广东省广州市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-03函数

广东省广州市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-03函数 一．选择题（共20小题） 1．（2024•越秀区二模）已知二次函数y＝x2+（a﹣4）x+a﹣5（a为常数）的图象经过（﹣m，n）和（m，n）两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（0，﹣5） D．（0，4） 2．（2024•越秀区二模）如图，抛物线y（x﹣t）（x﹣t+6）与直线y＝x﹣1有两个交点，这两个交点的纵坐标为m、n．双曲线y的两个分支分别位于第二、四象限，则t的取值范围是（　　） A．t＜0 B．0＜t＜6 C．1＜t＜7 D．t＜1或t＞6 3．（2024•广州二模）反比例函数的图象的每一支上，y随着x的减小而增大，那么m的取值范围（　　） A．m＞4 B．m＜4 C．m＜0 D．m＞0 4．（2024•白云区二模）定义新运算：a⊗b，例如．，则y＝x⊗2的大致图象是（　　） A． B． C． D． 5．（2024•黄埔区二模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 6．（2024•越秀区二模）如图，抛物线与抛物线交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论： ①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ②无论x取何值，y2总是负数； ③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小； ④四边形AECD为正方形．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2024•越秀区二模）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为﹣2，当y1≥y2时，x的取值范围是（　　） A．x≤﹣2或x≥1 B．x≤﹣2或0＜x≤1 C．﹣2≤x＜0或x≥1 D．﹣2≤x＜0或0＜x≤1 8．（2024•南沙区二模）如图1，在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，AB∥x轴，．点P从B点出发，以1cm/s的速度沿边BA匀速运动，点Q从点A出发，沿线段AO﹣OC﹣CB匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2），已知S与t之间的函数关系如图2中的曲线段OE、线段EF与曲线段FG．下列说法正确的是（　　） ①点Q的运动速度为3cm/s； ②点B的坐标为（9，18）； ③线段EF段的函数解析式为； ④曲线FG段的函数解析式为； ⑤若△BPQ的面积是四边形OABC的面积的，则时间． A．①②③④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 9．（2024•越秀区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）的图象上有四点A（﹣1，y1），B（3，y1），C（2，y2），D（﹣2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＝y3＜y1 10．（2024•海珠区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式的解集为0＜x＜2．其中正确结论的是（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①④ 11．（2024•天河区二模）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（2，4），则此图象一定经过点（　　） A．（1，3） B．（﹣2，﹣4） C．（4，2） D．（﹣4，﹣2） 12．（2024•黄埔区二模）如图，在▱ABCD中，AB∥x轴，点B、D在反比例函数y（k≠0）的图象上，若▱ABCD的面积是8，则k的值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 13．（2024•天河区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列选项中不正确的是（　　） A．a＜0 B．b＝2a C．b2﹣4ac＞0 D．a+b+c＜0 14．（2024•增城区二模）某种电器的电阻R（单位：Ω）为定值，使用此电器时，电压U（单位：V）与电流I（单位：A）是正比例函数关系．当U＝40时，I＝8，则当U＝50时，I的值是（　　） A．4 B．5 C．10 D．15 15．（2024•越秀区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在函数y（x＞0），y（x＜0）的图象上，AB∥x轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若△ABC的面积为8，，则k的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 16．（2024•增城区二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，交y轴于点（0，﹣1），有如下结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③A（﹣3，y1），都在该函数的图象上，则y1＞y2；④关于x的不等式ax2+bx+c+1＞0的解集为x＞0或x＜﹣2．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．（2024•越秀区二模）关于一次函数yx﹣1，下列说法正确的是（　　） A．图象经过第二、三、四象限 B．当x＜3时，y＞0 C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．图象与y轴交于点（0，﹣1） 18．（2024•增城区二模）下列各点在函数y＝2x﹣1图象上的是（　　） A．（﹣1，3） B．（0，1） C．（1，﹣1） D．（2，3） 19．（2024•海珠区二模）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论： ①AB＝24m； ②池底所在抛物线的解析式为； ③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的． 其中结论正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 20．（2024•番禺区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连接AB，，则k的值为（　　） A．3 B．3 C．4 D．6 二．填空题（共15小题） 21．（2024•白云区二模）已知一次函数y＝（k+2）x+b（k，b是常数）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若当x1＜x2时，y1＞y2，则k的取值范围是 　 　． 22．（2024•番禺区二模）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿着A→B→C的方向运动，到达点C后停止．设P点的运动时间为x，AP的长度为y，图2是y与x的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是 　 　． 23．（2024•黄埔区二模）二次函数y＝ax2+bx+c图象过点A（3，4），B（m，4）对称轴为直线x＝﹣1，则m＝　 　． 24．（2024•越秀区二模）已知：是反比例函数，则m＝　 　． 25．（2024•海珠区二模）若点P（﹣3，2）关于原点的对称点在反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为 　 　． 26．（2024•越秀区二模）如图，一束光线从点A（﹣4，10）出发，经过y轴上的点B（0，2）反射后经过点C（m，n），则2m﹣n的值是 　 　． 27．（2024•荔湾区二模）已知反比例函数，当x≥1时，y的取值范围是 　 　． 28．（2024•黄埔区二模）已知一次函数y＝（k﹣2）x﹣k+1不过第一象限，则k的取值范围是 　 　． 29．（2024•广州二模）点P（m+2，m﹣1）在坐标轴上，则点P的坐标是 　 　． 30．（2024•广州二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．当⊙O的半径为2时，在点，中，⊙O的关联点是 　 　；点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的关联点，则点P的横坐标x的取值范围是 　 　． 31．（2024•海珠区二模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围为 　 　． 32．（2024•广州二模）函数y中，自变量x的取值范围是 　 　． 33．（2024•越秀区二模）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝　 　． 34．（2024•越秀区二模）若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，4）、B（x1+x2，n）、C（x2，4），则n的值为 　 　． 35．（2024•越秀区二模）反比例函数y的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是　 　． 三．解答题（共10小题） 36．（2024•南沙区二模）已知抛物线y＝ax2﹣x﹣1和直线y＝kx﹣2k，抛物线的顶点为M． （1）若抛物线与x轴有两个交点，求实数a的取值范围； （2）存在实数x0＞2，使得当x＝x0时，ax2﹣x﹣1＜3x﹣6，并且存在实数k，使ax2﹣x﹣1＞kx﹣2k对于任意实数x都成立，求a的取值范围； （3）已知直线y＝kx﹣2k与抛物线y＝ax2﹣x﹣1交于A（x1，y1），B（x2，y2），且． ①求a的取值范围； ②求抛物线的顶点M到直线y＝kx﹣2k距离的最小值． 37．（2024•南沙区二模）如图，一次函数y1＝﹣x﹣1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数图象的一个交点为M（﹣2，m）． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△MOB的面积． 38．（2024•荔湾区二模）如图所示，矩形OABD的边OA在x轴上，OD在y轴上，点B的坐标是反比例函数的图象经过点B，以点A为圆心，AO为半径作交边BD于点C，连接OC． （1）求反比例函数的解析式． （2）求∠OAC的度数． （3）请直接写出图中阴影部分的面积． 39．（2024•越秀区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a≠0）． （1）求抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4的顶点坐标； （2）当﹣1≤x≤5时，y的最大值为12； ①请求出a的值； ②若A（m，y1），B（m+t，y2）是抛物线上两点，其中t＞0，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为4，直接写出t的取值范围． 40．（2024•黄埔区二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n所在直线AB与反比例函数的图象在第一象限内交于A（a，4）和B（4，b）两点，连接OA，把OA沿x轴向右平移3个单位长度得到线段CD，CD恰好过点B且点C（5，c）． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）求梯形AODB的面积． 41．（2024•南沙区二模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 素材1：如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动．已知OA＝OC＝12cm，BC＝28cm，一个100g的砝码． 素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点P至点B，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长12cm时，天平平衡． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP．（不计托盘与横梁重量） 任务1：设右侧托盘放置y（g）物体，OP长x（cm），求y关于x的函数表达式，并求出y的取值范围． 任务2：求这个空矿泉水瓶的重量． 42．（2024•白云区二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点C（n，4），正方形ABCD的顶点A，B分别落在y轴和x轴上． （1）求k，n的值； （2）求∠ABO的正切值． 43．（2024•白云区二模）已知抛物线y＝x2+mx﹣（m+1）． （1）当m＝﹣4时，求抛物线与x轴交点的坐标； （2）抛物线的顶点为A． ①若当x＜0时，都有y随x的增大而减小，求此时顶点A的纵坐标的取值范围； ②抛物线与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C，直线AB与x轴交于点D，抛物在①的条件下，求△AOD的面积S1与△BCD的面积S2满足的数量关系． 44．（2024•黄埔区二模）为满足市场需求，某超市购进一种水果，每箱进价是40元．超市规定每箱售价不得少于45元且不得多于55元，根据以往经验发现：当售价定为每箱45元时，每天可以卖出700箱．每箱售价每提高1元，每天要少卖出20箱． （1）如果超市想要每天获得的利润为5120元，则售价定为多少元？ （2）当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润y（元）最大？最大利润是多少？ 45．（2024•黄埔区二模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），C，D两点的坐标分别为（﹣4，5），（0，5）． （1）求A，B两点的坐标； （2）若二次函数y＝ax2+2ax﹣3a的图象经过点C，且与平行于x轴的直线l始终有两个交点M，N（点M在点N的左侧），P为该抛物线上异于M，N的一点，点N，P的横坐标分别为n，n+2．当n的值发生变化时，∠PMN的度数是否也发生变化？若变化，请求出∠PMN度数的范围；若不变，请说明理由； （3）若二次函数y＝ax2+2ax﹣3a的图象与线段CD只有一个交点，求a的取值范围． 广东省广州市2024年中考数学二模试题按知识点分层汇编-03函数 参考答案与试题解析 一．选择题（共20小题） 1．（2024•越秀区二模）已知二次函数y＝x2+（a﹣4）x+a﹣5（a为常数）的图象经过（﹣m，n）和（m，n）两点，则二次函数与y轴的交点坐标为（　　） A．（0，1） B．（0，﹣1） C．（0，﹣5） D．（0，4） 【解答】解：∵（﹣m，n）和（m，n）两点关于抛物线对称轴对称， ∴抛物线对称轴为直线x＝0， ∴0， 解得a＝4， ∴a﹣5＝﹣1， ∴二次函数与y轴的交点坐标为（0，﹣1）， 故选：B． 2．（2024•越秀区二模）如图，抛物线y（x﹣t）（x﹣t+6）与直线y＝x﹣1有两个交点，这两个交点的纵坐标为m、n．双曲线y的两个分支分别位于第二、四象限，则t的取值范围是（　　） A．t＜0 B．0＜t＜6 C．1＜t＜7 D．t＜1或t＞6 【解答】解：双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，则mn＜0， 设抛物线与直线的两个交点为M、N，其纵坐标分别为m、n，则两个交点的位置如图所示， 设抛物线交x轴于点A、B，则点A、B的坐标分别为：（t﹣6，0）、（t，0）， 分别过点A、B作y轴的平行线，分别交直线于点A′、B′， 则点A′、B′的坐标分别为：（t﹣6，t﹣7）、（t，t﹣1）， 从图象看，点A′在点M之上，点B′在点N之上， 即t﹣7＞m，t﹣1＞n， 则7﹣t＜﹣m，1﹣t＜﹣n， 故（7﹣t）（1﹣t）＜mn＜0， 解得：1＜t＜7， 故选：C． 3．（2024•广州二模）反比例函数的图象的每一支上，y随着x的减小而增大，那么m的取值范围（　　） A．m＞4 B．m＜4 C．m＜0 D．m＞0 【解答】解：∵在反比例函数图象的每一支上，y都随x的减小而增大， ∴反比例函数图象在第一、三象限， ∴4﹣m＞0， ∴m＜4， 故选：B． 4．（2024•白云区二模）定义新运算：a⊗b，例如．，则y＝x⊗2的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当x≥0时，y为一次函数， 当x＜0时，y为反比例函数， 故选：C． 5．（2024•黄埔区二模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1与的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：当k＞0时，函数y＝kx+1的图象经过一、二、三象限，反比例函数y的图象分布在一、三象限，选项A符合题意； 当k＜0时，函数y＝kx+1的图象经过一、二、四象限，反比例函数y的图象分布在二、四象限，没有正确选项． 故选：A． 6．（2024•越秀区二模）如图，抛物线与抛物线交于点B（1，﹣2），且分别与y轴交于点D，E．过点B作x轴的平行线，交抛物线于点A，C．则以下结论： ①抛物线H可由抛物线G向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； ②无论x取何值，y2总是负数； ③当﹣3＜x＜1时，随着x的增大，y1﹣y2的值先增大后减小； ④四边形AECD为正方形．其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：抛物线与抛物线交于点B（1，﹣2），代入得： ﹣2＝a（1+1）2+2， 解得：a＝﹣1， ∴y＝﹣（1+1）2+2， ①∵抛物线l1的顶点为（﹣1，2），抛物线的顶点为（2，﹣1）， ∴l2可由l1向右平移3个单位，再向下平移3个单位得到； 故①正确； ②∵（x﹣2）2≥0， ∴﹣（x﹣2）2≤0， ∴y2＝﹣（x﹣2）2﹣1≤﹣1＜0， ∴无论x取何值，y2总是负数； 故②正确； ③∵y1﹣y2＝﹣（x+1）2+2﹣[﹣（x﹣2）2﹣1]＝﹣6x+6， ∴随着x的增大，y1﹣y2的值减小； 故③错误； ④设AC与DE交于点F， ∵当y＝﹣2时，﹣（x+1）2+2＝﹣2， 解得：x＝﹣3或x＝1， ∴点A（﹣3，﹣2）， 当y＝﹣2时，﹣（x﹣2）2﹣1＝﹣2， 解得：x＝3或x＝1， ∴点C（3，﹣2）， ∴AF＝CF＝3，AC＝6， 当x＝0时，y1＝1，y2＝﹣5， ∴DE＝6，DF＝EF＝3， ∴四边形AECD为平行四边形， ∴AC＝DE， ∴四边形AECD为矩形， ∴AC⊥DE， ∴四边形AECD为正方形． 故④正确． 故选：C． 7．（2024•越秀区二模）如图，一次函数y1＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为﹣2，当y1≥y2时，x的取值范围是（　　） A．x≤﹣2或x≥1 B．x≤﹣2或0＜x≤1 C．﹣2≤x＜0或x≥1 D．﹣2≤x＜0或0＜x≤1 【解答】解：由所给函数图象可知， 当﹣2≤x＜0或x≥1时，一次函数的图象不在反比例函数图象的下方，即y1≥y2， 所以当y1≥y2时，x的取值范围是：﹣2≤x＜0或x≥1． 故选：C． 8．（2024•南沙区二模）如图1，在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，AB∥x轴，．点P从B点出发，以1cm/s的速度沿边BA匀速运动，点Q从点A出发，沿线段AO﹣OC﹣CB匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t（s），△BPQ的面积为S（cm2），已知S与t之间的函数关系如图2中的曲线段OE、线段EF与曲线段FG．下列说法正确的是（　　） ①点Q的运动速度为3cm/s； ②点B的坐标为（9，18）； ③线段EF段的函数解析式为； ④曲线FG段的函数解析式为； ⑤若△BPQ的面积是四边形OABC的面积的，则时间． A．①②③④⑤ B．①③④ C．①③⑤ D．