精品解析：江苏省平潮高级中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

第一阶段测试模拟试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两角和差正弦公式直接求解即可. 【详解】. 故选：D. 2. 设平面向量，若，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量平行求出，再利用模长公式求解答案. 【详解】因为，所以，解得，所以，所以. 故选：A 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角的正切公式即可求得的值. 【详解】由，可得 则 故选：B 4. 如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的三角形法则和向量共线定理可得：，，，，，即可得出答案. 【详解】利用向量的三角形法则，可得，， 为的中点，为的中点，则， 又 . 故选D. 【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力. 向量的运算有两种方法： 一是几何运算，往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是： （１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）； （２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）； 二是坐标运算，建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）． 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角公式化正弦为余弦，求出的值，再利用二倍角的余弦公式求解即得. 【详解】依题意，原等式化为：，整理得：， 因，则，解得：， 所以. 故选：B 6. 已知空间向量满足，则向量的夹角为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，求得，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，解得， 所以. 又因为，所以. 故选：D． 7. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再求出，最后可求. 【详解】因为，故， 因为，故，而， 故，所以， 故， 所以， 故选：B 8. 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ） A. 24 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，由圆方程设，写出向量的坐标，由数量积的坐标表示求出数量积，利用三角函数知识得最大值． 【详解】骑行过程中，相对不动，只有点绕点做圆周运动． 如图，以为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意，，， 圆方程为，设， 则，， ， 易知当时，取得最大值． 故选：B． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式中值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A逆用二倍角的正弦求值；选项B逆用二倍角的正切求值；选项C逆用两角和的余弦公式求值；选项D利用两角和的正切公式求值. 【详解】解：因为，故选项A正确； 因为，故选项B错误； 因为，故选项C正确； 因为，整理得，，故选项D错误； 故选：AC. 10. 已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 与的夹角余弦值为 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标关系判断选项A；利用向量垂直关系的坐标表示验证选项B；利用两个向量的夹角公式验证选项 C；利用投影向量的公式求解判断选项D. 【详解】因为，， 对于选项A：可得，且， 所以与不共线，故A错误； 对于选项B：若，则， 所以，故B正确； 对于选项C：因为，则，， 所以与的夹角余弦值为，故C正确； 对于选项D：由题意可知：， 因为是与同向的单位向量， 所以向量在向量上的投影向量为，故D错误； 故选：BC. 11. 定义：，两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（ ） A. 若平行四边形ABCD的面积为4，则 B. 在正中，若，则 C. 若，，则的最小值为 D. 若，，且为单位向量，则的值可能为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据两个向量叉乘的模的定义及向量数量积的运算逐个分析判断. 【详解】对于A，因为平行四边形ABCD的面积为4，所以，所以，故A正确； 对于B，设正的边边上的中点为，则， 因为，所以， 所以，所以B错误； 对于C，因为，所以， 所以，因为，所以，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以C正确； 对于D，若，，且为单位向量， 则当时，， 此时，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______. 【答案】 【解析】 【分析】结合两角和的正弦公式求得正确答案. 【详解】 . 故答案为： 13. 如图，已知菱形的边长为，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知建立直角坐标系，求出相关点的坐标，再利用向量的数量积的坐标运算公式即可求解. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 由题意可知，. 设,则， 因为，所以， 即，解得，， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件可得在线段上，然后，设，则可得，然后利用二次函数的知识可得答案. 【详解】由， 得， 因为，在线段上 ， 设， 则． 故答案为： 【点睛】本题考查向量基本定理、向量数量积，注意应用三点共线的充要条件，考查数形结合思想和计算求解能力，属于中档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）利用向量，建立关于的方程，即可求解的值；（2）写出向量的坐标，利用得出关于的方程，即可求解实数的值. 试题解析：（1） （2）由（1）得 所以 考点：向量的坐标运算. 16. 已知，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由可得，针对分式，分子分母同除即可得解； （2）由且，可求得，再由且，可得，带入即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 因此. （2）因为，，所以，， 因为，，所以. 所以. . 17. 如图，有一壁画，最高点A处离地面6米，最低点B处离地面3米．若从离地高2米的C处观赏它，视角为. （1）若时，求C点到墙壁的距离． （2）当C点离墙壁多远时，视角最大？ 【答案】（1）2米； （2）2米； 【解析】 【分析】（1）结合题意，设，，则视角，设C点到墙壁的距离为米，则有，，由两角差的正切公式可得，再将代入即可得解； （2）将表示为关于的函数，再结合重要不等式求其最值即可得解，一点要注意取等的条件. 【详解】解：（1）设，，则视角， 设C点到墙壁的距离为米，则有， ， 所以， 当时，解得； （2）由（1）知（当且仅当即时等号成立）， 所以，当视角达到最大， 故当时，C点到墙壁距离为2米，此时视角达到最大. 【点睛】本题考查了两角差的正切公式及重要不等式，重点考查了解决实际问题的能力，属中档题. 18. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，函数，求的值域. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】根据向量共线定理的坐标形式建立方程即可求得结果； 利用换元法转化成一元二次函数，即可求得结果. 【小问1详解】 解：向量，，， 即， ， . 【小问2详解】 ，， ， 设， 则， ，， 设，， 由二次函数性质可得： ， . 故的值域为. 19. 如图，在中，已知，，，点D是上一点，满足，点E是边上一点，满足 （1）当时，求 （2）是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由 【答案】（1） （2）存在非零实数，使得 【解析】 【分析】（1）当时，、分别是，的中点，则、，然后根据已知条件即可求解； （2）假设存在非零实数，使得，利用、为基底分别表示出和， 由求出值即可． 【小问1详解】 解：当时，，， 、分别是，的中点， ，， ； 【小问2详解】 解：假设存在非零实数，使得， 由，得， ； 又， ； ，解得或（不合题意，舍去）， 所以存在非零实数，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一阶段测试模拟试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 等于（ ）． A. B. C. D. 2. 设平面向量，若，则等于（　　） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则 A. B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量满足，则向量的夹角为（    ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 8. 骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形，设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为（ ） A. 24 B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列各式中值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知向量，，是与同向的单位向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. 与的夹角余弦值为 D. 向量在向量上的投影向量为 11. 定义：，两个向量的叉乘的模，则下列命题正确的是（ ） A. 若平行四边形ABCD的面积为4，则 B. 在正中，若，则 C. 若，，则的最小值为 D. 若，，且为单位向量，则的值可能为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______. 13. 如图，已知菱形的边长为，，，则__________． 14. 已知中，边上的中线，若动点满足，则的最小值是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知． （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. 已知，，. （1）求的值； （2）求的值. 17. 如图，有一壁画，最高点A处离地面6米，最低点B处离地面3米．若从离地高2米的C处观赏它，视角为. （1）若时，求C点到墙壁的距离． （2）当C点离墙壁多远时，视角最大？ 18. 已知向量，. （1）若，求； （2）若，函数，求的值域. 19. 如图，在中，已知，，，点D是上一点，满足，点E是边上一点，满足 （1）当时，求 （2）是否存在非零实数，使得？若存在，求出的值：若不存在，请说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $