的前n项和为，，当时，，则的值为（   ） A．1009 B．1010 C．1011 D．1012 【答案】D 【分析】根据题意结合与之间的关系分析可得，结合题意利用并项求和运算求解. 【详解】由题意可知：当时，可得， 因为，则，即， 当时，则， 两式相减可得，即， 可得，，， 所以． 故选：D. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知等差数列中，，，则数列的前2023项和为（   ） A．1012 B．1011 C．2023 D． 【答案】D 【分析】先利用等差数列的基本量运算求出，然后利用并项求和法求解即可. 【详解】设数列的公差为d，则解得 所以，设， 所以，，…， 所以数列的前2023项和为. 故选：D 3．（2024·西藏拉萨·二模）某旅游景区计划将山脚下的一片荒地改造成一个停车场，根据地形，设计7排停车位，靠近山脚的第1排设计9个停车位，从第2排开始，每排设计的停车位个数是上一排的2倍减去8，则设计的停车位的总数是（    ） A．172 B．183 C．286 D．311 【答案】B 【分析】设每排停车位的个数构成数列，则，构造新数列，可以证明为等比数列，求出，再分组求和即可. 【详解】设每排停车位的个数构成数列，则，即， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，所以， 所以，所以设计的停车位总数为. 故选：B. 二、多选题 4．（23-24高二下·海南·期中）在数列中，如果的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列为“等积数列”，非零常数为数列的公积.已知数列是等积数列，且，公积为2，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据等积数列的定义求得通项公式，即可判断可选项. 【详解】对于A，由题可知，对任意的，， 则对任意的，，所以，，故，A对； 对于B，，所以，由A可知，，所以，B对； 对于C，，C错； 对于D，因为，所以，D对. 故选：ABD. 5．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知数列的前n项和为，且满足：，则下列结论正确的是（    ） A．数列为等差数列 B． C．数列的前100项和为 D．数列的前10项和为 【答案】BC 【分析】首先由数列的递推公式推导出数列的通项公式，对于A，利用等差数列定义即可排除；对于B，利用等比数列的求和公式易得；对于C，将数列的项展开后分组求和即得；对于D，先由求得，从而将数列的和分成两部分，分别求和或者补项合并求和即可排除. 【详解】由可得，，即， 当时， 两式相减得，，化简得， 显然，当时符合题意，故. 对于A，由不是常数，故A错误； 对于B，由上分析，可知即是等比数列， 因，故B正确； 对于C，数列的前100项和为 ，故C正确； 对于D，由可得，故数列的前10项和为： ,故D错误. 故选：BC 三、解答题 6．（23-24高二下·山西大同·期中）已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求数列与的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式和等比数列通项公式基本量运算求解即可； （2）结合等差数列求和公式和等比数列求和公式，利用分组求和法求解即可. 【详解】（1）设数列的公差为，数列的公比为， 由，所以，求得，所以； 由，得，所以，所以. （2）因为， 所以 . 7．（23-24高二下·河南南阳·期中）已知等比数列是各项均为正数的递增数列，成等差数列，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，列出方程并求出公比，进而求出通项公式. （2）由（1）求出，再利用分组求和法，结合等差、等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）设等比数列的公比为，， 由成等差数列得，即， 而，则，解得， 又，即，解得， 所以. （2）由（1）知，则，，， 所以 . 8．（2024·陕西宝鸡·三模）已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项和． 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）由等差数列、等比数列基本量的计算求得即可； （2）得到表达式后，发现（），故由分组求和法即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可知，，即，解得， 所以； （2）由（1）可知，， 对于任意，有， 所以， 故数列的前2024项和为 ． 9．（23-24高二下·海南海口·期末）已知函数，将函数的所有零点按从小到大的顺序排成一列，得到一个无穷数列：记. (1)求函数的最大值和最小值； (2)求的值； (3)设数列的前项和为，证明：对于任意正整数，. 【答案】(1)的最大值和最小值分别为； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）先利用三角恒等变换化简函数式，再利用三角函数的图象与性质计算最值即可； （2）根据三角函数的对称性得出，再利用诱导公式计算即可； （3）同上可先计算，再根据三角函数的周期性得出数列也具有周期性，且奇数项与偶数项分别相同，即可证明. 【详解】（1）由 得， 显然由三角函数的性质可知：； （2） 如上图所示，作出函数大致图象， 令，即的对称轴为， 所以时有，即， 则； （3）由上可知的最小正周期为，则结合图象知， 即， 则； 由函数周期性可知， 故， 所以，即，证毕. 【点睛】思路点睛：利用对称性及周期性得出函数相邻零点的关系，结合诱导公式计算即可. 题型四 裂项相消法求和 一、填空题 1．（2022高三·全国·专题练习）记Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝1－an，记Tn＝a1a3＋a3a5＋…＋a2n－1a2n＋1，则an＝ ，Tn＝ . 【答案】 【分析】利用关系求{an}的通项公式，根据等比数列的性质求{a2n－1a2n＋1}的通项公式，应用等比数列前n项和公式求Tn. 【详解】由题意，有a1＝1－a1，故a1＝. 当n≥2时，由，得an＝－an＋an－1，则＝， ∴{an}是首项、公比均为的等比数列，故数列{an}的通项公式为an＝. 由等比数列的性质得a1a3＝，a3a5＝，…，a2n－1a2n＋1＝， ∴数列{a2n－1a2n＋1}是首项、公比均为的等比数列，则Tn＝＋＋…＋＝＝. 故答案为：，. 二、解答题 2．（2024·四川凉山·三模）如图，点均在x轴的正半轴上，，…，分别是以，，…，（）为边长的等边三角形，且顶点均在函数的图象上．    (1)求，，的值，并写出的通项公式（不用证明）； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，，； (2) 【分析】（1）结合图象，通过计算点的坐标，依次求出，推测出数列通项,再运用等差数列的定义证明为等差数列，求出其通项； （2）写出的表达式并化简，运用裂项相消法求和即得. 【详解】（1）第一个等边三角形顶点坐标代入得， 将点坐标代入，解得， 将点坐标代入解得，故推测：. 下面提供证明： 依题意，点，（）在上， 可得，①； 又在上， 可得，②， 由②-①，，因，则得，，（）， 即为首项是，公差是的等差数列，故. （2）由（1）得， 故 ． 3．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知等差数列的公差不为0，其前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意列方程组算出即可； （2）由裂项相消法求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，则，解得，． ∴． （2）由（1）知，， ∴， ∴． 4．（2024·宁夏吴忠·模拟预测）已知数列的前项和满足，且． (1)求数列的前项和； (2)求数列的通项公式； (3)记，为前项和，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用等差数列的定义求出通项； （2）利用前项和公式求数列通项； （3）利用裂项相消法求和. 【详解】（1）由已知， 数列是公差为的等差数列，且首项， ，即. （2）由（1）知当时，， 又也满足上式，． （3）由（2）知，， 5．（23-24高二下·贵州安顺·期末）若数列是等差数列，且满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前99项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的通项公式，求得公差，进而得到所求. （2）由（1）的结论，利用裂项相消求和即可得解. 【详解】（1）等差数列中，，则公差，因此， 所以数列的通项公式为. （2）由（1）知，， 所以. 6．（23-24高二下·河南南阳·期末）意大利人斐波那契在1202年写的《算盘书（Libe rAbaci）》中提出一个兔子繁殖问题：假设一对刚出生的小兔一个月后能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，此后每个月生一对小兔，这种成长与繁殖过程会一直持续下去.设第个月的兔子对数为，则，观察数列的规律，不难发现，，我们称该数列为斐波那契数列. (1)若数列是斐波那契数列，求出和的值，并证明. (2)若数列是斐波那契数列，且，求证：数列是等比数列； (3)若数列是斐波那契数列，在（2）的条件下，求数列的前项和. 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）直接按照斐波那契数列的定义来求解即可； （2）结合斐波那契数列的定义、等比数列的定义直接证明即可； （3）首先得出，思路一：直接由等比数列求和公式即可求解；思路二：由累加法求和即可得解；思路三：由裂项求和法即可得解. 