①③④⑤ 【解答】解：由题意可得， 当时间为3秒时，△BPQ的面积的函数关系式改变，则Q在AO上运动3秒， 当时间为3秒时，BP＝3cm，此时△BPO的面积为13.5cm2， ∴AO为9cm， ∴点Q的运动速度为：9÷3＝3（cm/s）， 故①正确； 当运动到5秒时，函数关系式改变， 则CO＝3×（5﹣3）＝6cm， 过C作CP⊥AB于点P， ∴四边形AOCP是矩形， ∴OA＝CP＝9cm，AP＝OC＝6cm， ∵cosB， ∴tanB，BP＝12cm， 由cosB，则BC＝15cm， ∴AB＝AP+BP＝6+12＝18（cm）， ∴B（18，9），故②错误； 当点Q在OC上时，如图，OQ⊥AB于点M ∴SBP×QM9t， 故③正确； 如图，PB＝t， BQ＝OA+OC+BC﹣3t＝9+6+15﹣3t＝30﹣3t（cm）， 过点Q作QN⊥AB于点N， 由cosB得sinB， 则QN＝BQsinB（30﹣3t）＝18t， ∴S△PBQt（18t）t2+9t（5≤t≤10）， 即曲线FG段的函数解析式为：St2+9t（5≤t≤10）， 故④正确； ∵S梯形OABC（6+18）×9＝108， ∴S108＝12， 当0＜t＜3时，St2， 当St2＝12时，t＝2或﹣2（舍去）， 当5≤t≤10时，12t2+9t， 解得 t或（舍去）， ∴t＝2或 t，△BPO的面积是四边形OABC的面积的，故⑤错误， 综上可知①③④正确． 故选：B． 9．（2024•越秀区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）的图象上有四点A（﹣1，y1），B（3，y1），C（2，y2），D（﹣2，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y2＝y3＜y1 【解答】解：依题意，A（﹣1，y1），B（3，y1），在二次函数y＝ax2+bx+c（a为常数，且a＜0）的图象上， ∴对称轴为直线，抛物线开口向下， ∵2﹣1＝1，1﹣（﹣2）＝3， ∴点C（2，y2）到对称轴的距离为1，点D（﹣2，y3）到对称轴的距离为3，点B（3，y1）到对称轴的距离为2， ∴y3＜y1＜y2， 故选：C． 10．（2024•海珠区二模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式的解集为0＜x＜2．其中正确结论的是（　　） A．①② B．②③ C．①③④ D．①④ 【解答】解：由题意可得，a＞0，c＞0，， ∴b＜0， ∴abc＜0， 故结论①正确，符合题意； 由图可知，当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0， 故结论②不正确，不符合题意； 将（2，0）代入y＝ax2+bx+c， 得4a+2b+c＝0， ∴b＝﹣2ac，a， ∵a+b+c＜0， ∴a﹣2ac+c＜0， ∴2a﹣c＞0， ∴2（）﹣c＞0， ∴﹣b0， 即2b+3c＜0， 故结论③正确，符合题意； 设y1＝ax2+bx+c，y2， 可知y1＝ax2+bx+c与y2的图象都过点（0，c），（2，0），如图， 由图可知，y1＜y2时，0＜x＜2， ∴不等式的解集为0＜x＜2， 故结论④正确，符合题意． 综上所述，正确结论的是①③④． 故选：C． 11．（2024•天河区二模）正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（2，4），则此图象一定经过点（　　） A．（1，3） B．（﹣2，﹣4） C．（4，2） D．（﹣4，﹣2） 【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点A（2，4）， ∴4＝2k， 解得：k＝2， ∴正比例函数解析式为y＝2x． A．当x＝1时，y＝2×1＝2，2≠3， ∴点（1，3）不在正比例函数y＝2x的图象上，选项A不符合题意； B．当x＝﹣2时，y＝2×（﹣2）＝﹣4，﹣4＝﹣4， ∴点（﹣2，﹣4）在正比例函数y＝2x的图象上，选项B符合题意； C．当x＝4时，y＝2×4＝8，8≠2， ∴点（4，2）不在正比例函数y＝2x的图象上，选项C不符合题意； D．当x＝﹣4时，y＝2×（﹣4）＝﹣8，﹣8≠﹣2， ∴点（﹣4，﹣2）不在正比例函数y＝2x的图象上，选项D不符合题意． 故选：B． 12．（2024•黄埔区二模）如图，在▱ABCD中，AB∥x轴，点B、D在反比例函数y（k≠0）的图象上，若▱ABCD的面积是8，则k的值是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【解答】解：连接OB， ∵四边形ABCD是平行四边形，▱ABCD的面积是8， ∴△ABC的面积的面积，AB＝CD，AB∥CD， ∴点B、D横坐标互为相反数， ∴点B、D纵坐标也互为相反数， 又∵AB∥x轴，AB∥CD， ∴OA＝OC， ∴， ∴k＝2S△AOB＝S△ABC＝4， 故选：B． 13．（2024•天河区二模）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，则下列选项中不正确的是（　　） A．a＜0 B．b＝2a C．b2﹣4ac＞0 D．a+b+c＜0 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， 故选项A正确，不符合题意； ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴b＝2a， 故选项B正确，不符合题意； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点， ∴y＝ax2+bx+c有两个不相等的实数根， ∴b2﹣4ac＞0， 故选项C正确，不符合题意； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴为直线 x＝﹣1，经过点（﹣3，0）， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（1，0）， ∴a+b+c＝0， 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 14．（2024•增城区二模）某种电器的电阻R（单位：Ω）为定值，使用此电器时，电压U（单位：V）与电流I（单位：A）是正比例函数关系．当U＝40时，I＝8，则当U＝50时，I的值是（　　） A．4 B．5 C．10 D．15 【解答】解：由题意知：I， ∴R5（Ω）， ∴当U＝50时，I10（A）， 故选：C． 15．（2024•越秀区二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在函数y（x＞0），y（x＜0）的图象上，AB∥x轴，点C是y轴上一点，线段AC与x轴正半轴交于点D．若△ABC的面积为8，，则k的值为（　　） A．2 B．4 C．﹣2 D．﹣4 【解答】解：如图，过点A、点B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M、N， ∵点A，B分别在函数y（x＞0），y（x＜0）的图象上， 由反比例函数系数k的几何意义可知， ∴S矩形AEOM＝6，S矩形OEBN＝|k|＝﹣k， 又∵，而S△ABC＝8， ∴S△ADB＝5， ∵S△ADBS矩形ABNM， ∴S矩形ABNM＝2S△ADB＝10， ∴S矩形OEBN＝10﹣6＝4＝﹣k， ∴k＝﹣4， 故选：D． 16．（2024•增城区二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣1，交y轴于点（0，﹣1），有如下结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③A（﹣3，y1），都在该函数的图象上，则y1＞y2；④关于x的不等式ax2+bx+c+1＞0的解集为x＞0或x＜﹣2．其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 即1， ∴b＝2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点为（0，﹣1）， ∴c＝﹣1＜0， ∴abc＜0，所以①正确； ∵x＝1时，y＞0， ∴a+b+c＞0， ∴a+2a+c＞0， 即3a+c＞0，所以②正确； ∵点A（﹣3，y1）到直线x＝﹣1的距离小于点B（，y2）到直线x＝﹣1的距离， 而抛物线开口向上， ∴y1＜y2，所以③错误； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（0，﹣1）， ∴抛物线经过点（﹣2，﹣1）， 即抛物线与直线y＝﹣1相交于（0，﹣1），（﹣2，0）， ∴当x＜﹣2或x＞0时，ax2+bx+c＞﹣1， ∴关于x的不等式ax2+bx+c+1＞0的解集为x＞0或x＜﹣2，所以④正确． 故选：C． 17．（2024•越秀区二模）关于一次函数yx﹣1，下列说法正确的是（　　） A．图象经过第二、三、四象限 B．当x＜3时，y＞0 C．函数值y随自变量x的增大而减小 D．图象与y轴交于点（0，﹣1） 【解答】解：abc＞0，b＝﹣1＜0， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项A不符合题意； abc＞0， ∴函数值y随自变量x的增大而增大， 当x＜3时，y＜0 选项B，C不符合题意； 当x＝0时，y＝﹣1， ∴图象与y轴交于点（0，﹣1），选项D符合题意． 故选：D． 18．（2024•增城区二模）下列各点在函数y＝2x﹣1图象上的是（　　） A．（﹣1，3） B．（0，1） C．（1，﹣1） D．（2，3） 【解答】解：A．当x＝﹣1时，y＝2×（﹣1）﹣1＝﹣3， ∴点（﹣1，3）不在函数y＝2x﹣1图象上； B．当x＝0时，y＝2×0﹣1＝﹣1， ∴点（0，1）不在函数y＝2x﹣1图象上； C．当x＝1时，y＝2×1﹣1＝1， ∴点（1，﹣1）不在函数y＝2x﹣1图象上； D．当x＝2时，y＝2×2﹣1＝3， ∴点（2，3）在函数y＝2x﹣1图象上； 故选：D． 19．（2024•海珠区二模）某池塘的截面如图所示，池底呈抛物线形，在图中建立平面直角坐标系，并标出相关数据（单位：m）．有下列结论： ①AB＝24m； ②池底所在抛物线的解析式为； ③池塘最深处到水面CD的距离为1.8m； ④若池塘中水面的宽度减少为原来的一半，则最深处到水面的距离减少为原来的． 其中结论正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①观察图形可知，AB＝30m， 故①错误； ②设池底所在抛物线的解析式为y＝ax2﹣5， 将（15，0）代入，可得a， 故抛物线的解析式为yx2﹣5； 故②正确； ③∵yx2﹣5， ∴当x＝12时，y＝﹣1.8， 故池塘最深处到水面CD的距离为5﹣1.8＝3.2（m）， 故③错误； ④当池塘中水面的宽度减少为原来的一半，即水面宽度为12 m时， 将x＝6代入yx2﹣5，得y＝﹣4.2， 可知此时最深处到水面的距离为5﹣4.2＝0.8（m）， 即为原来的， 故④正确． 故选：B． 20．（2024•番禺区二模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数（k＞0，x＞0）的图象上，分别以A、B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连接AB，，则k的值为（　　） A．3 B．3 C．4 D．6 【解答】解：由题意，得A（k，1），B（1，k）． ∵AB＝3， ∴由两点距离公式可得：2（k﹣1）2＝18． ∴（k﹣1）2＝9． ∴k＝﹣2或4． 又k＞0， ∴k＝4． 故选：C． 二．填空题（共15小题） 21．（2024•白云区二模）已知一次函数y＝（k+2）x+b（k，b是常数）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），若当x1＜x2时，y1＞y2，则k的取值范围是 　k＜﹣2　． 【解答】解：∵图象上两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2， ∴k+2＜0， ∴k＜﹣2． 故答案为：k＜﹣2． 22．（2024•番禺区二模）如图1，点P从△ABC的顶点A出发，沿着A→B→C的方向运动，到达点C后停止．设P点的运动时间为x，AP的长度为y，图2是y与x的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则△ABC的面积是 　6　． 【解答】解：作AH⊥BC，如图， 当点P到点B处时，y＝5，即AB＝5， 当点P到点H处时AP最短，y＝3，即AH＝3， 当点P到点C处时，y＝6，即AC＝6， 在Rt△ABH中，BH4， 在Rt△ACH中，CH3， ∴S△ABCBC•AH6． 23．（2024•黄埔区二模）二次函数y＝ax2+bx+c图象过点A（3，4），B（m，4）对称轴为直线x＝﹣1，则m＝　﹣5　． 【解答】解：由题意，∵抛物线过A（3，4），B（m，4）， ∴对称轴是直线x1． ∴m＝﹣5． 故答案为：﹣5． 24．（2024•越秀区二模）已知：是反比例函数，则m＝　﹣2　． 【解答】解：因为是反比例函数， 所以x的指数m2﹣5＝﹣1， 即m2＝4，解得：m＝2或﹣2； 又m﹣2≠0， 所以m≠2，即m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 25．（2024•海珠区二模）若点P（﹣3，2）关于原点的对称点在反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为 　　． 【解答】解：点P（﹣3，2）关于原点的对称点是（3，﹣2）， 把（3，﹣2）代入得：k＝﹣6， ∴该反比例函数的解析式为， 故答案为：． 26．（2024•越秀区二模）如图，一束光线从点A（﹣4，10）出发，经过y轴上的点B（0，2）反射后经过点C（m，n），则2m﹣n的值是 　﹣2　． 