【详解】（1）. ； （2）因为， 所以 . ，即， 即，所以是以为首项，为公比的等比数列. （3）由（2）得. 即， 令，化简得， ， 因为，所以， 即是以为首项，为公比的等比数列， 故， 即； 法一： ； 法二：由得， ， ， ， ， 累加得，， 即， 所以，. 法三： 利用 .. 【点睛】关键点点睛：第三问的关键是得出，由此即可顺利得解. 7．（2024·天津南开·二模）已知是等差数列，公差，，且是与的等比中项. (1)求的通项公式 (2)数列满足，且. （ⅰ）求的前n项和. （ⅱ）是否存在正整数m，n（），使得，，成等差数列，若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）存在，，． 【分析】（1）由等差中项得到，由等比中项得到，解出，求得的通项公式； （2）（ⅰ）根据，由累加法得到数列的通项公式进而得到数列的通项公式，裂项相消法求和； （ⅱ）假设存在，分别表示出，，，由等差中项得到，得到或，解得，符合题意. 【详解】（1）因为为等差数列，且，所以． 又是与的等比中项，所以，即． 化简得，解得或（舍）， 所以． （2）（i）由，得，所以（），又， 当时， ， 又也适合上式，所以， 则， 所以． （ⅱ）假设存在正整数m，n，使得，，成等差数列， 则，即，整理得， 显然是25的正约数，又，则或， 当，即时，与矛盾； 当，即时，，符合题意， 所以存在正整数使得，，成等差数列，此时，． 【点睛】方法点睛：裂项相消法求和常见的裂项方法 （1），特别地当时，； （2），特别地当时，； （3） （4） （5） 题型五 错位相减法求和 1．（2024·黑龙江牡丹江·一模）设，若数列的前项和为，且是与的等差中项； (1)求数列的通项公式； (2)若是以为首项，为公差的等差数列，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，在根据，作差得到，结合等比数列的定义计算可得； （2）依题意可得，则，再利用错位相减法计算可得. 【详解】（1）因为是与的等差中项，可得， 当时，可得，解得， 当时，由，可得， 两式相减可得， 即为， 可得数列是首项和公比均为的等比数列， 所以； （2）若是以为首项，为公差的等差数列， 则， 可得， 数列的前项和， ， 两式相减可得 ， 化简可得． 2．（23-24高二上·江苏南京·期末）设数列的前项和为，且，其中． (1)证明为等差数列，求数列的通项公式； (2)求数列的前项和 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，可得所求； （2）利用数列的错位相减，可得结果. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，由， 得， 作差得. 所以有，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列 所以，故 （2）令 所以， ， 两式作差得 所以 3．（23-24高二下·海南·期中）设数列的前项和为，满足. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据和的关系求解即可； （2）先求出的通项，再利用错位相减的方法求和即可. 【详解】（1），. 当时，，解得， 当时，， . 数列是以3为首项，3为公比的等比数列， . （2）， ， ， 两式相减得， ， 即. 4．（24-25高三上·全国·单元测试）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由整理得，故为常数列，由题得，整理后即可求解. （2）由错位相减法和分组求和法即可求解. 【详解】（1）由， 得， 故，由此可得为常数列， 又，则， 即． （2）由（1）知， 由等差数列求和公式，知，记， 记， 则， 两式相减得， 故， 所以的前项和. 5．（23-24高二下·安徽池州·期中）在等差数列中，且，，构成公比不为1的等比数列 (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得及，即，解出可得的通项公式. （2）由题可得，由通项及前项和的关系式可得，结合（1）的结论可得，利用错位相减法可求得. 【详解】（1）设数列等差数列的公差为， 为等差数列，且， ， 构成公比不为1的等比数列， ， ， 解得或(舍). ∴. （2）因为， 当时，即， 当时， 所以， 由（1）知，， 当时也成立， 所以， 所以， ， 两式相减得， ， 所以. 6．（23-24高二下·宁夏吴忠·期中）已知数列满足，． (1)求证：数列是等比数列； (2)设求的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据已知条件及等比数列的定义即可求解； （2）根据（1）的结论及等比数列的通项公式，利用数列求和中的错位相减法即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，即， 又因为， 所以， 所以， 故数列是以首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可知，，即， 所以. 