【解答】解：∵点A（﹣4，10）关于y轴的对称点为A′（4，10）， ∴反射光线所在直线过点B（0，2）和A′（4，10）， 设A'B的解析式为：y＝kx+2，过点A′（4，10）， ∴10＝4k+2， ∴k＝2， ∴A'B的解析式为：y＝2x+2， ∵反射后经过点C（m，n）， ∴2m+2＝n， ∴2m﹣n＝﹣2． 故答案为：﹣2． 27．（2024•荔湾区二模）已知反比例函数，当x≥1时，y的取值范围是 　0＜y≤2　． 【解答】解：∵反比例函数中，k＝2＞0， ∴此函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵当x＝1时，y＝2， ∴当x≥1时，0＜y≤2． 故答案为：0＜y≤2． 28．（2024•黄埔区二模）已知一次函数y＝（k﹣2）x﹣k+1不过第一象限，则k的取值范围是 　1≤k＜2　． 【解答】解：∵一次函数y＝（k﹣2）x﹣k+1不过第一象限， ∴， 解得：1≤k＜2， ∴k的取值范围是：1≤k＜2， 故答案为：1≤k＜2． 29．（2024•广州二模）点P（m+2，m﹣1）在坐标轴上，则点P的坐标是 　（0，﹣3）或（3，0）　． 【解答】解：当点P（m+2，m﹣1）在y轴上， ∴m+2＝0， ∴m＝﹣2， ∴m﹣1＝﹣3， ∴点P的坐标是（0，﹣3）； 当点P（m+2，m﹣1）在x轴上， ∴m﹣1＝0， ∴m＝1， ∴m+2＝3， ∴点P的坐标是（3，0）； 故答案为：（0，﹣3）或者（3，0）． 30．（2024•广州二模）对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下定义：若在图形M上存在一点Q，使得P，Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．当⊙O的半径为2时，在点，中，⊙O的关联点是 　P2　；点P在直线y＝﹣x上，若P为⊙O的关联点，则点P的横坐标x的取值范围是 　或　． 【解答】解：①，， 点P1与⊙O的最小距离为， 点P2与⊙O的最小距离为2﹣1＝1， ∴⊙O的关联点为P2． 设点P的横坐标为a， ∵点P在直线y＝﹣x上， ∴P（a，﹣a）， ， ∵P为⊙O的关联点， ∴1≤OP≤3， ∴，同时平方得：1≤2a2≤9， 整理得：， 当时，解得：，， 当时，解得：，， 如图： ∴P横坐标范围是或． 故答案为：P2，或． 31．（2024•海珠区二模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3，当﹣1≤x≤2时，y的取值范围为 　0≤y≤4　． 【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴该函数图象开口向下，对称轴为直线x＝1， ∵﹣1≤x≤2， ∴当x＝﹣1时，y取得最小值0；当x＝1时，y取得最大值4； ∴当﹣1≤x≤2时，y的取值范围为0≤y≤4， 故答案为：0≤y≤4． 32．（2024•广州二模）函数y中，自变量x的取值范围是 　x≠2　． 【解答】解：由题意得：x﹣2≠0， 解得：x≠2， 故答案为：x≠2． 33．（2024•越秀区二模）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝　9　． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点， ∴方程x2﹣6x+m＝0有唯一解． 即Δ＝b2﹣4ac＝36﹣4m＝0， 解得：m＝9． 故答案为：9． 34．（2024•越秀区二模）若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，4）、B（x1+x2，n）、C（x2，4），则n的值为 　5　． 【解答】解：∵A（x1，4）、C（x2，4）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上， ∴2（x+1）2+3＝4， ∴2x2+4x+1＝0， 根据根与系数的关系得，x1+x2＝﹣2， ∵B（x1+x2，n）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上， ∴n＝2（﹣2+1）2+3＝5， 故答案为5． 35．（2024•越秀区二模）反比例函数y的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大，则k的取值范围是　k＜3　． 【解答】解：∵反比例函数y的图象，当x＞0时，y随x的增大而增大， ∴k﹣3＜0，解得k＜3． 故答案为：k＜3． 三．解答题（共10小题） 36．（2024•南沙区二模）已知抛物线y＝ax2﹣x﹣1和直线y＝kx﹣2k，抛物线的顶点为M． （1）若抛物线与x轴有两个交点，求实数a的取值范围； （2）存在实数x0＞2，使得当x＝x0时，ax2﹣x﹣1＜3x﹣6，并且存在实数k，使ax2﹣x﹣1＞kx﹣2k对于任意实数x都成立，求a的取值范围； （3）已知直线y＝kx﹣2k与抛物线y＝ax2﹣x﹣1交于A（x1，y1），B（x2，y2），且． ①求a的取值范围； ②求抛物线的顶点M到直线y＝kx﹣2k距离的最小值． 【解答】解：（1）依题意ax2﹣x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝1+4a＞0， ∴， 又∵a≠0， ∴且a≠0， （2）①当a＜0时，显然存在实数x0＞2，使， ②当a＞0时，联立， 得ax2﹣4x+5＝0， 当Δ＝16﹣20a＝0时，， 此时， 如图所示， 只需Δ＞0就存在实数x0＞2，使， ∴， 综上：且a≠0， 又∵存在实数k，ax2﹣x﹣1＞kx﹣2k对于任意实数x都成立， 即ax2﹣（k+1）x+2k﹣1＞0恒成立， ∴y＝ax2﹣（k+1）x+2k﹣1的图象恒在x轴的上方， ∴， 即存在实数k使k2+（2﹣8a）k+4a+1＜0且a＞0， ∴Δ＝（2﹣8a）2﹣4（4a+1）＞0， 解得a＜0（舍去）或， ∴， 综上所述：； （3）①联立， 得ax2﹣（k+1）x+2k﹣1＝0， 则，，Δ＝（k+1）2﹣4a（2k﹣1）＞0， ∴（k+1）x1x2＝（2k﹣1）（x1+x2） （∵，，∴，∴﹣bx1x2＝c（x1+x2））， ∵， ∴， 化简得k＝﹣1， ∴k＝﹣1，直线y＝﹣x+2， Δ＝12a＞0，a＞0， 即a的取值范围是a＞0， ②， 顶点为， ∴顶点在直线（x＞0）上， 画图可知直线y＝﹣x+2与直线，（x＞0）的交点在第四象限， ∴抛物线的顶点M到直线y＝kx﹣2k距离的最小值为0． （法二：过点M作直线y＝﹣x+2）的垂线，再化斜为铅垂，同样可以得到最小值为0）． 37．（2024•南沙区二模）如图，一次函数y1＝﹣x﹣1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，与反比例函数图象的一个交点为M（﹣2，m）． （1）求反比例函数的解析式； （2）求△MOB的面积． 【解答】解：（1）∵M（﹣2，m）在一次函数y1＝﹣x﹣1的图象上， ∴m＝﹣（﹣2）﹣1＝2﹣1＝1， ∴M的坐标是（﹣2，1），把M的坐标代入， ∴1， ∴k＝﹣2， 即反比例函数的解析式是：； （2）y1＝﹣x﹣1，当x＝0时，y1＝﹣1， 即B的坐标是（0，﹣1），所以OB＝1， ∵M（﹣2，1）， ∴点M到OB的距离是2， ∴△MOB的面积． 38．（2024•荔湾区二模）如图所示，矩形OABD的边OA在x轴上，OD在y轴上，点B的坐标是反比例函数的图象经过点B，以点A为圆心，AO为半径作交边BD于点C，连接OC． （1）求反比例函数的解析式． （2）求∠OAC的度数． （3）请直接写出图中阴影部分的面积． 【解答】解：（1）把点 代入 ，得 ． ∴反比例函数的解析式是． （2）∵矩形 OABD中， ∴OA＝BD＝2，，∠B＝∠ODC＝90°， 由题意知AC＝AO＝2． 由勾股定理得， ∴CD＝2﹣1＝1． 由勾股定理得， ∴AO＝AC＝OC， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠OAC＝60°． （3）S阴影＝S梯形OACD﹣S扇形OAC ． 39．（2024•越秀区二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a≠0）． （1）求抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4的顶点坐标； （2）当﹣1≤x≤5时，y的最大值为12； ①请求出a的值； ②若A（m，y1），B（m+t，y2）是抛物线上两点，其中t＞0，记抛物线在A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点），若图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为4，直接写出t的取值范围． 【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a﹣4＝a（x﹣1）2﹣4， ∴抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4的顶点坐标是（1，﹣4）； （2）①由（1）知抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4的顶点坐标是（1，﹣4）， 若a＜0，则当﹣1≤x≤5时，y的最大值为﹣4，不符合题意， ∴a＞0，抛物线开口向上， ∵1﹣（﹣1）＜5﹣1， ∴x＝5时，y＝ax2﹣2ax+a﹣4取得最大值12， ∴25a﹣10a+a﹣4＝12， 解得a＝1． ②由①知抛物线为y＝x2﹣2x﹣3，对称轴为直线x＝1， 当A（m，y1），B（m+t，y2）在对称轴的右侧时，即m≥1， 则y2﹣y1＝（m+t）2﹣2（m+t）﹣3﹣m2+2m+3＝4， 解得m， ∴1， ∵t＞0， ∴0＜t≤2． 当A（m，y1），B（m+t，y2）在对称轴的左侧时，即m+t≤1， 则y1﹣y2＝m2﹣2m﹣3﹣（m+t）2+2（m+t）+3＝4， 解得m， ∴m+t1， ∵t＞0， ∴0＜t≤2． 当A（m，y1），B（m+t，y2）在对称轴两侧时，m＜1＜m+t， ∵y的最小值为﹣4， ∴函数最大值为y＝﹣4+4＝0， 把y＝0代入y＝x2﹣2x﹣3得0＝x2﹣2x﹣3， 解得x1＝﹣1，x2＝3， 当m＝﹣1时，1＜m+t≤3满足题意， 解得2＜t≤4， 当m+t＝3时，﹣1≤m＜1满足题意， 解得2＜t≤4． 综上所述，0＜t≤4． 40．（2024•黄埔区二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝mx+n所在直线AB与反比例函数的图象在第一象限内交于A（a，4）和B（4，b）两点，连接OA，把OA沿x轴向右平移3个单位长度得到线段CD，CD恰好过点B且点C（5，c）． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）请结合函数图象，直接写出关于x的不等式的解集； （3）求梯形AODB的面积． 【解答】解：（1）根据题意知，AO∥CD，AO＝CD， ∴四边形AODC是平行四边形， ∴点A（a，4）和点C（5，c）的横坐标相差3，纵坐标相同， 即a＝2，c＝4． ∴A（2，4），C（6，4）． ∵反比例函数 的图象过A（2，4）， ∴k＝4×2＝8， ∴反比例函数为 ， 把B（4，b）代入 ，得 ∴B（4，2）． 把A（2，4），B（4，2）代入y＝mx+n，得： ，解得， ∴一次函数为 y＝﹣x+6． （2）由函数图象可得 的解集为0＜x≤2或x≥4． （3）∵OD＝3，点A到OD的距离为4， ∴S▱AODC＝4×3＝12． ∵AC∥OD， ∴点B到AC的距离为 yA﹣yB＝4﹣2＝2， ∴． ∴S酶形AOOB＝S△AODC﹣S△BAC＝12﹣3＝9． ∴梯形AODB的面积为9． 41．（2024•南沙区二模）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？ 素材1：如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动．已知OA＝OC＝12cm，BC＝28cm，一个100g的砝码． 素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点P至点B，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长12cm时，天平平衡． 链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP．（不计托盘与横梁重量） 任务1：设右侧托盘放置y（g）物体，OP长x（cm），求y关于x的函数表达式，并求出y的取值范围． 任务2：求这个空矿泉水瓶的重量． 【解答】解：任务1：∵左盘砝码重量×OA＝右盘物体重量×OP，右侧托盘放置y（g）物体，OP长x（cm），砝码的质量是100g，OA＝12cm， ∴100×12＝xy． ∴y． ∵OC＝12cm，BC＝28cm， ∴OB＝40cm． ∵点P可以在横梁BC段滑动， ∴12≤OP≤40． 即12≤x≤40． ∴30≤y≤100． 答：y关于x的函数表达式为：y（30≤y≤100）； 任务2：设空瓶的重量为a g，两次加水的重量均为b g，根据题意，得： ． 解得：． 答：这个空矿泉水瓶的重量为10 g． 42．（2024•白云区二模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点C（n，4），正方形ABCD的顶点A，B分别落在y轴和x轴上． （1）求k，n的值； （2）求∠ABO的正切值． 【解答】解：（1）∵一次函数的图象过点C（n，4）， ∴4n， ∴n＝7， ∴C（7，4）， 把C的坐标代入得，4， ∴k＝28； （2）作CE⊥x轴于E， ∵∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴∠ABO+∠CBE＝90°， ∵∠ABO+∠BAO＝90°， ∴∠BAO＝∠CBE， ∵∠AOB＝∠BEC＝90°， ∴△AOB≌△BEC（AAS）， ∴OA＝BE，OB＝CE， ∵C（7，4）， ∴OB+BE＝7，OB＝CE＝4， ∴OA＝BE＝3， ∴tan∠ABO． 