所以 由，得 ， 所以. 故的前项和为. 7．（2024·全国·模拟预测）已知数列满足是等差数列，是等比数列. (1)证明：； (2)记的前项和为，若对于任意，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据数列是等差数列得，数列是等比数列得，消掉即可证明； （2）由（1）得数列的公差为，首项为，即，然后通过错位相减求得，再根据及的单调性即可求解的取值范围. 【详解】（1）因为数列是等差数列， 所以. 因为数列是等比数列， 所以，，且. 消去，得. 所以或. 若，则，且数列的公差， 所以，即，矛盾. 所以. （2）由（1）得数列的公差为，首项为. 所以，， 所以. 两边同时乘以，得. 两式相减，得. 所以. 由，，易得， 所以，单调递增，. 又，所以，即. 所以且，解得. 故的取值范围是. 8．（23-24高二上·江苏南京·期末）已知正项数列满足，且 (1)求数列的通项公式； (2)若的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对已知等式分解因式化简可得，则数列是以3为公比，3为首项的等比数列，从而可求出其通项公式； （2）由（1）得，然后利用错位相减法可求出. 【详解】（1）由，得， 因为，所以，即， 因为， 所以数列是以3为公比，3为首项的等比数列， 所以； （2）由（1）得， 所以， 所以， 所以 ， 所以. 9．（2024·河南·三模）已知等差数列满足，． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式计算得出通项； （2）应用错位相减法求出数列的和. 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由题意可得，解得， 所以． （2）设， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以，所以． 题型六 绝对值求和 一．选择题（共1小题） 1．（秦州区校级模拟）已知是首项为32的等比数列，是其前项和，且，则数列前10项和为　　 A．60 B．58 C．56 D．45 【分析】由是首项为32的等比数列，是其前项和，且，求出，可得，再求数列前10项和． 【解答】解：是首项为32的等比数列，是其前项和，且， ， ， ， ， 数列前10项和为， 故选：． 【点评】本题考查等比数列的通项与求和，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，比较基础． 二．多选题（共1小题） 2．（2023秋•河南月考）已知为数列前项和，则下列结论成立的有　　 A．若数列为等比数列，且，则数列为等差数列 B．若数列为等差数列，若，则 C．若数列为等差数列，其前10项中，偶数项的和与奇数项的和之比为，且，则公差为2 D．若数列满足，且，则该数列的前100项和 【分析】利用等差数列与等比数列的定义及性质可判断选项，根据所给数列表达式，找出规律求出即可． 【解答】解：选项：依题意，设等比数列的公比为， 为常数， 数列为等差数列，故正确； 选项：数列为等差数列，设公差为，首项为， 则，， 又，即， 化简可得，则， ，所以， 故正确； 选项：等差数列的前10项中， 偶数项的和为， 奇数项的和为， 又偶数项的和与奇数项的和之比为， 且，则 解得，所以，故正确； 选项：因为，所以，， ， 数列依次为：2，1，1，0，1，1，0，， 数列从第2项起，周期为3， 数列的前100项的和为， 故错误． 故选：． 【点评】本题主要考查等差数列和等比数列，属于中档题． 三．填空题（共1小题） 3．数列的通项公式，则　162　． 【分析】易知当时，数列单调递减，当时，数列单调递增；从而讨论去绝对值号，从而化简求和． 【解答】解：由对勾函数的性质知， 当时，数列单调递减， 当时，数列单调递增； 故 ， 故答案为：162． 【点评】本题考查了数列的性质的判断与应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题． 四．解答题（共1小题） 4．（2020春•岳麓区校级期末）设等差数列的公差为，前项和为，已知，，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． 【分析】（1）由题意可得，且，由等差数列的通项公式，解不等式可得公差，进而得到所求通项公式； （2）求得，讨论当时，当时，结合数列中的项的符号和等差数列的求和公式，可得所求和． 【解答】解：（1）由，，，可得，且， 即有，且，解得， 因为为整数，所以， 则； （2）， 当时，，； 当时，，； 所以． 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查分类讨论思想和运算能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$