43．（2024•白云区二模）已知抛物线y＝x2+mx﹣（m+1）． （1）当m＝﹣4时，求抛物线与x轴交点的坐标； （2）抛物线的顶点为A． ①若当x＜0时，都有y随x的增大而减小，求此时顶点A的纵坐标的取值范围； ②抛物线与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C，直线AB与x轴交于点D，抛物在①的条件下，求△AOD的面积S1与△BCD的面积S2满足的数量关系． 【解答】解：（1）当m＝﹣4时， 抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3， 当y＝0时，x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝1，x2＝3． ∴抛物线与x轴交点的坐标为（1，0），（3，0）． （2）①由题意， ∵抛物线的对称轴是直线 x， 又抛物线开口向上， ∴当x时，y随x的增大而减小． 又当x＜0时，都有y随x的增大而减小， ∴0． ∴m≤0． ∴顶点为A（，m2﹣m﹣1）， ∴顶点A的纵坐标为m2﹣m﹣1（m+2）2． 又0， ∴当m＝﹣2时顶点A的纵坐标取得最大值为0． ∴顶点A的纵坐标小于等于0． ②y＝x2+mx﹣（m+1） ＝（x）2， 对称轴为直线 x， 当x＝0时，y＝﹣m﹣1， ∴C（，0），B（0，﹣m﹣1）， ∵A（，（m+2）2）， 当m＝0时，A（0，﹣1），B（0，﹣1）， 故A，B，D三点重合， 此时△AOD，△BCD均不存在，故m≠0，结合①知，m＜0， 直线AB的斜率为k， ∴直线AB的方程为yx﹣m﹣1， 当y＝0时，x﹣m﹣1＝0， 解得x， ∴D（，0）， ∵m＜0， ∴xD﹣xC2﹣（）， ∵，均大于0， 由基本不等式得： ， 当且仅当，即m＝﹣2时，等号成立， ∴xD﹣xC＝2﹣（）≤0， 当且仅当m＝﹣2时，等号成立， 此时抛物线为：y＝x2﹣2x﹣（﹣2+1）＝（x﹣1）2， A（1，0），C（，0）＝（1，0），D（1，0）三点重合， 此时△AOD，△BCD均不存在，不符合题意，故以上不等式等式不成立， 即xD﹣xC＜0， ∴点D在点C的左侧， ∴S△AOD|OD|•|yA| •||•（m+2）2 ， S△BCD|CD|•|yB| ， ∴S△AOD＝S△BCD， 故△AOD的面积S1与△BCD的面积S2满足的数量关系为S△AOD＝S△BCD． 44．（2024•黄埔区二模）为满足市场需求，某超市购进一种水果，每箱进价是40元．超市规定每箱售价不得少于45元且不得多于55元，根据以往经验发现：当售价定为每箱45元时，每天可以卖出700箱．每箱售价每提高1元，每天要少卖出20箱． （1）如果超市想要每天获得的利润为5120元，则售价定为多少元？ （2）当每箱售价定为多少元时，每天的销售利润y（元）最大？最大利润是多少？ 【解答】解：（1）由题意得，m＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600， ∵超市规定每箱售价不得少于45元且不得多于55元， ∴x的范围为45≤x≤55， ∴每天的利润＝y＝（x﹣40）（﹣20x+1600）． 又令利润令y＝5120，则﹣20（x﹣60）2+8000＝5120， ∴x1＝48，x2＝72． ∵45≤x≤55， ∴x＝48． 答：如果超市想要每天获得的利润为5120元，则售价定为48元． （2）由题意，根据（1），每天的利润为y＝（x﹣40）（﹣20x+1600）＝﹣20（x﹣60）2+8000， 又∵﹣20＜0， ∴当x＜60时，y随x的增大而增大． ∵45≤x≤55， ∴当x＝55时，y最大值，最大值为7500， ∴当每箱售价定为55元时，每天的销售利润y最大，最大利润是7500元； 45．（2024•黄埔区二模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），C，D两点的坐标分别为（﹣4，5），（0，5）． （1）求A，B两点的坐标； （2）若二次函数y＝ax2+2ax﹣3a的图象经过点C，且与平行于x轴的直线l始终有两个交点M，N（点M在点N的左侧），P为该抛物线上异于M，N的一点，点N，P的横坐标分别为n，n+2．当n的值发生变化时，∠PMN的度数是否也发生变化？若变化，请求出∠PMN度数的范围；若不变，请说明理由； （3）若二次函数y＝ax2+2ax﹣3a的图象与线段CD只有一个交点，求a的取值范围． 【解答】解：（1）在y＝ax2+2ax﹣3a中，令y＝0得0＝ax2+2ax﹣3a， 解得x＝﹣3或x＝1， ∴A（﹣3，0），B（1，0）； （2）当n的值发生变化时，∠PMN的度数不发生变化；理由如下： 过P作PH⊥MN，交直线MN于H，如图： 把C（﹣4，5）代入y＝ax2+2ax﹣3a得： 5＝16a﹣8a﹣3a， 解得a＝1， ∴y＝x2+2x﹣3， ∵点N，P的横坐标分别为n，n+2， ∴N（n，n2+2n﹣3），P（n+2，（n+2）2+2（n+2）﹣3）， ∵MN∥x轴，抛物线y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1， ∴M（﹣2﹣n，n2+2n﹣3）， ∴PH＝（n+2）2+2（n+2）﹣3﹣（n2+2n﹣3）＝4n+8，MH＝（n+2）﹣（﹣2﹣n）＝2n+4， ∴tan∠PMN2， ∴当n的值发生变化时，∠PMN的度数不发生变化； （3）∵y＝ax2+2ax﹣3a＝a（x+1）2﹣4a， ∴抛物线y＝ax2+2ax﹣3a的对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣4a），抛物线与y轴交点为（0，﹣3a）， ①当a＞0时，﹣3a＜0，﹣4a＜0， ∴抛物线y＝ax2+2ax﹣3a与y轴交点在D下方，顶点在直线y＝5下方， 如图： 在y＝ax2+2ax﹣3a中，令x＝﹣4得y＝16a﹣8a﹣3a＝5a， ∵C（﹣4，5）， ∴5a＝5，即a＝1时抛物线过点C， 由图可知，当a≥1时，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a的图象与线段CD只有一个交点； ②当a＜0时， 若顶点在线段CD时，如图： 此时﹣4a＝5， 解得a； 若顶点在直线y＝5上方，即﹣4a＞5时，如图： ∵二次函数y＝ax2+2ax﹣3a的图象与线段CD只有一个交点，C（﹣4，5），D（0，5）， ∴ 解得a； 此时满足﹣4a＞5， ∴a； 综上所述，二次函数y＝ax2+2ax﹣3a的图象与线段CD只有一个交点，a的取值范围是a≥1或a或a． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/13 15:06:22；用户：18582497371；邮箱：18582497371；学号：56246982 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$